CN111444608A - 一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法 - Google Patents

一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法 Download PDF

Info

Publication number
CN111444608A
CN111444608A CN202010214958.6A CN202010214958A CN111444608A CN 111444608 A CN111444608 A CN 111444608A CN 202010214958 A CN202010214958 A CN 202010214958A CN 111444608 A CN111444608 A CN 111444608A
Authority
CN
China
Prior art keywords
order
failure probability
calculating
pce
geotechnical engineering
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Granted
Application number
CN202010214958.6A
Other languages
English (en)
Other versions
CN111444608B (zh
Inventor
曾鹏
李天斌
张天龙
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Chengdu Univeristy of Technology
Original Assignee
Chengdu Univeristy of Technology
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Chengdu Univeristy of Technology filed Critical Chengdu Univeristy of Technology
Priority to CN202010214958.6A priority Critical patent/CN111444608B/zh
Publication of CN111444608A publication Critical patent/CN111444608A/zh
Application granted granted Critical
Publication of CN111444608B publication Critical patent/CN111444608B/zh
Active legal-status Critical Current
Anticipated expiration legal-status Critical

Links

Images

Landscapes

  • Management, Administration, Business Operations System, And Electronic Commerce (AREA)

Abstract

本申请提供了一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法，包括：确定基于随机响应面法CSRSM的岩土工程问题中PCE模型的最大阶数pmax和确定性系数的阈值
Figure DDA0002424086580000011
在所述pmax的范围内，按从低到高的顺序依次计算所述PCE模型第p阶的配置点up、模型真实响应输出yp和未知系数ap；其中，p为正整数且p≥0；计算所述第p阶的确定性系数
Figure DDA0002424086580000013
当p＜pmax时，若
Figure DDA0002424086580000012
将所述第p阶作为所述PCE模型的最佳截断阶数；或，当p≥pmax时，将所述第p阶作为所述PCE模型的最佳截断阶数。采用本申请的方法能快速获得PCE模型的最佳截断阶数且能提高确定性系数的计算精度。

Description

一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法
技术领域
本申请涉及岩土工程可靠度分析技术领域，特别是涉及一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法。
背景技术
基于配置的随机响应面法(CSRSM)在岩土工程可靠度分析中越来越受到重视，CSRSM利用多项混沌展开式(PCE)构造了真实极限状态函数(LSF)的代理模型，从而为岩土工程提供了可靠度指标或失效概率的良好估计，具有较低的计算成本。
然而，在实践时，成功实现CSRSM对岩土工程可靠度分析的一个关键挑战是如何确定用于给定问题的PCE的最佳截断阶数，这对岩土工程的可靠度分析和失效概率估计具有重要意义。
发明内容
本申请提供一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法，可确定岩土工程可靠度分析中CSRSM的PCE的最佳截断阶数，以克服上述技术问题。
为了解决上述问题，本申请公开了一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法，包括：
步骤S1：确定基于随机响应面法CSRSM的岩土工程问题中PCE模型的最大阶数pmax和确定性系数的阈值
Figure BDA0002424086560000011
步骤S2：在所述pmax的范围内，按从低到高的顺序依次计算所述PCE模型第p阶的配置点up、模型真实响应输出yp和未知系数ap；其中，p为正整数且p≥0；
步骤S3：计算所述第p阶的确定性系数
Figure BDA0002424086560000012
包括以下子步骤：
在p＝1时，利用u2、y2和a1计算所述
Figure BDA0002424086560000021
在p>1时，利用up-1…u1,yp-1…y1,和ap计算所述
Figure BDA0002424086560000022
步骤S4：当p＜pmax时，若
Figure BDA0002424086560000023
将所述第p阶作为所述PCE模型的最佳截断阶数；或，当p≥pmax时，将所述第p阶作为所述PCE模型的最佳截断阶数。
进一步的，在步骤S2中，所述up的计算步骤包括：
针对所述岩土工程问题中符合标准正态分布的n个随机变量，使用埃尔米特Hermite多项式构建所述PCE模型，计算第p阶的配置点u；
根据所述第p阶的配置点u，确定向量up；
所述yp的计算步骤包括：
针对所述岩土工程问题极限状态函数LSF，使用稳定性力学模型计算所述PCE模型第p阶的真实响应输出yp；
所述ap的计算步骤包括：
针对所述岩土工程问题中符合标准正态分布的n个随机变量，使用Hermite构建所述PCE模型来近似所述岩土工程问题LSF：
Figure BDA0002424086560000024
其中，i是所述随机变量的序数；y是根据所述岩土工程问题LSF计算的真实响应输出，等效于yp，g是根据所述PCE模型计算的随机响应输出，ai1i2,…,ip是待估计的未知系数；
Figure BDA0002424086560000025
计算如下：
Figure BDA0002424086560000026
上式中，U是配置点u的大写形式，表示变量，Uip表示第i个随机变量对应的配置点，U表示U的向量，UT表示U矩阵的转置，
Figure BDA0002424086560000027
表示求偏导，e是自然对数的底；
针对n个随机变量，所述PCE模型第p阶的未知系数a的个数为Na：
Figure BDA0002424086560000031
选定所述up处的真实响应输出y，结合最小二乘回归方法，得到向量ap：
ap＝(TTT)-1TTy (4)；
其中，T是维数N×Na的Hermite多项式信息矩阵，N是第p阶所选u的个数，TT表示T矩阵的转置。
进一步的，所述pmax为6，所述
Figure BDA0002424086560000032
为0.9990。
进一步的，所述方法还包括：
根据所述PCE模型的最佳截断阶数和所述最佳截断阶数对应的
Figure BDA0002424086560000033
确定所述岩土工程问题的第一失效概率；
将所述第一失效概率与由蒙特卡罗模拟MCS方法或拉丁超空间采样LHS方法对所述岩土工程问题计算的第二失效概率进行比较，判断两者的相对误差。
进一步的，所述岩土工程问题包括矩形地基的沉降；所述方法还包括：
将符合标准正态分布的所述矩形地基的接触应力q0、泊松比v和弹性模量Es作为独立的随机变量；
根据所述随机变量，计算所述矩形地基的沉降增量ΔH；
Figure BDA0002424086560000034
上式中，B为所述矩形地基的宽度，I1、I2和IF为影响因素，m为拐角数；
设定极限沉降(ΔH)limit＝50mm，构建所述矩形地基的沉降LSF：
G(x)＝(ΔH)limit-ΔH (6)；
其中，G(x)是g的等效表达式，x为矢量，表示随机变量；
将所述G(x)结合公式(1)～(4)，计算得到所述矩形地基的沉降中PCE模型的最佳截断阶数为2，
Figure BDA0002424086560000035
为0.9997，并对所述矩形地基的沉降的失效概率进行计算，获得第一失效概率；
将所述第一失效概率与由所述MCS方法对所述矩形地基的沉降计算的第二失效概率进行比较，获得两者相对误差为0.09％。
进一步的，所述岩土工程问题还包括岩质边坡的稳定性；所述方法还包括：
设定对所述岩质边坡的稳定性的影响因数仅有充满水的张性裂缝；
在所述影响因数下，将符合标准正态分布的所述岩质边坡的滑动面粘聚力c、内摩擦角φ、拉伸裂缝深度z、水深与裂缝深度之比r、地震加速度系数α作为相关的随机变量；
根据所述随机变量，构建所述岩质边坡的稳定性LSF：
Figure BDA0002424086560000041
其中，A＝(H-z)/sinψp (8)；
Figure BDA0002424086560000042
N′＝W(cosψp-αsinψp)-U-Vsinψp+Tcosθ (10)；
W＝0.5γH2((1-(z/H)2)cotψp-cotψf) (11)；
U＝0.5γwrzA (12)；
V＝0.5γwr2z2 (13)；
Figure BDA0002424086560000043
上式中，G(x)是g的等效表达式，x为矢量，表示随机变量，H为所述岩质边坡的高，ψf为所述岩质边坡与地面的斜面角度，ψp为滑动面角度，γw为水的重度，T为加固力，θ为所述加固力倾斜的角度，FS表示稳定性系数，zw表示水位高度；
将所述G(x)结合公式(1)～(4)，计算得到所述岩质边坡的稳定性中PCE模型的最佳截断阶数为6，
Figure BDA0002424086560000044
为0.9996，并对所述岩质边坡的稳定性的失效概率进行计算，获得第一失效概率；
将所述第一失效概率与由所述MCS方法对所述岩质边坡的稳定性计算的第二失效概率进行比较，获得两者相对误差为-1.79％。
进一步的，所述岩土工程问题还包括圆形隧道掌子面的稳定性；所述方法还包括：
将符合标准正态分布的所述圆形隧道掌子面的完整岩石的单轴抗压强度σci，由GSI给出的岩体质量mi以及HB准则中的参数作为独立的随机变量；
根据所述随机变量，构建所述圆形隧道掌子面的稳定性LSF：
Figure BDA0002424086560000051
上式中，G(x)为g的等效表达式，x为矢量，表示随机变量，σt是施加在所述圆形隧道掌子面上的支撑压力，σc(x)是由极限分析方法计算的坍塌压力；
将所述G(x)结合公式(1)～(4)，计算得到所述圆形隧道掌子面的稳定性中PCE模型的最佳截断阶数为3，
Figure BDA0002424086560000052
为0.9997，并对所述圆形隧道掌子面的稳定性的失效概率进行计算，获得第一失效概率；
将所述第一失效概率与由LHS方法对所述圆形隧道掌子面的稳定性计算的第二失效概率进行比较，获得两者相对误差为-1.82％。
与现有技术相比，本申请包括以下优点：
在本申请中，首先确定基于随机响应面法CSRSM的岩土工程问题中PCE模型的最大阶数和确定性系数的阈值，然后在最大阶数范围内，从PCE模型的第1阶开始逐阶计算，计算获得每一阶的配置点、响应值和未知系数后，紧接着就根据所述最大阶数和确定性系数的阈值，对该阶的确定性系数进行计算和比较，当比较结果在最大阶数范围内有显著差异，则将该PCE模型的阶数增加一个，并重复整个过程，直到达到收敛；本申请相比现有的估计方法，在符合岩土工程可靠度分析的最大阶数下，使用与低阶PCE相关联的配置点作为高阶PCE的验证点来计算确定性系数(除一阶PCE外)，不用验证过多阶数，减小了获得最佳截断阶数的计算量和时间，能在具有大量随机变量的情况下，快速获得PCE的最佳截断阶数且能提高确定性系数的计算精度。
附图说明
图1是本申请实施例一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法的步骤流程图；
图2是相对误差Δ的绝对值和PCE模型的平均阶数随
Figure BDA0002424086560000061
增加的变化示意图；
图3是本申请实施例矩形地基的沉降的几何结构示意图；
图4是本申请实施例岩质边坡的稳定性的几何结构示意图；
图5是本申请实施例圆形隧道掌子面的稳定性的几何结构示意图。
具体实施方式
为使本申请的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本申请作进一步详细的说明。
在CSRSM的实现中，PCE的最佳截断阶数的选择是非常重要的，因为它可能会显著影响其计算效率和精度。为了便于本领域技术人员深刻理解本申请的改进之处，首先简要介绍几种现有的方法，并讨论其优缺点。
理论上，最精确的误差估计方法是使用真实LSF和许多附加验证点的MCS方法，因为这样可以对给定问题的统计信息进行无偏估计。该方法将不同阶次的PCE计算结果与MCS提供的结果进行比较。当二者一致时，得到了CSRSM的最优阶。
在MCS方法中，可以使用几个指标进行比较。例如，将前四个统计矩(平均值、标准差、偏度和峰度)与MCS使用许多模拟计算的统计矩进行比较。然而，基于MCS的方法需要对原始LSF进行许多额外的运算(通常在103到106的范围内)，以获得准确的估计。在实际应用中，这样的计算量通常是负担不起的，而且在任何情况下，这都会破坏CSRSM的计算效率。
为了在不借助MCS的情况下获得CSRSM的最优阶数，已有技术中提出了连续阶数比较法，可以使用不同的指标进行比较。例如比较连续PCE阶的前四个统计矩，并采用低阶PCE计算失效概率。再例如使用联合概率密度函数(PDF)和/或累积密度函数(CDF)作为PCE最优阶的指标，并使用PCE的高阶进行概率分析。也有建议在满足以下两个条件时实现收敛的方法，即：i)对应于两个连续PCE阶中相同的未知系数a之间的绝对差小于规定的误差；ii)高阶PCE的未知系数过小以致可以忽略不计。一旦满足收敛条件，低阶PCE将用于可靠度分析。
但上述连续阶数比较法有三个主要缺点：i)基于矩的方法和基于PDF的方法没有“很好地一致”的定量确定。因此，不同的人可能有不同的方法，提供不同的结果。ii)一旦假定PCE收敛，通常使用高阶CSRSM进行可靠性分析，这需要比以前的低阶PCE更多的计算成本。iii)即使采用低阶PCE，在最优阶数选择过程中，高阶PCE也需要计算一次，这可能在计算上很昂贵，特别是对于具有大量随机变量的问题。
后续，也有经验误差估计法和留一误差估计法的提出。
在经验误差估计方法中，不需要进一步评估确定性模型，这显著地提高了PCE最佳截断阶数选择的计算效率。然而，其计算的确定性系数对真实确定性系数R2是一个有偏估计，主要原因是：i)它会随着多项式个数的增加而自动增加，并且低估了泛化误差；ii)它不考虑不属于实验设计的点处的模型响应。
虽然留一误差估计法可以在精度和计算成本之间达成折衷。然而，当使用CSRSM时，只留下一个配置点可能会降低信息矩阵的秩，从而不能满足满秩准则，这导致了对真实确定性系数R2的有偏估计。
针对上述问题，本申请实施例提出了一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法，可以包括以下步骤：
步骤S1：确定基于随机响应面法CSRSM的岩土工程问题中PCE模型的最大阶数pmax和确定性系数的阈值
Figure BDA0002424086560000071
步骤S2：在所述pmax的范围内，按从低到高的顺序依次计算所述PCE模型第p阶的配置点up、模型真实响应输出yp和未知系数ap；其中，p为正整数且p≥0；
步骤S3：计算所述第p阶的确定性系数
Figure BDA0002424086560000072
包括以下子步骤：
在p＝1时，利用u2、y2和a1计算所述
Figure BDA0002424086560000073
在p>1时，利用up-1…u1,yp-1…y1,和ap计算所述
Figure BDA0002424086560000074
步骤S4：当p＜pmax时，若
Figure BDA0002424086560000075
将所述第p阶作为所述PCE模型的最佳截断阶数；或，当p≥pmax时，将所述第p阶作为所述PCE模型的最佳截断阶数。
在本申请实施例中：对于步骤S1来说，优选的，可设定pmax为6，
Figure BDA0002424086560000081
为0.9990。关于将pmax设为6，
Figure BDA0002424086560000082
设定为0.9990的原由在后续阐述。
对于步骤S2来说，所述up的计算步骤可以包括：
针对所述岩土工程问题中符合标准正态分布的n个随机变量，使用埃尔米特Hermite多项式构建所述PCE模型，计算第p阶的配置点u；
根据所述第p阶的配置点u，确定向量up。
所述yp的计算步骤可以包括：针对所述岩土工程问题极限状态函数LSF，使用稳定性力学模型计算所述PCE模型第p阶的真实响应输出yp；该稳定性力学模型可以为现有的模型，其具体计算方式在此不多赘述。
所述ap的计算步骤可以包括：针对所述岩土工程问题中符合标准正态分布的n个随机变量，使用Hermite构建所述PCE模型来近似所述岩土工程问题LSF：
Figure BDA0002424086560000083
其中，i是所述随机变量的序数；y是根据所述岩土工程问题LSF计算的真实响应输出，等效于yp，g是根据所述PCE模型计算的随机响应输出，ai1i2,…,ip是待估计的未知系数；
Figure BDA0002424086560000084
计算如下：
Figure BDA0002424086560000085
上式中，U是配置点u的大写形式，表示变量，Uip表示第i个随机变量对应的配置点，U表示U的向量，UT表示U矩阵的转置，
Figure BDA0002424086560000086
表示求偏导，e是自然对数的底；
针对n个随机变量，所述PCE模型第p阶的未知系数a的个数为Na：
Figure BDA0002424086560000091
选定所述up处的真实响应输出y，结合最小二乘回归方法，得到向量ap：
ap＝(TTT)-1TTy (4)；
其中，T是维数N×Na的Hermite多项式信息矩阵，N是第p阶所选u的个数，TT表示T矩阵的转置。综上，采用上述步骤，可计算出第p阶的配置点up、真实响应输出yp和未知系数ap，然后执行步骤S3计算
Figure BDA0002424086560000092
假设考虑该岩土工程问题是只有两个随机变量的简单问题，可以生成所述PCE模型第1阶、第2阶以及第3阶使用的配置点。对于第1阶PCE来说，第2阶中Hermite多项式的两个根是1和-1；对于第1阶PCE来说，第3阶中Hermite多项式的三个根是0，
Figure BDA0002424086560000093
和
Figure BDA0002424086560000094
对于第3阶PCE来说，第4阶中Hermite多项式的四个根是
Figure BDA0002424086560000095
参照表1，示出了只考虑两个随机变量时，本申请实施例生成第1阶、第2阶以及第3阶PCE使用的配置点情况。
表1
Figure BDA0002424086560000096
从表1可见，除0以外，不同阶的PCE使用不同的配置点。因此，在计算确定性系数时，第2阶的配置点可用作第1阶的验证点；第1阶的配置点可用作第2阶的验证点；第1阶和第2阶PCE的配置点可用作第3阶PCE的验证点，以此类推。因此，本申请实施例在执行步骤S3时，分p＝1和p>1的两种情况计算确定性系数
Figure BDA0002424086560000101
然后，根据步骤S3的结果，执行步骤S4的判断步骤，确定PCE模型的最佳截断阶数。
参照图1，示出了本申请实施例一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法的步骤流程图。在图1中，可先计算出PCE模型第1阶的配置点u1、真实响应输出y1和未知系数a1。由于需要将第2阶PCE的配置点用作第1阶PCE的验证点，因此，需要接着计算出PCE模型第2阶的配置点u2、真实响应输出y2和未知系数a2。对应的，在步骤S3中，在p＝1时，利用u2、y2和a1计算所述
Figure BDA0002424086560000102
获得
Figure BDA0002424086560000103
此时p＝1＜pmax，比较
Figure BDA0002424086560000104
与
Figure BDA0002424086560000105
如果
Figure BDA0002424086560000106
停止并使用1作为所述PCE模型的最佳截断阶数；否则，继续。
在p＝1不满足时，利用u1、y1和a2计算第2阶的确定性系数
Figure BDA0002424086560000107
判断出p＝2＜pmax，如果
Figure BDA0002424086560000108
停止并使用p＝2作为PCE模型的最佳截断阶数；否则，继续。
在p＝2也不满足时，令p＝2，p＝p+1，计算PCE模型第p阶的配置点up、真实响应输出yp和未知系数ap，此时p已经大于1，因此，利用第p阶的未知系数ap以及低于所述第p阶的所有配置点up-1…u1和真实响应输出yp-1…y1,，计算第p阶的确定性系数
Figure BDA0002424086560000109
重复上述过程，直到
Figure BDA00024240865600001010
或p≥pmax，得到PCE模型的最佳截断阶数p。
然后，本申请实施例就可根据最佳截断阶数p和所述最佳截断阶数对应的
Figure BDA00024240865600001011
确定所述岩土工程问题的第一失效概率。第一失效概率的计算方法对应不同的岩土工程可靠性分析模型不同，其计算公式为现有，在此不多赘述。同时，本申请实施例还对失效概率进行验证，将所述第一失效概率与由MCS(用5×106模拟)方法或LHS方法对所述岩土工程问题计算的第二失效概率进行比较，判断两者的相对误差Δ，从而更好地评估了本申请PCE模型的最佳截断阶数的准确性。
基于上述内容，本申请实施例将pmax设为6的原由如下：在本申请中，表2列出了10个随机变量和pmax为6时的验证点数量。
表2
Figure BDA0002424086560000111
上表中，N.A.a＝不可用，因为考虑10个随机变量生成第5阶的配置点，再作为PCE模型第6阶的验证点时，计算量过大。表2的结果表明，随着随机变量的数量增加，验证点的数量也随之增加，且随着PCE模型阶数的增加而增加。这表明对于更多随机变量和更高的PCE模型阶数，计算值
Figure BDA0002424086560000112
更接近真实确定性系数R2的实际值。但三阶或四阶PCE可在大多数实际问题中产生令人满意的结果，因此，本申请实施例将pmax设为6，更符合岩土工程问题的可靠性分析需求。
为了验证本申请实施例的性能，采用了以下10个数学问题进行评估，10个问题如下：
问题1：G(x)＝x1-x2/x3，其中，x1、x2和x3是服从正态分布的随机变量，平均值分别为600、1000和2，标准差分别为30、33和1；
问题2：
Figure BDA0002424086560000113
其中x1、x2是服从正态分布的随机变量；
问题3：
Figure BDA0002424086560000121
其中x1、x2是服从正态分布的随机变量；
问题4：
Figure BDA0002424086560000122
其中x1、x2是服从正态分布的随机变量；
问题5：
Figure BDA0002424086560000123
其中x1、x2是服从正态分布的随机变量，平均值分别为10和9.9，标准差分别为5和5；
问题6：G(x)＝x1x2-2000x3，其中x1、x2是服从正态分布的随机变量，平均值分别为0.32和1400000，标准差分别为0.032和70000，特别的，x3是x3是服从对数正态分布的随机变量，平均值为100，标准差为40；
问题7：G(x)＝x1+2x2+3x3+x4-5x5-5x6，其中，x1～x6是服从对数正态分布的随机变量，平均值μi＝120，i＝1、2，…、4，μ5＝50和μ6＝40；标准差σi＝12，i＝1、2，…、4，σ5＝15和σ6＝12；
问题8：
Figure BDA0002424086560000124
其中，x1～x6是服从对数正态分布的随机变量，平均值μi＝120，i＝1、2，…、4，μ5＝50和μ6＝40；标准差σi＝12，i＝1、2，…、4，σ5＝15和σ6＝12；
问题9：
Figure BDA0002424086560000125
其中x1、x2是服从正态分布的随机变量，平均值为3，标准差为0.8。
问题10：
Figure BDA00024240865600001211
其中x1、x2是服从正态分布的随机变量，均匀分布在[-π，π]。
针对上述10个问题，发明人采用了CSRSM中常用的几种最优截断阶数选择方法，与本申请实施例的方法进行比较。
表3列出了用不同误差估计方法计算的基于PCE的CSRSM泛化误差的确定性系数，包括基于MCS的误差估计方法的确定性系数
Figure BDA0002424086560000126
基于经验误差估计方法的确定性系数
Figure BDA0002424086560000127
基于留一误差估计方法的确定性系数
Figure BDA0002424086560000128
以及本申请实施例的确定性系数
Figure BDA0002424086560000129
同时还列出了相对误差Δ。
表3
Figure BDA00024240865600001210
Figure BDA0002424086560000131
Figure BDA0002424086560000141
上表中：
a表示用蒙特卡罗模拟计算10万个验证点的确定性系数；
b表示用经验误差估计方法计算的确定性系数；
c表示用留一误差估计方法计算的确定性系数；
d表示使用本申请实施例的方法计算的确定性系数；
e表示由第一失效概率与第二失效概率计算的相对误差；
f表示N.A.由于无法负担的计算成本而不可用。
从表3中可知：
由于基于MCS的误差估计方法计算出的
Figure BDA0002424086560000151
误差估计集包含105个样本点，被认为是真实确定性系数R2的参考值。对于问题1～9，计算的
Figure BDA0002424086560000152
的数值通常随着PCE模型阶数的增加而增加，并且对于高阶PCE，更趋向于1，这意味着基于更高阶PCE的CSRSM可以更好地逼近真实LSF，通过观察计算出的相对误差Δ，该相对误差Δ通常随着PCE阶数的增加而减小。然而，对于问题10，
Figure BDA0002424086560000153
和Δ无规律变化且与预期差异极大，其原因是Hermite多项式不能很好地在第6阶PCE内拟合均匀分布的随机变量。
基于经验误差估计方法计算的确定性系数
Figure BDA0002424086560000154
通常高于
Figure BDA0002424086560000155
这表明经验误差估计方法往往会高估CSRSM的精度，从而无法评估结果的准确性，这可能会导致错误的失效概率。例如，在问题5中，第2阶PCE的
Figure BDA0002424086560000156
为1.000000，这意味着完美拟合，但相对误差为859.05％；在问题10中，第6阶PCE的
Figure BDA0002424086560000157
为0.997604，但相对误差Δ仍然较大，达到42.48％。
对于留一误差估计方法，计算结果
Figure BDA0002424086560000158
往往会低估实际的确定性系数，有时较为显著。例如，在具有第2阶PCE的问题1中，
Figure BDA0002424086560000159
非常接近于1，并且计算的相对误差仅为-0.26％；然而，
Figure BDA00024240865600001510
为-1.49152，表示拟合效果很差。也就是说，如果使用留一误差估计方法，则需要使用第3阶PCE，从而导致更高的计算成本。在问题2、3、6、7和8中，也可以发现由留一误差估计方法对真实确定性系数R2的严重低估。
而本申请实施例的方法提供了良好的总体性能，
Figure BDA00024240865600001511
通常比其他两种方法更接近
Figure BDA00024240865600001512
当相对误差Δ较大时，
Figure BDA00024240865600001513
计算值远小于1，表明拟合不好；当Δ较小时，
Figure BDA00024240865600001514
往往趋向于1，从而逼近真实LSF。同时，虽然在第2阶PCE中使用的验证点的数量是最低的，但是
Figure BDA00024240865600001515
依然接近
Figure BDA00024240865600001516
因此意味着使用较少的验证点对计算结果
Figure BDA00024240865600001517
的影响有限。
为确定本申请实施例确定性系数的阈值
Figure BDA00024240865600001518
发明人用问题1-9测试了6个
Figure BDA00024240865600001519
值，分别为0.9800、0.9900、0.9950、0.9990、0.9995和0.9999，并比较了相对误差Δ的绝对值和相应的PCE阶数。为了更好地演示每种
Figure BDA0002424086560000161
的性能，图2示出了相对误差Δ的绝对值和PCE模型的平均阶数随
Figure BDA0002424086560000162
增加的变化示意图。结果显示，前三个
Figure BDA0002424086560000163
值中，Δ的绝对值相对较大(8.05％、5.26％和4.22％)；而当
Figure BDA0002424086560000164
使用0.9990、0.9995和0.9999时，Δ的绝对值急剧下降到1.29％。PCE所需的平均阶数随着
Figure BDA0002424086560000165
而增加。因此，本申请实施例将
Figure BDA0002424086560000166
设为0.9990，可在获得较高计算精度时，也能取得较高效率。
接下来，本申请实施例将
Figure BDA0002424086560000167
为0.9990，以及相对误差为1.29％作为验证指标，对矩形地基的沉降、岩质边坡的稳定性和圆形隧道掌子面的稳定性这三个典型的岩土工程问题进行了可靠性分析。为了测量依据本申请实施例方法计算的
Figure BDA0002424086560000168
的精度，还对上述三个典型的岩土工程问题采用了不同的模拟方法(MCS或拉丁超空间采样(LHS))以提供失效概率Pf的参考值。
在本申请一可选实施例中，所述岩土工程问题包括矩形地基的沉降；所述方法具体还可以包括以下步骤：
步骤1-1：将符合标准正态分布的所述矩形地基的接触应力q0、泊松比v和弹性模量Es作为独立的随机变量；
步骤1-2：根据所述随机变量，计算所述矩形地基的沉降增量ΔH；
Figure BDA0002424086560000169
上式中，B为所述矩形地基的宽度，I1、I2和IF为影响因素，m为拐角数；
步骤1-3：设定极限沉降(ΔH)limit＝50mm，构建所述矩形地基的沉降LSF：
G(x)＝(ΔH)limit-ΔH (6)；
其中，G(x)是g的等效表达式，x为矢量，表示随机变量；
步骤1-4：将所述G(x)结合公式(1)～(4)，计算得到所述矩形地基的沉降中PCE模型的最佳截断阶数为2，
Figure BDA00024240865600001610
为0.9997，并对所述矩形地基的沉降的失效概率进行计算，获得第一失效概率；
步骤1-5：将所述第一失效概率与由所述MCS方法对所述矩形地基的沉降计算的第二失效概率进行比较，获得两者相对误差为0.09％。
图3示出了本申请实施例矩形地基的沉降的几何结构示意图，其确定性参数值如表4所示，关于该矩形地基的随机变量的统计信息见表5；利用表4～表5的参数值计算获得如表6的矩形地基的沉降的可靠度计算结果。
表4
Figure BDA0002424086560000171
表5
Figure BDA0002424086560000172
表6
Figure BDA0002424086560000173
上表中：
a表示MCS样本量为106；
b表示针对矩形地基的沉降计算的第一失效概率与第二失效概率的相对误差。
在本申请一可选实施例中，所述岩土工程问题还包括岩质边坡的稳定性；所述方法具体还可以包括以下步骤：
步骤2-1：设定对所述岩质边坡的稳定性的影响因数仅有充满水的张性裂缝；
步骤2-2：在所述影响因数下，将符合标准正态分布的所述岩质边坡的滑动面粘聚力c、内摩擦角φ、拉伸裂缝深度z、水深与裂缝深度之比r、地震加速度系数α作为相关的随机变量；
步骤2-3：根据所述随机变量，构建所述岩质边坡的稳定性LSF：
Figure BDA0002424086560000181
其中，A＝(H-z)/sinψp(8)；
Figure BDA0002424086560000182
N′＝W(cosψp-αsinψp)-U-Vsinψp+Tcosθ (10)；
W＝0.5γH2((1-(z/H)2)cotψp-cotψf) (11)；
U＝0.5γwrzA (12)；
V＝0.5γwr2z2 (13)；
Figure BDA0002424086560000183
上式中，G(x)是g的等效表达式，x为矢量，表示随机变量，H为所述岩质边坡的高，ψf为所述岩质边坡与地面的斜面角度，ψp为滑动面角度，γw为水的重度，T为加固力，θ为所述加固力倾斜的角度，FS表示稳定性系数，zw表示水位高度；
步骤2-4：将所述G(x)结合公式(1)～(4)，计算得到所述岩质边坡的稳定性中PCE模型的最佳截断阶数为6，
Figure BDA0002424086560000184
为0.9996，并对所述岩质边坡的稳定性的失效概率进行计算，获得第一失效概率；
步骤2-5：将所述第一失效概率与由所述MCS方法对所述岩质边坡的稳定性计算的第二失效概率进行比较，获得两者相对误差为-1.79％。
图4示出了本申请实施例岩质边坡的稳定性的几何结构示意图，图中的确定性参数值如表7所示，关于该岩质边坡的随机变量的统计信息和分布类型见表8，其可靠性分析中采用的相关矩阵见表9。
表7
Figure BDA0002424086560000185
Figure BDA0002424086560000191
表8
Figure BDA0002424086560000192
表9
Figure BDA0002424086560000193
利用表7～表9的参数值进行计算，获得如表10的岩质边坡的稳定性的可靠度计算结果。
表10
Figure BDA0002424086560000194
上表中：
a表示MCS样本量为106；
b表示针对岩质边坡的稳定性计算的第一失效概率与第二失效概率的相对误差。
在本申请另一可选实施例中，所述岩土工程问题还包括圆形隧道掌子面的稳定性；所述方法具体还可以包括以下步骤：
步骤3-1：将符合标准正态分布的所述圆形隧道掌子面的完整岩石的单轴抗压强度σci，由GSI给出的岩体质量mi以及HB准则中的参数作为独立的随机变量；
步骤3-2：根据所述随机变量，构建所述圆形隧道掌子面的稳定性LSF：
Figure BDA0002424086560000195
上式中，G(x)为g的等效表达式，x为矢量，表示随机变量，σt是施加在所述圆形隧道掌子面上的支撑压力，σc(x)是由极限分析方法计算的坍塌压力；
步骤3-3：将所述G(x)结合公式(1)～(4)，计算得到所述圆形隧道掌子面的稳定性中PCE模型的最佳截断阶数为3，
Figure BDA0002424086560000201
为0.9997，并对所述圆形隧道掌子面的稳定性的失效概率进行计算，获得第一失效概率；
步骤3-4：将所述第一失效概率与由LHS方法对所述圆形隧道掌子面的稳定性计算的第二失效概率进行比较，获得两者相对误差为-1.82％。
在本申请实施例中，为简单起见，岩体的重度、HB标准中采用的扰动系数和圆形隧道掌子面的直径被认为是确定性的，分别为24kN/m3、0和10m。图5给出了本申请实施例圆形隧道掌子面的稳定性的几何结构示意图，其中，(a)为隧道内的掌子面失稳机理示意图；(b)为沿隧道轴线垂直截面的失稳机理示意图。表11为本申请实施例圆形隧道掌子面的随机变量的统计信息和分布类型。
表11
Figure BDA0002424086560000202
在本申请中，变异系数表示标准差除以平均值。
利用表11的参数值进行计算，获得如表12的圆形隧道掌子面的稳定性的可靠度计算结果。
表12
Figure BDA0002424086560000203
上表中：
a表示LHS样本量为5000；
b表示针对圆形隧道掌子面的稳定性计算的第一失效概率与第二失效概率的相对误差。
综上，表6、表10和表12的结果表明，如预期一样，本申请实施例的方法可以自动检测出PCE模型的最佳截断阶数，无需对更高阶数进行进一步测试。在三个可选实施例中，分别发现第2阶、第6阶和第3阶是各自PCE模型的最佳截断阶数，其对应值
Figure BDA0002424086560000211
略高于阈值0.9990，所提出的方法对上述三个实施例的失效概率进行了很好的估计，其相对误差很小(分别为0.09％、-1.79％和-1.82％)，与基于阈值0.9990计算的相对误差的平均绝对值非常一致。
本说明书中的各个实施例均采用递进的方式描述，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处，各个实施例之间相同相似的部分互相参见即可。
以上对本申请所提供的一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法进行了详细介绍，本文中应用了具体个例对本申请的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本申请的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本申请的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处，综上所述，本说明书内容不应理解为对本申请的限制。

Claims (7)

1.一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法，其特征在于，包括：
步骤S1：确定基于随机响应面法CSRSM的岩土工程问题中PCE模型的最大阶数pmax和确定性系数的阈值
Figure FDA0002424086550000011
步骤S2：在所述pmax的范围内，按从低到高的顺序依次计算所述PCE模型第p阶的配置点up、模型真实响应输出yp和未知系数ap；其中，p为正整数且p≥0；
步骤S3：计算所述第p阶的确定性系数
Figure FDA0002424086550000012
包括以下子步骤：
在p＝1时，利用u2、y2和a1计算所述
Figure FDA0002424086550000013
在p>1时，利用up-1…u1,yp-1…y1,和ap计算所述
Figure FDA0002424086550000014
步骤S4：当p＜pmax时，若
Figure FDA0002424086550000015
将所述第p阶作为所述PCE模型的最佳截断阶数；或，当p≥pmax时，将所述第p阶作为所述PCE模型的最佳截断阶数。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，在步骤S2中，所述up的计算步骤包括：
针对所述岩土工程问题中符合标准正态分布的n个随机变量，使用埃尔米特Hermite多项式构建所述PCE模型，计算第p阶的配置点u；
根据所述第p阶的配置点u，确定向量up；
所述yp的计算步骤包括：
针对所述岩土工程问题极限状态函数LSF，使用稳定性力学模型计算所述PCE模型第p阶的真实响应输出yp；
所述ap的计算步骤包括：
针对所述岩土工程问题中符合标准正态分布的n个随机变量，使用Hermite构建所述PCE模型来近似所述岩土工程问题LSF：
Figure FDA0002424086550000016
Figure FDA0002424086550000021
其中，i是所述随机变量的序数；y是根据所述岩土工程问题LSF计算的真实响应输出，等效于yp，g是根据所述PCE模型计算的随机响应输出，ai1i2,…,ip是待估计的未知系数；
Figure FDA0002424086550000022
计算如下：
Figure FDA0002424086550000023
上式中，U是配置点u的大写形式，表示变量，Uip表示第i个随机变量对应的配置点，U表示U的向量，UT表示U矩阵的转置，
Figure FDA0002424086550000024
表示求偏导，e是自然对数的底；
针对n个随机变量，所述PCE模型第p阶的未知系数a的个数为Na：
Figure FDA0002424086550000025
选定所述up处的真实响应输出y，结合最小二乘回归方法，得到向量ap：
ap＝(TTT)-1TTy (4)；
其中，T是维数N×Na的Hermite多项式信息矩阵，N是第p阶所选u的个数，TT表示T矩阵的转置。
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述pmax为6，所述
Figure FDA0002424086550000026
为0.9990。
4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述方法还包括：
根据所述PCE模型的最佳截断阶数和所述最佳截断阶数对应的
Figure FDA0002424086550000027
确定所述岩土工程问题的第一失效概率；
将所述第一失效概率与由蒙特卡罗模拟MCS方法或拉丁超空间采样LHS方法对所述岩土工程问题计算的第二失效概率进行比较，判断两者的相对误差。
5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述岩土工程问题包括矩形地基的沉降；所述方法还包括：
将符合标准正态分布的所述矩形地基的接触应力q0、泊松比v和弹性模量Es作为独立的随机变量；
根据所述随机变量，计算所述矩形地基的沉降增量ΔH；
Figure FDA0002424086550000031
上式中，B为所述矩形地基的宽度，I1、I2和IF为影响因素，m为拐角数；
设定极限沉降(ΔH)limit＝50mm，构建所述矩形地基的沉降LSF：
G(x)＝(ΔH)limit-ΔH (6)；
其中，G(x)是g的等效表达式，x为矢量，表示随机变量；
将所述G(x)结合公式(1)～(4)，计算得到所述矩形地基的沉降中PCE模型的最佳截断阶数为2，
Figure FDA0002424086550000032
为0.9997，并对所述矩形地基的沉降的失效概率进行计算，获得第一失效概率；
将所述第一失效概率与由所述MCS方法对所述矩形地基的沉降计算的第二失效概率进行比较，获得两者相对误差为0.09％。
6.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述岩土工程问题还包括岩质边坡的稳定性；所述方法还包括：
设定对所述岩质边坡的稳定性的影响因数仅有充满水的张性裂缝；
在所述影响因数下，将符合标准正态分布的所述岩质边坡的滑动面粘聚力c、内摩擦角φ、拉伸裂缝深度z、水深与裂缝深度之比r、地震加速度系数α作为相关的随机变量；
根据所述随机变量，构建所述岩质边坡的稳定性LSF：
Figure FDA0002424086550000033
其中，A＝(H-z)/sinψp(8)；
Figure FDA0002424086550000034
N′＝W(cosψp-αsinψp)-U-Vsinψp+Tcosθ (10)；
W＝0.5γH2((1-(z/H)2)cotψp-cotψf) (11)；
U＝0.5γwrzA (12)；
V＝0.5γwr2z2 (13)；
Figure FDA0002424086550000041
上式中，G(x)是g的等效表达式，x为矢量，表示随机变量，H为所述岩质边坡的高，ψf为所述岩质边坡与地面的斜面角度，ψp为滑动面角度，γw为水的重度，T为加固力，θ为所述加固力倾斜的角度，FS表示稳定性系数，zw表示水位高度；
将所述G(x)结合公式(1)～(4)，计算得到所述岩质边坡的稳定性中PCE模型的最佳截断阶数为6，
Figure FDA0002424086550000042
为0.9996，并对所述岩质边坡的稳定性的失效概率进行计算，获得第一失效概率；
将所述第一失效概率与由所述MCS方法对所述岩质边坡的稳定性计算的第二失效概率进行比较，获得两者相对误差为-1.79％。
7.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述岩土工程问题还包括圆形隧道掌子面的稳定性；所述方法还包括：
将符合标准正态分布的所述圆形隧道掌子面的完整岩石的单轴抗压强度σci，由GSI给出的岩体质量mi以及HB准则中的参数作为独立的随机变量；
根据所述随机变量，构建所述圆形隧道掌子面的稳定性LSF：
Figure FDA0002424086550000043
上式中，G(x)为g的等效表达式，x为矢量，表示随机变量，σt是施加在所述圆形隧道掌子面上的支撑压力，σc(x)是由极限分析方法计算的坍塌压力；
将所述G(x)结合公式(1)～(4)，计算得到所述圆形隧道掌子面的稳定性中PCE模型的最佳截断阶数为3，
Figure FDA0002424086550000044
为0.9997，并对所述圆形隧道掌子面的稳定性的失效概率进行计算，获得第一失效概率；
将所述第一失效概率与由LHS方法对所述圆形隧道掌子面的稳定性计算的第二失效概率进行比较，获得两者相对误差为-1.82％。
CN202010214958.6A 2020-03-24 2020-03-24 一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法 Active CN111444608B (zh)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN202010214958.6A CN111444608B (zh) 2020-03-24 2020-03-24 一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN202010214958.6A CN111444608B (zh) 2020-03-24 2020-03-24 一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法

Publications (2)

Publication Number Publication Date
CN111444608A true CN111444608A (zh) 2020-07-24
CN111444608B CN111444608B (zh) 2022-04-19

Family

ID=71652367

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
CN202010214958.6A Active CN111444608B (zh) 2020-03-24 2020-03-24 一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法

Country Status (1)

Country Link
CN (1) CN111444608B (zh)

Citations (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN104615826A (zh) * 2015-02-02 2015-05-13 同济大学 一种复杂岩土工程可靠性分析装置和方法
CN105634018A (zh) * 2015-09-22 2016-06-01 长沙理工大学 一种基于随机响应面法和内点法的含风电随机最优潮流求解方法
CN106548418A (zh) * 2016-12-09 2017-03-29 华北电力大学（保定） 电力系统小干扰稳定评估方法
WO2018188432A1 (zh) * 2017-04-14 2018-10-18 大连理工大学 一种工程结构模态识别的模型定阶方法

Patent Citations (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN104615826A (zh) * 2015-02-02 2015-05-13 同济大学 一种复杂岩土工程可靠性分析装置和方法
CN105634018A (zh) * 2015-09-22 2016-06-01 长沙理工大学 一种基于随机响应面法和内点法的含风电随机最优潮流求解方法
CN106548418A (zh) * 2016-12-09 2017-03-29 华北电力大学（保定） 电力系统小干扰稳定评估方法
WO2018188432A1 (zh) * 2017-04-14 2018-10-18 大连理工大学 一种工程结构模态识别的模型定阶方法

Non-Patent Citations (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
PENG ZENG 等: "A new method to optimize the truncated PCE order of collocation-based SRSM in reliability analysis and its application to geotechnical problems", 《ENGINEERING COMPUTATIONS》 *
何琨 等: "基于稀疏多项式混沌展开的孤岛微电网概率潮流计算", 《电力系统自动化》 *
修临天: "考虑空间变异性的非饱和土浅基础可靠度分析", 《中国优秀硕士学位论文全文数据库 (工程科技Ⅱ辑)》 *
傅方煜等: "基于响应面法的边坡稳定二阶可靠度分析", 《岩土力学》 *

Also Published As

Publication number Publication date
CN111444608B (zh) 2022-04-19

Similar Documents

Publication Publication Date Title
CN111189699B (zh) 一种基于纳米压痕实验的晶体塑性材料参数反演识别的实现方法
CN110321653B (zh) 一种考虑初始损伤状态的地震序列下结构易损性分析方法
CN111914444B (zh) 基于粒子群优化和蒙特卡罗模拟的滑坡有限元区间分析法
CN112199894B (zh) 一种非贯通节理边坡稳定性的可靠度计算方法
Sivasithamparam et al. An anisotropic elastoplastic model for soft clays based on logarithmic contractancy
CN113360983A (zh) 一种边坡可靠度分析与风险评估方法
CN112329349B (zh) 一种边坡可靠度评估方法
CN104281782A (zh) 基于缺口试件的啮合齿轮弯曲疲劳极限评估方法及装置
CN115526483A (zh) 一种盾构隧道结构抗震韧性的快速评价方法以及系统
CN111444608B (zh) 一种岩土工程可靠度分析中最佳截断阶数确定方法
Li et al. A modified cutting‐plane time integration scheme with adaptive substepping for elasto‐viscoplastic models
CN116910889B (zh) 边坡力学参数与卸荷松动区联合反演方法及系统
CN108560619A (zh) 基桩动测承载力的分析方法及系统
CN111931272B (zh) 任意尺度边坡等精度安全系数计算方法及网格划分方法
KR101676580B1 (ko) 동적 효과가 반영된 피크응답계수를 이용한 신뢰성 해석 방법
CN112182729A (zh) 一种基于朴素贝叶斯的隧道掌子面稳定性快速判定方法
Yu et al. Analysis of pressuremeter geometry effects in clay using critical state models
Ceferino et al. Parameter estimation methods for modeling of time and space interactions of earthquake rupture
Kwak et al. Methods for probabilistic seismic levee system reliability analysis
JP2019158730A (ja) 構造物の耐震性判定方法及び構造物の耐震性判定システム
CN108595767A (zh) 一种基于可靠性的海洋立管viv疲劳安全系数的确定方法
CN108563846A (zh) 一种基于可靠性的海洋立管波致疲劳安全系数的确定方法
Meijers et al. Determination Magnitude Scaling Factor for Induced Earthquakes in Groningen, the Netherlands
CN114781018A (zh) 一种沥青混凝土心墙抗拉裂的可靠度计算方法
OГNeill et al. The Effectiveness of Spatial Interpolation of Sparse PCPT Data to Optimise Offshore Design

Legal Events

Date Code Title Description
PB01 Publication
PB01 Publication
SE01 Entry into force of request for substantive examination
SE01 Entry into force of request for substantive examination
GR01 Patent grant
GR01 Patent grant