CN111353246A - 一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及土木工程的结构优化设计技术领域，公开了一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法，具体包括以下步骤：S1：定义初始设计域，载荷和边界条件，设定非劣解控制阈值，进化率和收敛状态控制阈值及相关参数，利用Ansys建立有限元模型并离散结构；S2：选择所有活单元进行有限元分析；S3：进行静力分析和模态分析，计算单元的应变能灵敏度，然后利用Matlab对模态分析结果进行处理，计算单元的频率灵敏度，将数据返回Ansys中；S4：对频率灵敏度和应变能灵敏度进行归一化无量纲处理；S5：根据设置的筛选参数筛选劣等单元并删除；S6：对下一次迭代的删除率进行计算；S7：重复循环S3~S6步，直到结构满足收敛准则。本发明可使优化结果满足工程设计需求。

Description

一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法

技术领域

本发明涉及土木工程的结构优化设计技术领域，尤其涉及一种混凝土构件设 计的静动力多目标拓扑演化方法。

背景技术

近年来，钢筋混凝土构件设计的传统方法较为保守，力学支撑不足，而拓扑 优化正好在这一方面表现出较强的能力，由此，这类前沿方法在工程设计领域的 应用研究开始受到关注。

目前拓扑优化方法主要分为离散体拓扑优化和连续体拓扑优化，前者以 Michell提出的最小质量桁架解为主，后者以Xie等人提出的针对刚度约束的渐 进结构优化(简称ESO)算法和

M.P.等提出的带有惩罚因子的匀质材料 法(简称SIMP法)为主。其中ESO算法因其计算简便，稳定性强，得到了国内外 学者广泛关注，在发展中逐渐演变出了反向渐进结构优化算法(简称AESO)，双 向渐进结构优化算法(简称BESO)、遗传演化优化算法(简称GESO)和加窗渐进结 构演化优化算法(简称WESO)等多种算法。随后，Xie等人在ESO算法的基础上 提出了提高结构一阶主频的动力学优化算法，宋洁等人在ESO算法基础上提出了二次灵敏度概念，对灵敏度计算进行了修正。孙艳想等则在BESO算法的基础 上开展了结构动力学拓扑优化研究，并加入了灵敏度平滑技术使得优化和迭代过 程更加稳定。Lee等人利用惩罚因子完成了深梁最大化自然频率的拓扑优化。D. Tcherniak利用拓扑优化技术对线性谐振马达进行最大频率的幅值优化。

当前大多钢筋混凝土构件拓扑优化仅针对单一静力目标或动力目标，优化结 果受到局限。

如中国专利公告号CN 109299519 A公开了一种混凝土构件拓扑拉压杆加窗 渐进结构优化的方法，包括建立分离式模型，定义模型的初始条件；划分好有限 元单元，通过有限元单元计算出全部单元的米塞斯应力；利用公式和计算出结构 的整体平均应变能及其淘汰单元应变能控制参量，删除设计区域内应力值低于平 均应变能的单元并且记录删除单元的数量：将删除的单元数与全部单数比较；根 据单元删除率调整单元删除数量；重复以上步骤，直到优化的结果大于或等于CV，迭代停止。该方案没有利用多目标优化问题模型解决混凝土构件设计问题， 未将静动力优化结合起来，不利于工程实际应用。

发明内容

本发明的目的在于提供一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法， 经分析，该方法以ESO算法为基础，结合单目标刚度优化算法和频率优化算法 得到归一化后增大结构刚度和一阶固有频率的静动力拓扑优化算法，能将静动力 优化结合起来，可拓展优化算法的应用范围，同时使优化结果满足工程设计需求。

为解决上述问题而采用了一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方 法，具体包括以下步骤：

S1：定义初始设计域，载荷和边界条件，设定非劣解控制阈值，进化率和收 敛状态控制阈值及相关参数，利用Ansys建立有限元模型并离散结构；

S2：选择所有活单元进行有限元分析；

S3：进行静力分析，计算单元的应变能灵敏度，然后进行模态分析，利用 Matlab对模态分析结果进行处理，计算单元的频率灵敏度，将数据返回Ansys 中；

S4：对频率灵敏度和应变能灵敏度进行归一化无量纲处理，计算多目标优化 灵敏度；

S5：根据设置的筛选参数筛选劣等单元并删除；

S6：对下一次迭代的删除率进行计算；

S7：重复循环S3～S6步，直到结构满足收敛准则。

多目标问题区别于单目标问题的最大不同就是多个优化目标之间存在相互 制约，在多目标优化问题中，任意两个解不一定能直接比较出优劣，一般也很难 寻得使各个目标函数同时达到最优的解。由此，常规的寻优思路转化为寻找与其 它劣解相比在多个优化目标中均更优的较优非劣解。多个约束条件的多目标优化 问题的数学模型一般如下：

式中：x代表n个设计变量向量，F(x)代表n个目标函数向量，g_i(x)代表i个约束。本方案以静刚度最大化及增大结构第一阶模态频率作为拓扑优化的两 个设计目标，分别构建相关的灵敏度。

本方案中的主要目标为最大化结构静刚度，以代表结构静刚度的应变能作为 单元灵敏度，即利用ESO算法逐代删除无应力和低应力单元，根据结构整体应变 能改变量的影响程度，求得在给定体积约束下结构获得的最大刚度；另外，逐渐 删除材料一样可以对结构的动刚度产生较大的影响。本方案的次要目标为增大结 构第一阶模态频率，只需在有限元分析之后获得相应的参数，便可在单元层次分 析单元的频率灵敏度，若在迭代优化过程中删除其中灵敏度较大值，即可增大结 构的某阶固有频率，反之亦然。尔后，使用归一化方法中的极值法将单目标优化 问题中的应变能灵敏度和动力灵敏度进行无量纲处理，引入加权组合法对动刚度 和静刚度同步优化。

单目标刚度优化是以应变能的改变量作为判别单元对于整体结构刚度的贡 献度。

进一步地，为在计算单元的应变能灵敏度方面改进，在步骤S3中，计算单 元的应变能灵敏度的具体方法为：

根据结构静力平衡方程和结构整体推导的应变能灵敏度表示为：

其中，K_i为第i号单元的刚度矩阵，u_i为第i号单元的位移向量，C_i为第i 号单元的应变能，ΔC为每次优化迭代后获得的新结构的整体应变能，p为整 体节点荷载向量，u_i为i单元位移向量，V为当前设计域的总体积，单元应变能 灵敏度越大，代表单元对于结构的静刚度贡献越大，反之越小。

在有限元动力优化问题中，以删除单元改变结构频率的量作为单元的频率灵 敏度，当在结构移除某一个单元时，对整体结构的频率改变量即单元的频率灵敏 度。

进一步的，为在计算单元的频率灵敏度方面改进，在步骤S3中，计算单元 的频率灵敏度的具体方法为：

式中：kⁱ和mⁱ分别是被移除单元的单元刚度矩阵和单元质量矩阵，

是被 移除单元的特征向量，

为结构移除某一个单元时，对整体结构的频率改变量，

为固有频率ω_j和

通过瑞利商相互关联，

为移除某个单元引起的频率 变化量，

为被移除单元特征向量，在迭代优化过程中删除频率灵敏度较大 的单元，即可增大结构的动刚度，相反，删除频率灵敏度较小的单元，则可减小 结构动刚度。

由于应变能灵敏度和频率灵敏度有着完全不同的量纲，需要使用归一化方法 中的极值法将单目标优化问题中的应变能灵敏度和动力灵敏度进行无量纲处理， 使得在单目标优化问题中灵敏度较大的单元，无量纲处理之后灵敏度依然是较大 值，从而保证不改变单元灵敏度大小的排序。

进一步地，为在对频率灵敏度和应变能灵敏度进行归一化无量纲处理，以及 计算多目标优化灵敏度方面改进，步骤S4的具体方法为：

灵敏度无量纲化处理如下式：

式中：U_i(x)代表无量纲处理之后的各个目标函数的新灵敏度值，A(x_i)代 表各个目标函数的灵敏度，A_min与A_max代表单目标函数中各自的最小值和最大值，

在单目标灵敏度无量纲处理之后，可以再利用理想点法中的线性加权法构造 新的灵敏度，如下式：

式中：G(x)是通过静动力灵敏度线性加权后获得归一化灵敏度，w₁和w₂分 别代表静刚度权重系数和动刚度权重系数，两值总和为1，c(χ_i)为单目标的静力 灵敏度，c_min为单目标的静力灵敏度最小值，c_max为单目标的静力灵敏度最大值， α(χ_i)为单目标的动力灵敏度，α_min为单目标的动力灵敏度最小值，α_max为单目 标的动力灵敏度最大值。

在单目标的静力优化可能因浮点计算精度和网格依赖等问题引起优化过程 畸变和拓扑结果棋盘格效应，单目标的动力优化还可能出现模态震荡致使结构优 化效果不佳。

进一步地，为了避免上述问题，在筛选和删除劣等单元方面改进，步骤S5 的具体方法为：

在完成归一化灵敏度计算之后，按下式计算优解筛选值α_j：

式中：μ^*非劣解控制阈值，若归一化灵敏度小于优解筛选值则判定单元为 劣解，劣等单元数量用nei表示，所有单元数量用nel表示。

进一步地，为在计算下一次迭代的删除率方面改进，步骤S6的具体方法为：

采用自适应单元删除准则，将删除单元的数量控制在下列三种情况：

式中：μ′代表新的删除率，ER表示进化率，n表示单元数量控制值。

进一步地，为在优化结构直至满足收敛准则方面进行改进，步骤S7中满足 收敛准则的判定方法为：

为了评价结构每代的优劣以及判定最优结构，定义了以下的PI^*值和FI^*作 为优化结果的性能评价指标，所述PI^*值和FI^*值为收敛状态控制阈值：

式中：C₀和V₀表示初始的总应变能和体积，C_i和V_i表示第i次迭代后的总 应变能和体积，ω_i代表当次迭代的一阶圆频率，ω₀代表初始域的一阶圆频率。

PI^*值为结构的静刚度性能指标，其值越大，表示结构体积越小，优化程度 越高，但结构在给定荷载下的位移越小，优化的结果越理想，FI^*为结构的动刚 度性能指标，其值越大，则代表结构的动刚度越大，在频响应荷载作用下结构的 最大位移越小，本发明选取PI^*值和FI^*值作为收敛状态控制阈值，表明优化结 果的优劣程度

进一步地，PI^*值的取值范围优选为0.9～0.95。

进一步地，所述混凝土构件优选为深受弯构件。

进一步地，所述深受弯构件优选为深梁或短梁。

本发明基于单目标应变能灵敏度和频率灵敏度与多目标优化理论结合做出 如下四个方面的改进。

一是在迭代计算中引入PI^*值和FI^*值，表明优化结果的优劣程度。PI^*值 为结构的静刚度性能指标，其值越大，表示结构体积越小，优化程度越高，但结 构在给定荷载下的位移越小，优化的结果越理想；FI^*值为结构的动刚度性能指 标，其值越大，则代表结构的动刚度越大，在频响应荷载作用下结构的最大位移 越小。

二是在算法中引入了多目标优化理论，将常规的寻优思路转化为寻找与其它 劣解相比在多个优化目标中均更优的较优非劣解。多目标优化算法相较于单目标 优化算法能够兼顾静力和动力优化，不论是性能指标或是单元的布置位置都更加 合理，更加符合实际工程应用的需求。

三是将单目标优化算法中的应变能灵敏度和频率灵敏度结合，组成静动力多 目标优化灵敏度，即可反映结构中删除某个单元对整体的刚度和频率造成的影响。

四是设置一套自适应的单元删除条件。单目标静力优化中可能出现优化过程 畸变和拓扑结果棋盘格效应问题，单目标动力优化中可能出现的模态震荡致问题， 为了避免以上问题，在完成归一化灵敏度计算之后，根据上一步迭代计算中删除 单元的数量，自动调整本次迭代单元删除数量。通过自适应的单元删除条件，改 进了传统删除准则中用经验方法设定固定删除率导致优化计算前期效率较低，后 期删除单元过多导致优化结果不理想的弊端。

附图说明

图1为静动力优化算法流程示意图。

图2为集中荷载作用下的两端固定铰支短梁示意图。

图3为权重系数w1＝0.5w2＝0.5时拓扑过程示意图。

图4为其他算例设计域示意图。

图5为两端固支短梁静动力拓扑优化示意图。

图6为两端固支深梁静动力拓扑优化示意图。

图7为跨中顶部集中荷载作用下的两端简支梁深受弯构件示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、 完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的 实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前 提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例1

如图2所示，一两端固定铰支短梁处于平面应力状态，长度l＝2000mm，截 面高度h＝500mm，厚度t＝50mm，材料的弹性模量E＝2.06×10⁵N/mm²，泊松 比为ν＝0.2，ρ＝7.9×10^-6kg/mm³，跨中作用P＝50kN的集中荷载。

为便于计算，设计如图1所示的算法，优化在ANSYS有限元平台上进行， 初始拓扑如图5(a)所示，为2m×0.5m的矩形区域，使用Plane42单元进行离散， 以最大化结构静刚度作为主要目标，以增大结构第一阶模态频率作为次要目标， 以最终优化体积为初始设计域的40％为体积约束，非劣解控制阈值取为0.1，评 判值进化率为0.005，单元数量控制值为1.5。图3(b)～(d)所示为该短梁在权重系 数为w₁＝0.5，w₂＝0.5时的拓扑过程。

从最优拓扑可以看出，在结构中部和两侧受力较小的部分随着优化进行被逐 渐删除，荷载由上部和中部的四根压杆向支座传力，使得结构在集中荷载下能保 持较低水平的位移值，此时优化结果中PI^*值已降到0.92，但同时将更多单元分 布到四周，使得结构一阶固有频率提升，此时已达到9.05Hz，比初始结构提升 了10％，这表明多目标优化结果在保证结构静刚度性能的同时，动刚度性能也得 到了提升。

再根据这一静动力多目标优化拓扑解，做出如下设计建议。深梁是一种复杂 应力构件，其传力机理相较浅梁更为复杂，更会在应力集中处产生紊流。将优化 结果划分为如图所示的受压区和受拉区两个部分，图7(a)中浅色部分表示在钢 筋混凝土构件中，承担压应力的混凝土区域，图7(a)中深色部分表示承担主拉 应力的钢筋部分，根据图示拓扑解可得当构件两端简固支时受拉区和受压区配筋 建议：

(1)从钢筋混凝土构件配筋设计的角度，一方面应在梁底部以纵筋或预应 力筋的形式布置一根通长拉杆，以期抵抗结构中的最大拉应力，另一方面将梁底 面中部压杆范围外底部的抗拉钢筋斜向上约30度和45度弯起，如图7(b)所示。

(2)当构件支座约束位于两端时，短梁上部的压杆设计是重点，根据拓扑 解可得在相应荷载下短梁受压区域面积，根据ACI 318-14规范所述，受压区混 凝土中部会应压力而形成瓶型压杆，故一方面当外加荷载较小时，设置压杆横截 面上的箍筋以控制压力传递下压杆的变形，另一方面可以在短梁跨中顶部设置受 压钢筋加强区连接四根压杆的顶端，如图7(c)所示；当外加荷载较大时，可直 接于构件顶部设置型钢拱，如图7(d)所示，以承受结构主要压力。

实施例2

为了验证静动力多目标拓扑优化算法的稳定性，本算例完成了两端固支短梁 和两端固支深梁的优化，设计域如图4所示，厚度均为t＝50mm，权重系数均选 用w1＝0.5，w2＝0.5，跨中顶部均施加50kN的集中荷载，其余参数设置同实施例 1。

图5与图6为上述算例的静动力拓扑优化过程及结果，它们均例1的算例有 着类似的优化过程，不断删除结构跨中腹部的单元，从而使得拓扑结构在体积不 断减小的同时，保留了主要传力路径上的杆件，因而维持了一定的刚度，同时一 阶主频不断提升。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能 认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的技术人员 来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干等同替代或明显变型，而 且性能或用途相同，都应当视为属于本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法，其特征在于，具体包括以下步骤：

S1：定义初始设计域，载荷和边界条件，设定非劣解控制阈值，进化率和收敛状态控制阈值及相关参数，利用Ansys建立有限元模型并离散结构；

S2：选择所有活单元进行有限元分析；

S3：进行静力分析，计算单元的应变能灵敏度，然后进行模态分析，利用Matlab对模态分析结果进行处理，计算单元的频率灵敏度，将数据返回Ansys中；

S4：对频率灵敏度和应变能灵敏度进行归一化无量纲处理，计算多目标优化灵敏度；

S5：根据设置的筛选参数筛选劣等单元并删除；

S6：对下一次迭代的删除率进行计算；

S7：重复循环S3～S6步，直到结构满足收敛准则。

2.如权利要求1所述的一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法，其特征在于，在步骤S3中，计算单元的应变能灵敏度的具体方法为：

根据结构静力平衡方程和结构整体推导的应变能灵敏度表示为：

其中，K_i为第i号单元的刚度矩阵，u_i为第i号单元的位移向量，C_i为第i号单元的应变能，ΔC为每次优化迭代后获得的新结构的整体应变能，p为整体节点荷载向量，u_i为i单元位移向量，V为当前设计域的总体积。

3.如权利要求2所述的一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法，其特征在于，在步骤S3中，计算单元的频率灵敏度的具体方法为：

式中：kⁱ和mⁱ分别是被移除单元的单元刚度矩阵和单元质量矩阵，

是被移除单元的特征向量，

为结构移除某一个单元时，对整体结构的频率改变量，

为固有频率ω_j和

通过瑞利商相互关联，

为移除某个单元引起的频率变化量，

为被移除单元特征向量。

4.如权利要求3所述的一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法，其特征在于，步骤S4的具体方法为：

灵敏度无量纲化处理如下式：

式中：U_i(x)代表无量纲处理之后的各个目标函数的新灵敏度值，A(x_i)代表各个目标函数的灵敏度，A_min与A_max代表单目标函数中各自的最小值和最大值，

在单目标灵敏度无量纲处理之后，可以再利用理想点法中的线性加权法构造新的灵敏度，如下式：

式中：G(x)是通过静动力灵敏度线性加权后获得归一化灵敏度，w₁和w₂分别代表静刚度权重系数和动刚度权重系数，两值总和为1，c(χ_i)为单目标的静力灵敏度，c_min为单目标的静力灵敏度最小值，c_max为单目标的静力灵敏度最大值，α(χ_i)为单目标的动力灵敏度，α_min为单目标的动力灵敏度最小值，α_max为单目标的动力灵敏度最大值。

5.如权利要求4所述的一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法，其特征在于，步骤S5的具体方法为：

在完成归一化灵敏度计算之后，按下式计算优解筛选值α_j：

式中：μ^*非劣解控制阈值，若归一化灵敏度小于优解筛选值则判定单元为劣解，劣等单元数量用nei表示，所有单元数量用nel表示。

6.如权利要求5所述的一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法，其特征在于，步骤S6的具体方法为：

采用自适应单元删除准则，将删除单元的数量控制在下列三种情况：

式中：μ′代表新的删除率，ER表示进化率，n表示单元数量控制值。

7.如权利要求6所述的一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法，其特征在于，步骤S7中满足收敛准则的判定方法为：

为了评价结构每代的优劣以及判定最优结构，定义了以下的PI^*值和FI^*作为优化结果的性能评价指标，所述PI^*值和FI^*值为收敛状态控制阈值：

式中：C₀和V₀表示初始的总应变能和体积，C_i和V_i表示第i次迭代后的总应变能和体积，ω_i代表当次迭代的一阶圆频率，ω₀代表初始域的一阶圆频率。

8.如权利要求7所述的一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法，其特征在于，所述PI^*值的取值范围为0.9～0.95。

9.如权利要求1-8任一项所述的一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法，其特征在于，所述混凝土构件为深受弯构件。

10.如权利要求9所述的一种混凝土构件设计的静动力多目标拓扑演化方法，其特征在于，所述深受弯构件为深梁或短梁。

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