CN109299519A - 一种混凝土构件拓扑拉压杆加窗渐进结构优化的方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种混凝土构件拓扑拉压杆加窗渐进结构优化的方法，用于钢筋混凝土结构领域中的结构优化以及力学领域中的结构优化，包括建立分离式模型，定义模型的初始条件；划分好有限元单元，通过有限元单元计算出全部单元的米塞斯应力；利用公式和计算出结构的整体平均应变能及其淘汰单元应变能控制参量，删除设计区域内应力值低于平均应变能的单元并且记录删除单元的数量：将删除的单元数与全部单数比较；根据单元删除率调整单元删除数量；重复以上步骤，直到优化的结果大于或等于C*V，迭代停止。本发明避免删除的单元会对结构整体造成过多影响，解决了优化结果的畸变，并且不会降低计算效率。

Description

一种混凝土构件拓扑拉压杆加窗渐进结构优化的方法
技术领域
本发明涉及钢筋混凝土结构领域及力学领域的优化方法，具体涉及一种混凝土构件拓扑拉压杆加窗渐进结构优化的方法。
背景技术
结构优化从工程的角度上来看就是再众多设计方案中挑选出最优的设计方法来设计施工，也就是利用数学方法，在满足约束条件的情况下，寻找目标函数的最大或最小值，从而在尽可能的降低我们的施工成本的同时，还能保证结构能够达到规范的要求。
渐进结构优化(以下简称ESO)算法是1993由澳大利亚G.P.Steven和Y.M.Xie共同提出的一种以不断删除初始域中低效材料，从而演化出类似桁架的最优结构的拓扑优化思想。通过一个很简单的例子可以说明渐进结构优化算法的优越性，如图1所示一个在重力作用下悬挂着的重物，通过ESO算法逐渐删除其中的低效单元，最后变成一个如苹果般的形状。
ESO算法是在结构完整和约束的作用下，逐步删除应力水平低的单元，使整个结构向平面或者空间桁架结构的方向演化。应力低的单元被舍弃，从而使整个结构的应力水平更加均匀，材料的强度能够得到充分的发挥，使整个结构的布局趋向最优。但是在实际计算中，存在如下三个问题，使得ESO计算结果达不到实际工程应用的要求。
(1)传统的ESO算法计算效率较低，在每次迭代计算中单元应变能大小排序过程需要较长时间，图2中的深梁仅划分成5000个单元，在一般配置的计算机上大约需运行2～4小时方可得到图3的拓扑，当结构的单元数更多或需要进行高阶运算时，需要的时间更是成倍增加，使得这类方法的实用性较低，况且这仅是构件的优化，如果上升到结构优化，几乎不能完成。
(2)传统的ESO算法选择了固定的单元删除数量或删除率，并且删除的单元不可恢复，有可能过早的删除了有效的单元，这就可能引起同一代删除的单元应力水平较离散，这在某种程度上也增大了优化结果畸变的可能性。
(3)传统的ESO算法得到的拓扑结果易出现棋盘格现象。图2两端简支深梁，在集中荷载作用下的拓扑优化(全文均以ANSYS通用有限元软件作为分析和优化平台，其初始设计域如图2所示，结构分析过程中，采用四节点平面四边形单元对结构进行离散，有限元网格划分为2mm×2mm，删除率设定为1％，图3为体积率为15％时的拓扑，不难发现，该结果棋盘格现象比较明显，且左侧的拉杆与右侧拉杆出现明显的差别，对于荷载、约束都对称的对称结构，这显然是出现了一种畸变。我们将这种现象称为棋盘格现象，其指在ESO分析中，一阶线性单元过高的估计了单元节点的刚度，使得实体单元之单点连接构型如图3所展示的，出现了某种畸变，使得优化结果是在数学上刚度最优，但是在物理上不是最优。
发明内容
ESO中主要有三个问题：计算效率低、结果畸变和棋盘格现象，其中畸变和棋盘格现象在选用高阶的有限元单元后可以一定程度上得到解决，但由此带来的计算效率问题则更加突显。经分析，导致传统的ESO算法存在上述问题的一个重要原因即不合理的单元删除准则。因此，本发明在ESO的基础上做出如下两个改进，以解决ESO中计算效率低、结果畸变和棋盘格现象等三个问题。
一是在每次迭代计算中，引入结构整体平均应变能概念，并将其乘以缩小系数作为单元删除的控制条件，这样不仅不需要对离散单元应变能排序，而且避免了传统删除准则中，以删除率为控制条件，而不能保证每次迭代计算中，删除单元的应变能始终保持在可以忽略的水平(即错将应变能较大的单元删除)，最终导致计算结果陷入局部最优的弊端。是通过改变固定删除率的方法。
二是设置一套自适应的单元删除条件，即根据上一步迭代计算中删除单元的数量，自动调整本次迭代单元删除数量。通过自适应的单元删除条件，舍弃了传统删除准则中用经验方法设定固定删除率的弊端；同时在优化计算前期，低效单元数量较多，而传统ESO算法中固定删除率将降低计算效率，但在优化计算后期单元数量较少时，固定删除率将使删除单元过多，最终导致优化结果不理想，甚至优化计算中断。
本发明通过改进可以达到提高优化效率和使单元删除过程更合理的目的，将此改进后的方法称作加窗渐进结构优化算法(Windowed Evolutionary StructuralOptimization，简称WESO)。
首先说明本发明的基础优化理论：
在有限元中，结构的静力平衡方程可表示为：
Ku＝P (1)
其中，K为总刚度矩阵，u为全局节点位移向量，P为节点荷载向量。
在荷载向量不变的条件下，结构的整体刚度可由整体应变能间接表示，整体应变能的公式定义为：
其中，Ki为第i号单元的刚度矩阵，ui为第i号单元的位移向量，Ci为第号单元的应变能。
当第i号单元在结构中被删除时，方程(1)可表示为：
其中，表示对第i号单元扩维后的刚度矩阵，Δu表示位移向量的变化量。
在不考虑单元自重变化，且基于一阶导数的灵敏度分析的条件下，用方程(1)减去方程(3)，可以得到位移的变化量：
将方程(4)代入方程(2)后整理可得单元的应变能变化量ΔC为：
通过方程(1)到方程(5)的推导可以求得每代优化后结构整体应变能C。
当第i号单元在结构中被删除时，方程(1)可表示为：
其中，表示对第i号单元扩维后的刚度矩阵，Δu表示位移向量的变化量。
在不考虑单元自重变化，且基于一阶导数的灵敏度分析的条件下，用方程(1)减去方程(3)，可以得到位移的变化量：
将方程(4)代入方程(2)后整理可得单元的应变能变化量ΔC为：
通过方程(1)到方程(5)的推导可以求得每代优化后结构整体应变能C。
基于应变能灵敏度分析的ESO优化目标是寻找满足荷载和约束条件下结构最轻但刚度最大的结构，其结束循环的判定表示为：
CV≤C*V (6)
其中，C*是C的指定上限，V为优化域的体积。当结构中的一个单元被删除时，结果总刚度减小，应变能C则相应的增加。传统的ESO算法就是利用公式(2)和公式(5)推算出每代优化后新的结构整体应变能，然后用公式(6)判定结果是否已经达到上限，若此时的CV依然小于C*V，则继续删除应力小的单元，一直到CV大于或等于C*V时就结束优化。
本发明的改进点：
而WESO就是在ESO的基础之上引入方程(7)和方程(8)：
为结构整体平均应变能，Ci,Vi为分别为第i号单元的应变能和体积(面积)，n为设计域内活单元总数。
利用公式(7)来取代原本需要用公式(2)和公式(5)来推导的结构整体应变能。由这个改进可知，当选取节点数越多的单元来离散结构，计算出的单元应变能就越精确，从而获得的结构整体平均应变能精度越高；相较于传统ESO的删除准则，删除单元之前需要将单元的应变能从小到大的排序，这必将降低优化效率，为跳过排序过程，再将方程(7)做如下的变换：
其中，C′为淘汰单元应变能控制参量，以此将设计域内应变能小于C′的离散单元删除；pq为应变能缩小系数(此值是在结构优化前预先设定，目的是为了保证应变能控制参数相对于整体应变能总是保持在可以忽略的水平)。
由方程(8)可知，通过引入C′不仅摒弃了ESO算法中的排序过程，而且每次迭代删除单元的应变能都保持在相对较低的水平。
为防止每次迭代计算中临界单元(单元应变能接近C′)出现删除不合理现象，计算中同时添加了删除单元数量自适应调整窗口。其中，Chu的研究表明ESO算法每迭代步删除的单元删除率在1％～2％为最佳。所以本方法根据此研究成果划分三种情况来调整单元删除的数量。
情况一：当次迭代中删除单元数少于当代活单元数的1％时，本次迭代计算结束后pq做如下变换：
pq′＝pq+ER (9)
ER表示进化率，方程(8)是为了保证下一次迭代计算中增加删除单元数目。
情况二：当删除单元数占该代活单元数量的1％～2％，但pq′值小于定值a时(a值的设定是为了防止应变能缩小系数增长过大而预先设置)，本次迭代计算结束后pq′做如下变换：
情况三：当删除单元数大于2％或pq′值大于定值时，本次迭代计算结束后则做如下变换：
pq′＝pq+ER (11)
通过上述对删除单元数量的控制条件，每次迭代计算中，不仅使单元删除数量总是保持在一个相对稳定的水平；而且保证了删除单元的应变能相对于结构整体来说，始终保持在可以忽略的水平。
因此，基于上述技术原理，本发明的一种混凝土构件拓扑拉压杆加窗渐进结构优化的方法，包括以下步骤：
第1步：建立分离式模型，定义模型的初始条件；
第2步：划分好有限元单元，通过有限元单元计算出全部单元的米塞斯应力；
第3步：利用公式(7)与公式(8)计算出结构的整体平均应变能及其淘汰单元应变能控制参量，删除设计区域内应力值低于平均应变能的单元并且记录删除单元的数量；
第4步：将删除的单元数与全部单数比较。当删除的单元数量小于1％时，将pq变换成pq′＝pq+ER；当除的单元数量占整体的1％～2％时，将pq变换成当删除的单元数大于2％或pq′值大于定值时，将pq变换成pq′＝pq+ER。ER表示进化率。
第5步：重复2～4步，直到优化的结果大于或等于C*V，迭代停止，输出此时优化好的结构。
传统ESO算法在单元删除准则中，首先采用冒泡法对设计域内离散单元的应变能大小进行排序，其次，按设定的进化率应变能由小到大删除固定数量的单元，然后得到一次优化后的结构，对其内新的离散单元，再次进行应变能大小的排序，然后按照由小到大的顺序，再次删除固定数量的单元，重复这个步骤，直到结构成为满足荷载和约束条件下结构最轻但刚度最大的结构。
本发明提供的算法则在ESO算法删除单元的步骤中引入结构整体平均应变能，由于考虑了结构当前的应变能与面积之比，使得计算出的单元应变能更加精确，从而使结构整体平均应变能精度更高；再引入淘汰单元应变能控制参量，摈弃传统ESO中的冒泡排序过程，可以使得每次删除的单元应变能保持在可以忽略的水平；再添加删除单元数量自适应调整窗口，按照不同的条件来确定每一代应删除的单元数量，避免了传统ESO计算中会删除过多单元的问题，这样就能避免删除的单元会对结构整体造成过多影响，解决了优化结果的畸变，并且不会降低计算效率。
如果采用ESO算法，划分的单元数较少则会出现结构畸变和棋盘格现象，而采用WESO算法，在划分了相同的单元数量之后，优化结果并不会出现畸变和棋盘格现象，计算的效率也并不会降低。
附图说明
图1为背景技术中重力作用悬挂下的ESO优化结果；
图2为背景技术初始设计域；
图3为背景技术简支深梁的拓扑优化结果；
图4为本发明的WESO的流程图；
图5为实施例1初始设计域；
图6为实施例1两点铰支的平面模型Michell解；
图7为实施例16WESO法计算结果；
图8为实施例2初始计算域；
图9为Plane42单元ESO计算结果；
图10为Plane42单元WESO计算结果；
图11为Plane82单元ESO计算结果。
具体实施方式
结合实施例说明本发明具体技术方案。
实施例1
Michell理论是结构优化算法中解析方法的代表，Michell桁架的一个重要特征是结构完全是满应力状态，对于给定的体积，Michell桁架具有最小的结构应变能，因此，对于任意的应力水平，Michell桁架是重量最小且刚度最大的桁架。而本发明的WESO算法的优化目标正是试图达到一种Michell桁架型的桁架拓扑。
如图5所示，两点铰支撑的平面板，L＝100mm,假定材料弹性模量E＝2.07×109N/mm2，泊松比υ＝0.3，板的厚度为2mm，将图2所示初始设计域选用八节点平面四边形单元进行离散，网格大小为2mm×2mm，集中荷载P沿中线从底部至顶部每隔L/2作用一次。对图5所示模型在集中荷载F作用于不同位置时相应的Michell桁架解做了深入的研究，其相应的Michell解如图6所示。
采用如图4的流程，用WESO算法对图5所示初始设计域进行拓扑优化，其中pq＝0.05，ER＝0.001，a＝0.3。体积率为10％时相应的优化结果如图7所示。
由图7可知，图5中集中荷载P作用于不同位置时力的传递方式各不相同，其中(a)(e)(f)为直接传递，(b)(d)为间接传递，但(c)中力的传递方式较为复杂，不仅有直接传递而且还有间接传递。众所周知，实际工程中作用于结构上的荷载传递方式也正如图7中的三种情况。
由图7的计算结果可知，不同受力状态下WESO算法的计算结果与Michell解相同，WESO算法不仅能准确的找到结构的最优解，且拓扑结果未出现棋盘格现象。以上的对比分析验证了WESO算法的可行性。
实施例2
图8为三点承载的简支梁，梁跨度为200mm，高度为100mm，厚度为5mm，三个加载点同时作用于梁的1/4、1/2、3/4处，假设弹性模量E＝2.07×107N/mm2，泊松比υ＝0.3。结构处于平面应力状态，同时为了对比两种计算方法在不同类型单元选取情况下，计算结果的差异，分别选用低阶的四节点平面四边形单元(plane42)和高阶的八节点平面四边形单元(plane82)进行对结构进行离散，有限元网格划分为2mm×2mm。计算中，ESO算法的删除率为1％；WESO算法定义的初始值pq＝0.05，ER＝0.001，pq'＝0.3。相同体积约束下，两种算法的PI值和计算时间如表1所示，相应的计算结果如图9～图11示。
表1 两种算法结果比较
由表1中相同体积约束条件下两种算法结果的对比可知，选用相同平面四边形单元时，ESO算法用时是WESO算法的37倍左右，且PI值始终大于WESO算法，由此证明WESO算法不仅提高了计算效率，而且计算结果也是最优的；选用不同阶平面四边形单元时，ESO算法的计算效率仍然远小于WESO算法，但由于高阶单元的节点数是低阶单元的2倍，所以在离散单元应变能计算中低阶单元的平均应变能高于高阶单元，从而导致即使低阶单元的PI值小于高阶单元，但拓扑结果不一定是最优，即选用高阶单元能提高计算灵敏度，从而避免结构优化计算中可能出现的局部最优解现象。
图9、图10和图11对比可得，WESO算法不仅可以消除孤立单元群体现象得到平滑的拓扑解，而且其拓扑结果与选用高阶平面单元的ESO算法相当；(c)与(d)对比，两种拓扑结果有明显差异，且(d)中PI值低于(c)，由此证明WESO算法的拓扑结果优于ESO算法；(a)与(c)、(b)与(d)对比发现，在单元选取不同的情况下，即使低阶单元的PI值较低，但选用高阶单元的拓扑结果比低阶单元更优，从而验证了上文中提出的：PI值只能用于选取相同有限元单元间结构优越性的判定。
本算例是一个典型的刚度优化问题，通过上述对比分析，首先证明了WESO算法有着较高的优化效率；其次在相同条件下，WESO算法能找到比ESO算法刚度更优的结构拓扑形态，将WESO算法与高阶单元相结合，不仅计算效率高且能避免结构陷入局部最优解的问题；最后，通过对比发现：在选取同一种单元的条件下，PI值可以作为评判结构刚度大小的标准，否则不一定适用。

Claims (2)

1.一种混凝土构件拓扑拉压杆加窗渐进结构优化的方法，其特征在于，包括以下步骤：
第1步：建立分离式模型，定义模型的初始条件；
第2步：划分好有限元单元，通过有限元单元计算出全部单元的米塞斯应力；
第3步：利用公式(1)与公式(2)计算出结构的整体平均应变能及其淘汰单元应变能控制参量，删除设计区域内应力值低于平均应变能的单元并且记录删除单元的数量；
为结构整体平均应变能，Ci,Vi为分别为第i号单元的应变能和体积，n为设计域内活单元总数；
其中，C′为淘汰单元应变能控制参量，以此将设计域内应变能小于C′的离散单元删除；pq为应变能缩小系数；
第4步：将删除的单元数与全部单数比较；根据单元删除率调整单元删除数量；
第5步：重复2～4步，直到优化的结果大于或等于C*V，迭代停止，输出此时优化好的结构。
2.根据权利要求1所述的一种混凝土构件拓扑拉压杆加窗渐进结构优化的方法，其特征在于，所述的第4步中，单元删除率在1％～2％，以此标准分三种情况调整单元删除数量：
当删除的单元数量小于1％时，将pq变换成pq′＝pq+ER；当除的单元数量占整体的1％～2％时，将pq变换成当删除的单元数大于2％或pq′值大于定值时，将pq变换成pq′＝pq+ER；ER表示进化率。
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