CN111142562B - 基于应力矩阵的混合条件约束下的编队变换控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于应力矩阵的混合条件约束下的编队变换控制方法，目的是为解决在二维平面下，针对在混合约束条件下的多智能体编队变换控制问题，该方法是在采用领航跟随控制策略。只要三个智能体就可以获取由方位和距离所规定的期望队形信息，并且其它的智能体能够感知相邻智能体在其局部坐标系下的相对位置的前提，引入应力矩阵以使用仿射编队控制，使得在二维平面只要控制三个智能体的几何形状和大小就可以形成或者改变期望的编队队形。本方法解决了一个工程实际中存在的问题，在很好完成控制朝向的任务时，降低了软硬件的成本，还提高了系统的鲁棒性。

Description

基于应力矩阵的混合条件约束下的编队变换控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于应力矩阵的混合条件约束下的编队变换控制方法，属于智能控制技术领域。

背景技术

由于近些年来多智能体协同控制在复杂危险环境下的搜索救援、工业生产中的协同操作以及无人机娱乐表演等方面有大量的实际应用，对于多智能体协同控制的研究得到了学术界和工业界广泛的关注。在执行复杂环境下搜索任务时，多智能体编队技术在扩大搜索范围、提升搜索效率以及提高目标识别的准确性上有重要作用；在无人机高空飞行时，编队飞行不仅可以增强系统的稳定性，还可以降低总体的能源消耗。因此，对于编队队形保持有了大量的研究。但是，多个智能体在执行任务时，由于地形因素或是需要躲避攻击，编队需要及时做出改变。因此，编队变换的研究成了近期研究的特点。

针对编队变换控制问题，现有以下几种主要的解决方案：

方案1：文献(Z.Lin,L.Wang,Z.Han,and M.Fu,“Distributed formation controlof multi-agent systems using complex laplacian,”IEEE Transactions onAutomatic Control,vol.59,no.7,pp.1765–1777,jul 2014.)和文献(T.Han,R.Zheng,Z.Lin,and M.Fu,“A barycentric coordinate based approach to formation controlof multi-agent systems under directed and switching topologies,”in 2015 54thIEEE Conference on Decision and Control(CDC).IEEE,dec 2015.)分别提出了基于复拉普拉斯的控制策略和基于重心坐标的控制策略，与传统的基于位置、距离、相对位置和方位的控制方法相比，这两种方法可以使得编队队形同时获得在时变情况下具有伸缩、平移和旋转的自由度，但是只限于在二维平面，当扩展到三维空间时，这两个方法不在适用。

方案2：文献(Z.Lin,Z.Chen,and M.Fu,“A linear control approach todistributed multi-agent formations in d-dimensional space,”in 52nd IEEEConference on Decision and Control.IEEE,dec 2013.)中，利用权值可正可负的广义图拉普拉斯矩阵，设计了一种控制律，使各智能体收敛于标称位形的仿射空间。文献(Z.Lin,L.Wang,Z.Chen,M.Fu,and Z.Han,“Necessary and sufficient graphical conditionsfor affine formation control,”IEEE Transactions on Automatic Control,vol.61,no.10,pp.2877–2891,oct 2016.)中，给出了对于一个拓扑结构，实现仿射编队的可实现性和稳定性的充分必要条件。文献(S.Zhao,“Affine formation maneuver control ofmultiagent systems,”IEEE Transactions on Automatic Control,vol.63,no.12,pp.4140–4155,dec 2018.)指出至少选择d+1个点张成d维仿射空间，使得所有智能体收敛到期望的编队队形。文献(Q.Yang,Z.Sun,M.Cao,H.Fang,and J.Chen,“Stress-matrix-based formation scaling control,”Automatica,vol.101,pp.120–127,mar 2019.)中，利用应力矩阵，研究了编队伸缩问题，设计了一种用以获取编队伸缩参数的分布式估计器。文献(Q.Yang,M.Cao,H.Fang,and J.Chen,“Constructing universally rigidtensegrity frameworks with application in multiagent formation control,”IEEETransactions on Automatic Control,vol.64,no.1,pp.381–388,jan 2019.)中，提出了一种构造普遍刚性框架的数值算法，并在此基础上设计了距离约束下的编队控制律。

方案3：文献(A.N.Bishop,T.H.Summers,and B.D.Anderson,“Control oftriangle formations with a mix of angle and distance constraints,”in 2012IEEEInternational Conference on Control Applications.IEEE,oct 2012.)中，使用两个内角和一条边的距离的混合约束，控制三个智能体使其形成一个三角形编队，但是只能保证局部稳定。

本发明受上述方案的启发，提出一种基于应力矩阵的混合约束下多智能体编队变换控制方法。在由n(n＞3)个智能体组成的编队中，在只有3个智能体可以接收由角度和距离定义的几何信息情况下，设计控制律，使得编队形成期望的队形。只改变边角约束，能够实现整个团队的队形变换，这使得编队变换变得更为灵活，不需要给每一个智能体发送新的队形信息，减少了系统的控制输入。在只有一个智能体知道全局坐标系朝向的情况下，完成了对编队队形的朝向控制。

发明内容

本发明考虑在二维平面下，针对在混合约束条件下的多智能体编队变换控制问题，提出了一种基于应力矩阵的混合条件约束下的编队变换控制方法。本发明采用领航-跟随控制策略，受边角约束的智能体作为领航者，受应力控制的智能体作为跟随者。

实现本发明的技术方案如下：

考虑由n个智能体组成的多智能体系统在二维平面上运动，智能体之间的交互关系由一个无向图

来表示，无向图中的顶点集合由

表示，每一个顶点对应一个智能体，无向图中的边由集合

表示，对应智能体之间的通信或感知关系。智能体顶点的邻居集合由

表示，智能体顶点的邻居集合是指可以通信或感知的智能体顶点集合；为了描述的简洁和清楚性，以下所有关于智能体表述，都是指的在无向图上的智能体顶点。

步骤1：针对n个智能体组成的多智能体系统，设定三个智能体形成三角形编队。

这三个智能体为领航者，分别用a、b、c表示，它们的要求是：b号智能体通过测量其他两个智能体与自己的方位角，得到夹角θ_b，a号和c号智能体用来测量与b号智能体之间的距离。设定b号智能体能够感知全局坐标系的朝向，即在b号智能体上加入朝向控制约束。

b号智能体所测方位角为φ_ba、φ_bc∈[0,2π)，从b号智能体的局部坐标系的x轴方向出发，逆时针方向为正，顺时针方向为负。

引入辅助角变量σ_b，定义为

σ_b＝φ_ba-φ_bc (1)

则被控的角度θ_b，定义为

b号智能体的动力学模型可写成

其中，f_b参看公式(4)可得到，β_b参看公式(6)可得到，

而，B_ba参看公式(10)，而

为B_ba的期望值，k_B＞0为调试参数；

在角度控制作用下，b号智能体的运动速度大小为f_b，形式为

其中，k_b＞0为调试参数。

为θ_b的期望值。

引入辅助角变量ψ，定义为

ψ＝φ_bc+γ_bθ_b (5)

其中，γ_b∈(0,1)为调试参数，则b号智能体的运动方向β_b定义为

智能体b与a、c之间的距离定义分别为：

d_ba＝||q_b-q_a|| (7)

d_bc＝||q_b-q_c|| (8)

其中，q_a、q_b和q_c分别表示智能体a、b和c的位置坐标。

a和c号智能体的动力学模型考虑成单积分器模型，即

其中，

和

表示智能体a和c的速度，u_a和u_c为智能体a和c的控制输入。

将b号智能体指向a号智能体的单位向量B_ba作为编队的朝向，单位向量B_ba定义为

针对领航者，设计的控制器如下

其中，k_a、k_b、k_c和k_B＞0为调试参数，

和

分别为θ_b、d_ba、d_bc和B_ba的期望值。在u_a、u_b和u_c的控制作用下，保证了领航者a,b,c号智能体在二维平面里形成唯一且朝向确定的三角形编队。

步骤2：设计标称位形，计算出应力矩阵，以使得n个智能体形成标称位形下的编队队形。

智能体除了b号智能体以外，其余n-1个智能体的动力学模型都为单积分器模型，即

设计期望队形，得到标称位形q^*，

其中，

线性无关。由q^*生成的仿射空间定义为

其中，M为d×d的实矩阵，b″为d维列向量。由奇异值分解(SVD)可知，M＝U∑A，U和V为酉矩阵，对应旋转变换，∑为对角实矩阵，对应拉伸和收缩变换，b″对应平移变换。p为标称位形经过仿射变换后的位置，即经过旋转、伸缩和平移的变换后的位置。

两个顶点之间边的权值可由应力ω表示，ω的取值可正可负可为零。从力学上理解，权值为正，则为吸引力，权值为负，则为排斥力，权值为零，则没有作用力。易知，一个智能体想要处于平衡，则邻居对它的合力为零，即

则，公式(14)中的ω_ij称为平衡应力，

以上公式(14)中提及的ω_ij，需要根据标称位形计算出来；

具体为：

设计拓扑关系，得到关联矩阵A，易知，Ω＝Adiag(ω_ij)A^T。根据已有成果可知：在d维空间，应力矩阵Ω为半正定矩阵，且rank(Ω)＝n-d-1时，图

是普遍刚性的。根据已有成果，应力矩阵的计算转换成半正定规划问题。解下列优化问题即得到应力矩阵，即

Ω(ω_ij)q_i＝0,i＝1,…,n

其中，

为任意的正实数，

为满足QQ^T＝I_n-d-1和

的一个矩阵，

代表W–V为正定。

得到平衡应力ω_ij，结合步骤1，可得控制律

其中，k_i＞0为调试参数。

在u_a、u_b和u_c的控制作用下，保证了领航者a,b,c号智能体在二维平面里形成唯一且朝向确定的三角形编队。控制律u_i控制跟随者，跟随者在平衡应力作用下，达到期望的相对位置。队形的形状，大小和朝向信息仅由领航者获取，跟随者仅在应力作用下运动即可。仅改变领航者的边角约束，即可改变整体编队。

有益效果

一，本方法解决了一个工程实际中存在的问题，即为了节省成本，有的智能体配备的传感器能够测量方位信息，有的智能体可以测量距离信息，而有的智能体可以测量相对位置信息。在一个智能体受方位约束，两个智能体受距离约束，其余智能体可以测量相对位置信息的前提下，完成编队的形成与变换控制。

二，采用领航跟随控制框架，整个编队的队形信息仅由三个受边角约束的智能体知晓，其余智能体不需要知道队形信息，不仅减少了外界的控制输入，还提高了系统的鲁棒性。

三，由于在实际编队行进时，编队的朝向问题不可避免，因此加入朝向控制。只需要一个智能体配有指北装置，降低了硬件成本，并且可以完成控制朝向的任务。

附图说明

图1—混合约束下的编队示意图；

图2—各个智能体形成正六边形编队的路径；

图3—编队的形状改变；

图4—编队的朝向改变；

图5—编队在共线初始位置下的稳定过程；

图6—各智能体在运动过程中的误差曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和实例对本发明做进一步说明：

考虑由n个智能体组成的多智能体系统在二维平面上运动，智能体之间的交互关系由一个无向图

来表示，无向图中的顶点集合由

表示，每一个顶点对应一个智能体，无向图中的边由集合

表示，对应智能体之间的通信或感知关系。智能体顶点的邻居集合由

表示，智能体顶点的邻居集合是指可以通信或感知的智能体顶点集合；为了描述的简洁和清楚性，以下所有针对智能体表述，都是指的在无向图上的智能体顶点。

步骤1：针对n个智能体组成的多智能体系统，设定三个智能体实现三角形编队。

这三个智能体(分别用a、b、c号表示)的要求是：b号智能体通过测量其他两个智能体与自己的方位角，得到夹角θ_b，a号和c号智能体用来测量与b号智能体之间的距离。设定b号智能体能够感知全局坐标系的朝向，即在b号智能体上加入朝向控制约束。

b号智能体所测方位角为φ_ba、φ_bc∈[0,2π)，从b号智能体的局部坐标系的x轴方向出发，逆时针方向为正，顺时针方向为负。

引入辅助角变量σ_b，定义为

σ_b＝φ_ba-φ_bc (1)

则被控的角度θ_b，定义为

b号智能体的动力学模型可写成

其中，f_b参看公式(4)可得到，β_b参看公式(6)可得到，

而，B_ba参看公式(10)，而

为B_ba的期望值，k_B＞0为调试参数；

在角度控制作用下，b号智能体的运动速度大小为d_b，形式为

其中，k_b＞0为调试参数。

为θ_b的期望值。

引入辅助角变量ψ，定义为

ψ＝φ_bc+γ_bθ_b (5)

其中，γ_b∈(0,1)为调试参数，一般为0.5，则b号智能体的运动方向β_b定义为：

智能体b与a、c之间的距离定义分别为：

d_ba＝||q_b-q_a|| (7)

d_bc＝||q_b-q_c|| (8)

其中，q_a、q_b和q_c分别表示智能体a、b和c的位置坐标。

a和c号智能体的动力学模型考虑成单积分器模型，即

其中，

和

表示智能体a和c的速度，u_a和u_c为智能体a和c的控制输入。

将b号智能体指向a号智能体的单位向量B_ba作为编队的朝向，单位向量B_ba定义为

针对领航者，设计的控制器如下

其中，k_a、k_b、k_c和k_B＞0为调试参数，

和

分别为θ_b、d_ba、d_bc和B_ba的期望值。在u_a、u_b和u_c的控制作用下，保证了领航者a,b,c号智能体在二维平面里形成唯一且朝向确定的三角形编队。

步骤2：设计标称位形，计算出应力矩阵，以使得n个智能体形成标称位形下的编队队形。

智能体除了b号智能体以外，其余n-1个智能体的动力学模型都为单积分器模型，即

设计期望队形，得到标称位形q^*，

其中，

线性无关。由q^*生成的仿射空间定义为

其中，M为d×d的实矩阵，b″为d维列向量。由奇异值分解(SVD)可知，M＝U∑V，U和V为酉矩阵，对应旋转变换，∑为对角实矩阵，对应拉伸和收缩变换，b″对应平移变换。p为标称位形经过仿射变换后的位置，即经过旋转、伸缩和平移的变换后的位置。

两个顶点之间边的权值可由应力ω表示，ω的取值可正可负可为零。从力学上理解，权值为正，则为吸引力，权值为负，则为排斥力，权值为零，则没有作用力。易知，一个智能体想要处于平衡，则邻居对它的合力为零，即

则，ω_ij称为平衡应力；

将(14)式写成紧凑形式为

其中

为应力矩阵，定义为

则Ω为n×n的应力矩阵。

由(13)和(14)式可得

由(17)式易知，平衡应力不会随着队形的伸缩、旋转或者平移发生改变；

以上公式(14)、(16)以及(17)中提及的ω_ij，需要根据标称位形计算出来；具体为：

设计拓扑关系，得到关联矩阵A，易知，Ω＝Adiag(ω_ij)A^T。根据已有成果可知：在d维空间，应力矩阵Ω为半正定矩阵，且rank(Ω)＝n-d-1时，图

是普遍刚性的。根据已有成果，应力矩阵的计算可以转换成半正定规划问题。解下列优化问题即可得到应力矩阵，即

Ω(ω_ij)q_i＝0,i＝1,…,n

其中，

为任意的正实数，

为满足QQ^T＝I_n-d-1和

的一个矩阵，

代表W–V为正定。

得到平衡应力ω_ij，结合步骤1，可得控制律

其中，k_i＞0为调试参数。

在u_a、u_b和u_c的控制作用下，保证了领航者a,b,c号智能体在二维平面里形成唯一且朝向确定的三角形编队。控制律u_i控制跟随者，跟随者在平衡应力作用下，达到期望的相对位置。队形的形状，大小和朝向信息仅由领航者获取，跟随者仅在应力作用下运动即可。仅改变领航者的边角约束，即可改变整体编队。

在b号智能体上加装指北装置，如磁力计，使得b号智能体能够感知全局坐标系的朝向。在b号智能体上加入朝向控制约束，达到整体编队的朝向可控。

接着，我们对提出的控制方法进行了仿真与实物实验。我们进行了两类仿真:一类是在一般的初始位置下形成正六边形编队，并灵活地实现编队的变换；另一类是对共线初始位置下实现正六边形编队。在第一类仿真中，我们取a＝1，b＝2，c＝3，通过改变领航者的边角约束，完成了对整体的编队形状的改变，通过改变三角形的朝向约束，使得整体编队的朝向发生改变。第二类仿真我们验证了在共线位置的初始条件下，编队可以形成正六边形的队形，并给出距离与角度的误差曲线。

图1展示了混合约束下的编队形式。

图2展示了智能体在初始位置分别为q₁＝[1.3,1.3]^T,q₂＝[-1.1,-1.1]^T,q₃＝[-1.6,-2.4]^T,q₄＝[3.3,-3.3]^T,q₅＝[0.5,-0.5]^T，且期望的位置为

情况下，各个智能体的运动轨迹。

图3展示了当编队需要发生收缩的情况下，例如编队需要通过窄通道，改变角的约束从而达到改变整体编队的形状变化的过程。

图4展示了当编队的运动方向需要改变时，只改变三角形编队的朝向约束得以完成整体编队的朝向改变的过程。

图5考虑了特殊情况下，即初始位置共线的情况，各个智能体可以形成期望的编队队形。

图6展现了在特殊情况下，各个智能体从共线的初始位置到最终稳定这一过程的误差变化。

通过仿真和实验验证，可以说明，使用这种基于应力矩阵的混合条件约束下的编队变换控制方法，能够在只有三个智能体能够获取编队信息的情况下，完成多智能体的编队任务，并且只改变三个智能体的边角约束，实现编队的队形变换。此外，只需要一个智能体有全局坐标系朝向信息的情况下，保证了编队朝向的可控。

以上所述的仅为本发明的较佳实施例而已，本发明不仅仅局限于上述实施例，凡在本发明的精神和原则之内所做的局部改动、等同替换、改进等均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.基于应力矩阵的混合约束条件下的编队变换控制方法，其特征在于，包括：

考虑由n个智能体组成的多智能体系统在二维平面上运动，智能体之间的交互关系由一个无向图

来表示，无向图中的顶点集合由

表示，每一个顶点对应一个智能体，无向图中的边由集合

表示，对应智能体之间的通信或感知关系；智能体顶点的邻居集合由

表示，智能体顶点的邻居集合是指可以通信或感知的智能体顶点集合；为了描述的简洁和清楚性，以下所有关于智能体表述，都是指的在无向图上的智能体顶点；

步骤1：针对n个智能体组成的多智能体系统，设定三个智能体形成三角形编队；

这三个智能体为领航者分别用a、b、c号表示，它们的要求是：b号智能体通过测量其他两个智能体与自己的方位角，得到夹角θ_b，a号和c号智能体用来测量与b号智能体之间的距离；设定b号智能体能够感知全局坐标系的朝向，即在b号智能体上加入朝向控制约束；

b号智能体所测方位角为φ_ba、φ_bc∈[0，2π)，从b号智能体的局部坐标系的x轴方向出发，逆时针方向为正，顺时针方向为负；

引入辅助角变量σ_b，定义为

σ_b＝φ_ba-φ_bc (1)

则被控的角度θ_b，定义为

b号智能体的动力学模型可写成

其中，f_b参看公式(4)可得到，β_b参看公式(6)可得到，

而，B_ba参看公式(10)，而

为B_ba的期望值，k_B＞0为调试参数；

在角度控制作用下，b号智能体的运动速度大小为f_b，形式为

其中，k_b＞0为调试参数；

为θ_b的期望值；

引入辅助角变量ψ，定义为

ψ＝φ_bc+γ_bθ_b (5)

其中，γ_b∈(0，1)为调试参数，则b号智能体的运动方向β_b定义为

智能体b与a、c之间的距离定义分别为：

d_ba＝||q_b-q_a|| (7)

d_bc＝||q_b-q_c|| (8)

其中，q_a、q_b和q_c分别表示智能体a、b和c的位置坐标；

a和c号智能体的动力学模型考虑成单积分器模型，即

其中，

和

表示智能体a和c的速度，u_a和u_c为智能体a和c的控制输入；

又，将b号智能体指向a号智能体的单位向量B_ba作为编队的朝向，单位向量B_ba定义为

针对领航者，设计的控制器如下

其中，k_a、k_b、k_c和k_B＞0为调试参数，

和

分别为θ_b、d_ba、d_bc和B_ba的期望值；在u_a、u_b和u_c的控制作用下，保证了领航者a，b，c号智能体在二维平面里形成唯一且朝向确定的三角形编队；

步骤2：设计标称位形，计算出应力矩阵，以使得n个智能体形成标称位形下的编队队形；

智能体除了b号智能体以外，其余n-1个智能体的动力学模型都为单积分器模型，即

设计期望队形，得到标称位形

其中，

线性无关；由q^*生成的仿射空间定义为

其中，M为d×d的实矩阵，b″为d维列向量；由奇异值分解可知，M＝U∑V，U和V为酉矩阵，对应旋转变换，∑为对角实矩阵，对应拉伸和收缩变换，b″对应平移变换；p为标称位形经过仿射变换后的位置，即经过旋转、伸缩和平移的变换后的位置；

两个顶点之间边的权值可由应力ω表示，ω的取值可正可负可为零；从力学上理解，权值为正，则为吸引力，权值为负，则为排斥力，权值为零，则没有作用力；易知，一个智能体想要处于平衡，则邻居对它的合力为零，即

则，公式(14)中的ω_ij称为平衡应力，

根据得到的平衡应力ω_ij，结合步骤1，可得控制律

其中，k_i＞0为调试参数；

在u_a、u_b和u_c的控制作用下，保证了领航者a，b，c号智能体在二维平面里形成唯一且朝向确定的三角形编队；控制律u_i控制跟随者，跟随者在平衡应力作用下，达到期望的相对位置；队形的形状，大小和朝向信息仅由领航者获取，跟随者仅在应力作用下运动即可；仅改变领航者的边角约束，即可改变整体编队。

2.根据权利要求1所述的基于应力矩阵的混合约束条件下的编队变换控制方法，其特征在于：公式(14)中提及的ω_ij，需要根据标称位形计算出来；

设计拓扑关系，得到关联矩阵A，易知，

根据已有成果可知：在d维空间，应力矩阵Ω为半正定矩阵，且rank(Ω)＝n-d-1时，图

是普遍刚性的；根据已有成果，应力矩阵的计算转换成半正定规划问题；解下列优化问题即得到应力矩阵，即

Ω(ω_ij)q_i＝0，i＝1，...，n

其中，

为任意的正实数，

为满足

和

的一个矩阵，

代表W-V为正定。

3.根据权利要求1或2所述的基于应力矩阵的混合约束条件下的编队变换控制方法，其特征在于：

将(14)式写成紧凑形式为

其中

为应力矩阵，定义为

则Ω为n×n的应力矩阵；

由(13)和(14)式可得

其中，i＝1，2，...，n；

由(18)式易知，平衡应力不会随着队形的伸缩、旋转或者平移发生改变。

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