CN114063652B - 基于应力矩阵优化的多智能体系统仿射编队控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于应力矩阵优化的多智能体系统仿射编队控制方法，通过应力矩阵的构造优化，可自动生成更优的通信与交互拓扑，实现系统通信成本与控制性能的优化。本发明相比于传统方法中需要给定邻接矩阵或数值计算的方法，可以仅根据期望队形来自动得到应力矩阵，同时最小化通信成本并有效提高系统性能。因此，其具有更高的自主性、智能性与环境适应性。本发明通过应力矩阵的构造优化，在给定期望队形与相应优化指标后，可自动生成更优的通信与交互拓扑，优化了系统的通信成本与控制性能，进而实现多智能体系统的仿射编队控制。

Description

基于应力矩阵优化的多智能体系统仿射编队控制方法

技术领域

本发明属于多智能体控制技术领域，具体涉及一种基于应力矩阵优化的多智能体系统仿射编队控制方法。

背景技术

近年来，随着通信技术、计算机技术、传感器技术与自动化技术的发展，多智能体系统得到了广泛研究与迅速发展。多智能体系统中各智能体之间进行交互与协调并共同完成任务，能获得比单个智能体更有效更强大的功能。多智能体编队控制的目的是控制一群智能体形成期望的队形，同时能够完成队形的保持或切换等任务以应变环境的约束，所述编队控制包括队形的形成、保持与变化。各智能体以系统为单位形成特定的队形可以充分发挥各智能体的优势，有效提高整个系统的工作效率和抵抗外界攻击的能力。因此，其也被广泛应用于目标围捕、无人战机编队飞行、多卫星编队与多传感器系统等领域中。由于通信、传感范围有限，各智能体往往只能得到周围邻居的信息，因此编队控制更多的是仅依靠相对信息来进行。发展至今，一致性理论在编队中占据了重要地位，其定义队形的方法主要有基于相对位置、基于相对距离和基于方位三种，但传统的常值约束难以适应队形的变化。近年来，许多学者针对此问题提出了新的编队方法，如重心法、复拉普拉斯法与仿射编队。其中仿射编队方法将智能体之间的约束用应力矩阵表示，可以通过仅控制一小部分智能体来有效地变换队形、应对环境的变化，因此受到极大关注。

在仿射编队中，最关键的是如何表示队形约束，即应力矩阵的设计问题。应力矩阵在系统中代表着节点之间的通信与交互拓扑，极大地影响着整个网络的性能。但是目前仿射编队的研究中，学者大多考虑后端的控制器设计，较少考虑前端拓扑的设计问题。考虑前端拓扑的现有拓扑构造方法也只有数值解法与线性矩阵不等式方法，需要数值计算或给定邻接矩阵二者都只是求得可行解，具有很大的限制性。

发明内容

有鉴于此，本发明提出了一种基于应力矩阵优化的多智能体系统仿射编队控制方法，通过应力矩阵的构造优化，可自动生成更优的通信与交互拓扑，实现系统通信成本与控制性能的优化。

为实现上述目的，本发明技术方案如下：

本发明的一种仿射编队的拓扑构造与智能体的分布式控制方法，将系统收敛速度最大化、时延裕量最大化与通信成本最小化作为优化指标；根据给定的期望队形与优化指标的数学描述，采用混合整数半正定规划模型将系统收敛速度最大化、时延裕量最大化与通信成本最小化建模为优化问题，求解所述优化问题得到各智能体的通信拓扑与每条边的应力值，进而得到应力矩阵的值；根据应力矩阵的值进行控制器设计，利用设计出的控制器完成队形的形成、保持与机动控制。

其中，根据应力矩阵的值进行控制器设计时，先从各智能体中选取领导者，得到领导者集合，然后根据应力矩阵和领导者集合设计分布式控制器进行编队控制，实现仅控制领导者到达期望位置保证整个队形收敛至期望，且控制领导者到达不同位置实现队形的变换与机动控制。

其中，考虑由n个智能体组成的多智能体系统的d维平面运动，所述优化问题为：

s.t.

Ω＝Ω^T

Ω≥0

-q_maxx_ij≤ω_ij≤q_max(1-x_ij)-q_min

-q_max(1-y_ij)+q_min≤ω_ij≤q_maxy_ij

其中，优化变量为实矩阵变量Ω、两个0－1矩阵变量X和Y以及特征值优化建模中引入的特征值λ；参数β为0～1之间的常数，代表两项优化目标的权重；c_ij为期望队形每条交互边的权重；x_ij矩阵变量X的第i行第j列元素；y_ij矩阵变量Y的第i行第j列元素；I_d表示d维单位阵；p^*为期望队形；1_n表示n维全一列向量；q_max为每条边的平衡应力值ω_ij的下限与上限；μ为预先设定的最小收敛速度；I_n-d-1表示n-d-1维单位阵；U₁是每列与应力矩阵零空间正交的矩阵。

其中，所述分布式控制器为：

u_ext＝-5(p-p^*)

其中，ω_ij为应力矩阵的第i行第j列元素，ε表示智能体之间的通信拓扑无向图的边集。

其中，通过MATLAB中的YALMIP工具箱对所述优化问题进行有效求解，得到应力矩阵的值。

有益效果：

本发明相比于传统方法中需要给定邻接矩阵或数值计算的方法，可以仅根据期望队形来自动得到应力矩阵，同时最小化通信成本并有效提高系统性能。因此，其具有更高的自主性、智能性与环境适应性。本发明通过应力矩阵的构造优化，在给定期望队形与相应优化指标后，可自动生成更优的通信与交互拓扑，优化了系统的通信成本与控制性能，进而实现多智能体系统的仿射编队控制。

本发明的仿射编队方法在选取领导者之后采用分布式控制，只需要控制少量领导者便能控制整个队形，具有重要实际意义。领导者作为控制整个智能体系统运动的主导，仅凭给定的运行轨迹便可以控制整个智能体群组的行为，从而大大简化了控制作用，且方便进行队形的切换与机动控制。

本发明中的应力矩阵设计、领导者选取以及控制器设计三个环节可以具有很强的集成性，仅需要提供编队的期望队形，无需大量的参数调节，针对不同系统均能有效实现。

附图说明

图1为本发明仿真实验的多智能体系统网络拓扑示意图。

图2为本发明仿真实验各智能体的初始位置。

图3为本发明仿真实验编队形成过程。

图4为本发明仿真实验编队误差曲线。

图5为本发明仿真实验编队机动变化过程图。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

本发明考虑多智能体系统仿射编队中的拓扑构造问题，提出了一种采用混合整数半正定规划建模的优化拓扑构造方法，给定期望队形与相应优化指标后，可自动生成更优的通信拓扑，然后在该通信拓扑上进行控制器设计，利用设计出的控制器完成队形的形成、保持与机动控制。进一步地，可以选取领导者后通过分布式控制器实现多智能体系统的仿射编队控制。本发明包括如下步骤：

步骤1、应力矩阵构造。本发明将系统收敛速度最大化、时延裕量最大化与通信成本最小化作为优化指标。根据给定的期望队形与优化指标的数学描述，采用混合整数半正定规划模型将系统收敛速度最大化、时延裕量最大化与通信成本最小化建模为优化问题，求解所述优化问题得到各智能体的通信拓扑与每条边的应力值，进而得到应力矩阵的值；

步骤2、根据应力矩阵的值进行控制器设计，利用设计出的控制器完成队形的形成、保持与机动控制。

根据应力矩阵的值进行控制器设计可以采用现有的控制器设计方法，也可以先从各智能体中选取领导者，得到领导者集合，然后根据应力矩阵和领导者集合设计分布式控制器进行编队控制，实现仅控制领导者到达期望位置，可保证整个队形收敛至期望，且控制领导者到达不同位置可以实现队形的变换与机动控制。

所述步骤1中，应力矩阵构造具体过程如下：

本实施例考虑由n个智能体组成的多智能体系统的d维平面运动。其动力学模型考虑成一阶模型，即其中q_i表示智能体i的位置坐标，u_i为智能体i的控制输入。称为系统的一个配置，p^*代表期望队形。

用无向图来表示智能体之间的通信拓扑，其中点集/> 边集/>邻接矩阵/>如果/>则a_ij＝0，否则a_ij＝1。(i,j)∈ε意味着智能体i可以感知到j，测量与智能体j的相对位置。智能体i的所有邻居的集合用/>表示。将拓扑/>与配置p组成的/>为系统的框架。

将满足下式的应力值称为平衡应力：

∑_(i,j)∈εω_ij(p_i-p_j)＝0,i＝1,…,n.

其矩阵形式为为了表达简洁，令/>

则应力矩阵表示为：

在仿射编队中，控制输入u_i＝-∑_(i,j)∈εω_ij(p_i-p_j),i＝1,…,n.则闭环系统形式为：

根据刚性理论相关定理，上述系统稳定的充分必要条件是rank(Ω)＝n-d-1且Ω为半正定矩阵，且Ω作为刚性框架的应力矩阵，固有的性质为对称且行和为零。

接下来的关键是处理应力矩阵的秩约束。Ω的秩为n-d-1且半正定意味着其有d+1个零特征值且对应的特征向量互不相关，其余特征值均为正实数。

定义一个关于期望队形坐标的矩阵：

易得该矩阵是满行秩的。假设期望队形可以张成二维仿射空间，则矩阵的零空间是非平凡的。任何由/>的零空间中的列组成的n×(n-d-1)阶矩阵Z都可被称为是配置p的盖尔矩阵。由相关理论，应力矩阵可以表示为：

Ω＝ZψZ^T

其中ψ为一个(n-d-1)×(n-d-1)阶半正定对称矩阵。根据奇异值分解理论，存在酉矩阵U,V使得其中Σ₁＝diag{σ₁,…,σ_n-d-1}，σ_i为矩阵Z的奇异值。可以得到：

令Ω_r表示矩阵则矩阵Ω_r的特征值对应矩阵Ω的全部非零特征值。令U＝[U₁,U₂]，可得/>

因此，上述秩条件可以转化为：

λ_min(Ω_r)>0

接下来，引入两个有关矩阵特征值的优化指标：系统收敛速度最大化与时延裕量最大化。

很直观地，多智能体系统收敛速度取决于系统中单个智能体中收敛速度最慢的一个。注意到克罗内克积不改变矩阵的最小特征值，系统的收敛速度取决于矩阵Ω_r的最小特征值。其最小特征值越大，则矩阵特征值离虚轴越远，系统的收敛更快，因此，需要最大化矩阵Ω_r的最小特征值。

另外，假设系统的通信边存在时延，控制输入变为：

其中，τ_ij为智能体i与j通信边上的时延。根据有关定理，假设每条边时延相同，在无向连通图中，系统收敛至平衡点的充分必要条件为τ<π/2λ_max。可见系统矩阵的最大特征值越小，则系统所能容忍的时延越大，即可获得更大的时延裕量。

综合以上两方面考虑，需要最大化矩阵Ω_r的最小特征值，同时最小化其最大特征值，即最小化矩阵条件数λ_max(Ω_r)/λ_min(Ω_r)。在给定最小收敛速度为μ的情况下，最小化矩阵条件数λ_max(Ω_r)/λ_min(Ω_r)问题可以建模为半正定规划(SDP)进行求解：

minλ

s.t.

更进一步，出于实际应用考虑，每条通信边的建立与维护都需要成本，定义通信成本为：

其中a_ij为邻接矩阵元素值，c_ij为每条边关于通信成本的权重，通常可与通信协议、硬件设施、节点间通信距离与通信边质量等有关。在这里定义c_ij为期望队形中节点间的距离，其实际意义为：期望队形中距离越近的节点越容易维护其对应的通信边。

因此，需要最小化通信成本，对应系统通信拓扑Ω元素的优化。与一般的拉普拉斯矩阵不同的是，应力矩阵Ω的元素可以是负的、正的和零，对应该边为压杆、拉杆和无连接。通信成本的优化涉及到了非连续的变量，因此需要进行处理。

引入两个0－1变量x_ij∈{0,1}和y_j∈{0,1}，其与ω_ij的对应关系如下：

为每条边的平衡应力值ω_ij设置下限与上限q_min、q_max，以上关系式可以表达为约束：

-q_maxx_ij≤ω_ij≤q_max(1-x_ij)-q_min,

-q_max(1-y_ij)+q_min≤ω_ij≤q_maxy_ij,

x_ij∈{0,1},

y_ij∈{0,1}.

因此，通信成本的代价函数为：

为了将最小化通信成本问题建模为优化问题，本发明采用了混合整数半正定规划模型，其能够同时包含整数与实数优化变量与半正定约束。在这里设置最小收敛速度为μ，建模如下：

s.t.

Ω＝Ω^T

Ω≥0

-q_maxx_ij≤ω_ij≤q_max(1-x_ij)-q_min

-q_max(1-y_ij)+q_min≤ω_ij≤q_maxy_ij

参数β为一个0～1之间的常数，代表了两项优化目标的权重。该问题为典型的混合整数半正定规划问题，可以通过MATLAB中的YALMIP工具箱进行有效求解，得到应力矩阵的值。

本实施例中，所述步骤2中，利用应力矩阵的值，设计分布式控制器。

分布式控制器具体为u_i＝-∑_(i,j)∈εω_ij(p_i-p_j)。在二维平面上，由仿射编队相关理论可知，控制至少三个领导者智能体久能达到整个队形的可控。

对于选定的领导者，控制器为u_i+u_ext，其中u_ext＝-5(p-p^*)。

下面对本发明提出的仿射编队控制方法进行仿真实验，具体如下：

本仿真实验中，给定期望队形坐标为：

p^*＝[2,1,1.5,0,0.5,-1,0,1,-1,1.5,-1,0.5]^T

通过求解拓扑构造的混合整数半正定规划问题，得到应力矩阵的值：

本仿真实验的多智能体系统网络拓扑示意图如图1所示，各智能体的初始位置如图2所示，在仿真实验的控制方法下，得到编队形成过程如图3所示，控制过程中的误差变化曲线如图4所示，可见所有智能体与期望位置的误差都逐渐趋于零。

仿射编队的队形机动变化能力验证如下：控制三个领导者的位置，可以控制整个队形的伸缩、剪切、旋转以及平移，甚至形成一条直线，直线构型可以很方便的穿越障碍物，有效应对复杂的环境。部分编队队形机动变化过程如图5所示，通过控制领导者到达不同位置实现了队形的变换与机动控制。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种仿射编队的拓扑构造与智能体的分布式控制方法，其特征在于，将系统收敛速度最大化、时延裕量最大化与通信成本最小化作为优化指标；根据给定的期望队形与优化指标的数学描述，采用混合整数半正定规划模型将系统收敛速度最大化、时延裕量最大化与通信成本最小化建模为优化问题，求解所述优化问题得到各智能体的通信拓扑与每条边的应力值，进而得到应力矩阵的值；根据应力矩阵的值进行控制器设计，利用设计出的控制器完成队形的形成、保持与机动控制；

对于由n个智能体组成的多智能体系统的d维平面运动，其动力学模型考虑成一阶模型，即其中p_i表示智能体i的位置坐标，u_i为智能体i的控制输入，称/>R^dn为系统的一个配置，p^*代表期望队形；

应力矩阵表示为：

根据应力矩阵的值进行控制器设计时，先从各智能体中选取领导者，得到领导者集合，然后根据应力矩阵和领导者集合设计分布式控制器进行编队控制，实现仅控制领导者到达期望位置保证整个队形收敛至期望，且控制领导者到达不同位置实现队形的变换与机动控制；

引入两个0－1变量x_ij∈{0,1}和y_j∈{0,1}，其与ω_ij的对应关系如下：

考虑由n个智能体组成的多智能体系统的d维平面运动，所述优化问题为：

Ω＝Ω^r

Ω≥0

-q_maxx_ij≤ω_ij≤q_max(1-x_ij)-q_min

-q_max(1-y_ij)+q_min≤ω_ij≤q_maxy_ij

其中，优化变量为实矩阵变量Ω、两个0-1矩阵变量X和Y以及特征值优化建模中引入的特征值λ；参数β为0～1之间的常数，代表两项优化目标的权重；c_ij为期望队形每条交互边的权重；x_ij矩阵变量X的第i行第j列元素；y_ij矩阵变量Y的第i行第j列元素；I_d表示d维单位阵；p^*为期望队形；1_n表示n维全一列向量；q_max为每条边的平衡应力值ω_ij的下限与上限；μ为预先设定的最小收敛速度；I_n-d-1表示n-d-1维单位阵；U₁是每列与应力矩阵零空间正交的矩阵；

所述分布式控制器为：

u_ext＝-5(p-p^*)

其中，ω_ij为应力矩阵的第i行第j列元素，ε表示智能体之间的通信拓扑无向图的边集；

对于选定的领导者，控制器为u_i+u_ext，其中u_ext＝-5(p-p^*)。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，通过MATLAB中的YALM IP工具箱对所述优化问题进行有效求解，得到应力矩阵的值。