CN111062109A - 一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法，将天线设计问题抽象成统一的、一般的多目标约束优化问题，它有m(≥1)个优化目标，p(≥0)个约束条件。其它的优化问题情形都是它特例，例如，m＝1,p＝0是单目标优化问题；m＝1,p≠0是约束单目标优化问题；m＞1,p＝0是多目标无约束优化问题。提出了一个多目标约束优化算法，能很好地求解该统一的、一般的多目标约束优化问题。该在复杂的天线设计中，针对建立哪一类优化问题模型最适合于求解器求解，本发明提出一种统一的多目标约束优化问题模型，并且将其与其三种特例进行对比。实验表明所提方法不仅能最大程度上满足设计需求，而且有多种解以便决策者选择，为天线设计的求解提供一种参考。

Description

一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法

技术领域

本发明涉及天线设计演化求解方法领域，具体为一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法。

背景技术

天线设计通常既有技术指标优化要求又有约束要求，根据技术指标要求复杂程度依次可以建模成单目标优化问题、单目标约束优化问题、多目标无约束优化问题和多目标约束优化问题等。然后，不同的优化问题用不同优化方法求解，单目标优化问题用单目标优化算法求解，单目标约束优化问题用单目标约束优化算法求解，多目标无约束优化问题用多目标无约束优化算法求解，多目标约束优化问题用多目标约束优化算法求解。

天线问题抽象成数学模型具有一定的挑战性，模型的构建直接影响着天线问题的求解。目前，大多数天线设计者都是将天线设计问题抽象成单目标优化问题来求解，假设天线设计的技术指标要求较多且复杂，所建的单目标优化问题难以充分体现所有指标要求，会丢失部分技术指标信息，从而导致得到的最优天线难以满足技术指标。在复杂技术指标要求下，建模成单目标约束优化问题、多目标无约束优化问题也有可能丢失部分技术指标信息。只有建模成一般的多目标约束优化问题才能充分体现复杂的技术指标要求，但是由于缺乏性能优良的约束多目标优化算法，所以极少建立成多目标约束优化问题模型。

一般来说，优化问题都有与之相对应的优化算法来求解。单目标优化算法只能求解单目标优化问题，不能求解单目标约束优化问题、多目标无约束优化问题和多目标约束优化问题。类似的，单目标约束优化算法和多目标无约束优化算法分别用来求解单目标约束优化问题和多目标无约束优化问题，对于其它的优化问题求解效率很低甚至是无法求解。目前极少有多目标约束优化算法能很有效地求解多目标约束优化问题，更谈不上有效地解其它三种优化问题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法，以解决上述背景技术中提出的单目标优化算法只能求解单目标优化问题，不能求解单目标约束优化问题、多目标无约束优化问题和多目标约束优化问题。类似的，单目标约束优化算法和多目标无约束优化算法分别用来求解单目标约束优化问题和多目标无约束优化问题，对于其它的优化问题求解效率很低甚至是无法求解的问题。

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法，将天线设计问题抽象成统一的、一般的多目标约束优化问题，它有m(≥1)个优化目标，p(≥0)个约束条件。其它的优化问题情形都是它特例，例如，，是单目标优化问题；，是约束单目标优化问题；，是多目标无约束优化问题。提出了一个多目标约束优化算法，能很好地求解该统一的、一般的多目标约束优化问题，其特征在于：所述其实施步骤包括；

首先，给出多目标约束优化问题的数学模型，含有m个目标、p个约束的多

目标约束优化问题数学模型如下(3-1)所示：

当m＝1，p＝0时，公式(3-1)转换为单目标无约束优化问题，数学模型如公式(3-2)所示。

当，时，公式(3-1)转换为单目标约束优化问题，数学模型如公式(3-3) 所示。

当，时，公式(3-1)转换为多目标无约束优化问题，数学模型如公式(3-4) 所示。

其次，基于当前的工作，给出一种动态多目标约束优化算法框架^[4]，利用该算法框架可以求解以上优化问题；

该算法首先将约束优化问题转化为动态多目标约束优化问题，然后根据提出的动态多目标约束优化算法框架分别求解以上优化问题。

(1)动态多目标约束优化算法基本框架

首先介绍两个额外添加的目标：约束违约目标和小生境计数目标。

a)约束违约目标指所有的约束归一化后的违约平均值，如下式(3-5)所示。

其中：P(0)为初始种群，

b)小生境计数目标如下公式(3-6)所示。

其中：

为父代种群与子代种群的总种群，σ为小生境半径，上式中

共享函数

定义为如下公式(3-7)所示。

其中：

c)动态处理技术

为了处理约束的困难，采用了动态处理技术。当环境发生改变时，约束边界

和小生境半径σ如下式(3-8)、(3-9)所示。

其中：在该算法框架中，η＝1e-8，s为环境状态。

A_i、B_i(i＝1,2,...,p)、C、D如下式(3-10)、(3-11)所示。

其中：S为最大的环境改变量，

当环境变量为s时，公式(3-1)、(3-2)、(3-3)和(3-4)所对应的优化问题模型可以记作如下式(3-12)。

其中：

是一个动态约束边界，

为动态小生境半径，

环境变量从s到s+1的改变，会使得动态约束边界与小生境半径都会作相应的减小。

在最终状态S时，

此时公式(3-12)转化为如下公式(3-13)。

基于以上所述，文中所述动态多目标约束优化算法框架可以求解带约束(或不带约束)的单目标优化问题或带约束(或不带约束)的多目标优化问题。

在线天线中，天线阵因子如下公式(3-14)所示：

其中：A_i、β_i分别为第i个天线单元端口激励的幅度和相位，d_i为第i 个天线单元到第一个天线单元的距离，θ为天线阵的辐射方向角，num为天线阵单元数目，λ为电磁波长。

最大旁瓣电平如下公式(3-15)。

其中：θ_SL为除主瓣外方向的辐射角度，θ_max为最大阵因子对应的辐射角度。

在数值计算中，我们采用公式(3-16)来衡量MSLL的大小：

零点的公式如下(3-17)所示。

其中：θ_null为零点对应的辐射方向。

同理，在数值计算中采用(3-18)衡量NULL的大小：

第一零点波束宽度如下式(3-19)。

其中：θ_mianlobe为第一零点之间的波束宽度。

(2)接下来，用两个线天线问题实例来详细说明。

(a)采用天线阵综合中波束赋形综合问题为第一个例子，文献^[5]

给出了分布在z轴上的19个天线单元的天线阵，设计需求如下(3-20)。

在该问题中，d_i作为一个常量，取值为0.5λ，A_i、β_i作为待优化的变量。

分别采用数学模型(3-1)、(3-2)、(3-3)和(3-4)进行建模如下 (3-21)、(3-22)、(3-23)和(3-24)：

其中：误差函数e用来评估综合后得到的阵因子与期望阵因子的误差如下公式(3-25)。

鉴于工程应用中馈电网络的实现难度，天线阵端口激励的最大幅度与最小幅度比值^[6]作为一个目标R，如下式(3-26)。

(b)一款含有28个阵元的线性天线阵列设计作为第二个例子，其中含有六个零点^[7]，即±30°、±32.5°和±35°，零点位置达到-60dB，第一零点波束宽度为8.5°，允许有±12％的偏差^[8][9]。

在此问题中，d_i作为一个变量且被λ归一化处理，A_i、β_i常量，分别取值1、0。

类似的，采用相同数学模型对此问题建模如下(3-27)、(3-28)、(3-29) 和(3-30)：

优选的，所述其公式(3-1)中：

为优化目标向量，

为约束向量，

是决策向量，X为决策空间，

和

分别代表着决策变量的下界和上界，n为决策向量的维度。

假设有两个解

对于任意i∈{1,...,m}满足

并且至少存在一个j∈{1,...,m}满足

时，我们称

支配

假设不存在

使得

支配

则

被称之为Pareto最优解，所有的Pareto最优解构成的集合称之为Pareto集合^[1][2]。

优选的，所述公式(3-2)、(3-3)和(3-4)都是公式(3-1)的特殊情况。当公式(3-1)中目标数m为1、约束数目为0时，其等价于公式(3-2)；当公式(3-1) 中目标数m为1、约束数不为0时，其等价于公式(3-3)；当公式(3-1)中目标数大于1、约束数目为0时，其等价于公式(3-4)。对于任意的一个优化问题，我们都可以利用成约束多目标优化数学模型，根据具体需求转化为适当的优化问题。

优选的，所述公式(3-2)、(3-3)中分别为单目标无约束优化问题和单目标约束优化问题，是公式(3-12)中的目标数m取值为1；公式(3-4) 中的多目标无约束优化问题，是公式(3-12)中的约束数目p为0；公式(3-1) 中的多目标约束优化问题，是公式(3-12)中的目标数取值为m，约束个数为 p不为0。综上所述，公式(3-12)优化问题适用于带约束(或不带约束)的单目标优化问题或带约束(或不带约束)的多目标优化问题。

优选的，所述其公式(3-4)中，假设一个解

满足所有的约束，则

被称为一个可行解，否则

是不可行解。所有的可行解成为该问题的可行域。与无约束优化问题相比，约束优化问题需要在可行域内寻找全局最优解，因此更具有挑战。

与现有技术相比，本发明的有益效果如下：

建立统一的、一般的多目标约束优化问题模型，它能够充分体现技术指标的优化性与约束性要求；

提出了一个多目标约束优化算法，能很好地求解该统一的、一般的多目标约束优化问题。同时，对于单目标优化问题、单目标约束优化问题、多目标无约束优化问题特例情形，该方法仍然非常有效。

在复杂的天线设计中，针对建立哪一类优化问题模型最适合于求解器求解，本发明提出一种统一的多目标约束优化问题模型，并且将其与其三种特例进行对比。实验表明所提方法不仅能最大程度上满足设计需求，而且有多种解以便决策者选择，为天线设计的求解提供一种参考；

通常，不同的优化问题都会有与之相对应的算法来求解，文中给出了一种演化算法框架，能很有效地求解该统一的多目标约束优化问题，并且对于其特例情形也有不错的效果，在一定的程度上为优化问题的求解提供了一种新的方法。

附图说明

图1为本发明单目标无约束优化结果对比和单目标约束优化结果对比示意图；

图2为本发明多目标无约束优化pareto和多目标约束优化pareto集图；

图3为本发明多目标无约束优化候选解示意图；

图4为本发明多目标约束优化候选解示意图；

图5为本发明多目标无约束优化中候选解结果对比示意图；

图6为本发明多目标约束优化中候选解结果对比示意图；

图7为本发明单目标无约束优化结果和单目标约束优化结果示意图；

图8为本发明多目标无约束优化pareto和多目标约束优化pareto集图；

图9为本发明多目标无约束候选解示意图；

图10为本发明多目标约束候选解示意图；

图11为本发明多目标无约束优化中候选解结果对比示意图；

图12为本发明多目标约束优化中候选解结果对比示意图。

具体实施方式

对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明提供一种技术方案：一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法，将天线设计问题抽象成统一的、一般的多目标约束优化问题，它有m(≥1)个优化目标，p(≥0)个约束条件。其它的优化问题情形都是它特例，例如，，是单目标优化问题；，是约束单目标优化问题；，是多目标无约束优化问题。提出了一个多目标约束优化算法，能很好地求解该统一的、一般的多目标约束优化问题，其特征在于：所述其实施步骤包括；

首先，给出多目标约束优化问题的数学模型，含有m个目标、p个约束的多

目标约束优化问题数学模型如下(3-1)所示：

当m＝1，p＝0时，公式(3-1)转换为单目标无约束优化问题，数学模型如公式(3-2)所示。

当，时，公式(3-1)转换为单目标约束优化问题，数学模型如公式(3-3) 所示。

当，时，公式(3-1)转换为多目标无约束优化问题，数学模型如公式(3-4) 所示。

其次，基于当前的工作，给出一种动态多目标约束优化算法框架^[4]，利用该算法框架可以求解以上优化问题；

该算法首先将约束优化问题转化为动态多目标约束优化问题，然后根据提出的动态多目标约束优化算法框架分别求解以上优化问题。

(1)动态多目标约束优化算法基本框架

首先介绍两个额外添加的目标：约束违约目标和小生境计数目标。

a)约束违约目标指所有的约束归一化后的违约平均值，如下式(3-5)所示。

其中：P(0)为初始种群，

c)小生境计数目标如下公式(3-6)所示。

其中：

为父代种群与子代种群的总种群，σ为小生境半径，上式中

共享函数

定义为如下公式(3-7)所示。

其中：

c)动态处理技术

为了处理约束的困难，采用了动态处理技术。当环境发生改变时，约束边界

和小生境半径σ如下式(3-8)、(3-9)所示。

其中：在该算法框架中，η＝1e-8，s为环境状态。

A_i、B_i(i＝1,2,...,p)、C、D如下式(3-10)、(3-11)所示。

其中：S为最大的环境改变量，

当环境变量为s时，公式(3-1)、(3-2)、(3-3)和(3-4)所对应的优化问题模型可以记作如下式(3-12)。

其中：

是一个动态约束边界，

为动态小生境半径，

环境变量从s到s+1的改变，会使得动态约束边界与小生境半径都会作相应的减小。

在最终状态S时，

此时公式(3-12)转化为如下公式(3-13)。

基于以上所述，文中所述动态多目标约束优化算法框架可以求解带约束(或不带约束)的单目标优化问题或带约束(或不带约束)的多目标优化问题。

在线天线中，天线阵因子如下公式(3-14)所示：

其中：A_i、β_i分别为第i个天线单元端口激励的幅度和相位，d_i为第i 个天线单元到第一个天线单元的距离，θ为天线阵的辐射方向角，num为天线阵单元数目，λ为电磁波长。

最大旁瓣电平如下公式(3-15)。

其中：θ_SL为除主瓣外方向的辐射角度，θ_max为最大阵因子对应的辐射角度。

在数值计算中，我们采用公式(3-16)来衡量MSLL的大小：

零点的公式如下(3-17)所示。

其中：θ_null为零点对应的辐射方向。

同理，在数值计算中采用(3-18)衡量NULL的大小：

第一零点波束宽度如下式(3-19)。

其中：θ_mianlobe为第一零点之间的波束宽度。

(2)接下来，用两个线天线问题实例来详细说明。

(a)采用天线阵综合中波束赋形综合问题为第一个例子，文献^[5]

给出了分布在z轴上的19个天线单元的天线阵，设计需求如下(3-20)。

在该问题中，d_i作为一个常量，取值为0.5λ，A_i、β_i作为待优化的变量。

分别采用数学模型(3-1)、(3-2)、(3-3)和(3-4)进行建模如下 (3-21)、(3-22)、(3-23)和(3-24)：

其中：误差函数e用来评估综合后得到的阵因子与期望阵因子的误差如下公式(3-25)。

鉴于工程应用中馈电网络的实现难度，天线阵端口激励的最大幅度与最小幅度比值^[6]作为一个目标R，如下式(3-26)。

(b)一款含有28个阵元的线性天线阵列设计作为第二个例子，其中含有六个零点^[7]，即±30°、±32.5°和±35°，零点位置达到-60dB，第一零点波束宽度为8.5°，允许有±12％的偏差^[8][9]。

在此问题中，d_i作为一个变量且被λ归一化处理，A_i、β_i常量，分别取值1、0。

类似的，采用相同数学模型对此问题建模如下(3-27)、(3-28)、(3-29) 和(3-30)：

(c)演化算法中相关参数的设置

设置交叉因子为0.9，种群规模为100，突变率为0.01。

a)中最大环境变量设置为6000，(b)中最大环境变量设置为3000。

图1分别得到的是单目标无约束和单目标约束的结果对比图，其中实线代表设计得到的辐射方向图，虚线为期望的辐射方向图。图1中采用单目标无约束优化问题求解，在赋形区域的拟合程度并没有达到期望的要求，并且在赋形区域出现多个副瓣。很显然，这种优化问题建模并没有达到预期的要求。图1中采用单目标约束优化问题求解，在赋形区有较好的形状，副瓣电平达到了预期的要求，所得的解基本满足预期的要求，但是这种优化问题建模结果较为单一，并不能为决策者提供多种选择。

图2分别为多目标无约束优化pareto集合和多目标约束优化pareto集合，其中的点为仅供参考的候选解。

在多目标优化问题中，我们将每一个目标各自的最小化值分别作为一个候选解，另外我们也将提供一个权衡各个目标后的解作为一个候选解提供给决策者。多目标无约束优化问题与多目标约束优化问题各种的4种候选解各个目标值如下图3和图4。

对应的4中候选解各自对应的辐射方向图如下图5、图6。

在多目标无约束优化问题中，由图5可得：将最小化误差e作为决策方案时如(a)所示，虽然误差值在各个解中最小，为0.35，但是在赋形区效果很差，并且旁瓣水平MSLL为-7.12dB；若希望旁瓣水平MSLL最小如(b)所示，旁瓣水平为-20.65dB，但是在赋形区域效果不理想，并且第三个目标馈电网路的不易实现；若希望馈电网络较为简单如(c)所示，激励振幅最大值与最小值之比1.03，馈电部分实现较为容易，但是赋形区效果很差；我们对三个目标做一个简单权衡，得到如(d)所示，虽然在误差、旁瓣水平和馈电网络三个目标均有缓和，但是依旧达不到预期要求。

对于多目标约束优化问题，我们在旁瓣MSLL约束低于-22dB的基础上对问题进行求解，提供的4中候选解各自辐射方向图如图6。可以看出，每一种候选解的辐射方向图旁瓣均在要求以内，误差最小、旁瓣最低以及馈电网络最方便三种候选解的辐射方向图分别如图(a)、(b)和(c)。此外也对三个目标进行简单权衡，得到的候选解辐射方向图如(d)所示。明显看出，这些候选解满足设计需求，而且决策者可以根据自己的需求对多种候选解选择。相比于前三种优化问题，多目标约束优化优有更好的效果。

(b)在实例2中，四种优化问题可以得到如下的结果：

图7分别得到的是单目标无约束优化和单目标约束优化的结果，其中实线代表设计得到的辐射方向图，虚线为旁瓣MSLL值，绿色的点为期望的零点位置。图7中采用单目标无约束优化问题求解，第一零点宽度FNBW为8.6，旁瓣水平MSLL为-23.22dB，零点达到了-100dB。图7中采用单目标约束优化问题求解，第一零点宽度FNBW为8.6，旁瓣水平MSLL为-23.31dB，零点达到了-60dB。单目标优化问题基本能达到设计需求，但是求解结果单一，不能给决策者选择的余地。

同样，提供4个可供参考的候选解，其相应的信息如下图9、图10所示。

以第一零点位置FNBW、副瓣电平MSLL和零点位置NULL构成一个无约束三目标优化问题，分别选择最小化FNBW、MSLL和NULL作为三个可供选择的参考解，详细数值如说明书附图，其辐方向图如图11(a)(b)(c)。(a)中的零点为-25.60dB，MSLL值为-23.84dB；(b)中MSLL为-25.20dB，FNBW值为10.80； (c)中NULL为-84.96dB，其MSLL为-21.01dB。同样在众多解中权衡三个目标值，给出了一个权衡的方案如图11(d)。可以看出，多目标无约束优化往往是一个目标性能提高的同时会是其他目标性能变差。对于此天线设计问题而言，多目标无约束优化虽然能提供多种参考解，但是其性能往往达不到期望的要求。

我们将第一零点波束宽度FNBW作为目标同时又作为一个约束构成多目标约束优化问题，同样给出了4个参考解如图所示。从图12中(a)(b)(c)(d) 可以看出，得到的4个辐射方向图的第一零点波束宽度均在期望的范围内， (a)中得到最靠近期望宽度的参考解；(b)中得到了最小的MSLL值-24.12dB； (c)中零点的值-84.96dB；(d)作为一个经过简单均衡后的参考解，每一个目标都是最大限度上向要求得辐射方向图靠近。

以上两个实例可以看出，我们采用统一的多目标约束优化数学模型(3-1) 出发，分别将其的三种特例：多目标无约束优化、单目标无约束优化和单目标约束优化也进行相应的建模求解。单目标优化问题求得的解可能会基本满足设计需求，但是由于其结果的单一性，不能给决策者提供选择的机会。多目标优化解决了选择单一的问题，但是多目标无约束优化的效果并不能达到期望的设计效果，如果采用多目标约束优化来求解复杂的优化问题，不仅能提供多种选择的解，而且还能较大程度地满足设计需求。

综上所述，不管是天线设计需求较为简单还是较为复杂，本发明所提出的的统一的多目标约束优化问题模型都能很好地应对这一状况，根据实际设计需求都能转化为合适的优化问题求解模型。同时也充分证明了本发明为了能够充分体现技术指标的优化性与约束性要求，所提的一种新的构建优化问题数学模型的方法，即将天线设计问题抽象成统一的、一般的多目标约束优化问题的正确性。

文中所提的动态约束多目标优化算法是本课题组的特色，文章^[10]详细介绍了该算法框架很好应用于求解单目标无约束优化问题；文章^[4]表明此算法框架对于求解单目标约束优化问题有不错的效果；当约束为0、目标数为m时，此算法退化成为文章^[11]中的NSGA-II算法，是一个十分经典的求解多目标优化问题算法；对于求解多目标约束优化问题时，相比于其他算法，文章^[12]表明该算法有更加明显的优势。综上所述，所给出的动态约束多目标优化算法对于求解一般的多目标约束优化问题以及单目标优化问题、单目标约束优化问题、多目标无约束优化问题特例情形都有较为不错的效果。

参考文献：

[1]Miettinen，“Nonlinear multiobjective optimization，”JournaloftheOperationalResearchSociety，vol.51，no.2，p.246，1999.

[2]Li K，Deb K，Zhang Q，et al.An Evolutionary Many-ObjectiveOptimization Algorithm Based on Dominance and Decomposition[J].IEEETransactions on Evolutionary Computation，2015，19(5):694-716.

[3]C.A.C.Coello，“Constraint-handling techniques used withevolutionary algorithms，”in Proceedings of the Genetic and EvolutionaryComputation Conference Companion.ACM，2017，pp.675 –701.

[4]S.Zeng，R.Jiao，C.Li，X.Li，and J.S.Alkasassbeh，“A general frameworkof dynamic constrained multiobjective evolutionary algorithms for constrainedoptimization，”IEEE transactions oncybernetics，vol.47，no.9，pp.2678–2688，2017.

[5]S.Ho，J.Yang，S.Yang，and Y.Bai，“A real coded vector populationbasedincremental learning algorithm for multi-objective optimizations ofelectromagnetic devices，”IEEE Transactions on Magnetics，vol.54，no.3，pp.1–4，2018.

[6]赵菲，柴舜连，叶良丰，齐会颖，&毛钧杰.(2013).改进的多目标粒子群算法综合激励受限的共形阵.航空学报.

[7]R.Bhattacharya，T.K.Bhattacharyya，and R.Garg，“Position mutatedhierarchical particle swarm optimization and its application in synthesis ofunequally spaced antenna arrays，”IEEETransactions onAntennas andPropagation，vol.60，no.7，pp.3174–3181，2012.

[8]M.M.Khodier and C.G.Christodoulou，“Linear array geometry synthesiswith minimum sidelobe level and null control using particle swarmoptimization，”IEEETransactions onAntennas andPropagation， vol.53，no.8，pp.2674–2679，2005.

[9]S.K.Goudos，V.Moysiadou，T.Samaras，K.Siakavara，and J.N.Sahalos，“Application of a comprehensive learning particle swarm optimizer tounequally spaced linear array synthesis with sidelobe level suppression andnull control，”IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters，vol.9，no.1，pp.125–129，2010.

[10]Jiao R，Zeng S，Alkasassbeh J S，et al.Dynamic multi-objectiveevolutionary algorithms for single-objective optimization[J].Applied SoftComputing，2017:S1568494617305124.

[11]Deb K，Pratap A，Agarwal S，et al.A fast and elitist multiobjectivegenetic algorithm:NSGA-II[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6(2):0-197.

[12]Ruwang Jiao，Sanyou Zeng，Changhe Li，Witold Pedrycz. EvolutionaryConstrained Multi-objective Optimization using NSGA-II with DynamicConstraint Handling.IEEE Congress on Evolutionary Computation(CEC)，2019.

尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法，将天线设计问题抽象成统一的、一般的多目标约束优化问题，它有m(≥1)个优化目标，p(≥0)个约束条件。其它的优化问题情形都是它特例，例如，m＝1,p＝0是单目标优化问题；m＝1,p≠0是约束单目标优化问题；m＞1,p＝0是多目标无约束优化问题。提出了一个多目标约束优化算法，能很好地求解该统一的、一般的多目标约束优化问题，其特征在于：所述其实施步骤包括；

首先，给出多目标约束优化问题的数学模型，含有m个目标、p个约束的多

目标约束优化问题数学模型如下(3-1)所示：

当m＝1，p＝0时，公式(3-1)转换为单目标无约束优化问题，数学模型如公式(3-2)所示。

当m＝1,p≠0时，公式(3-1)转换为单目标约束优化问题，数学模型如公式(3-3)所示。

当m＞1,p＝0时，公式(3-1)转换为多目标无约束优化问题，数学模型如公式(3-4)所示。

其次，基于当前的工作，给出一种动态多目标约束优化算法框架^[4]，利用该算法框架可以求解以上优化问题；

该算法首先将约束优化问题转化为动态多目标约束优化问题，然后根据提出的动态多目标约束优化算法框架分别求解以上优化问题。

(1)动态多目标约束优化算法基本框架

首先介绍两个额外添加的目标：约束违约目标和小生境计数目标。

a)约束违约目标指所有的约束归一化后的违约平均值，如下式(3-5)所示。

其中：P(0)为初始种群，

a)小生境计数目标如下公式(3-6)所示。

其中：

为父代种群与子代种群的总种群，σ为小生境半径，上式中

共享函数

定义为如下公式(3-7)所示。

其中：

c)动态处理技术

为了处理约束的困难，采用了动态处理技术。当环境发生改变时，约束边界

和小生境半径σ如下式(3-8)、(3-9)所示。

其中：在该算法框架中，η＝1e-8，s为环境状态。

A_i、B_i(i＝1,2,...,p)、C、D如下式(3-10)、(3-11)所示。

其中：S为最大的环境改变量，

当环境变量为s时，公式(3-1)、(3-2)、(3-3)和(3-4)所对应的优化问题模型可以记作如下式(3-12)。

其中：

是一个动态约束边界，

s＝0,1,...,S，

为动态小生境半径，

环境变量从s到s+1的改变，会使得动态约束边界与小生境半径都会作相应的减小。

在最终状态S时，

此时公式(3-12)转化为如下公式(3-13)。

基于以上所述，文中所述动态多目标约束优化算法框架可以求解带约束(或不带约束)的单目标优化问题或带约束(或不带约束)的多目标优化问题。

在线天线中，天线阵因子如下公式(3-14)所示：

其中：A_i、β_i分别为第i个天线单元端口激励的幅度和相位，d_i为第i个天线单元到第一个天线单元的距离，θ为天线阵的辐射方向角，num为天线阵单元数目，λ为电磁波长。

最大旁瓣电平如下公式(3-15)。

其中：θ_SL为除主瓣外方向的辐射角度，θ_max为最大阵因子对应的辐射角度。

在数值计算中，我们采用公式(3-16)来衡量MSLL的大小：

零点的公式如下(3-17)所示。

其中：θ_null为零点对应的辐射方向。

同理，在数值计算中采用(3-18)衡量NULL的大小：

第一零点波束宽度如下式(3-19)。

其中：θ_mianlobe为第一零点之间的波束宽度。

(2)接下来，用两个线天线问题实例来详细说明。

(a)采用天线阵综合中波束赋形综合问题为第一个例子，文献^[5]给出了分布在z轴上的19个天线单元的天线阵，设计需求如下(3-20)。

在该问题中，d_i作为一个常量，取值为0.5λ，A_i、β_i作为待优化的变量。

分别采用数学模型(3-1)、(3-2)、(3-3)和(3-4)进行建模如下(3-21)、(3-22)、(3-23)和(3-24)：

其中：误差函数e用来评估综合后得到的阵因子与期望阵因子的误差如下公式(3-25)。

鉴于工程应用中馈电网络的实现难度，天线阵端口激励的最大幅度与最小幅度比值^[6]作为一个目标R，如下式(3-26)。

(b)一款含有28个阵元的线性天线阵列设计作为第二个例子，其中含有六个零点^[7]，即±30°、±32.5°和±35°，零点位置达到-60dB，第一零点波束宽度为8.5°，允许有±12％的偏差^[8][9]。

在此问题中，d_i作为一个变量且被λ归一化处理，A_i、β_i常量，分别取值1、0。

类似的，采用相同数学模型对此问题建模如下(3-27)、(3-28)、(3-29)和(3-30)：

2.根据权利要求1所述的一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法，其特征在于：所述其公式(3-1)中：

为优化目标向量，

为约束向量，

是决策向量，X为决策空间，

和

分别代表着决策变量的下界和上界，n为决策向量的维度。

假设有两个解

对于任意i∈{1,...,m}满足

并且至少存在一个j∈{1,...,m}满足

时，我们称

支配

假设不存在

使得

支配

则

被称之为Pareto最优解，所有的Pareto最优解构成的集合称之为Pareto集合^[1][2]。

3.根据权利要求1所述的一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法，其特征在于：所述公式(3-2)、(3-3)和(3-4)都是公式(3-1)的特殊情况。当公式(3-1)中目标数m为1、约束数目为0时，其等价于公式(3-2)；当公式(3-1)中目标数m为1、约束数不为0时，其等价于公式(3-3)；当公式(3-1)中目标数大于1、约束数目为0时，其等价于公式(3-4)。对于任意的一个优化问题，我们都可以利用成约束多目标优化数学模型，根据具体需求转化为适当的优化问题。

4.根据权利要求1所述的一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法，其特征在于：所述公式(3-2)、(3-3)中分别为单目标无约束优化问题和单目标约束优化问题，是公式(3-12)中的目标数m取值为1；公式(3-4)中的多目标无约束优化问题，是公式(3-12)中的约束数目p为0；公式(3-1)中的多目标约束优化问题，是公式(3-12)中的目标数取值为m，约束个数为p不为0。综上所述，公式(3-12)优化问题适用于带约束(或不带约束)的单目标优化问题或带约束(或不带约束)的多目标优化问题。

5.根据权利要求1所述的一种天线设计的多目标约束优化建模与演化求解方法，其特征在于：所述其公式(3-4)中，假设一个解

满足所有的约束，则

被称为一个可行解，否则

是不可行解。所有的可行解成为该问题的可行域。与无约束优化问题相比，约束优化问题需要在可行域内寻找全局最优解，因此更具有挑战性。

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