CN111046456A - 地震动时程激励下线性系统反应谱分析的迭代法 - Google Patents

Abstract

地震动时程激励下线性系统反应谱分析的迭代法，属于土木工程中的结构抗震设计方法领域，包括如下步骤：步骤1：依据结构的运动方程，获得结构解耦后的标准二阶微分方程，步骤2：获得结构响应的杜哈梅积分表达式，步骤3：地震动响应的迭代法，步骤4：避免计算超限导致计算失败问题的处理，步骤5：基于反应谱理论的地震动时程响应的迭代法，步骤6：基于反应谱理论的结构响应的加速度反应谱计算。本发明是在获得结构二阶地震动微分方程的基础上，获得其杜哈梅积分型的表达式。然后利用地震动时程激励具有时间间隔相等和结构响应杜哈梅积分表达式的特点，提出了一种无任何假设的计算结构响应的迭代法，有助于促进反应谱理论的完善及其工程应用。

Description

地震动时程激励下线性系统反应谱分析的迭代法

技术领域

本发明属于土木工程中的结构抗震设计方法领域，涉及一种快速计算给定地震动时程激励的线性结构绝对加速度反应谱、速度反应谱和位移反应谱的迭代法和大型复杂结构地震动时程分析。

背景技术

地震是目前世界上破坏力最强的自然灾害之一，每次强烈地震不仅会造成严重的人员伤亡及财产损失，同时也给人们带去心灵创伤。随着科技的发展和对地震认识的不断增多，人们逐渐掌握了防御地震并减轻地震灾害的方法。自20世纪初至今，结构抗震减灾方法经历了静力阶段、设计反应谱阶段和随机振动阶段。由于地震具有发生时间、地点及强度的随机性，地震对结构的作用分析非常复杂，目前世界各国仍然以设计反应谱方法作为规范推荐的方法，同时也将地震动时程分析作为验证重要及复杂结构的必备方法。

设计反应谱是日本学者是1920年左右提出的，直到1940年美国学者比奥特(Biot.M)、贝尼奥夫(Benioff.H)和豪斯纳(Housner.H)等人在获得地震动加速度时程曲线之后，才真正应用于工程设计。因此，设计反应谱的基础是地震动时程曲线。地震动时程曲线是地震学科研究地震发生规律和工程抗震领域研究结构抗震非常重要的一种工具。目前随着世界各国对于地震动监测手段的增多，记录了大量的地震动时程曲线，对研究地震动对各类人造结构的影响起到非常重要的作用，受到广大科研人员的青睐。

设计反应谱方法，是将结构的震动化为多个二阶微分方程表示的振子的线性组合：

式中，x为结构的位移响应；

分别为i振子的相对于地面运动的加速度、速度和位移；ξ_i,ω_i为i振子的阻尼比和自振圆频率；φ_i为i振子的阵型系数；

为地震动时程激励。则振子位移、速度及绝对加速度的杜哈梅积分形式：

对比式(3)-(5)，可以发现对于线性体系结构体系的位移、速度和绝对加速度响应是基于杜哈梅卷积形式的积分。针对此类积分，传统方法众多，有直接积分法和迭代法两大类，直接积分法的计算量会随着累时的增加而增加，特别是对于复杂系统来说，计算的海量增加可能导致无法运行；迭代法应用比较广泛的是Newmark线性加速度法和Wilsonθ法，但都存在加速度为线性的假定，需要计算加速度、速度和位移的响应值。

基于设计反应谱理论和地震动时程激励下的结构响应分析是当前工程结构抗震设计的两类主要方法。基于反应谱理论的设计方法，需要分析在地震动时程曲线下结构不同阻尼比和不同振动频率的结构位移、速度和加速度响应的时间历程的最大值，以确定地震动时程曲线的反应谱。复杂结构或重要结构的时程分析是国家各类结构规定必须采用的一种结构设计方法，要求结构的时程分析必须采用不少于4条时程曲线。上述两种分析方法中的地震动时程结构的响应均需要表述为三角函数与指数函数相乘的杜哈梅积分形式，该积分形式的当前方法存在计算效率问题，即随着时间积分点的增加计算工作量急剧增加，导致计算效率降低。

本发明基于杜哈梅积分和时程地震动曲线的特点，提出了快速地震动时程迭代法，且位移、速度和加速度分别计算，无需假定，因此是精确方法。

发明内容

针对当前传统方法在计算地震动时程激励下结构响应反应谱存在计算效率低、精度低的双低问题，本发明是在获得结构二阶地震动微分方程的基础上，获得其杜哈梅积分型的表达式。然后利用地震动时程激励具有时间间隔相等和结构响应杜哈梅积分表达式的特点，提出了一种无任何假设的计算结构响应的迭代法，可有效提高地震动时程分析及反应谱分析的效率及精度，有助于促进反应谱理论的完善及其工程应用。

本发明通过以下方案实现：

步骤1：依据结构的运动方程，获得结构解耦后的标准二阶微分方程：

式中，M、C、K分别为地震动结构的质量、阻尼和刚度矩阵；I＝[1 ... 1]^T；

为地震动激励时程值；

对经典阻尼结构对其进行实模态解耦：

x＝φy (2)

式中，φ为结构阵型，y为结构振动广义坐标，其满足：

式中，ξ_i,ω_i分别为第i阵型的阻尼比和频率；η_i荷载强度系数，其为下式的分量：

步骤2：获得结构响应的杜哈梅积分表达式

在地震动作用下，式(3)所对应的位移速度和加速度的杜哈梅积分表达式：

把式(5)-(7)写成统一的表达式：

式中，S(t)为结构的某一响应；s分别为响应的强度系数；α，β为结构振动的特征值，α＞0；φ为响应的相位差其值为：

步骤3：地震动响应的迭代法

鉴于地震动时程曲线的间隔时间相等，设为Δt，则任意时刻时间t满足：

t＝k*Δt (9)

式中，k为自然数；

利用三角函数角和差化积公式，将式(8)的参数t及积分变量μ分离：

令：

则(10)改写为：

S(t)＝se^-αt[sin(βt+φ)A₁(t)-cos(βt+φ)A₂(t)] (12)

由于地震动时间历程是按照等间隔Δt，为此，利用积分按求和方式对式(11) 展开：

同理，Δt+t时刻的响应：

对式(15)进行积分展开：

对式(16)进一步改写：

比较(13)与(17)，则t时刻和t+Δt时刻存在如下关系：

步骤4：避免计算超限导致计算失败问题的处理

由于α＞0，随着t的增大，式(18)中的e^αt会超出计算器的计算容量，导致计算出错。为此，对式(18)做如下改变：

令:

则式(19)改写为：

最终，由式(14)变为：

S(t+Δt)＝s{sin[β(t+Δt)+φ]B₁(t+Δt)-cos[β(t+Δt)+φ]B₂(t+Δt)} (22)

式中，B₁(t+Δt)、B₂(t+Δt)由式(21)表示的。

对于初始时刻：

至此，式(21)-(23)为地震动时程响应的迭代法，可用于复杂大型结构的地震动时程分析。

步骤5：基于反应谱理论的地震动时程响应的迭代法

标准地震动方程为：

式中，

分别为振子的加速度，速度和位移；ξ,ω为振子的阻尼比和自振圆频率。根据反应谱的定义，则振子的位移、速度和加速度反应谱为：

式中，

而反应谱理论采用加速度反应谱，其是建立在速度反应谱的基础上，而速度反应谱的定义为：

式中，PSV(T,ξ)为速度反应谱；ξ为周期为T对于阻尼比。加速度反应谱与速度反应谱的关系：

式中，S_a(T,ξ)为加速度反应谱，比较式(19)与(21)，可以发现，两者均为速度反应谱，但存在相位差：

但反应谱理论认为相位差Δφ影响较小，故由式(21)-(23)及(28)，基于反应谱理论的地震动时程响应的迭代法：

令：

式中：

对于初始时刻：

步骤6：基于反应谱理论的结构响应的加速度反应谱计算则结构速度响应的反应谱值为：

PSV(T,ξ)＝|PSV(T,ξ，t)|_max (34)

由式(29)，结构响应的加速度反应谱为：

与现有技术相比，本发明的创新之处：

1.设计反应谱法是当前工程结构抗震设计规范所规定的方法之一，针对不同的地震动时程曲线来计算结构加速度反应谱，传统方法采用Newmark线性加速度法和Wilsonθ法，需要一些假定，因此计算精度有限，且计算加速度时需要同时计算位移、速度的响应值，因此计算效率低。

2.本发明所求的地震动加速度反应谱值和结构地震动时程曲线值均为精确解。本发明充分利用杜哈梅积分的特点和地震动时程的等时间间隔而获得的一种迭代法，不存在Newmark线性加速度法和Wilsonθ法对于加速度的假定。

3.本发明所求的地震动加速度反应谱值和结构地震动时程曲线值的效率高。相对于传统方法，本发明具有迭代特点，且结构位移、速度和加速度的响应值互相独立求解；而传统方法如Newmark线性加速度法和Wilsonθ法需要同时计算位移、速度和加速度响应值。因此本文方法至少是传统方法效率的2倍。

附图说明

图1：为本发明流程图；

图2：地震动时程曲线；

图3:3层位移的时程曲线；

图4：3层速度的时程曲线；

图5:3层加速度的时程曲线。

具体实施方式

步骤1：依据结构的运动方程，获得结构解耦后的标准二阶微分方程：

式中，M、C、K分别为地震动结构的质量、阻尼和刚度矩阵；I＝[1 ... 1]^T；

为地震动激励时程值；

对经典阻尼结构对其进行实模态解耦：

x＝φy (2)

式中，φ为结构阵型，y为结构振动广义坐标，其满足：

式中，ξ_i,ω_i分别为第i阵型的阻尼比和频率；η_i荷载强度系数，其为下式的分量：

步骤2：获得结构响应的杜哈梅积分表达式

在地震动作用下，式(3)所对应的位移速度和加速度的杜哈梅积分表达式：

把式(5)-(7)写成统一的表达式：

式中，S(t)为结构的某一响应；s分别为响应的强度系数；α，β为结构振动的特征值，α＞0；φ为响应的相位差，其值为：

步骤3：地震动响应的迭代法

鉴于地震动时程曲线的间隔时间相等，设为Δt，则任意时刻时间t满足：

t＝k*Δt (9)

式中，k为自然数；

利用三角函数角和差化积公式，将式(8)的参数t及积分变量μ分离：

则(10)改写为：

S(t)＝se^-αt[sin(βt+φ)A₁(t)-cos(βt+φ)A₂(t)] (12)

由于地震动时间历程是按照等间隔Δt，为此，利用积分按求和方式对式(11) 展开：

同理，Δt+t时刻的响应：

对式(15)进行积分展开：

对式(16)进一步改写：

比较(13)与(17)，则t时刻和t+Δt时刻存在如下关系：

步骤4：避免计算超限导致计算失败问题的处理由于α＞0，随着t的增大，式(18)中的e^αt会超出计算器的计算容量，导致计算出错。为此，对式(18)做如下改变：

令:

则式(19)改写为：

最终，由式(14)变为：

S(t+Δt)＝s{sin[β(t+Δt)+φ]B₁(t+Δt)-cos[β(t+Δt)+φ]B₂(t+Δt)} (22)

式中，B₁(t+Δt)、B₂(t+Δt)由式(21)表示的。

对于初始时刻：

至此，式(21)-(23)为地震动时程响应的迭代法，可用于复杂大型结构的地震动时程分析。

步骤5：基于反应谱理论的地震动时程响应的迭代法

标准地震动方程为：

式中，

分别为振子的加速度，速度和位移；ξ,ω为振子的阻尼比和自振圆频率.根据反应谱的定义，则振子的位移、速度和加速度反应谱为：

式中，

而反应谱理论采用加速度反应谱，其是建立在速度反应谱的基础上，而速度反应谱的定义为：

式中，PSV(T,ξ)为速度反应谱；ξ为周期为T对于阻尼比。加速度反应谱与速度反应谱的关系：

式中，S_a(T,ξ)为加速度反应谱，比较式(19)与(21)，可以发现，两者均为速度反应谱，但存在相位差：

但反应谱理论认为相位差Δφ影响较小，故由式(21)-(23)及(28)，基于反应谱理论的地震动时程响应的迭代法：

令：

式中：

对于初始时刻：

则结构速度响应的反应谱值为：

PSV(T,ξ)＝|PSV(T,ξ，t)|_max (34)

步骤6：基于反应谱理论的结构响应的加速度反应谱计算

由式(29)，结构响应的加速度反应谱为：

实施例：

一3层建筑结构，各层质量：1层为260吨、2层为240吨、3层为380吨；结构层刚度：1层为98MN/m、2层为84MN/m、3层为81MN/m；结构阻尼比为0.05。地震激励取“1940 EI CentroSite 270 Deg”时程地震激励，强度为0.3g(g为重力加速度)，其时程曲线见图1。利用本发明获得结构3层的位移、速度和加速度时程曲线。

实施步骤1：根据已知条件，获得结构的质量、刚度矩阵，阵型，频率值

质量矩阵：

刚度矩

阵型1：0.2856278 0.5697423 0.7705908；

阵型1频率：

阵型1荷载系数：1.551355

阵型2：-0.7368705-0.5213728 0.4303398

阵型2频率：

阵型2荷载系数：-0.553447

阵型3：-0.64282804 0.74353932 -0.18417756

阵型3频率：

阵型3荷载系数：-0.231898

则3层3个阵型的杜哈梅积分强度系数为：

1.1954599893 -0.2381703938 0.0427104045

实施步骤2：结构3层的位移、速度、加速度的x₃(t)、

杜哈梅积分表达式

按照上述x₃(t)、

的表达式利用本发明获得的时程曲线见附图2-图4.

实施步骤3：结构3个阵型对应的加速度反应谱

3个阵型的标准地震动方程：

则相位差为：

(1)考虑相位差的加速度反应谱

(2)不考虑相位差的加速度反应谱

考虑相位差与不考虑相位差的对比分析：

从案例来说，相位差对于加速度反应谱的影响很小，这一点与反应谱理论的结论是一致的，也从侧面验证了本发明的正确性。由于本发明在计算结构位移、速度和加速度时程分析时，各自独立，因此本发明可有效提高计算效率。

Claims (1)

1.地震动时程激励下线性系统反应谱分析的迭代法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：依据结构的运动方程，获得结构解耦后的标准二阶微分方程：

式中，M、C、K分别为地震动结构的质量、阻尼和刚度矩阵；I＝[1 ... 1]^T；

为地震动激励时程值；

对经典阻尼结构对其进行实模态解耦：

x＝φy (2)

式中，φ为结构阵型，y为结构振动广义坐标，其满足：

式中，ξ_i,ω_i分别为第i阵型的阻尼比和频率；η_i荷载强度系数，其为下式的分量：

步骤2：获得结构响应的杜哈梅积分表达式

在地震动作用下，式(3)所对应的位移速度和加速度的杜哈梅积分表达式：

把式(5)-(7)写成统一的表达式：

式中，S(t)为结构的某一响应；s分别为响应的强度系数；α，β为结构振动的特征值，α＞0；φ为响应的相位差，其值为：

步骤3：地震动响应的迭代法

鉴于地震动时程曲线的间隔时间相等，设为Δt，则任意时刻时间t满足：

t＝k*Δt (9)

式中，k为自然数；

利用三角函数角和差化积公式，将式(8)的参数t及积分变量μ分离：

令：

则(10)改写为：

S(t)＝se^-αt[sin(βt+φ)A₁(t)-cos(βt+φ)A₂(t)] (12)

由于地震动时间历程是按照等间隔Δt，为此，利用积分按求和方式对式(11)展开：

同理，Δt+t时刻的响应：

对式(15)进行积分展开：

对式(16)进一步改写：

比较(13)与(17)，则t时刻和t+Δt时刻存在如下关系：

步骤4：避免计算超限导致计算失败问题的处理

由于α＞0，随着t的增大，式(18)中的e^αt会超出计算器的计算容量，导致计算出错，为此，对式(18)做如下改变：

令:

则式(19)改写为：

最终，由式(14)变为：

S(t+Δt)＝s{sin[β(t+Δt)+φ]B₁(t+Δt)-cos[β(t+Δt)+φ]B₂(t+Δt)} (22)

式中，B₁(t+Δt)、B₂(t+Δt)由式(21)表示的；

对于初始时刻：

至此，式(21)-(23)为地震动时程响应的迭代法，可用于复杂大型结构的地震动时程分析；

步骤5：基于反应谱理论的地震动时程响应的迭代法

标准地震动方程为：

式中，

δ分别为振子的加速度，速度和位移；ξ,ω为振子的阻尼比和自振圆频率；根据反应谱的定义，则振子的位移、速度和加速度反应谱为：

式中，

而反应谱理论采用加速度反应谱，其是建立在速度反应谱的基础上，而速度反应谱的定义为：

式中，PSV(T,ξ)为速度反应谱；ξ为周期为T对于阻尼比；加速度反应谱与速度反应谱的关系：

式中，S_a(T,ξ)为加速度反应谱，比较式(19)与(21)，可以发现，两者均为速度反应谱，但存在相位差：

但反应谱理论认为相位差Δφ影响较小，故由式(21)-(23)及(28)，基于反应谱理论的地震动时程响应的迭代法：

令：

式中：

对于初始时刻：

步骤6：基于反应谱理论的结构响应的加速度反应谱计算

则结构速度响应的反应谱值为：

PSV(T,ξ)＝|PSV(T,ξ，t)|_max (34)

由式(29)，结构响应的加速度反应谱为：

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