CN110990910B - 时程激励下线性耗能结构响应的快速迭代法 - Google Patents

Abstract

时程激励下线性耗能结构响应的快速迭代法，属于土木工程中的结构抗震、抗风振动分析领域，包括如下步骤：步骤1：建立结构的地震动方程，步骤2：运动方程组的一阶微分方程组转化，步骤3：一阶微分方程组的复模态解耦，步骤4：结构时程响应的精确迭代法，本发明在获得结构振动方程的基础上利用状态方程法将结构化为一阶微分方程组，利用复模态方法解耦振动方程，获得结构动力响应的杜哈梅积分表达式。利用时程激励时间间隔相等、结构响应杜哈梅积分表达式的特点及指数相乘简化运算的特点，提出了一种无任何假设的计算结构时程响应的快速迭代法。

Description

时程激励下线性耗能结构响应的快速迭代法

技术领域

本发明属于土木工程中的结构抗震、抗风振动分析领域，涉及一种高效求解结构在时程激励下动力响应的迭代解法。

背景技术

地震、风等自然现象都会对人造土木结构产生影响，均以动力的形式施加在土木结构上，由于它们从发生到结束都要经历一定的时间间隔，因此地震和风对土木结构的一次作用都应看做是时程激励。当强震或者强风发生时，都会引起人造土木结构的强烈振动，严重时引起结构的破坏。地震和台风、飓风等每年都会给地球家园造成大量的人员伤亡和巨大的经济损失。20世纪40年代，日本，美国等国家最早开展地震动过程的监测工作，新中国成立之后，中国也加入了对地震动过程的监测工作，至今已经获得了大量的地震动时程曲线，一直是研究地震动对土木结构震动影响的重要途径。20世纪50年代，美国、加拿大等受飓风影响较大的国家、中国和日本等遭受台风等影响大的国家开始对风荷载对结构的影响进行研究，获得了大量的风荷载时程，特别是近年来风洞试验的开展，获得了大量的风荷载时程激励数据，成为研究风荷载对土木结构影响的重要手段。

研究土木结构在时程激励下的动力响应，一直是土木工程领域的重要课题。结构响应的动力时程分析就是处理各个时间点处的响应参数，为此，土木结构基于时程激励下的分析只有数值计算一种方法。根据是否需解微分方程，又分为近似数值法和精确数值方法两种。

近似数值方法有线性加速度法、中心差分法、Wilson-θ法和Newmark-β法、Houbolt法等数值方法，这些方法不需要解微分方程，因此是一种拟静力方法，应用时需要作出关于速度、加速度的一些假定，同时方法的稳定性受时间步长。精确数值方法针对线性结构，运用模态法将结构解耦后，将结构的位移、速度响应表达为杜哈梅积分形式：

式中，p,f(t)分别为结构响应的特征值和荷载时称激励。

针对式(1)，结构的响应每个时间点t的增加，计算量从0开始计算，因此该方法仍然存在计算量较大的问题。

土木工程中的结构设计时需要承受各类时程激励，典型的为地震动激励、风激励等。为此需要计算结构位移、速度和加速度在时程激励下的响应值并作为结构安全设计的依据。传统方法在分析结构响应时采用的线性加速度假定且位移、速度和加速度互相依存，因此存在计算精度低和效率低的问题。此外，耗能结构如TMD、隔震结构、粘弹性阻尼器结构传统方法无法实模特解耦，在各类时程激励性的位移、速度和加速度分析则假定更多，精度受限。

发明内容

针对当前传统方法在计算时程激励下线性结构动力响应存在计算效率低、精度有限的问题，本发明在获得结构振动方程的基础上利用状态方程法将结构化为一阶微分方程组，利用复模态法将结构进行模态解耦，进而将结构的位移、速度和加速度的响应值表示成互相独立的杜哈梅积分形式，基于杜哈梅积分特点、地震动时程特点及e指数运算快的特点，提出了一种无任何假设的分析结构响应的快速迭代法。

本发明通过以下方案实现：

步骤1：建立结构的地震动方程

先根据工程设计需要，建立结构基于时程激励的动力方程(结构类型包括，混合结构、隔震结构、质量调制结构(TMD)、粘弹性阻尼器结构)。

式中，M,C,K分别为结构及减震装置的质量、刚度和阻尼矩阵，其为n*n阶矩阵；x、为结构相对于地面的位移向量、速度向量及加速度向量；α为结构激励强度系数；f(t)为时程激励，可以是地震动时程曲线、也可以是风振动时程曲线。

步骤2：运动方程组的一阶微分方程组转化

引入状态变量：

方程(1)变为：

式中，r＝[α^T 0]^T。

步骤3：一阶微分方程组的复模态解耦

运用复模态法理论，存在左、右特性向量U、V和特征值矩阵P，使方程(3)解耦。

特征值矩阵P，由式(3)的特征值方程获得：

式中，|·|为求行列式；特征值矩阵P为对角阵。

左、右特性向量U、V的求解方法如下：

式中，[·]^T表示对矩阵转置，且存在如下关系：

令：

y＝UZ (7)

式中，Z为复模态广义变量。

对式(8)左乘V^T，得：

由复模态理论及式(6)，式(9)变为：

式中，

由于P为对角阵，，则式(10)用分量的形式为：

式中,z_j、η_j、p_j分别z,η,P为的分量，其中p_i的实部大于零。

由式(2)、(6)及(11)，位移x及速度杜哈梅积分形式：

由式(1)结构响应的加速度值：

在式(12)和式(13)获得位移及速度的基础上可以获得加速度的响应值。

式中，β_1i、β_2i、β_3i分别为各个质点处的荷载强度系数、位移强度系数和速度强度系数。

为便于后文推导及软件编程分析，式(12)、(13)及(15)用统一表达式表示：

步骤4：结构时程响应的精确迭代法

结构的响应按式(16)-(18)计算，则每个时刻的响应都应从0时刻开始计算，而积分计算量会随着计算时刻的增加而成倍增加。为此，本发明提出一种快速递推计算方法。

设时间t表示为：

t＝k*Δt (19)

式中，k为大于0的自然数。

式(18)表达式为：

对式(20)进行积分展开：

式中：

则kΔt+Δt时刻，结构的响应为：

式中，

对式(22)和(24)进行比较，则存在关系式：

将式(25)带入式(23)，并整理，结构响应的递推关系：

且在k＝1时，由于f(0)＝0:

综合式(17)、式(26)，则结构时程激励下的响应的迭代式：

观察式(28)可知，任何时刻结构地震动响应的计算量均相同，极大的提高了计算效率，整个推导过程无任何假设。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

1.结构时程激励响应分析是当前复杂工程结构设计必须采用的方法之一，传统方法采用Newmark和Wilson法等数值方法，均假定了加速度或者速度满足的类型，因此计算精度受实际激励与方法所规定的假定关系影响，且结构的位移、速度响应值互相不独立，需要三者全部同时计算，因此计算效率低。

2.本发明将二阶运动方程通过复模态方法无任何假设的转换为一阶微分方程组，在充分利用一阶微分方程其杜哈梅积分的特点和时程激励的等时间间隔的特点而获得的一种方法，不存在Newmark法和Wilson法对于加速度的假定，为此本发明所求的结构时程响应曲线值均为精确解。

3.相对于传统方法，本发明具有迭代特点，且结构位移、速度和加速度的响应值互相独立求解；而传统方法则需要同时计算位移、速度和加速度响应值，故本发明所求的结构时程曲线值的效率最高。

附图说明

图1：本发明流程图；

图2：隔震结构示意图；

图3：地震动时程曲线；

图4：隔震层加速度时程曲线；

图5：隔震层速度的时程曲线；

图6：隔震层位移的时程曲线；

图7：顶层加速度时程曲线；

图8：顶层速度的时程曲线；

图9：顶层位移的时程曲线。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对发明做进一步解释。

步骤1：建立结构的地震动方程

先根据工程设计需要，建立结构基于时程激励的动力方程(结构类型包括，混合结构、隔震结构、质量调制结构(TMD)、粘弹性阻尼器结构)。

式中，M,C,K分别为结构及减震装置的质量、刚度和阻尼矩阵，其为n*n阶矩阵；x、为结构相对于地面的位移向量、速度向量及加速度向量；α为结构激励强度系数；f(t)为时程激励，可以是地震动时程曲线、也可以是风振动时程曲线。

步骤2：运动方程组的一阶微分方程组转化

引入状态变量：

方程(1)变为：

式中，r＝[α^T 0]^T。 (3b)

步骤3：一阶微分方程组的复模态解耦

运用复模态法理论，存在左、右特性向量U、V和特征值矩阵P，使方程(3)解耦。

特征值矩阵P，由式(3)的特征值方程获得：

式中，|·|为求行列式；特征值矩阵P为对角阵。

左、右特性向量U、V的求解方法如下：

式中，[·]^T表示对矩阵转置，且存在如下关系：

令：

y＝UZ (7)

式中，Z为复模态广义变量。

对式(8)左乘V^T，得：

由复模态理论及式(6)，式(9)变为：

式中，

由于P为对角阵，，则式(10)用分量的形式为：

式中,z_j、η_j、p_j分别z,η,P为的分量，其中p_i的实部大于零。

由式(2)、(6)及(11)，位移x及速度杜哈梅积分形式：

由式(1)结构响应的加速度值：

在式(12)和式(13)获得位移及速度的基础上可以获得加速度的响应值。

式中，β_1i、β_2i、β_3i分别为各个质点处的荷载强度系数、位移强度系数和速度强度系数。

为便于后文推导及软件编程分析，式(12)、(13)及(15)用统一表达式表示：

步骤4：结构时程响应的精确迭代法

结构的响应按式(16)-(18)计算，则每个时刻的响应都应从0时刻开始计算，而积分计算量会随着计算时刻的增加而成倍增加。为此，本发明提出一种快速递推计算方法。

设时间t表示为：

t＝k*Δt (19)

式中，k为大于0的自然数。

式(18)表达式为：

对式(20)进行积分展开：

式中：

则kΔt+Δt时刻，结构的响应为：

式中，

对式(22)和(24)进行比较，则存在关系式：

将式(25)带入式(23)，并整理，结构响应的递推关系：

且在k＝1时,由于f(0)＝0：

综合式(17)、式(26)，则结构时程激励下的响应的迭代式：

观察式(28)可知，任何时刻结构地震动响应的计算量均相同，极大的提高了计算效率，整个推导过程无任何假设。

实施例1

一设置隔震层的8层建筑结构如图1所示，结构层质量：1—2层为400吨、3—7层为300吨、8层为130吨；结构层刚度：1—2层为400MN/m、3—7层为300MN/m、8层为130MN/m；阻尼比为0.05。隔振层质m_b＝400吨，k_b＝5.243MN/m阻尼比0.15。地震激励取“1940 EI CentroSite 270 Deg”时程地震激励，强度为0.3g(g为重力加速度)，其时程曲线见图2。

步骤1：根据动力学原理给出结构的质量矩阵，刚度矩阵:

结构无阻尼自振频率及阻尼比：

ω＝[6.61 18.39 28.08 36.25 44.37 51.92 57.09 61.45]

ξ＝[1 1 1 1 1 1 1 1]*0.05

瑞雷阻尼系数：

结构的阻尼矩阵：

隔震体系的质量矩阵：

隔震体系的刚度矩阵：

隔震体系的阻尼矩阵：

步骤2：利用本发明公式(3b),(4)及(5)获得结构的振动方程的特征值P及特征向量U,V，荷载强度系数U,V,η；利用本发明公式(16)、(18)获得需要求的结构顶层、隔振层位移及速度响应的参数s(本案例仅以结构顶层、隔振层为例)如表1及表2。

表1：隔震体系的振动特征值及顶层速度、位移强度系数

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/>

表2：隔震体系的振动特征值及隔震层速度、位移强度系数

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。

步骤3：运用本发明公式(27)、(28)即可以获得结构顶层、隔振层位移及速度时程响应,如图4-图6，结构顶层及隔震层的侧向速度时程曲线如图7-图9。

Claims (1)

1.时程激励下线性耗能结构响应的快速迭代法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：建立结构的地震动方程

先根据工程设计需要，建立结构基于时程激励的动力方程

式中，M,C,K分别为结构及减震装置的质量、刚度和阻尼矩阵，其为n*n阶矩阵；x、为结构相对于地面的位移向量、速度向量及加速度向量；α为结构激励强度系数；f(t)为时程激励，可以是地震动时程曲线、也可以是风振动时程曲线；

步骤2：运动方程组的一阶微分方程组转化

引入状态变量：

方程(1)变为：

式中，r＝[α^T 0]^T；

步骤3：一阶微分方程组的复模态解耦

运用复模态法理论，存在左、右特性向量U、V和特征值矩阵P，使方程(3)解耦；

特征值矩阵P，由式(3)的特征值方程获得：

式中，|·|为求行列式；特征值矩阵P为对角阵；

左、右特性向量U、V的求解方法如下：

式中，[·]^T表示对矩阵转置，且存在如下关系：

令：

y＝UZ (7)

式中，Z为复模态广义变量；

对式(8)左乘V^T，得：

由复模态理论及式(6)，式(9)变为：

式中，

由于P为对角阵，，则式(10)用分量的形式为：

式中,z_j、η_j、p_j分别z,η,P为的分量，其中p_i的实部大于零；

由式(2)、(6)及(11)，位移x及速度杜哈梅积分形式：

由式(1)结构响应的加速度值：

在式(12)和式(13)获得位移及速度的基础上可以获得加速度的响应值；

式中，β_1i、β_2i、β_3i分别为各个质点处的荷载强度系数、位移强度系数和速度强度系数；为便于后文推导及软件编程分析，式(12)、(13)及(15)用统一表达式表示：

步骤4：结构时程响应的精确迭代法

设时间t表示为：

t＝k*Δt (19)

式中，k为大于0的自然数；

式(18)表达式为：

对式(20)进行积分展开：

式中：

则kΔt+Δt时刻，结构的响应为：

式中，

对式(22)和(24)进行比较，则存在关系式：

将式(25)带入式(23)，并整理，结构响应的递推关系：

且在k＝1时，由于f(0)＝0:

综合式(17)、式(26)，则结构时程激励下的响应的迭代式：

。