CN110750078B - 多变量自相关过程残差t2控制图的可变抽样区间设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明为多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法，用于减少多变量自相关过程残差T²控制图的平均报警时间，包括以下步骤：样本数据的分析与建模，平稳性检验；确定模型阶数；模型参数估计；计算控制图的统计量{Y_t}，控制图的参数设计；控制图的监控；ATS的蒙特卡洛算法；VSI残差T²控制图与FSI残差T²控制图的比较，可变抽样区间控制图较固定抽样区间控制图具有很大的优越性,它可以显著提高控制图的效率,使得失控过程能够及早被发现。

Description

多变量自相关过程残差T2控制图的可变抽样区间设计方法

技术领域

本发明涉及统计过程控制领域，特别是多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法，用于减少多变量自相关过程残差T²控制图的平均报警时间，提高控制图的优越性。

背景技术

在产品生产过程中，产品质量特性值总是围绕着设计目标值产生波动，这种制造过程的不稳定性导致了最终产品的质量缺陷。统计过程控制的目的就是减少制造过程的波动。作为其中最重要的工具—控制图，随着生产水平的提高和数据采集技术的发展，逐渐从单一质量特性扩展到多个质量特性。同时由于数据采集间隔越来越小，导致了数据自相关现象越来越显著，过程观测值通常是多变量并且自相关的。对于不满足独立性假设的数据，即使数据的自相关性不强，也会严重影响传统控制图的控制效果，导致控制图虚发警报概率大幅增加，远远达不到设定的统计控制状态的平均运行长度，由于传统的控制图方法大都假设过程观测值是独立的，不能直接将传统控制图方法应用在自相关过程之中，因此一些学者研究了监控多变量自相关过程的残差T²控制图。另一方面，控制图的设计方法直接影响到控制图的监控效率。为了提高控制图的监控效率，有学者提出了可变抽样区间均值控制图的设计方法，使得生产过程的监控从设计参数固定的静态控制，进入到了设计参数可变的动态控制。

而对于多变量自相关过程的残差T²控制图的设计，目前还停留在固定抽样区间的参数设计环节，从而导致控制图的平均报警时间较长，不利于生产效率的提高。另一方面，关于平均报警时间ATS的计算方法虽然有很多,但是这些方法用于固定抽样区间(FSI)残差T²控制图的平均运行长度ARL以及可变抽样区间(VSI)残差T²控制图的平均报警时间ATS的计算公式非常复杂，目前无法得到解析结果。

因此，本发明提供一种多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法。

发明内容

本发明的目的在于针对传统的固定抽样区间残差T²控制图所面临的平均报警时间过长问题，提出了一种可变抽样区间的控制图动态参数设计方法，并且针对现有的计算FSI残差T²控制图的平均运行长度(ARL)以及VSI残差T²控制图的平均报警时间(ATS)的计算公式复杂，无法得到解析结果的情况，提出了采用蒙特卡洛模拟方法来计算VSI残差T²控制图的平均报警时间ATS的办法, 通过比较计算出的ARL和ATS的值，得出所设计的可变抽样区间控制图相对固定轴样区间控制图具有优越的结果。

多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：样本数据的分析与建模；设定产品的p维质量特性值X_t不独立，具有自相关性，并且服从平稳q阶向量自回归VAR(q)模型；

S2：平稳性检验；经检验，若不存在单位根，则序列平稳，若存在单位根，则序列不平稳；

S3：确定模型阶数；根据AIC准则和SC准则进行模型的定阶，比较AIC 统计量和SC统计量，使AIC统计量和SC统计量最小的阶数即为模型阶数；

S4：模型参数估计；采用最小二乘估计法估计模型中的参数；

S5：计算控制图的统计量{Y_t}；根据上述模型得到满足独立性的白噪声序列 {ε_t}，从而计算出控制图的统计量{Y_t}；

S6：控制图的可变抽样区间设计；包括基于给定的虚发报警概率α以及所监控质量特性的维数来求得控制图的控制限、设定控制图的警戒限和样本容量、设置可变抽样区间h₁和h₂，且h₁＞h₂＞0；

S7：控制图的监控；若样本点落在安全域，则下一个抽样区间为h₁，若样本点落在警戒域，则下一个抽样区间为h₂，若样本点超出控制限，则控制图报警；

S8：运用蒙特卡洛算法计算平均报警时间ATS；

S9：比较VSI残差T²控制图和FSI残差T²控制图的ATS大小。

优选的，所述S4中，经过模型参数估计可以得到q阶向量自回归VAR(q)模型：

其中，φ₀＝(φ₁₀,φ₂₀,φ₃₀...φ_p0)'是截距项向量，A_i表示p×p维的自相关系数矩阵，ε_t＝(ε_1t,ε_2t,...,ε_pt)^/为均值为0的白噪声序列；

对模型和参数进行有效性检验，若结果显著，说明模型以及参数是有效的；

对于平稳过程VAR(q)，X_t的均值向量μ＝(μ₁，μ₂,...,μ_p)^/和自相关系数矩阵A_i都不依赖于时间t；

ε_t＝(ε_1t,ε_2t,...,ε_pt)^/ (2)

为均值为0的白噪声序列。

优选的，所述S5中，令Y_t＝ε_t，对于VAR(q)的多变量自相关过程，残差T²控制图的统计量为：

T_t ²＝Y_t ^/Σ^-1Y_t,t＝1,2,3,... (3)

假设在T₀时刻，过程均值发生拨动，X_t的均值向量由μ转变成μ+ΣΔ，其中Σ为序列{Y_t}的协方差，Δ为p维的均值向量偏移，则当

t＞T₀时，{Y_t}改变为：

t＞T₀时，T_t ²值改变为：

过程均值发生偏移后的T²值服从新的卡方分布，记为

该分布于过程均值未发生偏移时T²值的卡方分布的区别在于分布参数λ。

优选的，所述S6中，对于给定的虚发警报概率α，上控制限UCL为：

其中，

是自由度为p的χ²分布的分位点。

优选的，所述S7中控制图的受控区域被分为安全域与警戒域两部分，区间I₁＝[0,UWL]为安全域，I₂＝[UWL,UCL]为警戒域，其中UWL表示上警戒限，选取两个抽样区间长度h₁和h₂，且h₁＞h₂＞0，若样本点落在安全域，则下一个抽样区间为h₁，若样本点落在警戒域，则下一个抽样区间为h₂，若样本点超出控制限，则控制图报警。

优选的，所述S9中比较两种控制图在受控时平均报警时间ATS相同的情况下，过程失控时，这两种控制图的ATS的大小。

优选的，所述S8中，对于给定的上控制限UCL和上警戒限UWL，运用蒙特卡洛模拟方法计算平均报警时间ATS。

在实际生产中，对于多维变量的制造过程，可以采用本发明对残差T²控制图过程进行监控，以提高过程监控效率，降低生产成本，提高生产的效率。

可变抽样区间控制图较固定抽样区间控制图具有很大的优越性,它可以显著提高控制图的效率,使得失控过程能够及早被发现。本发明用可变抽样区间的方法对自相关残差T²控制图进行设计，极大提高了控制图的优越性。同时利用蒙特卡洛模拟的方法，解决了残差T²控制图的平均运行长度ARL以及VSI残差 T²控制图的平均报警时间ATS的计算公式非常复杂，无法得到解析结果的难题。

附图说明

图1是本发明的原理实现流程图。

图2是本发明控制图区域划分示意图。

图3是本发明ATS比较结果示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案以及优越性更加清楚明白，以下内容将对本方案进行具体描述。

本发明的简要步骤为：

S1：样本数据的分析与建模。假设所监控产品的p维质量特性值X_t不独立，具有自相关性，并且服从平稳q阶向量自回归VAR(q)模型。收集其各个质量特性不同时刻的样本数据，并对其进行分析与拟合。主要步骤为采用ADF检验方法检验变量序列的平稳性、根据AIC准则和SC准则确定模型阶数、用最小二乘方法对模型参数进行估计、对模型进行显著性检验。从而构建向量自回归模型。

S2：计算控制图的统计量。根据S1得到的向量自回归模型，得到满足独立性的白噪声序列{ε_t}，从而计算出控制图的统计量{Y_t}。

S3：控制图的可变抽样区间设计。主要分为控制图区域的划分以及控制图最优参数的设置。

S3(1)：控制图的区域划分。本发明提出将可变抽样区间的方法用于自相关多变量残差T²控制图中，具体采用两个抽样区间长度h₁和h₂，且h₁＞h₂＞0。对应于两种抽样区间，控制图区域的设计需要由受控域、失控域两种区域划分为受控域(安全域、警戒域)、失控域三种区域(如图2)。

S3(2)：控制图的参数设置。本发明控制图的各个参数包括控制限UCL、警戒限UWL、可变抽样区间长度h₁和h₂。

得到，其中α为虚发警报概率，p是变量维数，控制限的值由实际虚发概率和变量维数确定。在生产中一般对受控时的ATS有特定的要求，对于给定的受控时的ATS的值，其对应的控制图参数组合有很多种，虚发警报概率α一般小于0.05，抽样区间h₁一般介于1和2.5之间，抽样区间h₂一般介于0和1之间。在参数范围内，利用计算机的计算能力，通过枚举法列找出满足给定ATS值的所有参数组合。这些参数组合在过程失控时对应着不同的ATS值，其中最小ATS 值对应的参数组合，即为本发明所选参数组合。

S4：控制图的监控。假定过程开始时处于受控状态，抽取完第一个样本点之后，经过抽样区间h₁抽取第二个样本点。如果统计量{Y_t}的值落在安全域 I₁＝[0,UWL]内，即0<Y_t≤W代表生产过程稳定，则下一个抽样区间选取为长的抽样区间h₁；如果统计量{Y_t}的值落在警戒域I₂＝[UWL,UCL]内，即W<Y_t≤H，代表生产过程可能发生了波动，则下一个抽样区间选取为短的抽样区间h₂；如果统计量 {Y_t}的值超出控制限，即{Y_t}>UCL，代表生产过程已经失控，则控制图报警，立即停止生产，找出异常原因。当控制图报警时，记录从稳态到报警的时间TS(j)的值。解决异常原因后，重新开始生产过程是，重复上述过程。生产结束后，本次生产过程的平均报警时间ATS的值可以用M个报警时间{TS(j)，j＝1,2,...M}的平均值进行得到。

S5：VSI残差T²控制图与FSI残差T²控制图的比较。为了证明本发明提出的可变抽样区间方法具有优越性且不失一般性，通过蒙特卡洛模拟方法，计算 FSI残差T²控制图的平均运行长度与VSI残差T²控制图的平均报警时间，通过比较两者的大小，得出两种控制图的相对优劣性。

本发明的详细步骤及其实施例为：

多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法,包括以下步骤：

S1：

样本数据的分析与建模。

假设一个产品的p维质量特性值X_t不独立，具有自相关性，并且服从平稳q 阶向量自回归VAR(q)模型。为了对模型进行拟合，需要对样本数据进行分析。

平稳性检验。

变量序列的平稳性是满足构建向量自回归模型的关键，本发明采用ADF检验进行平稳性检验。经检验，若不存在单位根，则序列平稳，若存在单位根，则序列不平稳。对于不平稳的序列，可以做一系列的差分变换，使得序列满足平稳要求。

确定模型阶数。

本发明根据AIC准则和SC准则进行模型的定阶，选择多个阶数，比较其AIC 统计量和SC统计量，同时使AIC统计量和SC统计量最小的阶数即为模型阶数。

模型参数估计。

本发明采用最小二乘估计法估计模型中的各个参数。

经过模型的参数估计可以得到q阶向量自回归VAR(q)模型：

为了证明模型的有效性，需要对模型和参数进行有效性检验。分别采用LB 统计量和t统计量对模型和参数进行检验，若结果显著，则说明模型以及参数是有效的。

对于平稳过程VAR(q)，μ和A_i都不依赖于时间t。

ε_t＝(ε_1t,ε_2t,...,ε_pt)^/ (2)。

为均值为0的白噪声序列。

S2：

由于传统的控制图都是对相互独立的观测进行监控，而上述S1中得到是多变量的自回归模型，故不能直接用统计图进行监控。而残差序列ε_t服从均值为0，协防差矩阵为Σ的多元正态变量，因此，本发明对残差序列ε_t运用T²控制图进行监控。令Y_t＝ε_t，对于VAR(q)的多变量自相关过程，残差T²控制图的统计量为：

T_t ²＝Y_t ^/Σ^-1Y_t,t＝1,2,3,... (3)。

假设在T₀时刻，过程均值发生波动，X_t的均值向量由μ转变成μ+ΣΔ，其中Σ为序列{Y_t}的协方差，Δ为p维的均值向量偏移。则当t＞T₀时，{Y_t}改变为：

t＞T₀时，T_t ²值改变为：

综上，过程均值发生偏移后的T²值服从新的卡方分布，记为

该分布与过程均值未发生偏移时T²值的卡方分布的区别在于分布参数λ。

S3：控制图的可变抽样区间设计。主要分为控制图区域的划分以及控制图最优参数的设置。包括基于给定的虚发报警概率α以及所监控质量特性的维数来求得控制图的控制限、设定控制图的警戒限和样本容量、设置可变抽样区间h₁和 h₂，且h₁＞h₂＞0；

S3(1)：控制图的区域划分。本发明提出将可变抽样区间的方法用于自相关多变量残差T²控制图中，具体采用两个抽样区间长度h₁和h₂，且h₁＞h₂＞0。对应于两种抽样区间，控制图区域的设计需要由受控域、失控域两种区域划分为受控域(安全域、警戒域)、失控域三种区域(如图2)。

S3(2)：控制图的参数设置。本发明控制图的各个参数包括控制限UCL、警戒限UWL、可变抽样区间长度h₁和h₂。

其中，

是自由度为p的χ²分布的分位点。

得到，其中α为虚发警报概率，p是变量维数，控制限的值由实际虚发概率和变量维数确定。在生产中一般对受控时的ATS有特定的要求，对于给定的受控时的ATS的值，其对应的控制图参数组合有很多种，虚发警报概率α一般小于0.05，抽样区间h₁一般介于1和2.5之间，抽样区间h₂一般介于0和1之间。在参数范围内，利用计算机的计算能力，通过枚举法列找出满足给定ATS值的所有参数组合。这些参数组合在过程失控时对应着不同的ATS值，其中最小ATS 值对应的参数组合，即为本发明所选参数组合。

S4：控制图的监控。假定过程开始时处于受控状态，抽取完第一个样本点之后，经过抽样区间h₁抽取第二个样本点。如果统计量{Y_t}的值落在安全域 I₁＝[0,UWL]内，即0<Y_t≤W代表生产过程稳定，则下一个抽样区间选取为长的抽样区间h₁；如果统计量{Y_t}的值落在警戒域I₂＝[UWL,UCL]内，即W<Y_t≤H，代表生产过程可能发生了波动，则下一个抽样区间选取为短的抽样区间h₂；如果统计量 {Y_t}的值超出控制限，即{Y_t}>UCL，代表生产过程已经失控，则控制图报警，立即停止生产，找出异常原因。当控制图报警时，记录从稳态到报警的时间TS(j)的值。解决异常原因后，重新开始生产过程是，重复上述过程。生产结束后，本次生产过程的平均报警时间ATS的值可以用M个报警时间{TS(j)，j＝1,2,...M}的平均值进行得到。

S5：

VSI残差T²控制图与FSI残差T²控制图的比较。

对于稳态下固定抽样区间控制图的性能，常用平均运动链长ARL衡量，它在数值上等于稳态状态下两个抽样区间相等的可变抽样区间控制图的平均报警时间ATS。为了不失一般性，证明本发明所设计可变抽样区间控制图要优于固定抽样区间控制图，需要比较两种控制图在受控时平均报警时间ATS相同的情况下，过程失控时这两种控制图的ATS的大小。

ATS的蒙特卡洛算法。

对于给定的上控制限H，上警戒限W，可以运用下面的蒙特卡洛模拟方法计算平均报警时间ATS，具体过程如下：

令M为重拟合的次数，可以选择为比较大的整数，比如M＝10⁵：：

(1)在第j(1≤j≤M)次的重复拟合中，运用下面的循环计算TS(j)；

①对于自相关过程VAR(q)，根据公式(1)生成p维向量{X_n}；

②根据公式(2)，得到满足独立性的白噪声序列{ε_t}；

③如果统计量{Y_t}的值落在安全域I₁＝[0,UWL]内，即0<Y_t≤W，则下一个抽样区间选取为长的抽样区间h₁；如果统计量{Y_t}的值落在警戒域I₂＝[UWL,UCL]内，即W<Y_t≤H，则下一个抽样区间选取为短的抽样区间h₂；如果统计量{Y_t}的值超出控制限，即Y_t＞H，则控制图报警。当控制图报警时，记录TS(j)的值，并停止循环；否则，令t＝t+1，继续循环。

(2)平均报警时间ATS的值可以用M个报警时间{TS(j)，j＝1,2,...M}的平均值进行估计得到。

VSI残差T²控制图与FSI残差T²控制图的比较方法。

针对控制限H＝10，11，12，13，14，15时，选取警戒限W＝4,W＝5,W＝6三种情况进行比较分析。当控制限H和警戒限W确定时，选择合适的长抽样区间h₁和短抽样区间h₂使得FSI和VSI残差T²控制图的受控平均报警时间ATS相同；然后分别计算过程失控时这两种控制图的ATS并进行比较，ATS越小的控制图其监控效果越好。

其比较结果见下表1-3。

表1为W＝4时VSI残差T控制图与FSI残差T²控制图的ATS的比较：

表1

表2为W＝5时VSI残差T²控制图与FSI残差T²控制图的ATS的比较：

表2

表3为W＝6时VSI残差T²控制图与FSI残差T²控制图的ATS的比较：

表3

由表1-3可知，在过程处于受控状态(δ＝0)，并且两种控制图的平均报警时间ATS相同的前提下，过程失控时可变抽样区间残差T²控制图与固定抽样区间残差T²控制图相比，具有较小的平均报警时间ATS。

为了更直观的看出VSI残差T²控制图与FSI残差控制图的监控效果，用图形的方式表示表1中六种情况两种控制图的监控效果，具体如图3所示。

从图3可以看出，无论哪种情况下，只要保证受控的时候两种控制图具有相同的平均报警时间，过程失控时，具有较小的平均报警时间。

因此，在实际生产中，对于多维变量的制造过程，可以采用本发明对残差 T²控制图过程进行监控，以提高过程监控效率，降低生产升本，提高生产效率。

Claims (7)

1.多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：样本数据的分析与建模；设定产品的p维质量特性值X_t不独立，具有自相关性，并且服从平稳q阶向量自回归VAR(q)模型；

S2：平稳性检验；经检验，若不存在单位根，则序列平稳，若存在单位根，则序列不平稳；

S3：确定模型阶数；根据AIC准则和SC准则进行模型的定阶，比较AIC统计量和SC统计量，使AIC统计量和SC统计量最小的阶数即为模型阶数；

S4：模型参数估计；采用最小二乘估计法估计模型中的参数；

S5：计算控制图的统计量{Y_t}；根据上述模型得到满足独立性的白噪声序列{ε_t}，从而计算出控制图的统计量{Y_t}；

S6：控制图的可变抽样区间设计；包括基于给定的虚发报警概率α以及所监控质量特性的维数来求得控制图的控制限、设定控制图的警戒限和样本容量、设置可变抽样区间h₁和h₂，且h₁＞h₂＞0；

S7：控制图的监控；若样本点落在安全域，则下一个抽样区间为h₁，若样本点落在警戒域，则下一个抽样区间为h₂，若样本点超出控制限，则控制图报警；

S8：运用蒙特卡洛算法计算平均报警时间ATS；

S9：比较VSI残差T²控制图和FSI残差T²控制图的ATS大小。

2.根据权利要求1所述多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法，其特征在于，所述S4中，经过模型参数估计可以得到q阶向量自回归VAR(q)模型：

其中，φ₀＝(φ₁₀,φ₂₀,φ₃₀...φ_p0)'是截距项向量，A_i表示p×p维的自相关系数矩阵，ε_t＝(ε_1t,ε_2t,...,ε_pt)^/为均值为0的白噪声序列；

对模型和参数进行有效性检验，若结果显著，说明模型以及参数是有效的；

对于平稳过程VAR(q)，X_t的均值向量μ＝(μ₁，μ₂,...,μ_p)^/和自相关系数矩阵A_i都不依赖于时间t；

ε_t＝(ε_1t,ε_2t,...,ε_pt)^/ (2)

为均值为0的白噪声序列。

3.根据权利要求2所述多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法，其特征在于，所述S5中，令Y_t＝ε_t，对于VAR(q)的多变量自相关过程，残差T²控制图的统计量为：

T_t ²＝Y_t ^/Σ^-1Y_t,t＝1,2,3,... (3)

假设在T₀时刻，过程均值发生拨动，X_t的均值向量由μ转变成μ+ΣΔ，其中Σ为序列{Y_t}的协方差，Δ为p维的均值向量偏移，则当

t＞T₀时，{Y_t}改变为：

t＞T₀时，T_t ²值改变为：

过程均值发生偏移后的T²值服从新的卡方分布，记为

该分布于过程均值未发生偏移时T²值的卡方分布的区别在于分布参数λ。

4.根据权利要求1所述多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法，其特征在于，所述S6中，对于给定的虚发警报概率α，上控制限UCL为：

其中，

是自由度为p的χ²分布的分位点。

5.根据权利要求4所述多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法，其特征在于，所述S7中控制图的受控区域被分为安全域与警戒域两部分，区间I₁＝[0,UWL]为安全域，I₂＝[UWL,UCL]为警戒域，其中UWL表示上警戒限，选取两个抽样区间长度h₁和h₂，且h₁＞h₂＞0，若样本点落在安全域，则下一个抽样区间为h₁，若样本点落在警戒域，则下一个抽样区间为h₂，若样本点超出控制限，则控制图报警。

6.根据权利要求1所述多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法，其特征在于，所述S9中比较两种控制图在受控时平均报警时间ATS相同的情况下，过程失控时，这两种控制图的ATS的大小。

7.根据权利要求1所述多变量自相关过程残差T²控制图的可变抽样区间设计方法，其特征在于，所述S8中，对于给定的上控制限UCL和上警戒限UWL，运用蒙特卡洛模拟方法计算平均报警时间ATS。

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