CN113379140A - 非正态分布下可变抽样区间和样本容量ewma控制图的经济设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及非正态分布下可变抽样区间和样本容量EWMA控制图的经济设计方法，针对现有技术考虑到了可变抽样区间（VSI）或可变样本容量（VSS）的EWMA控制图的经济设计，却没有同时考虑到非正态分布情形下可变抽样区间和样本容量（VSSI）的EWMA控制图的经济设计问题，本发明针对该复杂情况提出了相应的经济设计方法，并给出了详细的设计流程。通过本发明的设计，可以在提高监控效率的同时降低过程的监控成本，本文设计VSSI非正态EWMA控制图经济模型的单位时间成本期望在各组实验中均小于VSI、VSS非正态EWMA控制图，具有与经济最优性。

Description

非正态分布下可变抽样区间和样本容量EWMA控制图的经济设 计方法

技术领域

本发明涉及控制图经济设计的技术领域，具体为非正态分布下可变抽样区间和样本容量EWMA控制图的经济设计方法。

背景技术

在生产制造过程中，统计过程控制是提高产品生产质量的一种有效方法。随着产品生产质量和效率的日益提高，控制图作为过程控制的一种重要工具在生产实践中得到广泛应用。对控制图进行设计主要是为满足既定需求对控制图的参数(抽样区间、样本容量、控制限等)进行设置。当抽样参数不变时对控制图的设计称为静态设计。为了提高控制图的监控效率，一些学者设计了抽样参数可变的动态控制图。多项研究表明，对控制图进行动态设计可有提高控制图的监控效率。控制图的动态设计一般可分为可变抽样区间(VSI) 控制图，可变样本容量(VSS)控制图以及可变样本区间和样本容量(VSSI) 控制图等。考虑到控制图监控过程中所需要的各项成本，一些学者提出了控制图的经济设计方法，目的在于使控制图单位时间的成本期望最小。当监控过程中的波动较小时，有学者设计了正态分布情形下的EWMA控制图。然而在实际中正态性假设可能得不到满足，有时观测值会呈现偏态性，当过程观测值不满足正态性假设时，一些学者利用Burr分布近似不同情况对非正态分布进行研究；

现有对EWMA控制图的设计方法中，往往只考虑到了可变抽样区间(VSI) 或可变样本容量的EWMA控制图的经济设计，却没有同时考虑到非正态分布情形下可变抽样区间和样本容量的EWMA控制图的经济设计问题。本发明针对该复杂情况提出了相应的经济设计方法，并给出了详细的设计流程。通过本发明的设计，可以在提高监控效率的同时降低过程的监控成本。并且在实例中通过与VSI、VSS非正态EWMA控制图经济设计的结果进行比较，验证了本发明的经济设计结果具有最优性。

发明内容

针对上述情况，为克服现有技术缺陷，本发明的目的是提供一种非正态分布下可变抽样区间和样本容量EWMA控制图的经济设计方法，目的在于提高监控效率的同时达到更好的经济效果。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：非正态分布下可变抽样区间和样本容量EWMA控制图的经济设计方法，其特征在于，包括以下几个步骤：

步骤1：采集数据。利用数据采集设备采集工业生产中的非正态数据，并用X表示观测值值变量，设观测值的均值和标准差分别为μ和σ。

步骤2：数据变换。由于数据的分布未知，需要通过Burr变换来确定分布函数，设Burr变量为Y，在接下来的步骤中，变量X和Y之间采取以下的转换规则：

(1)用以下公式计算X的偏态系数α₃和峰态系数α₄：

(2)在Burr分布表中找到与α₃和α₄对应的Burr参数c和q(c和q均为大于1的常数)，从而确定相应的Burr分布，得到该分布函数的均值和标准差M和S，Burr分布函数为：

(3)观测值X和Burr变量Y之间的转换公式为：

(4)设n为样本容量，则均值

与Burr分布变量Y之间的转换公式为：

步骤3：构建控制图。对于质量特性值X，假设过程受控时μ＝μ₀，σ＝σ₀。过程失控时仅均值发生变化，标准差保持不变,即μ＝μ₁＝μ₀+δσ，σ＝σ₀,δ为过程波动。假设在第i时刻抽取了样本容量为n的样本，样本均值为

则该时刻EWMA均值控制图的统计量为：

其中，λ为平滑系数，Z₀＝μ₀.

控制图的上下控制限分别为：

其中，k是控制限系数。

控制图的上下警戒限分别为：

其中，w是警戒限系数。

令h₁、h₂为长抽样区间和短抽样区间，n₁和n₂为大样本容量和小样本容量。控制图的监控机制为：若当前样本点落在中心域(LWL,UWL)内，则下一次抽样采用大抽样区间h₁以及小样本容量n₂的抽样办法；若当前样本点落在警戒域 (UWL＜Z_i≤UCL或LCL≤Z_i＜LWL)，则下一次抽样采用小抽样区间h₂以及大样本容量n₁的抽样办法。如果当前样本点落在控制限外(Z_i＞UCL或Z_i＜LCL)，则控制图报警。

步骤4：构建经济模型：

其中步骤4又分为以下几个步骤：

步骤4-1：为了简化实际生产时的复杂情况，建立经济模型前提出以下假设：

(1)假设过程开始处于受控状态(μ＝μ₀)，经过一段时间以后，过程失控(μ＝μ₀+δσ，σ保持不变)。

(2)受控时长服从均值等于

的指数分布。

(3)异常原因发生后，在找出并纠正异常原因之前的一段时间，过程一直处于失控状态。

(4)在每个抽样间隔内，异常原因发生的次数最多为1，并且在抽样过程中，异常原因不发生。

步骤4-2：经济模型中，一个周期的成本期望可以分为：

(I)：受控时由于缺陷损失的成本期望：

其中，

为受控时长，C₀为受控时的单位时间产生损失的成本。

(II)：失控时由于缺陷损失的成本期望：

其中，C₁为受控时的单位时间产生损失的成本；

ATS₁为过程失控时，控制图的平均报警时间；τ为受控时，两个样本之间发生特殊原因的平均时间，

h₀为平均抽样区间，且

ATS₀为过程失控时，控制图的平均报警时间，ANSS₀为过程受控时，控制图报警所抽取的平均样本个数；

为平均样本容量，且

ANOS为过程受控时,控制图报警所需平均观测值数；

E为一次抽取样本和绘制控制图的平均时间；

γ₁表示若寻找特殊原因时过程不停止，则γ₁＝1；若寻找特殊原因时过程停止，则γ₁＝0；

γ₂表示若消除特殊原因时过程不停止，则γ₂＝1；若纠正过程时过程停止，则γ₂＝0；

T₁为发现特殊原因的平均时间；

T₂为消除特殊原因的平均时间；

(III)：虚发警报的成本期望：a₁ANF

其中，a₁为错误警报发生一次的成本；

ANF为一个周期内错误警报的平均个数，且

(IV)：查找和消除特殊的成本a₂

(V)：抽样产生的成本期望

其中，a₃为抽样和检测的固定成本；

a₄为抽样和检测的可变成本。

因此，总的成本期望：

步骤4-3：一个过程周期可以分为：

(I)：受控时间

(II)：虚发警报产生的时间(1-r₁)T₀ANF

其中，T₀为寻找每个虚发警报的平均时间；

(III)：失控时间ATS₁-τ

(IV)：抽样和绘图的时间

(V)：查找、消除特殊原因的平均时间T₁+T₂。

因此，总的时间为：

步骤4-4：建立完整的经济函数，其值为一个周期内单位时间的成本期望 ETC，等于一个周期的成本期望与周期时长的比值:

步骤5：经济设计即求取使ETC最小时的最优参数组合(n₁,n₂,h₁,h₂,k,w,λ)。

优选的，在步骤4中针对：

上式中，ATS₀、ATS₁、ANSS₀、ANOS的值可以运用马尔科夫链的方法得到，计算公式如下：

其中，v表示马尔可夫过程将控制域划分为2v+1个状态；d_i(i＝1,...,2v+1)为Z_i位于状态E_i时的抽样区间，当E_i落在中心域时，d_i＝h₁；当E_i落在警戒域时，d_i＝h₂.

为Z_i位于状态E_i时的样本容量，当E_i落在中心域时，

当E_i落在警戒域时，

定义：

U＝[u_ij]_{(2v+1)×(2v+1)}

R＝[r_ij]_{(2v+1)×(2v+1)}＝(I-U)^-1

其中：

u_ij＝F(B)-F(A)

U^/＝[u'_ij]_{(2m+1)×(2m+1)}

R^/＝[r'_ij]_{(2m+1)×(2m+1)}＝(I-U^/)^-1

其中：

u_ij'＝F(B')-F(A')

本发明的有益效果为：本发明所涉及的VSSI非正态EWMA控制图的经济设计方法，针对现有技术考虑到了可变抽样区间(VSI)或可变样本容量的EWMA控制图的经济设计，却没有同时考虑到非正态分布情形下可变抽样区间和样本容量的EWMA控制图的经济设计问题，本发明针对该复杂情况提出了相应的经济设计方法，并给出了详细的设计流程。通过本发明的设计，可以在提高监控效率的同时降低过程的监控成本，本文设计VSSI非正态EWMA控制图经济模型的单位时间成本期望在各组实验中均小于VSI、VSS非正态EWMA 控制图，具有与经济最优性。

附图说明

图1是本发明的步骤流程框体。

具体实施方式

结合附图，对本发明的具体实施方式作进一步详细说明。

首先，VSSI非正态EWMA控制图的经济设计方法，其特征在于，包括以下几个步骤：

步骤1：采集数据。利用数据采集设备采集工业生产中的非正态数据，并用X表示观测值值变量，设观测值的均值和标准差分别为μ和σ。

步骤2：数据变换。由于数据的分布未知，需要通过Burr变换来确定分布函数，设Burr变量为Y，在接下来的步骤中，变量X和Y之间采取以下的转换规则：

(1)用以下公式计算X的偏态系数α₃和峰态系数α₄：

(4)在Burr分布表中找到与α₃和α₄对应的Burr参数c和q(c和q均为大于1的常数)，从而确定相应的Burr分布，得到该分布函数的均值和标准差M和S，Burr分布函数为：

(5)观测值X和Burr变量Y之间的转换公式为：

(4)设n为样本容量，则均值

与Burr分布变量Y之间的转换公式为：

步骤3：构建控制图。对于质量特性值X，假设过程受控时μ＝μ₀，σ＝σ₀。过程失控时仅均值发生变化，标准差保持不变,即μ＝μ₁＝μ₀+δσ，σ＝σ₀,δ为过程波动。假设在第i时刻抽取了样本容量为n的样本，样本均值为

则该时刻EWMA均值控制图的统计量为：

其中，λ为平滑系数，Z₀＝μ₀.

控制图的上下控制限分别为：

其中，k是控制限系数。

控制图的上下警戒限分别为：

其中，w是警戒限系数。

令h₁、h₂为长抽样区间和短抽样区间，n₁和n₂为大样本容量和小样本容量。控制图的监控机制为：若当前样本点落在中心域(LWL,UWL)内，则下一次抽样采用大抽样区间h₁以及小样本容量n₂的抽样办法；若当前样本点落在警戒域 (UWL＜Z_i≤UCL或LCL≤Z_i＜LWL)，则下一次抽样采用小抽样区间h₂以及大样本容量n₁的抽样办法。如果当前样本点落在控制限外(Z_i＞UCL或Z_i＜LCL)，则控制图报警。

步骤4：构建经济模型：

其中步骤4又分为以下几个步骤：

步骤4-1：为了简化实际生产时的复杂情况，建立经济模型前提出以下假设：

(5)假设过程开始处于受控状态(μ＝μ₀)，经过一段时间以后，过程失控(μ＝μ₀+δσ，σ保持不变)。

(6)受控时长服从均值等于

的指数分布。

(7)异常原因发生后，在找出并纠正异常原因之前的一段时间，过程一直处于失控状态。

(8)在每个抽样间隔内，异常原因发生的次数最多为1，并且在抽样过程中，异常原因不发生。

步骤4-2：经济模型中，一个周期的成本期望可以分为：

(I)：受控时由于缺陷损失的成本期望：

其中，

为受控时长，C₀为受控时的单位时间产生损失的成本。

(II)：失控时由于缺陷损失的成本期望：

其中，C₁为受控时的单位时间产生损失的成本；

ATS₁为过程失控时，控制图的平均报警时间；τ为受控时，两个样本之间发生特殊原因的平均时间，

h₀为平均抽样区间，且

ATS₀为过程失控时，控制图的平均报警时间，ANSS₀为过程受控时，控制图报警所抽取的平均样本个数；

为平均样本容量，且

ANOS为过程受控时,控制图报警所需平均观测值数；

E为一次抽取样本和绘制控制图的平均时间；

γ₁表示若寻找特殊原因时过程不停止，则γ₁＝1；若寻找特殊原因时过程停止，则γ₁＝0；

γ₂表示若消除特殊原因时过程不停止，则γ₂＝1；若纠正过程时过程停止，则γ₂＝0；

T₁为发现特殊原因的平均时间；

T₂为消除特殊原因的平均时间；

(III)：虚发警报的成本期望：a₁ANF

其中，a₁为错误警报发生一次的成本；

ANF为一个周期内错误警报的平均个数，且

(IV)：查找和消除特殊的成本a₂

(V)：抽样产生的成本期望

其中，a₃为抽样和检测的固定成本；

a₄为抽样和检测的可变成本。

因此，总的成本期望：

步骤4-3：一个过程周期可以分为：

(I)：受控时间

(II)：虚发警报产生的时间(1-r₁)T₀ANF

其中，T₀为寻找每个虚发警报的平均时间；

(III)：失控时间ATS₁-τ

(IV)：抽样和绘图的时间

(V)：查找、消除特殊原因的平均时间T₁+T₂。

因此，总的时间为：

步骤4-4：建立完整的经济函数，其值为一个周期内单位时间的成本期望 ETC，等于一个周期的成本期望与周期时长的比值:

上式中，ATS₀、ATS₁、ANSS₀、ANOS的值可以运用马尔科夫链的方法得到，计算公式如下：

其中，v表示马尔可夫过程将控制域划分为2v+1个状态；d_i(i＝1,...,2v+1)为Z_i位于状态E_i时的抽样区间，当E_i落在中心域时，d_i＝h₁；当E_i落在警戒域时，d_i＝h₂.

为Z_i位于状态E_i时的样本容量，当E_i落在中心域时，

当E_i落在警戒域时，

定义：

U＝[u_ij]_{(2v+1)×(2v+1)}

R＝[r_ij]_{(2v+1)×(2v+1)}＝(I-U)^-1

其中：

u_ij＝F(B)-F(A)

U^/＝[u'_ij]_{(2m+1)×(2m+1)}

R^/＝[r'_ij]_{(2m+1)×(2m+1)}＝(I-U^/)^-1

其中：

u_ij'＝F(B')-F(A')

步骤5：经济设计即求取使ETC最小时的最优参数组合(n₁,n₂,h₁,h₂,k,w,λ)。

实例分析

在炼钢过程中，需要对某种化学成分X进行控制，且已知它不服从正态分布。

步骤1：根据公式

计算X的偏态系数α₃和峰态系数α₄，计算结果分别为-0.519和3.462。由于分布未知，经查表可以用c＝10和q＝10的Burr分布来近似。Burr变量为Y，其对应的均值M和标准差S分别为M＝0.7599，S＝0.0948。Burr分布函数为

设n为样本容量，则均值

与Burr分布变量Y之间的转换公式为：

步骤2：构建监控模型。

模型的解向量为未知数(n₁,n₂,h₁,h₂,k,w,λ)。

控制图的统计量为

控制图的上下控制限分别为：

控制图的上下警戒限分别为：

令h₁、h₂为长抽样区间和短抽样区间，n₁和n₂为大样本容量和小样本容量。控制图的监控机制为：若当前样本点落在中心域(LWL,UWL)内，则下一次抽样采用大抽样区间h₁以及小样本容量n₂的抽样办法；若当前样本点落在警戒域 (UWL＜Z_i≤UCL或LCL≤Z_i＜LWL)，则下一次抽样采用小抽样区间h₂以及大样本容量n₁的抽样办法。如果当前样本点落在控制限外(Z_i＞UCL或Z_i＜LCL)，则控制图报警。

步骤3：构建经济模型。

费用参数和设置如下：

C₀＝$9,C₁＝$90,θ＝0.01,a₃＝$0.6,a₄＝$0.2,E＝0.06hr,a₂＝$20,a₁＝$40, γ₁＝1，γ₂＝1，T₀＝0.6hr,T₁＝2.5hr,T₂＝2.5hr,δ＝1.5.

经济模型为：

ATS₀、ATS₁、ANSS₀、ANOS的值可以运用马尔科夫链的方法得到，计算公式如下：

其中，v表示马尔可夫过程将控制域划分为2v+1个状态，设置v＝50； d_i(i＝1,...,2v+1)为Z_i位于状态E_i时的抽样区间，当E_i落在中心域时，d_i＝h₁；当E_i落在警戒域时，d_i＝h₂.

为Z_i位于状态E_i时的样本容量，当E_i落在中心域时，

当E_i落在警戒域时，

定义：

U＝[u_ij]_{(2v+1)×(2v+1)}

R＝[r_ij]_{(2v+1)×(2v+1)}＝(I-U)^-1

其中：

u_ij＝F(B)-F(A)

U^/＝[u'_ij]_{(2m+1)×(2m+1)}

R^/＝[r'_ij]_{(2m+1)×(2m+1)}＝(I-U^/)^-1

其中：

u_ij'＝F(B')-F(A')

经济设计即求使ETC最小时的最优参数组合(n₁,n₂,h₁,h₂,k,w,λ)。

步骤4：经济模型求解。利用Matlab遗传算法工具箱对模型进行求解，遗传算法参数设置为：

nvars＝7；

Aineq＝[-1 1 0 0 0 0 0]；

bineq＝[0]；

lb＝[5 1 1 0.01 2 0.01 0.01]；

ub＝[25 10 2.5 1 4 2 1]；

MaxGenerations_Data＝100；

其他参数设置为默认值。该次试验的求解结果为：n₁＝8，n₂＝3，h₁＝1.3232， h₂＝0.0118，k＝2.4065，w＝1.0526，λ＝0.9516，ETC＝15.0034。

步骤5：灵敏度分析。本步骤是为了研究模型参数 (C₀，C₁，θ，a₃，a₄，E，a₂，a₁，T₁，T₂，δ)对控制图设计参数(n₁，n₂，h₁，h₂，k，w，λ)以及ETC的影响。

设置正交试验，模型参数的高低水平设置为：

费用参数	C<sub>0</sub>	C<sub>1</sub>	θ	a<sub>3</sub>	a<sub>4</sub>	E	a<sub>2</sub>	a<sub>1</sub>	T<sub>1</sub>	T<sub>2</sub>	δ
												水平1	4	85	0.01	2	0.2	0.2	25	30	3	3	0.5
水平2	8	125	0.05	6	1	0.6	45	50	9	9	1.5

其余参数固定如下：γ₁＝1，γ₂＝1，T₀＝1。

正交试验表设置为：

正交试验结果为：

利用SPSS软件，对16次结果进行回归分析，得到如下结论：

(1)模型参数对大样本容量n₁的取值影响不显著。

(2)小样本容量n₂的取值随着抽样和检测的固定成本a₃的增大而增大；随着一次抽取样本和绘制控制图的平均时间E以及过程波动δ的增大而减小。

(3)大抽样区间h₁的取值随着受控时的平均成本C₀、抽样和检测的固定成本a₃、消除特殊原因的平均时间T₂以及过程波动δ的增大而增大；随着失控时的平均成本C₁、产生特殊原因的频率θ、一次抽取样本和绘制控制图的平均时间E以及查找和消除特殊原因的成本a₂的增大而减小。

(4)模型参数对小抽样区间h₂的取值影响不显著。

(5)产生特殊原因的频率θ、抽样和检测的固定成本a₃越大，控制限系数 k越小；错误警报造成的平均成本a₁、过程波动δ越大，k越大。

(6)警戒限系数w的取值随着一次抽取样本和绘制控制图的平均时间E、产生特殊原因的频率θ的增大而减小；随着抽样和检测的固定成本a₃、过程波动δ的增大而增大。

(7)平滑系数λ的取值随着抽样和检测的固定成本a₃、过程波动δ的增大而增大；随着一次抽取样本和绘制控制图的平均时间E的增大而减小。

(8)产生特殊原因的频率θ、发现特殊原因的平均时间T₁、失控时的平均成本C₁以及消除特殊原因的平均时间T₂越大,单位时间的成本期望ETC越大；过程波动δ越大，ETC越小。

步骤6：最优性分析。本步骤的目的在于验证本发明所取得的经济效益具有最优性。

在相同的正交试验下，分别对VSI、VSS非正态EWMA控制图的经济设计结果进行求解比较，得：

由比较结果可得，在对炼钢过程进行监控时，本发明设计的非正态情况下VSSIEWMA控制图经济模型的单位时间成本期望在各组实验中均小于VSI、 VSS非正态EWMA控制图，具有与经济最优性。

Claims (2)

1.非正态分布下可变抽样区间和样本容量EWMA控制图的经济设计方法，其特征在于，包括以下几个步骤：

步骤1：采集数据。利用数据采集设备采集工业生产中的非正态数据，并用X表示观测值值变量，设观测值的均值和标准差分别为μ和σ。

步骤2：数据变换。由于数据的分布未知，需要通过Burr变换来确定分布函数，设Burr变量为Y，在接下来的步骤中，变量X和Y之间采取以下的转换规则：

(1)用以下公式计算X的偏态系数α₃和峰态系数α₄：

(2)在Burr分布表中找到与α₃和α₄对应的Burr参数c和q(c和q均为大于1的常数)，从而确定相应的Burr分布，得到该分布函数的均值和标准差M和S，Burr分布函数为：

(3)观测值X和Burr变量Y之间的转换公式为：

(4)设n为样本容量，则均值

与Burr分布变量Y之间的转换公式为：

步骤3：构建控制图。对于质量特性值X，假设过程受控时μ＝μ₀，σ＝σ₀。过程失控时仅均值发生变化，标准差保持不变,即μ＝μ₁＝μ₀+δσ，σ＝σ₀,δ为过程波动。假设在第i时刻抽取了样本容量为n的样本，样本均值为

则该时刻EWMA均值控制图的统计量为：

其中，λ为平滑系数，Z₀＝μ₀.

控制图的上下控制限分别为：

其中，k是控制限系数。

控制图的上下警戒限分别为：

其中，w是警戒限系数。

令h₁、h₂为长抽样区间和短抽样区间，n₁和n₂为大样本容量和小样本容量。控制图的监控机制为：若当前样本点落在中心域(LWL,UWL)内，则下一次抽样采用大抽样区间h₁以及小样本容量n₂的抽样办法；若当前样本点落在警戒域(UWL＜Z_i≤UCL或LCL≤Z_i＜LWL)，则下一次抽样采用小抽样区间h₂以及大样本容量n₁的抽样办法。如果当前样本点落在控制限外(Z_i＞UCL或Z_i＜LCL)，则控制图报警。

步骤4：构建经济模型：

其中步骤4又分为以下几个步骤：

步骤4-1：为了简化实际生产时的复杂情况，建立经济模型前提出以下假设：

(1)假设过程开始处于受控状态(μ＝μ₀)，经过一段时间以后，过程失控(μ＝μ₀+δσ，σ保持不变)。

(2)受控时长服从均值等于

的指数分布。

(3)异常原因发生后，在找出并纠正异常原因之前的一段时间，过程一直处于失控状态。

(4)在每个抽样间隔内，异常原因发生的次数最多为1，并且在抽样过程中，异常原因不发生。

步骤4-2：经济模型中，一个周期的成本期望可以分为：

(I)：受控时由于缺陷损失的成本期望：

其中，

为受控时长，C₀为受控时的单位时间产生损失的成本。

(II)：失控时由于缺陷损失的成本期望：

其中，C₁为受控时的单位时间产生损失的成本；

ATS₁为过程失控时，控制图的平均报警时间；τ为受控时，两个样本之间发生特殊原因的平均时间，

h₀为平均抽样区间，且

ATS₀为过程失控时，控制图的平均报警时间，ANSS₀为过程受控时，控制图报警所抽取的平均样本个数；

为平均样本容量，且

ANOS为过程受控时,控制图报警所需平均观测值数；

E为一次抽取样本和绘制控制图的平均时间；

γ₁表示若寻找特殊原因时过程不停止，则γ₁＝1；若寻找特殊原因时过程停止，则γ₁＝0；

γ₂表示若消除特殊原因时过程不停止，则γ₂＝1；若纠正过程时过程停止，则γ₂＝0；

T₁为发现特殊原因的平均时间；

T₂为消除特殊原因的平均时间；

(III)：虚发警报的成本期望：a₁ANF

其中，a₁为错误警报发生一次的成本；

ANF为一个周期内错误警报的平均个数，且

(IV)：查找和消除特殊的成本a₂

(V)：抽样产生的成本期望

其中，a₃为抽样和检测的固定成本；

a₄为抽样和检测的可变成本。

因此，总的成本期望：

步骤4-3：一个过程周期可以分为：

(I)：受控时间

(II)：虚发警报产生的时间(1-r₁)T₀ANF

其中，T₀为寻找每个虚发警报的平均时间；

(III)：失控时间ATS₁-τ

(IV)：抽样和绘图的时间

(V)：查找、消除特殊原因的平均时间T₁+T₂。

因此，总的时间为：

步骤4-4：建立完整的经济函数，其值为一个周期内单位时间的成本期望ETC，等于一个周期的成本期望与周期时长的比值:

步骤5：经济设计即求取使ETC最小时的最优参数组合(n₁,n₂,h₁,h₂,k,w,λ)。

2.根据权利要求1所述的VSSI非正态EWMA控制图的经济设计方法。其特征在于，在步骤4中针对：

上式中，ATS₀、ATS₁、ANSS₀、ANOS的值可以运用马尔科夫链的方法得到，计算公式如下：

其中，v表示马尔可夫过程将控制域划分为2v+1个状态；d_i(i＝1,...,2v+1)为Z_i位于状态E_i时的抽样区间，当E_i落在中心域时，d_i＝h₁；当E_i落在警戒域时，

为Z_i位于状态E_i时的样本容量，当E_i落在中心域时，

当E_i落在警戒域时，

定义：

U＝[u_ij]_{(2v+1)×(2v+1)}

R＝[r_ij]_{(2v+1)×(2v+1)}＝(I-U)^-1

其中：

u_ij＝F(B)-F(A)

U^/＝[u'_ij]_{(2m+1)×(2m+1)}

R^/＝[r'_ij]_{(2m+1)×(2m+1)}＝(I-U^/)^-1

其中：

u_ij'＝F(B')-F(A')

Images