CN110716430A - 一种采用等效扰动补偿的伺服系统快速吸引重复控制方法 - Google Patents

Abstract

一种采用等效扰动补偿的伺服系统快速吸引重复控制方法，给定连续时间快速吸引律，计算快速吸引律收敛时间，离散化快速吸引律，给定模块产生周期性的参考信号，构造周期反馈环节，在快速吸引律中引入等效扰动补偿，利用观测器对等效扰动进行估计；基于快速吸引律构建理想误差动态，依据理想误差动态设计控制器，将计算得到的信号作为伺服系统的控制输入；控制器参数整定依据表征系统收敛性能指标进行，且给出了表征跟踪误差收敛过程的单调减区域、绝对吸引层、稳态误差带边界以及跟踪误差首次进入稳态误差带最大步数的计算公式。本发明的带有等效扰动补偿的快速吸引重复控制器，通过对等效扰动的估计，能够提高系统跟踪精度以及完全抑制周期扰动。

Description

一种采用等效扰动补偿的伺服系统快速吸引重复控制方法

技术领域

本发明涉及基于等效扰动估计的快速吸引重复控制方法，该方法适用于周期位置伺服系统，也可用于其它含有周期运行过程的工业场合。

背景技术

重复控制的核心为内模原理，即将一个闭环回路嵌入稳定的控制系统中，以构建一个正反馈环节作为周期信号发生器。内模原理通过周期信号发生器将当前时刻的上一周期信号提取出来，并替换当前时刻的信号值，用以消除周期扰动带来的影响，这是抑制周期扰动的有效策略。在大规模工业生产中，机器设备常常要求重复、周期的执行任务，因此重复控制被广泛应用于汽车焊接机器人、计算机磁盘驱动和电机控制系统等领域。

吸引律方法不同于趋近律方法，两者的主要区别表现在：吸引律依赖误差而不依赖切换函数，控制过程不存在变结构的情况；吸引律旨在稳态的结果的不变性，而趋近律注重滑动模态的不变性；在吸引律作用下系统跟踪误差最终收敛到原点附近，趋近律收敛至滑模面附近。通常的吸引律反映了未受扰动时系统动态特性，在存在干扰情形下，直接依据吸引律设计的控制器无法实现。此时需设计干扰补偿措施用于补偿系统扰动，结合干扰补偿和吸引律构建理想误差方程，由误差方程和误差定义可设计离散控制器。闭环系统动态过程由理想误差动态所决定，且具有理想误差动态所表征的期望特征。

扩张状态观测器(ESO)是自抗扰控制系统的核心单元，其基本做法是将总体扰动(包括内扰和外扰)定义为新的状态，借用状态观测方法，构造扩张状态(包括总体扰动作用)的状态观测器。它不仅能够估计系统状态，还能估计系统模型中总体扰动的实时作用量，用于补偿扰动信号的影响。由于总体扰动囊括系统模型中的不确定性，大大简化了系统模型，控制增益也可看成已知的，便于控制器设计。扰动观测器提供了一种通用且实用的不确定特性观测方法。

发明内容

为了克服现有快速吸引重复控制方法的系统跟踪精度较低、无法抑制周期扰动的不足，本发明提供一种采用等效扰动补偿的伺服系统快速吸引重复控制方法，为使得闭环系统具有预先设定的期望误差跟踪性能，依据快速吸引构造的理想误差动态方程设计电机伺服重复控制器，在实现对周期干扰成分完全抑制的同时，考虑到扰动存在非周期成分，在闭环系统中引入扰动观测器，以便补偿非周期性干扰，进一步提高控制性能，使得电机伺服系统实现高速、高精度跟踪；本发明将影响系统输出的扰动作用扩张成新的变量，构造扰动观测器，这个扰动观测器不需要直接量测扰动信号，也无需知道扰动信号的具体模型，本发明具体给出稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及跟踪误差首次进入稳态误差带所需最多步数四个指标的具体表达式，可用于指导控制器参数整定。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案是：

一种采用等效扰动补偿伺服系统的快速吸引重复控制器设计方法，包括以下步骤：

步骤1.给定连续时间快速吸引律，

其中，0＜q＜1，k₁＞0，k₂＞0，0＜α＜1，β＞1，e(t)表示t时刻的跟踪误差；

步骤2.计算快速吸引律收敛时间σ，

对于(1)，状态e和

在有限时间内收敛于平衡零点，即在有限时间后有

设系统的初始状态e(0)＞1，分两个阶段进行有限时间σ的计算；

由初始状态e(0)＞1→e(t)＝1的过程，当0＜α＜1，β＞1时，式(1)中起主要作用的是第一项和第三项，从而忽略第三项的影响，计算出收敛时间为

通过上一步，得到由初始状态e(0)＝1→e(t)＝0的过程，当0＜α＜1，β＞1时，式(1)中起主要作用的是第一项和第二项，从而忽略第三项的影响，计算出收敛时间为

当e(t)＜-1时，同样分为两个阶段求解收敛时间，因此收敛时间为两个趋近阶段各收敛时间的总和，即

步骤3.离散化式(1)，得到如下离散快速吸引律，

上式改写为

e_k+1＝(1-qT)e_k-k₁T|e_k|^αsgn(e_k)-k₂T|e_k|^βsgn(e_k) (6)

其中，e_k+1表示k+1时刻的跟踪误差，T为采样时间；令qT＝ρ，k₁T＝ε₁，k₂T＝ε₂，则快速吸引律表示为：

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε₁|e_k|^αsgn(e_k)-ε₂|e_k|^βsgn(e_k) (7)

步骤4.给定周期参考信号，满足

r_k＝r_k-N (8)

其中，N为参考信号的周期，r_k和r_k-N分别表示k时刻和k-N时刻的参考信号；

步骤5.定义跟踪误差

式中

A₁(q^-1)＝a₁+a₂q^-1+…+a_nq^-n+1＝q(A(q^-1)-1)

A(q^-1)＝1+a₁q^-1+…+a_nq^-n

B(q^-1)＝b₀q^-1+…+b_mq^-m

满足

A(q^-1)y_k＝q^-dB(q^-1)u_k+w_k (10)

其中，r_k+1表示k+1时刻的参考信号，y_k+1、y_k、y_k+1-N和y_k-N分别表示k+1、k、k+1-N和k-N时刻的输出信号，u_k和u_k-N分别表示k和k-N时刻的输入信号，w_k+1和w_k+1-N分别表示k和k-N时刻的干扰信号，d表示延迟，A(q^-1)和B(q^-1)为q^-1的多项式，q^-1表示一步延迟算子，n表示A(q^-1)的阶数，m表示B(q^-1)的阶数，a₁,…,a_n,b₀,…,b_m为系统参数且b₀≠0，n≥m，d为整数，且d≥1；

步骤6.构造等效扰动

d_k＝w_k-w_k-N (11)

其中，N为参考信号的周期，d_k表示k时刻的等效扰动信号，w_k和w_k-N分别表示k时刻和k-N时刻的干扰信号；

利用(9)将跟踪误差表达为

e_k+1＝r_k+1-y_k+1-N+A₁(q^-1)(y_k-y_k-N)-q^-d+1B(q^-1)(u_k-u_k-N)-d_k+1 (12)

其中，d_k+1表示k+1时刻的等效扰动；

步骤7.设计观测器，估计等效扰动

设计观测器对等效扰动d_k+1进行观测，并以观测值补偿等效扰动，观测器的两个观测变量为

和

分别用来估计e_k和d_k，根据误差动态(式(7))，设计如下形式的观测器

其中，

表示对误差e_k+1的估计，

表示对误差e_k的估计，

表示等效扰动，β₁表示关于误差的观测器增益系数，β₂表示关于等效扰动的观测器增益系数，

表示跟踪误差的估计误差；令h_k＝d_k+1-d_k，则

等效扰动的估计误差

为

跟踪误差的估计误差为

将式(15)和(16)写成如下形式

记其特征方程为

|λI-B|＝0 (18)

即

(λ-β₁+β₂)(λ-1)+β₂＝0 (19)

因此，特征根为

对参数β₁和β₂进行配置，使得所有特征根都在单位圆内，则矩阵B是Schur稳定矩阵，估计误差渐近收敛，即

步骤8.构造具有扰动抑制措施的快速吸引律

其中，ρ、ε₁和ε₂均为可调参数，α、β为吸引指数，且0＜ρ＜1，ε₁＞0，ε₂＞0，0＜α＜1，β＞1；

步骤9.设计具有等效扰动补偿的重复控制器

结合式(9)和式(20)，设计具有等效扰动补偿的重复控制器

记

将重复控制器表达为

u_k＝u_k-N+v_k (22)

将u_k作为伺服对象的控制器输入信号，可测量获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。

进一步，给出稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及跟踪误差首次进入稳态误差带所需最多步数等四个指标的表达式，用于刻画系统跟踪性能，并指导控制器参数整定，其中的稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及最大收敛步数定义如下：

1)单调减区域Δ_MDR：当e_k大于此边界时，e_k同号递减，即满足如下条件：

2)绝对吸引层Δ_AAL：当系统跟踪误差的绝对值|e_k|大于此界时,其|e_k|单调递减,即满足如条件：

3)稳态误差带Δ_SSE：当系统误差一旦收敛进入该边界，那么误差就会稳定在此区域内，即满足如下条件：

4)最大收敛步数

跟踪误差最多经过

步进入稳态误差带；

等效扰动补偿误差满足

时，各指标的表达式如下

单调减区域Δ_MDR

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (26)

其中，Δ_MDR1和Δ_MDR2均为实数，且由式(27)确定。

绝对吸引层Δ_AAL

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (28)

其中，Δ_AAL1和Δ_AAL2均为实数，且由式(29)确定。

稳态误差带Δ_SSE

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2} (30)

其中，Δ_SSE1和Δ_SSE2均为实数，且由式(31)确定；

另外，在给出Δ_SSE后，跟踪误差进入稳态误差带的最大步数

若Δ_SSE≥1，

若Δ_SSE＜1

其中，e₀为跟踪误差初始值，

表示不小于·的最小整数。

更进一步地，对于α＝12，β＝32情形，依据给出的Δ_MDR、Δ_AAL、Δ_SSE表达式及收敛步数表达式确定相应的计算公式；

1)单调减区域Δ_MDR

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (36)

其中，

2)绝对吸引层Δ_AAL

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (39)

其中，

3)稳态误差带Δ_SSE

Δ_SSE＝Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (40)

4)最大收敛步数

若Δ_SSE≥1，

若Δ_SSE＜1

其中，e₀为跟踪误差初始值，

表示不小于·的最小整数。

本发明的技术构思为：提供一种采用等效扰动补偿的伺服系统快速吸引重复控制方法。根据给定参考信号和构造的等效扰动，引入观测器对等效扰动进行估计，并将干扰抑制措施嵌入快速快速吸引律中，形成具有干扰抑制作用的理想误差动态，从而设计出具有等效扰动补偿的重复控制器，实现对给定参考信号的快速高精度跟踪。

本发明的有益效果主要表现在：具有等效扰动补偿、周期干扰完全抑制、快速收敛性能和高跟踪精度。

附图说明

图1是交流永磁同步电机伺服系统方框图。

图2是等效扰动观测器方框图。

图3是快速快速吸引重复控制器方框图。

图4是当扰动w_k＝-5sin(2πfkT_s)+0.15sgn(sin(2kπ/150))，控制器参数取

ε₁＝0.1，ε₂＝0.1，ρ＝0.1，Δ＝0.3,时的仿真结果图中标出Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE。

图5是当扰动w_k＝10sin(2πfkT_s)+0.15sgn(sin(2kπ/150))，控制器参数取ε₁＝0.1，ε₂＝0.1，ρ＝0.1，Δ＝0.3,时的仿真结果图中标出Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE。

图6是当扰动w_k＝-5sin(2πfkT_s)+0.15sgn(sin(2kπ/150))，控制器参数取

ε₁＝0.2，ε₂＝0.1，ρ＝0.3，Δ＝0.3时的仿真结果图中标出Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE。

图7是当扰动w_k＝10sin(2πfkT_s)+0.15sgn(sin(2kπ/150))，控制器参数取

ε₁＝0.2，ε₂＝0.1，ρ＝0.3，Δ＝0.3时的仿真结果图中标出Δ_MDR，Δ_AAL及Δ_SSE。

图8-11是反馈控制器参数取ε₁＝0.1，ε₂＝0.15，ρ＝0.25时，永磁同步电机控制系统的实验结果，其中：

图8是基于快速吸引律的反馈控制器作用下的参考位置信号和实际位置信号；

图9是基于快速吸引律的反馈控制器作用下的控制器电压信号；

图10是基于快速吸引律的反馈控制器作用下的位置误差；

图11是基于快速吸引律的反馈控制器作用下的位置误差分布直方图。

图12-15是反馈控制器参数取

ε₁＝0.1，ε₂＝0.15，ρ＝0.25，观测器参数取β₁＝0.2，β₂＝0.5时，永磁同步电机控制系统的实验结果，其中：

图12是基于快速吸引律和等效扰动补偿的反馈控制器作用下的参考位置信号和实际位置信号；

图13是基于快速吸引律和等效扰动补偿的反馈控制器作用下的控制器电压信号；

图14是基于快速吸引律和等效扰动补偿的反馈控制器作用下的位置误差；

图15是基于快速吸引律和等效扰动补偿的反馈控制器作用下的位置误差分布直方图。

图16-19是重复控制器参数取

ε₁＝0.1，ε₂＝0.15，ρ＝0.25时，永磁同步电机控制系统的实验结果，其中：

图16是基于快速吸引律的重复控制器作用下的参考位置信号和实际位置信号；

图17是基于快速吸引律的重复控制器作用下的控制器电压信号；

图18是基于快速吸引律的重复控制器作用下的位置误差；

图19是基于快速吸引律的重复控制器作用下的位置误差分布直方图。

图20-23是重复控制器参数取

ε₁＝0.1，ε₂＝0.15，ρ＝0.25，观测器参数取β₁＝0.2，β₂＝0.5时，永磁同步电机控制系统的实验结果，其中：

图20是基于快速吸引律和等效扰动补偿的重复控制器作用下的参考位置信号和实际位置信号；

图21是基于快速吸引律和等效扰动补偿的重复控制器作用下的控制器电压信号；

图22是基于快速吸引律和等效扰动补偿的重复控制器作用下的位置误差；

图23是基于快速吸引律和等效扰动补偿的重复控制器作用下的位置误差分布直方图。

图24-27是反馈控制器参数取

ε₁＝0.2，ε₂＝0.2，ρ＝0.2时，永磁同步电机控制系统的实验结果，其中：

图24是基于快速吸引律的反馈控制器作用下的参考位置信号和实际位置信号；

图25是基于快速吸引律的反馈控制器作用下的控制器电压信号；

图26是基于快速吸引律的反馈控制器作用下的位置误差；

图27是基于快速吸引律的反馈控制器作用下的位置误差分布直方图。

图28-31是反馈控制器参数取ε₁＝0.2，ε₂＝0.2，ρ＝0.2，观测器参数取β₁＝0.2，β₂＝0.5时，永磁同步电机控制系统的实验结果，其中：

图28是基于快速吸引律和等效扰动补偿的反馈控制器作用下的参考位置信号和实际位置信号；

图29是基于快速吸引律和等效扰动补偿的反馈控制器作用下的控制器电压信号；

图30是基于快速吸引律和等效扰动补偿的反馈控制器作用下的位置误差；

图31是基于快速吸引律和等效扰动补偿的反馈控制器作用下的位置误差分布直方图。

图32-35是重复控制器参数取

ε₁＝0.2，ε₂＝0.2，ρ＝0.2时，永磁同步电机控制系统的实验结果，其中：

图32是基于快速吸引律的重复控制器作用下的参考位置信号和实际位置信号；

图33是基于快速吸引律的重复控制器作用下的控制器电压信号；

图34是基于快速吸引律的重复控制器作用下的位置误差；

图35是基于快速吸引律的重复控制器作用下的位置误差分布直方图。

图36-39是重复控制器参数取

ε₁＝0.2，ε₂＝0.2，ρ＝0.2观测器参数取β₁＝0.2，β₂＝0.5时，永磁同步电机控制系统的实验结果，其中：

图36是基于快速吸引律和等效扰动补偿的重复控制器作用下的参考位置信号和实际位置信号；

图37是基于快速吸引律和等效扰动补偿的重复控制器作用下的控制器电压信号；

图38是基于快速吸引律和等效扰动补偿的重复控制器作用下的位置误差；

图39是基于快速吸引律和等效扰动补偿的重复控制器作用下的位置误差分布直方图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明具体实施方式作进一步描述。

参照图1-图39，一种采用等效扰动补偿伺服系统的快速吸引重复控制方法，被控对象为周期伺服系统，其中，图1是交流永磁同步电机伺服系统方框图；图2等效扰动观测器方框图；图3是快速吸引重复控制器方框图。

一种采用等效扰动补偿的伺服系统快速吸引重复控制方法，包括以下步骤：

步骤1.给定连续时间快速吸引律，满足(1)；

步骤2.计算快速吸引律的收敛时间(4)；

步骤3.离散化快速吸引律(1)，表达为(5)；

步骤4.给定周期参考信号，满足(8)；

步骤5.定义跟踪误差为(9)，电机伺服系统的二阶差分模型为(10)；

步骤6.构造等效扰动(11)，利用(11)将系统跟踪误差表达为(12)；

步骤7.设计观测器(13)，估计等效扰动；

步骤8.构造具有扰动抑制措施的快速吸引律(20)；

步骤9.构造具有等效扰动补偿的重复控制器，结合式(9)和式(20)，设计具有等效扰动补偿的重复控制器(21)，将重复控制器表达为(22)。

上述重复控制器设计，做以下说明：

1)快速吸引律中引入d_k+1，反映了对于给定周期模式的扰动信号的抑制措施，引入的

反映了等效扰动的估计值，据此提供等效扰动补偿。

2)式(21)中，e_k、y_k、y_k-1、y_k-1-N均可通过测量得到，u_k-1、u_k-1-N为控制信号的存储值，可以从内存中读取。

3)当参考信号满足r_k＝r_k-1，该离散重复控制器也适用于常值调节问题，这时的等效扰动为d_k＝w_k-w_k-1；其中，r_k-1表示k-1时刻的参考信号，w_k-1表示k-1时刻的干扰信号；具有等效扰动补偿的反馈控制器为

4)上述离散时间控制器针对二阶系统进行设计，按照相同的方法同样可以给出更高阶系统的设计结果。

进一步，对于的情形，给出的Δ_MDR、Δ_AAL、Δ_SSE表达式及收敛步数表达式确定相应的计算公式，用于刻画系统跟踪性能及指导控制器参数整定。

本实施例以永磁同步电机装置在固定区间上执行重复跟踪任务为例，其位置参考信号具有周期对称特性。以TMS320F2812DSP作为控制器，韩国LS交流伺服电机APM-SB01AGN作为控制对象，与ELMO交流伺服驱动器以及上位机构成永磁同步电机伺服系统，进行电机位置控制。其中伺服系统采用三环控制，电流环与速度环控制器ELMO驱动器提供，位置环由DSP开发板提供。

通过最小二乘辨识方法，给出如下永磁同步伺服系统数学模型

y_k+1-1.8949y_k+0.8949y_k-1＝1.7908u_k-0.5704u_k-1+w_k+1 (43)

其中，y_k，u_k分别为位置伺服系统的位置输出与控制输入，w_k为干扰信号。

该实施例中将通过数值仿真和实验结果说明本发明给出重复控制器的有效性。

数值仿真：本实施例以正弦信号作为系统参考信号，相应的重复控制器表达式可写成

给定位置参考信号为r_k＝20(sin(2πfkT_s-1/2π)+1)，单位为度(deg)，频率f＝1Hz，采样周期T_s＝0.001s，采样周期N＝1000。仿真时选取适当扰动量w_k，它由周期扰动和非周期随机干扰构成。

为说明本发明专利关于单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE的理论正确性，以

为例进行了数值仿真。在重复控制器(44)作用下，选取不同的控制器参数ρ、ε₁和ε₂，伺服系统的三个边界层也各不相同。

(1)当ε₁＝0.2，ε₂＝0.1，ρ＝0.3，Δ＝0.3时，根据三个边界值的计算公式，可以得

Δ_MDR＝0.7789，Δ_SSE＝Δ_AAL＝0.4511

(2)当ε₁＝0.1，ε₂＝0.1，ρ＝0.1，Δ＝0.3时，根据三个边界值的计算公式，可以得

Δ_SSE＝Δ_AAL＝Δ_MDR＝1

选取两种大小不相等的扰动量，仿真结果见图4-7，其中图5和图7是扰动量w_k＝5sin(2πfkT_s)+0.15sgn(2kπ/150)的仿真结果，图4和图6是扰动量w_k＝-10sin(2πfkT_s)+0.15sgn(2kπ/150)的仿真结果。

在给定系统模型、参考信号和干扰信号的情况下，上述数值结果验证了本专利给出的重复控制器作用下系统跟踪误差的单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL和稳态误差带Δ_SSE的准确性。

实验验证实验所用永磁同步电机控制系统的方框图见图1所示。通过设置不同控制器参数，验证基于快速吸引律的离散重复控制的跟踪性能。给定位置信号r_k＝A(sin(2πfkT_s)+1)，其中，幅值A＝135deg,采样周期T_s＝5ms，频率f＝1Hz。

采用的反馈控制器具有如下形式

采用的基于扰动补偿的反馈控制器具有如下形式

采用的重复控制器具有如下形式

采用的基于扰动补偿的重复控制器具有如下形式

1)采用控制器(45)，控制器参数选取为

ε₁＝0.1，ε₂＝0.15，ρ＝0.25，实验结果如图8-11所示，图中Δ_SSE＝0.14deg。

2)采用控制器(46)，控制器参数选取为ε₁＝0.1，ε₂＝0.15，ρ＝0.25，扰动观测器参数β₁＝0.2，β₂＝0.5，实验结果如图12-15所示，图中Δ_SSE＝0.12deg。

3)采用控制器(47)，控制器参数选取为

ε₁＝0.1，ε₂＝0.15，ρ＝0.25，实验结果如图16-19所示，图中Δ_SSE＝0.1deg。

4)采用控制器(48)，控制器参数选取为

ε₁＝0.1，ε₂＝0.15，ρ＝0.25，扰动观测器参β₁＝0.2，β₂＝0.5，实验结果如图20-23所示，图中Δ_SSE＝0.08deg。

5)采用控制器(45)，控制器参数选取为ε₁＝0.2，ε₂＝0.2，ρ＝0.2，实验结果如图24-27所示，图中Δ_SSE＝0.13deg。

6)采用控制器(46)，控制器参数选取为ε₁＝0.2，ε₂＝0.2，ρ＝0.2，扰动观测器参β₁＝0.2，β₂＝0.5，实验结果如图28-31所示，图中Δ_SSE＝0.11deg。

7)采用控制器(47)，控制器参数选取为

ε₁＝0.2，ε₂＝0.2，ρ＝0.2，实验结果如图32-35所示，图中Δ_SSE＝0.1deg。

8)采用控制器(48)，控制器参数选取为

ε₁＝0.2，ε₂＝0.2，ρ＝0.2，扰动观测器参β₁＝0.2，β₂＝0.5，实验结果如图36-39所示，图中Δ_SSE＝0.06deg。

上述实验结果表明，引入等效扰动，以等效扰动观测器对其进行估计，提供对于系统未建模特性和外部未知扰动的补偿，能够有效抑制未知扰动对跟踪性能的影响；采用重复控制对周期扰动实现完全抑制，进一步了提高系统的控制性能。

Claims (3)

1.一种采用等效扰动补偿的伺服系统快速吸引重复控制方法，被控对象为周期伺服系统，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1.给定连续时间快速吸引律，

其中，0＜q＜1，k₁＞0，k₂＞0，0＜α＜1，β＞1，e(t)表示t时刻的跟踪误差；

步骤2.计算快速吸引律收敛时间σ，

对于(1)，状态e和在有限时间内收敛于平衡零点，即在有限时间后有

设系统的初始状态e(0)＞1，分两个阶段进行有限时间σ的计算。

由初始状态e(0)＞1→e(t)＝1的过程，当0＜α＜1，β＞1时，式(1)中起主要作用的是第一项和第三项，从而忽略第三项的影响，计算出收敛时间为

通过上一步，得到由初始状态e(0)＝1→e(t)＝0的过程，当0＜α＜1，β＞1时，式(1)中起主要作用的是第一项和第二项，从而忽略第三项的影响，计算出收敛时间为

当e(t)＜-1时，同样分为两个阶段求解收敛时间，因此收敛时间为两个趋近阶段各收敛时间的总和，即

步骤3.离散化式(1)，得到如下离散快速吸引律，

上式改写为

e_k+1＝(1-qT)e_k-k₁T|e_k|^αsgn(e_k)-k₂T|e_k|^βsgn(e_k) (6)

其中，e_k+1表示k+1时刻的跟踪误差，T为采样时间；令qT＝ρ，k₁T＝ε₁，k₂T＝ε₂，则快速吸引律表示为：

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε₁|e_k|^αsgn(e_k)-ε₂|e_k|^βsgn(e_k) (7)

步骤4.给定周期参考信号，满足

r_k＝r_k-N (8)

其中，N为参考信号的周期，r_k和r_k-N分别表示k时刻和k-N时刻的参考信号；

步骤5.定义跟踪误差

式中

A₁(q^-1)＝a₁+a₂q^-1+…+a_nq^-n+1＝q(A(q^-1)-1)

A(q^-1)＝1+a₁q^-1+…+a_nq^-n

B(q^-1)＝b₀q^-1+…+b_mq^-m

满足

A(q^-1)y_k＝q^-dB(q^-1)u_k+w_k (10)

其中，r_k+1表示k+1时刻的参考信号，y_k+1、y_k、y_k+1-N和y_k-N分别表示k+1、k、k+1-N和k-N时刻的输出信号，u_k和u_k-N分别表示k和k-N时刻的输入信号，w_k+1和w_k+1-N分别表示k和k-N时刻的干扰信号，d表示延迟，A(q^-1)和B(q^-1)为q^-1的多项式，q^-1表示一步延迟算子，n表示A(q^-1)的阶数，m表示B(q-¹)的阶数，a₁,...,a_n,b₀,…,b_m为系统参数且b₀≠0，n≥m，d为整数，且d≥1；

步骤6.构造等效扰动

d_k＝w_k-w_k-N (11)

其中，N为参考信号的周期，d_k表示k时刻的等效扰动信号，w_k和w_k-N分别表示k时刻和k-N时刻的干扰信号；

利用(9)将跟踪误差表达为

e_k+1＝r_k+1-y_k+1-N+A₁(q^-1)(y_k-y_k-N)-q^-d+1B(q^-1)(u_k-u_k-N)-d_k+1 (12)

其中，d_k+1表示k+1时刻的等效扰动；

步骤7.设计观测器，估计等效扰动

设计观测器对等效扰动d_k+1进行观测，并以观测值补偿等效扰动，观测器的两个观测变量为

和

分别用来估计e_k和d_k，根据误差动态(式(7))，设计如下形式的观测器

其中，

表示对误差e_k+1的估计，

表示对误差e_k的估计，

表示等效扰动，β₁表示关于误差的观测器增益系数，β₂表示关于等效扰动的观测器增益系数，

表示跟踪误差的估计误差；令h_k＝d_k+1-d_k，则

等效扰动的估计误差

为

跟踪误差的估计误差为

将式(15)和(16)写成如下形式

记

其特征方程为

|λI-B|＝0 (18)

即

(λ-β₁+β₂)(λ-1)+β₂＝0 (19)

因此，特征根为

对参数β₁和β₂进行配置，使得所有特征根都在单位圆内，则矩阵B是Schur稳定矩阵，估计误差渐近收敛，即

步骤8.构造具有扰动抑制措施的快速吸引律

其中，ρ、ε₁和ε₂均为可调参数，α、β为吸引指数，且0＜ρ＜1，ε₁＞0，ε₂＞0，0＜α＜1，β＞1；

步骤9.设计具有等效扰动补偿的重复控制器

结合式(9)和式(20)，设计具有等效扰动补偿的重复控制器

记

将重复控制器表达为

u_k＝u_k-N+v_k (22)

将u_k作为伺服对象的控制器输入信号，测量获得伺服系统输出信号y_k，跟随参考信号r_k变化。

2.如权利要求1所述的一种采用等效扰动补偿的伺服系统快速吸引重复控制方法，其特征在于，给出稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及跟踪误差首次进入稳态误差带所需最多步数等四个指标的表达式，用于刻画系统跟踪性能及指导控制器参数整定，其中稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及收敛步数的定义如下：

1)单调减区域Δ_MDR：当e_k大于此边界时，e_k同号递减，即满足如下条件：

2)绝对吸引层Δ_AAL：当系统跟踪误差的绝对值|e_k|大于此界时,其|e_k|单调递减,即满足如条件：

3)稳态误差带Δ_SSE：当系统误差一旦收敛进入该边界，那么误差就会稳定在此区域内，即满足如下条件：

4)最大收敛步数

跟踪误差最多经过

步进入稳态误差带；

等效扰动补偿误差满足

时，各指标的表达式如下

单调减区域Δ_MDR

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (26)

其中，Δ_MDR1和Δ_MDR2均为实数，且由式(27)确定；

绝对吸引层Δ_AAL

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (28)

其中，Δ_AAL1和Δ_AAL2均为实数，且由式(29)确定；

稳态误差带Δ_SSE

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2} (30)

其中，Δ_SSE1和Δ_SSE2均为实数，且由式(31)确定；

另外，在给出Δ_SSE后，跟踪误差进入稳态误差带的最大步数

若Δ_SSE≥1，

若Δ_SSE＜1

其中，e₀为跟踪误差初始值，

表示不小于·的最小整数。

3.如权利要求2所述的一种采用等效扰动补偿的伺服系统快速吸引重复控制方法，其特征在于，对于α＝1/2，β＝3/2情形，依据给出的单调减区域Δ_MDR、绝对吸引层Δ_AAL、稳态误差带Δ_SSE以及最大收敛步数表达式确定相应的计算公式；

1)单调减区域Δ_MDR

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (36)

其中，

2)绝对吸引层Δ_AAL

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (39)

其中，

3)稳态误差带Δ_SSE

Δ_SSE＝Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (40)

4)最大收敛步数

若Δ_SSE≥1，

若Δ_SSE＜1

其中，e₀为跟踪误差初始值，

表示不小于·的最小整数。

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