CN110707703B - 基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法，主要步骤为：1)确定潮流计算模型的随机输入变量X和Pearson相关系数矩阵C_X；2)确定与随机输入变量X对应的n维标准正态分布变量Z和Pearson相关系数矩阵C_Z；3)生成n维独立且服从标准正态分布的随机变量G；4)计算得到具有相关性的标准正态域的变量Z。5)将具有相关性且服从标准高斯分布的变量转换为具有相关性的原始域变量。6)建立确定性概率潮流模型；7)计算生成的样本X_input每个维度上的数值范围，并生成配置点；8)完成PPF计算，得到PPF计算的输出W’_output。本发明可以分析含有高维线性相关随机变量的大规模电网，以高精度和快速的计算速度进行概率潮流计算与分析。

Description

基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效 计算方法

技术领域

本发明涉及新能源并网领域，具体是基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法。

背景技术

近年来人类对清洁的环境和生活方式的追求，推动了可再生能源的快速发展和广泛利用。根据REN 21的2018年年度报告显示，在整个2017年内，可再生能源发电占全球电力生产总和的26.5％，其中水力发电和风力发电占16.4％和5.6％，剩余的4.5％包括生物质能、光伏、海洋发电等。然而，由于如风速、太阳辐射、潮汐流速等一次能源具有明显的随机性，必将给现代电力系统引入大量的概率不确定源。这导致电力系统运行分析具有如下特征——电力网络规模大，所含随机源个数多、种类多。

事实上，概率潮流(Probabilistic Power Flow，PPF)能够有效地对含有随机源的电力系统进行潮流分析，同时能够根据分析结果，对电力系统运行状态进行评估，还能够揭露系统运行中所存在的潜在风险。

PPF分析一般包括三个主要步骤：1)随机源的建模；2)PPF计算(即概率特性的传递)；3)对输出结果的分析。对于第一步，随机输入量的建模即为对不确定源的建模，不确定性建模主要侧重于构建随机输入变量的边缘分布及其相关性，这是整个PPF分析的基础。一般的，对于变量的边缘分布建模，需要假设变量服从的分布类型，估计分布参数，最后进行检验即可。但是在Pearson体系下的相关性建模中，在含有非正态分布的变量时，难以在原始概率空间中直接生成合适的样本。为了解决这一问题，Nataf变换便被引入。通过生成服从标准正态分布的样本，Nataf变换可以得到原始分布域的样本。这样一来，整个抽样过程就可以从产生标准正态分布的样本开始。Nataf变换中，关键步骤是求取标准正态分布空间内的相关系数矩阵。仅在求取一个相关系数时，这个过程的传统求取方法非常耗时。考虑到任意两个变量之间，都存在一个相关系数待求取，因此在含有高维随机变量的相关性建模中，传统方法是非常不可取的。

首先要明确的一点是，含有高维随机变量的电力系统，一定是一个规模非常大的网络，其确定性的潮流计算本身就非常耗时。将其确定性模型应用到PPF计算后，由于PPF需要产生大量的样本，每组样本都需要通过确定性模型的传递，因此对于大电网的PPF计算，本身也是极为耗时的。然而在对大电网进行运行分析时，基于网络原始确定性模型的PPF分析，几乎不能满足所要求的计算效率，无法对网络的运行状态进行准确的分析，也无法及时发现网络所存在的潜在威胁。

发明内容

本发明的目的是解决现有技术中存在的问题。

为实现本发明目的而采用的技术方案是这样的，基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法，主要包括以下步骤：

1)确定潮流计算模型的随机输入变量X和随机输入变量X的Pearson相关系数矩阵C_X。所述随机输入变量X由电力系统不确定性源转化的可再生能源的有功功率输出。所述电力系统不确定性源包括风力发电厂的风速，光伏电站的太阳辐射强度，潮汐发电厂的潮汐流速和波动性负荷的负荷。不确定源个数为n。

进一步，确定潮流计算模型的随机输入变量X的主要步骤如下：

1.1)确定潮流计算模型中具有随机性的输入变量X＝[X₁，X₂，...，X_n]，其中随机变量个数为n。

1.2)确定每个随机变量服从的分布类型以及分布参数，得到每个随机变量的累积分布函数，其中

表示变量X_i的累计分布函数，同时得到对应的反函数

1.3)通过数理统计方法，获取随机输入变量X的原始Pearson相关系数矩阵C_X。其中矩阵C_X第i行第j列的元素为随机输入变量X_i和随机输入变量X_j之间的相关系数，记为ρ_x(i，j)。

2)确定与随机输入变量X对应的n维标准正态分布变量Z＝[Z₁，Z₂，...，Z_n]，元素Z_i和Z_j之间的相关系数记为ρ_z(i，j)。

进一步，Z_i和Z_j之间的相关系数ρ_z(i，j)与随机输入变量X_i和随机输入变量X_j之间的相关系数ρ_x(i，j)满足下式：

式中，μ_i为随机输入变量X_i的均值。σ_i为随机输入变量X_i的标准差。μ_j为随机输入变量X_j的均值。σ_j为随机输入变量X_j的标准差。

为随机输入变量X_i的累积分布函数的反函数。

为随机输入变量X_j的累积分布函数的反函数。Φ(Z_i)为标准正态分布Z_i的累积分布函数。Φ(Z_j)为标准正态分布Z_j的累积分布函数。

简化指代标准正态分布随机变量Z中的元素Z_i和Z_j的联合分布函数。

其中，标准正态分布随机变量Z中的元素Z_i和Z_j的联合分布函数

如下所示：

其中ρ_z指代ρ_z(i，j)，表示Pearson相关系数矩阵C_Z第i行第j列的元素，即随机变量Z_i和Z_j的相关系数。Z_i和Z_j均为随机变量Z中的元素。

3)计算随机变量Z的Pearson相关系数矩阵C_Z。

进一步，计算随机变量Z的Pearson相关系数矩阵C_Z的主要步骤如下：

3.1)基于Gauss-Hermite求积方法，将公式(1)转化如下：

式中，num为Gauss-Hermite求积法的积分点数。t_l和t_k均为Hermite多项式H_num(t)的根。l＝1，2，...，num。k＝1，2，...num。t_l和t_k对应的权重分别为ω_l和ω_k。Φ(*)为累积分布函数；ρ_x为Pearson相关系数矩阵C_X第i行第j列的元素。

权重ω_l和权重ω_k分别如下所示：

式中，！表示阶乘。H_num-1(t_k)为Hermite多项式。

3.2)利用牛顿-拉夫逊方法求解非线性方程组(3)，即：

式中，公式(9)的迭代解初始值为ρ_z，0；ρ_z，ni为第ni次迭代方程(9)的近似解。G′(ρ_z，(ni-1))是在ρ_z，(ni-1)处的一阶导数，也即雅可比矩阵。G(ρ_z，(ni-1))为第ni-1次迭代方程(9)。

令G′(ρ_z，(ni-1))＝1，对公式(6)进行简化，得到：

ρ_z，ni＝ρ_z，(ni-1)-G(ρ_z，(ni-1))。 (7)

式中，ρ_z，(ni-1)为第ni-1次迭代方程(9)的近似解。

3.3)令ni＝1，令ρ_z，0＝ρ_x。设定收敛精度TOL和最大迭代次数N₀。

3.4)令ρ_z，(ni-1)初始值为ρ_z，0，开始迭代公式(7)。

3.5)收敛判断：若|ρ_z，(ni-1)-ρ_z，ni|＜TOL，则转入步骤3.7。反之，转入步骤3.6。

6)令ni＝ni+1。若ni＞N₀，则以“N₀迭代中不收敛”的警告结束迭代。反之，返回步骤3.4。

3.7)终止迭代，得到近似解ρ_z，ni和最终迭代次数ni。返回步骤1，直至计算得到相关系数矩阵C_Z。

4)对Pearson相关系数矩阵C_Z进行Cholesky分解，得到下三角分解矩阵L。即：

C_Z＝LL^T。 (8)

式中，C_Z为Pearson相关系数矩阵C_Z。L为下三角分解矩阵。上标T表示转置。

5)生成n维独立且服从标准正态分布的随机变量G。

6)根据变量G和下三角分解矩阵L计算得到具有相关性的标准正态域的变量Z，从而对标准正态分布变量Z＝[Z₁,Z₂,...,Z_n]进行转换。具有相关性的标准正态域的变量Z如下所示：

Z＝L×G。 (9)

式中，G为独立的标准高斯变量；L为下三角分解矩阵。

7)利用公式(10)将具有相关性且服从标准高斯分布的变量转换为具有相关性的原始域变量，即：

式中，Z_i和X_i分别是随机变量向量Z和X的第i个变量；Ф(Z_i)是服从标准正态分布的随机变量Z_i的累积分布函数。

是随机输入变量X_i对应的累积分布函数的逆函数。

8)建立确定性概率潮流模型，即：

W_output＝f(X_input)。 (11)

式中，X_input为确定性概率潮流模型的输入变量。W_output为确定性概率潮流模型的输出变量。f(·)为确定性概率潮流模型。

进一步，输入变量X_input包括节点注入有功功率、无功功率和PV节点上的电压幅值。输出变量W_output包括节点电压相角、支路潮流和潮流熵。

其中，节点注入有功功率等于传统发电机在第i号母线处的原始有功功率输出P_TG,i和增发有功功率P_S,i之和。

增发有功功率P_S,i如下所示：

式中，P_TG,i和ΔP分别为传统发电机在第i号母线处的原始有功功率输出和在补偿功率不平衡之前的总有功不平衡量。∑P_TG是传统发电机的总原始有功功率输出。

9)计算生成的样本X_input每个维度上的数值范围，并生成配置点。配置点为稀疏网格上的插值点。采用维自适应稀疏网格插值法DASGI计算得到确定性概率潮流模型f(·)的近似模型g(·)，即：

W’_output＝g(X_input)。 (13)

式中，W’_output输出是使用近似模型得到的目标输出。

进一步，采用维自适应稀疏网格插值法DASGI计算得到确定性概率潮流模型f(·)的近似模型g(·)的主要步骤如下：

9.1)基于一维拉格朗日重心插值法和张量积，将公式(12)扩展为高维形式，即：

式中，

和

是d维上的第j_d个插值点和插值基函数的值。i_d是第d维的插值水平。

是全网插值函数。

为确定性概率潮流模型f(·)的近似表达。j_d表示插值点。j_d＝1，2，...，n_d。n_d为插值点总数。d表示维度总数。

9.2)利用稀疏网格插值法对公式(14)进行优化，即：

式中，A_q，d(f)是插值深度为q时对应的确定性概率潮流模型f(·)的稀疏网格插值函数。q是插值深度。|i|＝i₁+...+i_d是总插值水平。q≥d。

9.3)令初始值A_d-1，d(f)＝0，化简公式(15)，得到：

式中，Δi为当前插值水平|i|和前一插值水平|i|-1所求得的插值函数的差值。A_q-1，d(f)表示插值深度为q-1时对应的确定性概率潮流模型f(·)的稀疏网格插值函数。

9.4)利用DASGI方法增加插值深度，以满足收敛性要求。设定稀疏网格插值函数差值ΔA_q，d(f)如下所示：

式中，p＝(p₁，...，p_d)为多维指标，其元素表示与前一插值水平相比，相应维度中新增加的插值点数。

是对应维数中新增加的插值点。

表示新增加的插值点对应的插值基函数的值。

表示新增加的插值点数对应的多维递阶盈余。

9.5)计算多维递阶盈余

即：

式中，迭代系数l＝|i|-d。A_d+l-1，d(f)表示A_d+l-1，d(f)表示确定性概率潮流模型f(·)的稀疏网格插值函数。

表示总插值水平|i|对应维数中新增加的插值点。

9.6)迭代增加l的值，并返回步骤5，直至|w_p ^l，i|＜ε。ε为收敛值。

9.7)基于当前多维递阶盈余

建立模型W’_output＝g(X_input)。

10)联立公式(11)和公式(13)，从而完成PPF计算，得到PPF计算的输出W’_output。

本发明的技术效果是毋庸置疑的。本发明从随机输入量建模和PPF计算这两个角度出发，可以有效分析含有高维线性相关随机变量的大规模电网，以高精度和快速的计算速度进行概率潮流计算与分析。

附图说明

图1为基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法的流程图；

图2为本专利所提的改进Nataf变换计算相关系数的时间测试图；

图3为本专利所提的改进Nataf变换计算相关系数的平均迭代次数测试图；

图4为本专利所提概率潮流高效计算方法的计算精度示意图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。

实施例1：

参见图1，基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法，主要包括以下步骤：

1)确定潮流计算模型的随机输入变量X和随机输入变量X的Pearson相关系数矩阵C_X。所述随机输入变量X由电力系统不确定性源转化的可再生能源的有功功率输出。所述电力系统不确定性源包括风力发电厂的风速，光伏电站的太阳辐射强度，潮汐发电厂的潮汐流速和波动性负荷的负荷。不确定源个数为n。

进一步，确定潮流计算模型的随机输入变量X的主要步骤如下：

1.1)确定潮流计算模型中具有随机性的输入变量X＝[X₁,X₂,...,X_n]，其中随机变量个数为n。

1.2)确定每个随机变量服从的分布类型以及分布参数，得到每个随机变量的累积分布函数，其中

表示变量X_i的累计分布函数，同时得到对应的反函数

1.3)通过数理统计方法，获取随机输入变量X的原始Pearson相关系数矩阵C_X。其中矩阵C_X第i行第j列的元素为随机输入变量X_i和随机输入变量X_j之间的相关系数，记为ρ_x(i,j)。

2)确定与随机输入变量X对应的n维标准正态分布变量Z＝[Z₁,Z₂,...,Z_n]，元素Z_i和Z_j之间的相关系数记为ρ_z(i,j)。

进一步，Z_i和Z_j之间的相关系数ρ_z(i,j)与随机输入变量X_i和随机输入变量X_j之间的相关系数ρ_x(i,j)满足下式：

式中，μ_i为随机输入变量X_i的均值。σ_i为随机输入变量X_i的标准差。μ_j为随机输入变量X_j的均值。σ_j为随机输入变量X_j的标准差。

为随机输入变量X_i的累积分布函数的反函数。

为随机输入变量X_j的累积分布函数的反函数。Φ(Z_i)为标准正态分布Z_i的累积分布函数。Φ(Z_j)为标准正态分布Z_j的累积分布函数。

简化指代标准正态分布随机变量Z中的元素Z_i和Z_j的联合分布函数。

其中，标准正态分布随机变量Z中的元素Z_i和Z_j的联合分布函数

如下所示：

其中ρ_z指代ρ_z(i，j)，表示Pearson相关系数矩阵C_Z第i行第j列的元素，即随机变量Z_i和Z_j的相关系数。Z_i和Z_j均为随机变量Z中的元素。

3)计算随机变量Z的Pearson相关系数矩阵C_Z。

进一步，计算随机变量Z的Pearson相关系数矩阵C_Z的主要步骤如下：

3.1)基于Gauss-Hermite求积方法，将公式(1)转化如下：

式中，num为Gauss-Hermite求积法的积分点数。t_l和t_k均为Hermite多项式H_num(t)的根。l＝1，2，...，num。k＝1，2，...num。t_l和t_k对应的权重分别为ω_l和ω_k。Φ(*)为累积分布函数。ρ_x为Pearson相关系数矩阵C_X第i行第j列的元素。

权重ω_l和权重ω_k分别如下所示：

式中，！表示阶乘。H_num-1(t_k)为Hermite多项式。

3.2)利用牛顿-拉夫逊方法求解非线性方程组(3)，即：

式中，公式(9)的迭代解初始值为ρ_z，0。ρ_z，ni为第ni次迭代方程(9)的近似解。G′(ρ_z，(ni-1))是在ρ_z，(ni-1)处的一阶导数，也即雅可比矩阵。G(ρ_z，(ni-1))为第ni-1次迭代方程(9)。

令G′(ρ_z，(ni-1))＝1，对公式(6)进行简化，得到：

ρ_z，ni＝ρ_z，(ni-1)-G(ρ_z，(ni-1))。 (7)

式中，ρ_z，(ni-1)为第ni-1次迭代方程(9)的近似解。

3.3)令ni＝1，令ρ_z，0＝ρ_x。设定收敛精度TOL和最大迭代次数N₀。

3.4)令ρ_z，(ni-1)初始值为ρ_z，0，开始迭代公式(7)。

3.5)收敛判断：若|ρ_z，(ni-1)-ρ_z，ni|＜TOL，则转入步骤3.7。反之，转入步骤3.6。

6)令ni＝ni+1。若ni＞N₀，则以“N₀迭代中不收敛”的警告结束迭代。反之，返回步骤3.4。

3.7)终止迭代，得到近似解ρ_z，ni和最终迭代次数ni。返回步骤1，直至计算得到相关系数矩阵C_Z。

4)对Pearson相关系数矩阵C_Z进行Cholesky分解，得到下三角分解矩阵L。即：

C_Z＝LL^T。 (8)

式中，C_Z为Pearson相关系数矩阵C_Z。L为下三角分解矩阵。上标T表示转置。

5)生成n维独立且服从标准正态分布的样本G_r。

6)根据样本G_r和下三角分解矩阵L计算得到具有相关性的标准正态域的样本Z_r；即：

Z_r＝L×G_r； (9)

式中，G_r为独立的标准高斯样本；L为下三角分解矩阵。

7)利用公式(10)将具有相关性且服从标准高斯分布的样本Z_r转换为具有相关性的原始域样本X_r，即：

式中，Z_i和X_i分别是随机变量向量Z和X的第i个变量，分别对应于样本矩阵Z_r和X_r的第i行；Φ(Z_i)是服从标准正态分布的随机变量Z_i的累积分布函数；

是随机输入变量X_i对应的累积分布函数的逆函数；

8)建立确定性概率潮流模型，即：

W_output＝f(X_input)。 (11)

式中，X_input为确定性概率潮流模型的输入变量。W_output为确定性概率潮流模型的输出变量。f(·)为确定性概率潮流模型

进一步，输入变量X_input包括节点注入有功功率、无功功率和PV节点上的电压幅值。输出变量W_output包括节点电压相角、支路潮流和潮流熵。

其中，节点注入有功功率等于传统发电机在第i号母线处的原始有功功率输出P_TG,i和增发有功功率P_S,i之和。

增发有功功率P_S,i如下所示：

式中，P_TG,i和ΔP分别为传统发电机在第i号母线处的原始有功功率输出和在补偿功率不平衡之前的总有功不平衡量。∑P_TG是传统发电机的总原始有功功率输出。

9)计算生成的样本X_input每个维度上的数值范围，并生成配置点。配置点为稀疏网格上的插值点。采用维自适应稀疏网格插值法DASGI计算得到确定性概率潮流模型f(·)的近似模型g(·)，即：

W’_output＝g(X_input)。 (13)

式中，W’_output输出是使用近似模型得到的目标输出。

进一步，采用维自适应稀疏网格插值法DASGI计算得到确定性概率潮流模型f(·)的近似模型g(·)的主要步骤如下：

9.1)基于一维拉格朗日重心插值法和张量积，将公式(12)扩展为高维形式，即：

式中，

和

是d维上的第j_d个插值点和插值基函数的值。i_d是第d维的插值水平。

是全网插值函数。

为确定性概率潮流模型f(·)的近似表达。j_d表示插值点。j_d＝1，2，…，n_d。n_d为插值点总数。d表示维度总数。

9.2)利用稀疏网格插值法对公式(14)进行优化，即：

式中，A_q，d(f)是插值深度为q时对应的确定性概率潮流模型f(·)的稀疏网格插值函数。q是插值深度。|i|＝i₁+...+i_d是总插值水平。q≥d。

9.3)令初始值A_d-1，d(f)＝0，化简公式(15)，得到：

式中，Δi为当前插值水平|i|和前一插值水平|i|-1所求得的插值函数的差值。A_q-1，d(f)表示插值深度为q-1时对应的确定性概率潮流模型f(·)的稀疏网格插值函数。

9.4)利用DASGI方法增加插值深度，以满足收敛性要求。设定稀疏网格插值函数差值ΔA_q，d(f)如下所示：

式中，p＝(p₁，...，p_d)为多维指标，其元素表示与前一插值水平相比，相应维度中新增加的插值点数。

是对应维数中新增加的插值点。

表示新增加的插值点对应的插值基函数的值。

表示新增加的插值点数对应的多维递阶盈余。

9.5)计算多维递阶盈余

即：

式中，迭代系数l＝|i|-d。A_d+l-1，d(f)表示插值深度为d+l-1时对应的确定性概率潮流模型f(·)的稀疏网格插值函数。

表示总插值水平|i|对应维数中新增加的插值点。

9.6)迭代增加l的值，并返回步骤5，直至|w_p ^l，i|＜ε。ε为收敛值。

9.7)基于当前多维递阶盈余

建立模型W’_output＝g(X_input)。

10)联立公式(11)和公式(13)，从而完成PPF计算，得到PPF计算的输出W’_output。

实施例2：

参见图2至图4，一种验证基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法的实验，主要包括以下步骤：

1)基于IEEE118节点，建立电力系统仿真模型。

2)确定潮流计算模型的随机输入变量向量X＝[X₁,X₂,...,X_n]和随机输入变量向量X的Pearson相关系数矩阵C_X：在本实施例中，n＝114，其中变量的设定情况为：所有有功负荷(共99个)设为随机变量，无功负荷根据功率因素与原始算例保持一致来决定。根据节点编号前33个有功负荷服从正态分布，均值为算例原始值，标准差为对应均值的5％，记作变量第一组。中间33个有功负荷服从t分布，其位置参数等于算例对应的原始值，尺度参数均为1，形状参数均为5，记作变量第二组。最后33个有功负荷服从均匀分布，其下界和上界分别为算例对应原始值的95％和105％，记作变量第三组。原始算例中出力小于400MW的发电机设定为新能源(共15个)，按照节点编号分别设定为3个风电场，风速服从布尔(Burr)分布，尺度参数为9.831，第一和第二形状参数分别为2.308和4.041，记作变量第四组。3个光伏电站，光照服从贝塔(Beta)分布，第一和第二形状参数分别为6.06和4.51，记作变量第五组。3个风电场，风速服从威布尔(Weibull)分布，尺度参数和形状参数分别为7.218和1.837，记作变量第六组。3个风电场，风速服从对数正态分布(Lognormal)，对数均值和对数标准差分别为2.08和0.44，记作变量第七组。3个潮汐电站，潮汐流速服从Wakeby分布，五个参数分别为0.6164，0.1813，-0.1448，-0.1266和0，记作变量第八组。

变量之间的相关性设定为：变量第一、二和第三组各组内变量相关系数为0.4，组间变量相关系数为0。第四组到第七组各组内变量相关系数为0.15，组间变量相关系数为0.05。第一、二、三组和第六、七组组间变量的相关系数为0.0667，其余所有相关系数均为0。

3)确定与随机输入变量向量X对应的n维标准正态分布变量向量Z＝[Z₁,Z₂,...,Z_n]，其中第i个和第j个元素记作Z_i和Z_j，它们之间的相关系数记为ρ_z(i,j)。

4)计算随机变量向量Z的Pearson相关系数矩阵C_Z。

5)对Pearson相关系数矩阵C_Z进行Cholesky分解，得到下三角分解矩阵L。即：

C_Z＝LL^T。 (1)

式中，C_Z为随机变量向量Z的Pearson相关系数矩阵。L为下三角分解矩阵。上标T表示转置。

6)生成n维独立且服从标准正态分布的随机变量G。

7)根据随机变量G和下三角分解矩阵L计算得到具有相关性的标准正态域的随机变量向量Z，从而对标准正态分布变量Z＝[Z₁，Z₂，...，Z_n]进行转换。具有相关性的标准正态域的变量Z如下所示：

Z＝L×G。 (2)

式中，G为独立的标准高斯变量。L为下三角分解矩阵。

8)利用公式(3)将具有相关性且服从标准高斯分布的变量转换为具有相关性的原始域变量，即：

式中，Z_i和X_i分别是随机变量向量Z和随机变量向量X中的第i个变量。Φ(Z_i)是服从标准正态分布的随机变量Z_i的累积分布函数。

是随机输入变量X_i对应的累积分布函数的逆函数。

9)建立确定性概率潮流模型，即：

W_output＝f(X_input)。 (4)

式中，X_input为确定性概率潮流模型的输入变量。W_output为确定性概率潮流模型的输出变量。

10)计算生成的样本X_input每个维度上的数值范围，并生成配置点。配置点为稀疏网格上的插值点。采用维自适应稀疏网格插值法DASGI计算得到确定性概率潮流模型f(·)的近似模型g(·)，即：

W’_output＝g(X_input)。 (5)

式中，W’_output输出是使用近似模型得到的目标输出。

11)联立公式(3)和公式(5)，从而完成PPF计算，得到PPF计算的输出W’_output。参见图2，本发明所提方法计算时间如直线所示，现有技术(即图中前有方法)计算时间如虚线所示。本发明概率分布近似度、同样计算时间下离散傅里叶变换矩阵法概率分布近似度、同样计算时间下的拉丁超立法采样法概率分布近似度参见图4，可见，本发明概率分布近似度更高。

Claims (6)

1.基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法，其特征在于，主要包括以下步骤：

1)确定潮流计算模型的随机输入变量X＝[X₁,X₂,...,X_n]和随机输入变量X的Pearson相关系数矩阵C_X；

2)确定与随机输入变量X对应的n维标准正态分布变量Z＝[Z₁,Z₂,...,Z_n]，其中第i个和第j个元素记作Z_i和Z_j；第i个元素Z_i和第j个元素Z_j之间的相关系数记为ρ_z(i,j)；

3)计算随机变量Z的Pearson相关系数矩阵C_Z；

4)对Pearson相关系数矩阵C_Z进行Cholesky分解，得到下三角分解矩阵L；即：

C_Z＝LL^T； (1)

式中，C_Z为随机变量Z的Pearson相关系数矩阵；L为下三角分解矩阵；上标T表示转置；

5)生成n维独立且服从标准正态分布的随机变量G；

6)根据随机变量G和下三角分解矩阵L计算得到具有相关性的标准正态域的变量Z，从而对标准正态分布变量Z＝[Z₁,Z₂,...,Z_n]进行转换；具有相关性的标准正态域的变量Z如下所示：

Z＝L×G； (2)

式中，G为独立的标准高斯变量；L为下三角分解矩阵；

7)利用公式(3)将具有相关性且服从标准高斯分布的变量转换为具有相关性的原始域变量，即：

式中，Z_i和X_i分别是随机变量Z和随机变量X中的第i个变量；Ф(Z_i)是服从标准正态分布的随机变量Z_i的累积分布函数；

是随机输入变量X_i对应的累积分布函数的逆函数；

8)建立确定性概率潮流模型，即：

W_output＝f(X_input)； (4)

式中，X_input为确定性概率潮流模型的输入变量；W_output为确定性概率潮流模型的输出变量；f(·)为确定性概率潮流模型；

9)计算生成的样本X_input每个维度上的数值范围，并生成配置点；配置点为稀疏网格上的插值点；采用维自适应稀疏网格插值法DASGI计算得到确定性概率潮流模型f(·)的近似模型g(·)，即：

W’_output＝g(X_input)； (5)

式中，W’_output输出是使用近似模型得到的目标输出；

采用维自适应稀疏网格插值法DASGI计算得到确定性概率潮流模型f(·)的近似模型g(·)的主要步骤如下：

9.1)基于一维拉格朗日重心插值法和张量积，将公式(4)扩展为高维形式，即：

式中，

和

是d维上的第j_d个插值点和插值基函数的值；i_d是第d维的插值水平；

是全网插值函数；

为确定性概率潮流模型f(·)的近似表达；j_d表示插值点；j_d＝1，2，…，n_d；n_d为插值点总数；d表示维度总数；

9.2)利用稀疏网格插值法对公式(6)进行优化，即：

式中，A_q,d(f)表示插值深度为q时对应的确定性概率潮流模型f(·)的稀疏网格插值函数；q是插值深度；|i|＝i₁+...+i_d是总插值水平；q≥d；

9.3)令初始值Ad-1,d(f)＝0，化简公式(7)，得到：

式中，Δi为当前插值水平|i|和前一插值水平|i|-1所求得的插值函数的差值；A_q-1,d(f)表示插值深度为q-1时对应的确定性概率潮流模型f(·)的稀疏网格插值函数；

9.4)利用DASGI方法增加插值深度，以满足收敛性要求；设定稀疏网格插值函数差值ΔA_q,d(f)如下所示：

式中，p＝(p₁,...,p_d)为多维指标，其元素表示与前一插值水平相比，相应维度中新增加的插值点数；

是对应维数中新增加的插值点；

表示新增加的插值点对应的插值基函数的值；

表示新增加的插值点数对应的多维递阶盈余；

9.5)计算多维递阶盈余

即：

式中，迭代系数l＝|i|-d；A_d+l-1,d(f)表示确定性概率潮流模型f(·)的稀疏网格插值函数；

表示总插值水平|i|对应维数中新增加的插值点；

9.6)迭代增加l的值，并返回步骤5)，直至|w_p ^l,i|<ε；ε为收敛值；

9.7)基于当前多维递阶盈余

建立确定性概率潮流模型f(·)的近似模型W’_output＝g(X_input)；

10)联立公式(3)和公式(5)，从而完成PPF计算，得到PPF计算的输出W’_output。

2.根据权利要求1所述的基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法，其特征在于，输入变量X_input包括节点注入有功功率、无功功率和PV节点上的电压幅值；输出变量W_output包括节点电压相角、支路潮流和潮流熵；

其中，节点注入有功功率等于传统发电机在第i号母线处的原始有功功率输出P_TG,i和增发有功功率P_S,i之和；

增发有功功率P_S,i如下所示：

式中，P_TG,i和ΔP分别为传统发电机在第i号母线处的原始有功功率输出和在补偿功率不平衡之前的总有功不平衡量；∑P_TG是传统发电机的总原始有功功率输出。

3.根据权利要求1或2所述的基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法，其特征在于，确定潮流计算模型的随机输入变量X的主要步骤如下：

1)确定潮流计算模型中具有随机性的输入变量X＝[X₁,X₂,...,X_n]，其中随机变量个数为n；

2)确定每个随机变量服从的分布类型以及分布参数，得到每个随机变量的累积分布函数；

表示变量X_i的累计分布函数，同时得到对应的反函数

3)通过数理统计方法，获取随机输入变量X的原始Pearson相关系数矩阵C_X；其中矩阵C_X第i行第j列的元素为随机输入变量X_i和随机输入变量X_j之间的相关系数，记为ρ_x(i,j)。

4.根据权利要求1所述的基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法，其特征在于，Z_i和Z_j之间的相关系数ρ_z(i,j)与随机输入变量X_i和随机输入变量X_j之间的相关系数ρ_x(i,j)满足下式：

式中，μ_i为随机输入变量X_i的均值；σ_i为随机输入变量X_i的标准差；μ_j为随机输入变量X_j的均值；σ_j为随机输入变量X_j的标准差；

为随机输入变量X_i的累积分布函数的反函数；

为随机输入变量X_j的累积分布函数的反函数；Φ(Z_i)为标准正态分布Z_i的累积分布函数；Φ(Z_j)为标准正态分布Z_j的累积分布函数；

简化指代标准正态分布随机变量Z中的元素Z_i和Z_j的联合分布函数；

其中，标准正态分布随机变量Z中的元素Z_i和Z_j的联合分布函数

如下所示：

其中ρ_z指代ρ_z(i,j)，表示Pearson相关系数矩阵C_Z第i行第j列的元素，即随机变量Z_i和Z_j的相关系数；Z_i和Z_j均为随机变量Z中的元素。

5.根据权利要求4所述的基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法，其特征在于，计算随机变量Z的Pearson相关系数矩阵C_Z的主要步骤如下：

1)基于Gauss-Hermite求积方法，将公式(12)转化如下：

式中，num为Gauss-Hermite求积法的积分点数；t_l和t_k均为Hermite多项式H_num(t)的根；l＝1,2,...,num；k＝1,2,...num；t_l和t_k对应的权重分别为ω_l和ω_k；Φ(*)为累积分布函数；ρ_x为Pearson相关系数矩阵C_X第i行第j列的元素；

权重ω_l和权重ω_k分别如下所示：

式中，！表示阶乘；H_num-1(t_k)为Hermite多项式；

2)利用牛顿-拉夫逊方法求解非线性方程组(9)，即：

式中，公式(14)的迭代解初始值为ρ_z,0；ρ_z,ni为第ni次迭代方程(9)的近似解；G'(ρ_z,(ni-1))是在ρ_z,(ni-1)处的一阶导数，也即雅可比矩阵；G(ρ_z,(ni-1))为第ni-1次迭代方程(14)；

令G'(ρ_z,(ni-1))＝1，对公式(17)进行简化，得到：

ρ_z,ni＝ρ_z,(ni-1)-G(ρ_z,(ni-1))； (18)

式中，ρ_z,(ni-1)为第ni-1次迭代方程(14)的近似解；

3)令ni＝1，令ρ_z,0＝ρ_x；设定收敛精度TOL和最大迭代次数N₀；

4)令ρ_z,(ni-1)初始值为ρ_z,0，开始迭代公式(18)；

5)收敛判断：若|ρ_z,(ni-1)-ρ_z,ni|<TOL，则转入步骤7)；反之，转入步骤6；

6)令ni＝ni+1；若ni>N₀，则以“N₀迭代中不收敛”的警告结束迭代；反之，返回步骤4)；

7)终止迭代，得到近似解ρ_z,ni和最终迭代次数ni；返回步骤1)，直至计算得到相关系数矩阵C_Z。

6.根据权利要求1所述的基于改进Nataf变换的含高维相关不确定源的概率潮流高效计算方法，其特征在于，所述随机输入变量X由电力系统不确定性源转化的可再生能源的有功功率输出；所述电力系统不确定性源包括风力发电厂的风速，光伏电站的太阳辐射强度，潮汐发电厂的潮汐流速和波动性负荷的负荷；不确定源个数为n。

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