CN107528322B - 一种基于Gauss-Hermite求积法的NATAF变换的概率潮流分析方法 - Google Patents

一种基于Gauss-Hermite求积法的NATAF变换的概率潮流分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开一种基于Gauss‑Hermite求积法的NATAF变换的概率潮流分析方法，以提高基于NATAF变换考虑不同分布的相关性的概率潮流(Probabilitic Power Flow,PPF)分析的速度，从而提升电力系统运行分析的工作效率。

Description

一种基于Gauss-Hermite求积法的NATAF变换的概率潮流分析 方法
技术领域
本发明涉及可再生能源接入电网的分析技术，以及负荷波动对电网影响的分析技术，尤其是针对可再生能源和负荷波动对电力系统的概率潮流分析方法。
背景技术
在清洁能源替代传统能源的趋势中，越来越多的可再生能源(如风力、光照等)被转化为电能接入传统的大电网。但是，由于这些新能源的随机性、间歇性等性质，当代电力系统面临了更多的安全稳定运行方面的难题。其次，随着电动汽车的市场推广，负荷模型中加入了与电网互动的考虑因素，因此在传统的负荷波动问题带来的不确定性的基础上，电力网络的不确定性问题越来越显著。为了评估上述大量的不确定性因素对电力系统的影响，采用电力系统概率潮流计算与分析的方法已经被证明了是十分行之有效的方法[2]。
上述的不确定性输入变量在实际运行场景中往往是具有相关性的。例如同一区域内负荷与负荷之间具有相关性，相邻风电场的风速之间具有相关性，以及风速与日辐照度的相关性(通常呈现负相关)。因此，为了更准确地描述电网的运行状态，输入电网的随机变量的相关性应当被考虑进概率潮流问题中。
当前，文献[1]采用基于NATAF变换技术考虑不同分布之间的相关性，进而提出了基于NATAF变换的概率潮流分析算法。由于NATAF变换能够将任意分布之间的相关性传递至高斯域，所以该方法在电力系统概率潮流的相关性分析中得到了广泛的应用[1][3-4]。但是，目前在求解NATAF变换的过程中通常采用二分法直接对NATAF变换的双重积分进行求解，这种求解NATAF变换的方法能够得到较高精度的解，但是计算速度极慢，严重影响了概率潮流分析的速度。
针对上述问题，本专利采用了Gauss-Hermite求积法将NATAF变换过程中的二重积分近似为累加、累乘形式的多项式，进而采用二分法求解该多项式，得到变换后的相关矩阵和随机变量，从而提高了相关性变换的速度，进而进一步提高了概率潮流分析的效率。
发明内容
本发明的目的是提高基于NATAF变换考虑不同分布的相关性的概率潮流分析的速度。
为实现本发明目的而采用的技术方案，可以概括为如下步骤，即所谓“基于Gauss-Hermite求积法的NATAF变换的概率潮流分析方法”：
1)获取接入电力系统的n个不确定性输入变量X＝(X1,X2,…,Xn)，它们分别服从一定的任意的概率分布，其中n为接入电网的不确定性输入变量的数量，X1,X2,…,Xn是服从任意的累积分布函数的随机输入变量，例如n个风电场各自发出的有功功率值；
2)步获取步骤1)中的随机变量的原始相关系数矩阵Cx，矩阵Cx为n行n列矩阵，该矩阵中的元素用ρx(i,j)表示任意两个随机变量之间的相关系数，i和j分别代表X中第一个随机变量的序号和第二个随机变量的序号，也是该元素所在矩阵的行数和列数，i,j＝1、2……n；
并已知每个随机变量X1,X2,…,Xn对应的累积分布函数Φ(·)，以及该分布函数对应的尺度参数D和形状参数K,M；
其中：
Figure GDA0002365020630000021
特别指出，在实际运行的电力网络中，可以根据新能源发电场所的历史发电记录，对本步骤中的累积分布函数的尺度参数D和形状参数K,M进行估算。其中，下面给出常见的几种新型能源(或负荷波动)的经典累积分布函数Φ(·)：
Figure GDA0002365020630000022
Figure GDA0002365020630000031
3)将原始不同分布的相关系数矩阵Cx变换为高斯域的相关系数矩阵Cz，Cz为n行n列矩阵，其中Cz矩阵中的元素用ρz(i,j)表示。Cz的具体形式为：
Figure GDA0002365020630000032
3.1通过NATAF变换，用下述的二重积分来建立起Cx和Cz的关系。该二重积分的表达式：
Figure GDA0002365020630000033
其中，
Figure GDA0002365020630000034
表示标准二元正态分布的概率密度函数
Figure GDA0002365020630000035
其中，
Figure GDA0002365020630000036
为任意分布F的累积概率分布函数的逆变换，Φ(·)为各随机变量X1,X2,…,Xn对应的累积分布函数，具体表达式见步骤2)中的累积分布函数表格；ρz(i,j)是矩阵Cz中第i行第j列的元素，为高斯域中的任意两个随机变量间的相关系数。Xi和Xj分别是任意两组随机输入变量，Xi＝[x1,x2,…,xN]；Xj＝[x1,x2,…,xN]，N表示对某个随机变量进行N次采样(例如，对风电场1和风电场2分别进行10000次采样)，x1,x2,…,xN分别表示对该随机变量进行的第1次到第N次抽样的值；类似的，Zi和Zj分别是具有Cz相关性的高斯分布随机变量Z的任意两组随机输入变量，Zi＝[z1,z2,…,zN]；Zj＝[z1,z2,…,zN]，并且，此处的Z是未知量，将
×
在第4.3步进行求解；μi、μj、σi、σj分别为和xj的均值和标准差。
3.2利用Gauss-Hermite多项式来近似NATAF变换。由此，可以将上述的二重积分的表达式整理为如下形式：
Figure GDA0002365020630000041
其中，高斯域中的任意两个随机变量间的相关系数ρz＝ρz(i,j)，n为积分节点的个数,wi为积分权重
Figure GDA0002365020630000042
其中，xi是Hermite多项式Hn(xi)的第i个根，注(i＝1,2,…,n)，称为Hermite多项式Hn(xi)的第i个积分节点；xi的求解方式是，对以Hn(xi)为系数构成的多项式进行求根从而获取；n表示积分节点的个数，例如本发明具体实施方法中选择的积分节点数为n＝7。并且，Hermite多项式Hn(xi)的表达式为
Figure GDA0002365020630000043
式中x＝xi,(i＝1,2,…,n)。特别指出，步骤3.2中的字母变量和函数意义都在步骤3.1中有详细解释。
3.3采用二分法求解Gauss-Hermite多项式，得到高斯域的相关系数矩阵Cz。
本发明采用的二分法求解Gauss-Hermite多项式的步骤归纳如下：
step 1,假定初始区间位于[a,b]，若ρx(i,j)＞0，令a＝0、b＝1，否则，令a＝-1、b＝0。现有一函数f(x)，其详细定义见具体实施方式中的解释；若f(a)和f(b)符号相同，则在[a,b]内不存在使得f(x)＝0的根。
step 2,选择区间[a,b]的中间点x0作为假设的ρz(i,j)的值，代入f(x)中求解。即，x0＝(a+b)/2，求解f(x0)；若|f(x0)|≤ε(ε为收敛误差阈值)，则ρz(i,j)＝x0，计算结束，返回ρz(i,j)的值，否则进入下一步。
step 3,若f(b)f(x0)＞0则可以得出f(x)＝0的解落在区间[a,x0]内，令b＝x0；否则，即f(b)f(x0)＜0，f(x)＝0的解落在[x0,b]之间，另a＝x0，回到step 2。
step 4,重复step 2和step 3，直到|b-a|/2≤ε，此时令ρz(i,j)＝(a+b)/2，求解完成。
由此，对所有输入随机变量的两两之间的相关系数ρx(i,j)进行如上转换得到对应的ρz(i,j)，便可以得到转换后的高斯域的相关系数矩阵Cz。
4)求解具有Cz相关性的高斯分布随机变量Z
4.1通过Cholesky下三角分解法，求得中间变量L，公式为：
Cz＝LLT
其中，
Figure GDA0002365020630000051
特别指出，中间变量矩阵L以及矩阵中的元素l仅为经Cholesky下三角法求解后所得的中间临时变量，是具有Cz相关性的高斯分布随机变量Z的数学变换后的另一种形式，除此之外并无实际意义。
4.2生成n维独立的高斯分布随机向量G(n行N列矩阵)，随机采样的次数为N(即蒙特卡洛法样本容量为N)。其中G的形式为：
Figure GDA0002365020630000061
4.3求解具有Cz相关性的高斯分布随机变量Z：
Z＝LG
即得到，
Figure GDA0002365020630000062
5)通过任意分布F的累积概率分布函数的逆变换方法，获取服从任意分布的随机输入变量矩阵R；
R＝F-1[Φ(Z)]
其中，函数F-1(·)和Φ(·)的含义与步骤3.1中的对应解释部分相同。
综上所述，最终求得服从任意分布的随机输入变量矩阵R为：
Figure GDA0002365020630000063
6)将R作为输入随机变量，带入电力网络中进行概率潮流计算与分析。
附图说明
图1节点1至节点30的电压幅值的均值的比较；
图2节点1至节点30的电压幅值的标准差的比较；
图3节点1至节点30的电压相角的均值的比较；
图4节点1至节点30的电压相角的标准差的比较；
图5二分法的算法流程图。
具体实施方式
下面结合实例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明涵盖的主题范围仅限于下述实例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更的，均应包括在本发明的保护范围内。
本实施例中，二分法是本发明的重要组成部分。首先，NATAF变换是一种重构联合分布的数学方法，该方法要求已知输入随机变量的边缘分布函数。NATAF变换在本发明中的功能为建立变换前的原任意分布的随机变量的相关系数矩阵的元素ρx(i,j)和变换后的服从高斯分布的随机变量的相关系数矩阵的元素ρz(i,j)之间的关系，其本质就是通过ρx(i,j)和ρz(i,j)之间的二重积分来建立其间的关系。
在二分法中，令函数f表示变换前的相关系数的计算值ρ* x(i,j)和给定值ρx(i,j)的之间的误差：
f(ρz(i,j))＝ρ* x(i,j)-ρx(i,j)
其中，ρ* x(i,j)表示由步骤3.1中所示的二重积分计算所得到的相关系数，即所谓的具猜测性质的“计算值”；ρx(i,j)是原输入变量的相关系数，是已知的相关矩阵Cx中的元素。
本发明中，包括以下步骤：
1)获取接入电力系统的n个不确定性输入变量X＝(X1,X2,…,Xn)，它们分别服从一定的任意的概率分布，其中n为接入电网的不确定性输入变量的数量，X1,X2,…,Xn是服从任意的累积分布函数的随机输入变量，例如n个风电场各自发出的有功功率值；
2)步获取步骤1)中的随机变量的原始相关系数矩阵Cx，矩阵Cx为n行n列矩阵，该矩阵中的元素用ρx(i,j)表示任意两个随机变量之间的相关系数，i和j分别代表X中第一个随机变量的序号和第二个随机变量的序号，也是该元素所在矩阵的行数和列数，i,j＝1、2……n；
并已知每个随机变量X1,X2,…,Xn对应的累积分布函数Φ(·)，以及该分布函数对应的尺度参数D和形状参数K,M；
其中：
Figure GDA0002365020630000081
特别指出，在实际运行的电力网络中，可以根据新能源发电场所的历史发电记录，对本步骤中的累积分布函数的尺度参数D和形状参数K,M进行估算。其中，下面给出常见的几种新型能源(或负荷波动)的经典累积分布函数Φ(·)：
Figure GDA0002365020630000082
3)将原始不同分布的相关系数矩阵Cx变换为高斯域的相关系数矩阵Cz，Cz为n行n列矩阵，其中Cz矩阵中的元素用ρz(i,j)表示。Cz的具体形式为：
Figure GDA0002365020630000083
3.1通过NATAF变换，用下述的二重积分来建立起Cx和Cz的关系。该二重积分的表达式：
Figure GDA0002365020630000091
其中，
Figure GDA0002365020630000092
表示标准二元正态分布的概率密度函数
Figure GDA0002365020630000093
其中，
Figure GDA0002365020630000094
为任意分布F的累积概率分布函数的逆变换，Φ(·)为各随机变量X1,X2,…,Xn对应的累积分布函数，具体表达式见步骤2)中的累积分布函数表格；ρz(i,j)是矩阵Cz中第i行第j列的元素，为高斯域中的任意两个随机变量间的相关系数。Xi和Xj分别是任意两组随机输入变量，Xi＝[x1,x2,…,xN]；Xj＝[x1,x2,…,xN]，N表示对某个随机变量进行N次采样(例如，对风电场1和风电场2分别进行10000次采样)，x1,x2,…,xN分别表示对该随机变量进行的第1次到第N次抽样的值；类似的，Zi和Zj分别是具有Cz相关性的高斯分布随机变量Z的任意两组随机输入变量，Zi＝[z1,z2,…,zN]；Zj＝[z1,z2,…,zN]，并且，此处的Z是未知量，将
x
在第4.3步进行求解；μi、μj、σi、σj分别为和xj的均值和标准差。
3.2利用Gauss-Hermite多项式来近似NATAF变换。由此，可以将上述的二重积分的表达式整理为如下形式：
Figure GDA0002365020630000095
其中，高斯域中的任意两个随机变量间的相关系数ρz＝ρz(i,j)，n为积分节点的个数,wi为积分权重
Figure GDA0002365020630000101
其中，xi是Hermite多项式Hn(xi)的第i个根，注(i＝1,2,…,n)，称为Hermite多项式Hn(xi)的第i个积分节点；xi的求解方式是，对以Hn(xi)为系数构成的多项式进行求根从而获取；n表示积分节点的个数，例如本发明具体实施方法中选择的积分节点数为n＝7。并且，Hermite多项式Hn(xi)的表达式为
Figure GDA0002365020630000102
式中x＝xi,(i＝1,2,…,n)。特别指出，步骤3.2中的字母变量和函数意义都在步骤3.1中有详细解释。
3.3采用二分法求解Gauss-Hermite多项式，得到高斯域的相关系数矩阵Cz。
本发明采用的二分法求解Gauss-Hermite多项式的步骤归纳如下：
step 1,假定初始区间位于[a,b]，若ρx(i,j)＞0，令a＝0、b＝1，否则，令a＝-1、b＝0。现有一函数f(x)，其详细定义见具体实施方式中的解释；若f(a)和f(b)符号相同，则在[a,b]内不存在使得f(x)＝0的根。
step 2,选择区间[a,b]的中间点x0作为假设的ρz(i,j)的值，代入f(x)中求解。即，x0＝(a+b)/2，求解f(x0)；若|f(x0)|≤ε(ε为收敛误差阈值)，则ρz(i,j)＝x0，计算结束，返回ρz(i,j)的值，否则进入下一步。
step 3,若f(b)f(x0)＞0则可以得出f(x)＝0的解落在区间[a,x0]内，令b＝x0；否则，即f(b)f(x0)＜0，f(x)＝0的解落在[x0,b]之间，另a＝x0，回到step 2。
step 4,重复step 2和step 3，直到|b-a|/2≤ε，此时令ρz(i,j)＝(a+b)/2，求解完成。
由此，对所有输入随机变量的两两之间的相关系数ρx(i,j)进行如上转换得到对应的ρz(i,j)，便可以得到转换后的高斯域的相关系数矩阵Cz。
4)求解具有Cz相关性的高斯分布随机变量Z
4.1通过Cholesky下三角分解法，求得中间变量L，公式为：
Cz＝LLT
其中，
Figure GDA0002365020630000111
特别指出，中间变量矩阵L以及矩阵中的元素l仅为经Cholesky下三角法求解后所得的中间临时变量，是具有Cz相关性的高斯分布随机变量Z的数学变换后的另一种形式，除此之外并无实际意义。
4.2生成n维独立的高斯分布随机向量G(n行N列矩阵)，随机采样的次数为N(即蒙特卡洛法样本容量为N)。其中G的形式为：
Figure GDA0002365020630000112
4.3求解具有Cz相关性的高斯分布随机变量Z：
Z＝LG
即得到，
Figure GDA0002365020630000113
5)通过任意分布F的累积概率分布函数的逆变换方法，获取服从任意分布的随机输入变量矩阵R；
R＝F-1[Φ(Z)]
其中，函数F-1(·)和Φ(·)的含义与步骤3.1中的对应解释部分相同。
综上所述，最终求得服从任意分布的随机输入变量矩阵R为：
Figure GDA0002365020630000121
6)将R作为输入随机变量，带入电力网络中进行概率潮流计算与分析。
以IEEE-118节点测试系统为例(具体参数见文献[5])，对基于Gauss-Hermite求积法的NATAF变换的概率潮流分析方法进行具体实施的算例演示。在118节点测试系统中，共有54台发电机和99个负荷点，总装机容量为9966.2MW，系统峰荷为4242MW。本系统设有4个风电出力具有一定相关性的风电场，分别服从Weibull、Burr、Lognormal和Gamma分布，接入电网的位置分别为节点59、节点80、节点90和节点116。另设有2个参数不同的服从Beta分布的光伏电站，接入位置为54节点和42节点。同时，将负荷1至负荷99加入不确定性因素，设置负荷1和负荷2服从Weibull分布，负荷3和负荷4服从Beta分布，负荷6至负荷99服从高斯分布，其中，负荷编号与节点编号相同，节点编号参照Matpower中标准IEEE-118节点的编号顺序。因此，随机输入变量的维度为105维。并假设蒙特卡洛法的样本容量为10000。各类可再生能源和负荷波动(只列出前6个)的分布类型和参数由下表给出：
Figure GDA0002365020630000122
另，给出输入随机变量的相关矩阵(前12阶)，WF表示风电场，PV表示光伏电站，LD表示负荷：
名称 WF1 WF2 WF3 WF4 PV1 PV2 LD1 LD2 LD3 LD4 LD6 LD7
WF1 1.000 0.550 0.420 0.310 0.070 0.050 0.522 0.522 0.522 0.522 0.522 0.522
WF2 0.550 1.000 0.580 0.220 -0.280 -0.240 0.400 0.400 0.400 0.400 0.400 0.400
WF3 0.420 0.580 1.000 0.160 -0.080 -0.110 0.400 0.400 0.400 0.400 0.400 0.400
WF4 0.310 0.220 0.160 1.000 -0.180 -0.170 0.450 0.450 0.450 0.450 0.450 0.450
PV1 0.070 -0.280 -0.080 -0.180 1.000 0.950 0.242 0.242 0.242 0.242 0.242 0.242
PV2 0.050 -0.240 -0.110 -0.170 0.950 1.000 0.314 0.314 0.314 0.314 0.314 0.314
LD1 0.522 0.400 0.400 0.450 0.242 0.314 1.000 0.762 0.762 0.762 0.762 0.762
LD2 0.522 0.400 0.400 0.450 0.242 0.314 0.762 1.000 0.762 0.762 0.762 0.762
LD3 0.522 0.400 0.400 0.450 0.242 0.314 0.762 0.762 1.000 0.762 0.762 0.762
LD4 0.522 0.400 0.400 0.450 0.242 0.314 0.762 0.762 0.762 1.000 0.762 0.762
LD6 0.522 0.400 0.400 0.450 0.242 0.314 0.762 0.762 0.762 0.762 1.000 0.762
LD7 0.522 0.400 0.400 0.450 0.242 0.314 0.762 0.762 0.762 0.762 0.762 1.000
其中，相关系数的范围以及部分排序在下表中给出：
相关系数 第一 第二 第三
最大值 0.950 0.762 0.580
最小值 -0.280 -0.240 -0.180
绝对值的最小值 0.050 0.070 -0.080
经计算求解，一方面，在时间上，由ρx(i,j)计算ρz(i,j)的过程，本发明方法求解每个ρz(i,j)所用时间为平均0.3004秒，总时长1486.98秒。而传统方法(二分法直接求解NATAF变换中的二重积分)，平均每个ρz(i,j)用时为25.87秒，总时长为128056.5秒。因此，经本发明方法的基于Gauss-Hermite求积法的NAFAT变换提速后，计算速度提升了86.12倍。
另一方面，在准确性上，通过本发明方法得到的相关系数矩阵Cz减去传统方法得到的相关系数矩阵Cz，所得到的是零矩阵。因此两个矩阵完全相同。即本实验的实验组(Gauss-Hermite求积法)与对照组(传统方法)的实验结果完全相同。验证了本发明方法的准确性。
以下为经过变换后的输入随机变量的相关矩阵Cz的计算结果(展示前12阶)，WF表示风电场，PV表示光伏电站，LD表示负荷：
名称 WF1 WF2 WF3 WF4 PV1 PV2 LD1 LD2 LD3 LD4 LD6 LD7
WF1 1.000 0.563 0.438 0.313 0.063 0.047 0.531 0.531 0.531 0.531 0.531 0.531
WF2 0.563 1.000 0.594 0.219 -0.281 -0.250 0.406 0.406 0.406 0.406 0.406 0.406
WF3 0.438 0.594 1.000 0.172 -0.094 -0.125 0.406 0.406 0.406 0.406 0.406 0.406
WF4 0.313 0.219 0.172 1.000 -0.188 -0.188 0.469 0.469 0.469 0.469 0.469 0.469
PV1 0.063 -0.281 -0.094 -0.188 1.000 0.953 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250
PV2 0.047 -0.250 -0.125 -0.188 0.953 1.000 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313 0.313
LD1 0.531 0.406 0.406 0.469 0.250 0.313 1.000 0.766 0.781 0.781 0.781 0.781
LD2 0.531 0.406 0.406 0.469 0.250 0.313 0.766 1.000 0.781 0.781 0.781 0.781
LD3 0.531 0.406 0.406 0.469 0.250 0.313 0.781 0.781 1.000 0.766 0.766 0.766
LD4 0.531 0.406 0.406 0.469 0.250 0.313 0.781 0.781 0.766 1.000 0.766 0.766
LD6 0.531 0.406 0.406 0.469 0.250 0.313 0.781 0.781 0.766 0.766 1.000 0.766
LD7 0.531 0.406 0.406 0.469 0.250 0.313 0.781 0.781 0.766 0.766 0.766 1.000
为了说明本专利方法的计算精度和计算效率，采用基于Gauss-Hermite求积法的NATAF变换的概率潮流分析方法与传统方法进行比对。两种方法中采用的蒙特卡洛法的样本容量均为10000，以确保计算结果的均值和标准差的收敛性。
附图说明中的图1至图4分别为IEEE-118节点测试系统的节点1至节点30的电压幅值和相角的求解结果。特别指出，由于节点1,4,6,8,10,12,15,18,19,24,25,26,27为PV节点(PV节点是指注入有功功率和节点电压幅值给定不变的节点)，在分析计算结果精度时不对这些节点的对比情况进行考虑，同理在图1至图4中的PV节点的对比情况不作为比较的参考，为保持计算结果的整体完整性和持续性，图中对这些节点的电压情况进行了保留。
由附图说明中的图1至图4可以得知，本发明方法与传统方法所得结果的均值和标准差几乎完全吻合。假设以传统方法所得计算结果为参考值，可以得出，本发明方法求得的电压幅值与相角的均值、电压幅值和相角的标准差相较于参考值的误差皆为1×10-3，即为二分法设置的收敛阈值。因此，本发明方法所得计算结果相较于传统方法的误差微乎其微，可以忽略不计。这是由于在求得服从任意分布的随机输入变量矩阵R时，本发明方法所得的精度已经很高，于是进而在概率潮流计算中同样表现出较高的精度。
运行本实施方式的计算机内存为8GB RAM，搭载的CPU配置为Intel i5双核2.50Ghz，编程环境为MATLAB。
在计算效率上，采用本发明方法和采用传统方法(二分法直接求解NATAF变换中的二重积分)计算经修改的IEEE-118节点测试系统的概率潮流，在计算时间的表现上如下表所示(蒙特卡洛法的样本容量为10000)，其中MCS表示蒙特卡洛法。
Figure GDA0002365020630000151
由此可知，在本实施方式中，本发明方法在确保了计算精度的同时，使得概率潮流计算时间整体提升了78.66倍，从而提高了基于NATAF变换考虑不同分布的相关性的概率潮流分析的速度。

Claims (1)

1.一种基于Gauss-Hermite求积法的NATAF变换的概率潮流分析方法，其特征在于，包括以下步骤:
1)获取接入电力系统的n个不确定性输入变量X＝(X1,X2,…,Xn)，它们分别服从一定的任意的概率分布，其中n为接入电网的不确定性输入变量的数量，X1,X2,…,Xn是服从任意的累积分布函数的随机输入变量；
2)获取步骤1)中的随机变量的原始相关系数矩阵Cx，矩阵Cx为n行n列矩阵，该矩阵中的元素用ρx(i,j)表示任意两个随机变量之间的相关系数，i和j分别代表X中第一个随机变量的序号和第二个随机变量的序号，也是该元素所在矩阵的行数和列数，i,j＝1、2……n；
并已知每个随机变量X1,X2,…,Xn对应的累积分布函数Φ(·)，以及该分布函数对应的尺度参数D和形状参数K,M；
其中：
Figure FDA0002499403290000011
3)将原始不同分布的相关系数矩阵Cx变换为高斯域的相关系数矩阵Cz，Cz为n行n列矩阵，其中Cz矩阵中的元素用ρz(i,j)表示；Cz的具体形式为：
Figure FDA0002499403290000012
3.1通过NATAF变换，用下述的二重积分来建立起Cx和Cz的关系；该二重积分的表达式：
Figure FDA0002499403290000013
其中，
Figure FDA0002499403290000021
表示标准二元正态分布的概率密度函数
Figure FDA0002499403290000022
其中，
Figure FDA0002499403290000023
为任意分布F的累积概率分布函数的逆变换，Φ(·)为各随机变量X1,X2,…,Xn对应的累积分布函数；ρz(i,j)是矩阵Cz中第i行第j列的元素，为高斯域中的任意两个随机变量间的相关系数；Xi和Xj分别是任意两组随机输入变量，Xi＝[x1,x2,…,xN]；Xj＝[x1,x2,…,xN]，N表示对某个随机变量进行N次采样，x1,x2,…,xN分别表示对该随机变量进行的第1次到第N次抽样的值；类似的，Zi和Zj分别是具有Cz相关性的高斯分布随机变量Z的任意两组随机输入变量，Zi＝[z1,z2,…,zN]；Zj＝[z1,z2,…,zN]，并且，此处的Z是未知量，将在第4.3步进行求解；μi、μj、σi、σj分别为xi和xj的均值和标准差；
3.2利用Gauss-Hermite多项式来近似NATAF变换；由此，可以将上述的二重积分的表达式整理为如下形式：
Figure FDA0002499403290000024
其中，高斯域中的任意两个随机变量间的相关系数ρz＝ρz(i,j)，n为积分节点的个数,wi为积分权重
Figure FDA0002499403290000025
其中，xi是Hermite多项式Hn(xi)的第i个根，注(i＝1,2,…,n)，称为Hermite多项式Hn(xi)的第i个积分节点；xi的求解方式是，对以Hn(xi)为系数构成的多项式进行求根从而获取；n表示积分节点的个数；
3.3采用二分法求解Gauss-Hermite多项式，得到高斯域的相关系数矩阵Cz；
本发明采用的二分法求解Gauss-Hermite多项式的步骤归纳如下：
step 1,假定初始区间位于[a,b]，若ρx(i,j)＞0，令a＝0、b＝1，否则，令a＝-1、b＝0；若f(a)和f(b)符号相同，则在[a,b]内不存在使得f(x)＝0的根；
step 2,选择区间[a,b]的中间点x0作为假设的ρz(i,j)的值，代入f(x)中求解；即，x0＝(a+b)/2，求解f(x0)；若|f(x0)|≤ε，则ρz(i,j)＝x0，计算结束，返回ρz(i,j)的值，否则进入下一步；ε为收敛误差阈值；
step 3,若f(b)f(x0)＞0则可以得出f(x)＝0的解落在区间[a,x0]内，令b＝x0；否则，即f(b)f(x0)＜0，f(x)＝0的解落在[x0,b]之间，另a＝x0，回到step 2；
step 4,重复step 2和step 3，直到|b-a|/2≤ε，此时令ρz(i,j)＝(a+b)/2，求解完成；
由此，对所有输入随机变量的两两之间的相关系数ρx(i,j)进行如上转换得到对应的ρz(i,j)，便可以得到转换后的高斯域的相关系数矩阵Cz；
4)求解具有Cz相关性的高斯分布随机变量Z；
4.1通过Cholesky下三角分解法，求得中间变量L，公式为：
Cz＝LLT
其中，
Figure FDA0002499403290000031
4.2生成n维独立的高斯分布随机向量G，随机采样的次数为N，即蒙特卡洛法样本容量为N；高斯分布随机向量G为n行N列矩阵；其中G的形式为：
Figure FDA0002499403290000032
4.3求解具有Cz相关性的高斯分布随机变量Z：
Z＝LG
即得到，
Figure FDA0002499403290000041
5)通过任意分布F的累积概率分布函数的逆变换方法，获取服从任意分布的随机输入变量矩阵R；
R＝F-1[Φ(Z)]
其中，函数F-1(·)和Φ(·)的含义与步骤3.1中的对应解释部分相同；
综上所述，最终求得服从任意分布的随机输入变量矩阵R为：
Figure FDA0002499403290000042
6)将R作为输入随机变量，带入电力网络中进行概率潮流计算与分析。
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