CN110399654B - 基于Nataf变换的MEMS器件不确定性分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于Nataf变换的MEMS器件不确定性分析方法，包括如下步骤：根据得到的工艺偏差的多维离散数据，建立高斯混合模型，得到其联合密度函数以及各边缘累积分布函数；对高斯混合模型进行Nataf变换；分析随机配点法在不同展开阶数下所需要消耗的时间以及相应的精度，对网格点进行Nataf逆变换，得到适用于该高斯混合模型的多维配置点；根据具体器件，定义输出参数，求解展开式系数；根据计算结果，得到输出参数的数值信息。本发明不但运算速度快、结果精度高，而且可以有效地完成关联工艺偏差下的MEMS器件不确定性分析，可以精确、快速地得到由关联工艺偏差造成的器件性能参数偏移的分布，这对于MEMS器件的设计、开发、制造和应用都具有实用意义。
Description
技术领域
本发明属于微电子机械系统(MEMS)计算机模拟领域，具体涉及一种关联工艺偏差条件下基于Nataf变换的MEMS器件不确定性分析方法。
背景技术
对于微加工工艺，由于制造流程复杂而精细，工艺控制非常困难。诸如刻蚀工艺中的过刻蚀现象，光刻时的对准偏差，都可能导致器件的尺寸参数出现偏差。另外，MEMS工艺往往涉及多种材料的生长、溅射，可能引入材料参数的偏差，如杨氏模量的不确定性。通常，相比于宏观机械加工工艺，MEMS工艺引入的工艺相对偏差要大得多，这限制了器件的高精度性能，并可能导致实际性能参数与预测值出现显著偏差，进而限制良品率的提升。因此，在器件设计的阶段，针对工艺偏差对器件关键性能参数的影响进行分析，就尤为重要。
在同时考虑多个工艺偏差对于器件性能的影响时，一个往往被忽略的问题是工艺偏差间的相关性。目前的高效不确定性分析方法，如广义多项式混沌方法，都假设各工艺偏差间相互独立，但在MEMS工艺中，关联工艺偏差普遍存在，并且这种相关性也对器件性能参数有着显著影响。因此，针对关联工艺偏差的不确定性分析亟待进一步的研究。
另外，实际工艺偏差的分布往往并不满足最为常见的高斯分布，并且其具体的分布形式难以表示成解析形式，而只能通过实际测试或工艺仿真等方法得知一些离散的参数数据。针对这种情况，如何在考虑关联工艺偏差的前提下进行高效的不确定性分析，目前尚缺乏深入的研究。
发明内容
发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，提供一种联工艺偏差条件下基于Nataf变换的MEMS器件不确定性分析方法，采用该方法，可以精确、快速地得到由关联工艺偏差造成的器件性能参数偏移的分布。
技术方案：为实现上述目的，本发明提供一种基于Nataf变换的MEMS器件不确定性分析方法，包括如下步骤：
S1：根据得到的工艺偏差的多维离散数据，建立高斯混合模型(GMM)，得到其联合密度函数以及各边缘累积分布函数；
S2：对步骤S1建立的高斯混合模型进行Nataf变换，其中，根据联合密度函数以及各边缘累积分布函数，通过高斯积分公式计算改进的积分公式，直接得到标准正态化后随机变量的相关系数，而无需再使用牛顿迭代法或二分法等方程求解算法；
S3：分析随机配点法在不同展开阶数下所需要消耗的时间以及相应的精度，选取合适的阶数，根据参数维度与选择的阶数，生成多维高斯-埃尔米特积分点，对网格点进行Nataf逆变换，得到适用于该高斯混合模型的多维配置点；
S4：根据具体器件，定义输出参数，建立输出参数与工艺偏差间的函数关系，将输出参数使用埃尔米特多项式展开，在多维配置点处求解输出参数，利用高斯-埃尔米特积分求解展开式系数；
S5：根据步骤S4的计算结果，得到输出参数的数值信息，如均值、标准差，还可以绘制出其概率密度曲线。
进一步的，所述步骤S3中通过张量积法或者Smolyak算法生成多维高斯-埃尔米特积分点。
根据上述步骤，本发明提出的关联工艺偏差条件下基于Nataf变换的MEMS不确定性分析方法，主要创造性点为：
一、使用高斯混合模型得到对关联参数分布情况的估计。
二、使用改进的Nataf变换将高斯混合模型转变为独立的标准正态分布，再利用随机配点法对独立参数空间中的不确定性问题进行分析。
本发明不同于已有的方法，解决了未知分布情况下的关联参数分析问题。本发明利用高斯混合模型，可以在较为精确地反应工艺偏差的分布情况的前提下，得到较为易于计算的概率函数形式。针对高斯混合模型的特征，又进一步利用改进的Nataf变换，可以将相互关联的高维高斯混合模型转化为相互独立的标准正态分布，从而可利用多项式混沌展开以及随机配点法对输出变量进行不确定性分析。
本发明使用高斯混合模型估计关联参数的分布情况，一方面能够较为精确反应工艺参数的分布，另一方面，对于一确定的高斯混合模型，联合概率函数与边缘概率函数都容易得到，且形式较为简单，这对于后续计算是一便利条件。Nataf变换能够将任意分布的关联随机向量转化为满足标准正态分布的互相独立的随机向量，因此能够将难以处理的关联偏差转化为易于处理的独立偏差分析问题，从而可以使用较为成熟，并且兼具精度与效率的多项式混沌展开等方法进行处理。并且由于在对随机变量进行了Nataf变换后，得到的新随机变量满足标准正态分布，因此可以直接使用埃尔米特多项式对输出变量进行展开，其各阶各项多项式系数以及一维配置点等信息，可直接利用查表法获得，易于实施且提升了计算效率。针对高斯混合模型的特点，本发明又对Nataf变换进行了改进，在计算标准正态化后的相关系数时，直接使用一积分公式进行计算，并且这一步可通过高斯积分公式提升计算效率，这样就避免了传统Nataf变换使用的牛顿迭代法或二分法等方程求解算法，在保持精度的前提下提升了计算效率。
有益效果：本发明与现有技术相比，不但运算速度快、结果精度高，而且可以有效地完成关联工艺偏差下的MEMS器件不确定性分析，从而解决了目前在关联工艺偏差下难以对MEMS器件进行精确分析的问题，可以精确、快速地得到由关联工艺偏差造成的器件性能参数偏移的分布，这对于MEMS器件的设计、开发、制造和应用都具有非常重要的意义。
附图说明
图1是基于Nataf变换与高斯混合模型的随机配点法具体流程图；
图2是输入数据点与生成的高斯混合模型数据点的对比示意图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明。
本实施例利用高斯混合模型对关联工艺偏差的分布情况进行建模，再使用改进的Nataf变换与随机配点法相结合，对MEMS器件的不确定性进行分析，如图1所示，其具体的步骤如下：
1)根据通过实验或者工艺仿真得到的工艺偏差的多维离散数据，建立高斯混合模型(GMM)，其可将任意分布的密度函数分解为一系列高斯分布密度函数的和：
其中，ρnorm(·|μj，∑j)为高斯分布密度函数，其均值为μj，协方差矩阵为∑j，pi为加权系数，满足
显然，
的边缘概率密度函数也可以表示成相应的高斯分布密度函数的加权和。因此，对于一确定的高斯混合模型，能够得到
的联合概率函数与边缘概率函数。
2)对该高斯混合模型进行Nataf变换：对于任意随机变量ξi，若已知其概率分布函数为Fi(·)，则可以证明，
符合标准正态分布，其中
为标准正态分布的概率分布函数的逆函数。
Nataf变换首先将关联随机向量的各个分量都进行这样的变换，从而得到相互关联且各边缘分布均为标准正态分布的随机向量
为将随机向量
转换为相互独立的随机变量，需要知道
的相关系数矩阵。本实施例使用一改进的计算公式，也就是式(2)求解相关系数：
其中，f(ξi，ξj)是参数ξi与ξj的联合密度函数，对于具有K个成分的高斯混合模型，这一函数可表示为K个二维高斯分布密度函数的加权和，ρ0ij即为待求的相关系数。这里使用高斯积分公式进行数值计算，对式(2)进行进一步的推导：
其中，
与
为高斯混合模型第k个成分的分布参数(均值、标准差以及相关系数)。式(3)满足二维高斯-埃尔米特积分公式的使用条件，通过选取合适的插值积分阶数，可以较为精确地求出各维度之间的相关系数，从而得到相关系数矩阵。对相关系数矩阵R作Cholesky展开：
R＝LLT (4)
其中，L为下三角矩阵，则可得到各维度间相互独立，且均满足标准正态分布的随机向量
3)分析随机配点法在不同展开阶数下所需要消耗的时间以及相应的精度，选取合适的阶数，其具体为：
根据参数维度与选择的阶数，通过张量积法或者Smolyak稀疏网格法生成多维高斯-埃尔米特积分点。令一维p阶配置点为
若使用张量积法，则高维配置点为：
相应的，若一维p阶配置点处的权值为
则高维配置点
对应的权值为：
若使用Smolyak稀疏网格法，则高维配置点为：
对应的权值为：
通常，在维数较大时，选择Smolyak稀疏网格法构建高维配置点，有较好的计算效率。得到了高维网格点之后，对网格点进行Nataf逆变换，得到适用于该高斯混合模型的多维配置点
4)根据具体器件，定义输出参数，建立输出参数与工艺偏差间的函数关系：
其中，
为输出参数，
为一抽象的数学算子，其可以是代数方程，也可以是微积分方程，可以是显式方程，也可以是隐式方程。将输出参数使用埃尔米特多项式展开：
其中，
为高维埃尔米特多项式：
Hi(·)为一维i阶埃尔米特多项式。由埃尔米特多项式的正交性，可以得到展开系数
的表达式：
为求解式(13)中的积分，在多维配置点处求解输出参数，利用高斯-埃尔米特积分求解展开式系数：
5)根据上述求解的展开式系数结果，可以得到输出参数的数值信息。
本实施例中输出参数的数值信息包括均值(式15)、标准差(式16)：
还可以绘制出其概率密度曲线。
本实施例中利用上述方法得到如图2所示的对比示意图，图2中的x轴，y轴分别表示随机偏差向量的分量ξ1、ξ2，通过图2可以对MEMS器件在关联工艺偏差情况下的性能参数偏移的分布情况得到直观、精确的了解。
Claims (6)
1.基于Nataf变换的MEMS器件不确定性分析方法，其特征在于：包括如下步骤：
S1：根据得到的工艺偏差的多维离散数据，建立高斯混合模型，得到其联合密度函数以及各边缘累积分布函数；
S2：对步骤S1建立的高斯混合模型进行Nataf变换，其中，根据联合密度函数以及各边缘累积分布函数，通过高斯积分公式计算改进的积分公式，直接得到标准正态化后随机变量的相关系数；
S3：分析随机配点法在不同展开阶数下所需要消耗的时间以及相应的精度，选取合适的阶数，根据参数维度与选择的阶数，生成多维高斯-埃尔米特积分点，对网格点进行Nataf逆变换，得到适用于该高斯混合模型的多维配置点；
S4：根据具体器件，定义输出参数，建立输出参数与工艺偏差间的函数关系，将输出参数使用埃尔米特多项式展开，在多维配置点处求解输出参数，利用高斯-埃尔米特积分求解展开式系数；
S5：根据步骤S4的计算结果，得到输出参数的数值信息；
所述步骤S2中对高斯混合模型进行Nataf变换的具体过程为：
S2-1：对于任意随机变量ξi，若已知其概率分布函数为Fi(·)，则证明，
符合标准正态分布，其中
为标准正态分布的概率分布函数的逆函数，首先将关联随机向量的各个分量都进行这样的变换，从而得到相互关联且各边缘分布均为标准正态分布的随机向量
S2-2：利用式(2)计算随机向量
的相关系数：
其中，f(ξi,ξj)是参数ξi与ξj的联合密度函数，对于具有K个成分的高斯混合模型，这一函数可表示为K个二维高斯分布密度函数的加权和，ρ0ij即为待求的相关系数；
S2-3：使用高斯积分公式进行数值计算，对式(2)进行进一步的推导：
其中，
与
为高斯混合模型第k个成分的分布参数，式(3)满足二维高斯-埃尔米特积分公式的使用条件，通过选取合适的插值积分阶数，求出各维度之间的相关系数，从而得到相关系数矩阵，对相关系数矩阵R作Cholesky展开：
R＝LLT(4)其中，L为下三角矩阵，则可得到各维度间相互独立，且均满足标准正态分布的随机向量
2.根据权利要求1所述的基于Nataf变换的MEMS器件不确定性分析方法，其特征在于：所述步骤S1中通过高斯混合模型将任意分布的密度函数分解为一系列高斯分布密度函数的和，其表达式为：
其中，ρnorm(·|μj,∑j)为高斯分布密度函数，其均值为μj，协方差矩阵为Σj，pi为加权系数，满足
利用此表达式得到联合密度函数以及各边缘累积分布函数。
3.根据权利要求1所述的基于Nataf变换的MEMS器件不确定性分析方法，其特征在于：所述步骤S3中通过张量积法或者Smolyak算法生成多维高斯-埃尔米特积分点。
4.根据权利要求3所述的基于Nataf变换的MEMS器件不确定性分析方法，其特征在于：所述步骤S3中采用张量积法，令一维p阶配置点为
则高维配置点为：
一维p阶配置点处的权值为
则高维配置点
对应的权值为：
5.根据权利要求3所述的基于Nataf变换的MEMS器件不确定性分析方法，其特征在于：所述步骤S3中采用Smolyak算法，令一维p阶配置点为
则高维配置点为：
对应的权值为：
6.根据权利要求1所述的基于Nataf变换的MEMS器件不确定性分析方法，其特征在于：所述步骤S4中输出参数与工艺偏差间的函数关系为：
其中，
为输出参数，
为一抽象的数学算子，将输出参数使用埃尔米特多项式展开：
其中，
为高维埃尔米特多项式：
代表
Hi(·)为一维i阶埃尔米特多项式，由埃尔米特多项式的正交性，得到展开系数
的表达式：
为求解式(13)中的积分，在多维配置点处求解输出参数，利用高斯-埃尔米特积分求解展开式系数：
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