CN110688747A - 一种基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法，本发明方法为：步骤1、拟定岩质边坡的计算参数；步骤2、对岩质边坡进行受力分析；步骤3、建立岩质边坡安全性和经济性的双目标函数；步骤4、建立以双目标函数，同时结合岩块平衡方程约束条件、结构面的屈服条件、锚杆的附加约束条件的岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型；步骤5、使用加权和法构造评价函数，将求解多目标优化的非线性数学规划模型转化为求解单目标优化的非线性数学规划模型；使用非线性规划的罚函数法求解该模型，获得同时满足安全性和经济性最优的安全系数和锚固造价，以及最优锚固角。本发明方法达到了经济性与安全性的统一。

Description

一种基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算 方法

技术领域

本发明涉及一种基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法，属于岩质边坡稳定性分析技术领域。

背景技术

近年来，岩质边坡稳定性问题受到广泛的关注，岩质边坡中存在节理和断层通常是岩质边坡失稳破坏的主要原因，工程实践中通常采用预应力锚杆进行加固。预应力锚杆是通过内锚固段固定后，在外锚头进行张拉，将预应力线材的张拉应力施加于岩体或结构物上的一种加固措施。在实际工程中，为保证工程安全，通常采用较为保守的锚固设计，安全性虽然得到了保证但经济性存在较大的不足。《岩土锚杆与喷射混凝土支护工程技术规范》(GB50086-2015)给出最优锚固角的经验计算公式：

其中θ为滑动面与水平面的夹角，逆时针方向为正，

为结构面的摩擦角，β_优为锚杆与水平面的夹角，逆时针方向为正。规范所给公式主要是通过调整锚杆安装角度，使滑动方向的分力和滑面法向分力乘以滑面摩擦系数产生的摩擦阻力之和达到最大，如图1所示：当α＝β时，可得最大抗力为

此时锚杆最长，锚固造价最高，不经济；经过综合比较，规范给出最优锚固角为：

规范所给最优锚固角的计算公式是一个经验公式，并不能保证锚固效果和锚固造价同时达到最优，即达到既安全又经济的目的。锚固效果一般取决于锚固力的大小与方向，当锚固力的大小确定时，锚固力的方向发生改变锚固效果也会随之发生改变。锚固造价一般取决于锚杆长度，锚杆长度越长锚固造价越高，反之亦然。

当前岩质边坡锚固设计存在以下问题：

(1)工程实践中，通常安全性得到了保证但经济性存在较大的不足；

(2)采用规范给定最优锚固角的计算方法，安全性和经济性均未能保证最优；

(3)锚固计算本质上是一个同时寻求锚固效果尽可能好与寻求锚固造价尽可能低的多目标数学规划问题，在当前还未有很好的方法进行全面考虑；

基于这种现状，本发明基于国家自然科学基金项目(51564026)进行研究工作。

发明内容

本发明提供了一种基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法，以实现在使得锚杆锚固效果尽可能好的同时还可以实现锚固造价尽可能低，为岩质边坡的锚固最优化设计提供一种新的方法和手段。

本发明的技术方案是：一种基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法，所述方法具体步骤如下：

步骤1、拟定岩质边坡的计算参数；

步骤2、对岩质边坡进行受力分析；

步骤3、建立岩质边坡安全性和经济性的双目标函数；

步骤4、建立以双目标函数，同时结合岩块平衡方程约束条件、结构面的屈服条件、锚杆的附加约束条件的岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型；

步骤5、使用加权和法构造评价函数，将求解多目标优化的非线性数学规划模型转化为求解单目标优化的非线性数学规划模型；使用非线性规划的罚函数法求解该模型，获得同时满足安全性和经济性最优的安全系数和锚固造价，以及最优锚固角。

所述步骤1中，岩质边坡的计算参数包括岩质边坡的高度，岩质边坡几何关键点的位置坐标，岩体的容重，结构面的数量、每个结构面的倾角、每个结构面的凝聚力和摩擦角，锚杆锚固力的大小。

所述步骤2具体为：定义坐标系x,y，以岩块为分析对象，岩块所受的作用力包括：岩块的形心上作用沿x方向的外力f_x、沿y方向的外力f_y、沿锚杆方向的锚固力F_a，锚固力方向与总体坐标系坐标轴x的正向夹角为锚固角θ_x，θ_x以逆时针方向为正；S_i为第i个结构面上的剪力，S_i以逆时针转动为正，i为结构面的个数；N_i为第i个结构面上的法向力，N_i以受压为正，其中i＝(1,2,…,n)，n为结构面的数量。

所述步骤3具体为：用安全系数评价岩质边坡的安全性，建立岩质边坡安全性目标函数：Maximize:K；用锚固造价评价岩质边坡的经济性，建立岩质边坡经济性目标函数：Minimize:P；其中：Maximize表示“求最大”，安全系数

c、

分别为结构面原始的凝聚力、摩擦角，c′、

分别为结构面进行强度折减以后的凝聚力和摩擦角；Minimize表示“求最小”，锚杆造价P＝F(l)，F是价格函数，l为锚杆总长度，锚杆总长度应为锚固段、自由段和外锚段的长度之和。

所述步骤4中岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型具体为：

式中：Maximize:K为岩质边坡安全性目标函数，K为安全系数；Minimize:P为岩质边坡经济性目标函数，P为锚杆造价；

为岩块平衡方程约束条件，F_a为锚固力，θ_x为锚固力方向与总体坐标系坐标轴x的正向夹角，θ_x以逆时针方向为正；θ_i为第i个结构面与x轴正向夹角，f_x为作用在岩块沿x方向的外力，f_y为作用在岩块沿y方向的外力，S_i为第i个结构面上的剪力，S_i以逆时针转动为正；N_i为第i个结构面上的法向力，N_i以受压为正，i＝(1,2,…,n)，n为结构面的个数；

为结构面的屈服条件，l_i为第i个结构面的长度，c_i、

分别为第i个结构面的凝聚力和摩擦角；

l_f≥((x₀-x_a)²+(y₀-y_a)²)^1/2、l_f≥5、P＝F(l)＝k₁l_a+k₂l_f+k₃l_o为锚杆的附加约束条件，l_a为锚固段长度，ξ为锚杆锚固体抗拔安全系数，N_ak为锚杆轴向拉力标准值，f_rbk为岩土层与锚固体极限粘结强度标准值，D为锚杆锚固段钻孔直径；l_f为锚杆自由段长度，x_a为锚杆与潜在滑裂面交点的横坐标值，y_a为锚杆与潜在滑裂面交点的纵坐标值；x₀为锚杆与临空面交点的横坐标值，即外锚头的横坐标值；y₀为锚杆与临空面交点的纵坐标值，即外锚头的纵坐标值；F是价格函数，l为锚杆总长度，锚杆总长度应为锚固段、自由段和外锚段的长度之和，k₁为锚固段价格系数，k₂为锚杆自由段价格系数，k₃为外锚段价格系数，l_o为外锚段长度。

所述步骤5具体为：

步骤5.1：求解安全性最优的非线性数学规划模型

岩质边坡安全性最优的非线性数学规划模型为：

式中，其目标函数为安全系数K，其决策变量为θ_x、S_i、N_i、l_a、l_f、l_o，采用罚函数法求解得到安全系数K的最大值为

步骤5.2：求解经济性最优的非线性数学规划模型

岩质边坡经济性最优的非线性数学规划模型为：

式中，其目标函数为锚固造价P，其决策变量为θ_x、S_i、N_i、l_a、l_f、l_o，采用罚函数法求解得到锚固造价P的最小值

步骤5.3：采用线性加权和法构造评价函数

根据各个函数在问题中的重要程度，分别赋予一个权系数，再将带权系数的函数相加而构成评价函数，评价函数按下式计算：

式中：Z是评价函数，

是安全系数的最大值，是锚固造价的最小值，ω₁为安全系数的权系数，ω₁介于0到1之间，ω₂为锚固造价的权系数，ω₂介于0到1之间，同时满足：ω₁+ω₂＝1.0；

步骤5.4：将评价函数作为新的目标函数

将步骤5.3采用线性加权和法构造的评价函数作为新的目标函数，则新的目标函数为：

步骤5.5：建立岩质边坡安全性和经济性单目标优化的非线性数学规划模型

岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型转化为用下式表示的单目标优化的非线性数学规划模型：

式中：Z由评价函数转变为新的目标函数，其决策变量为θ_x、S_i、N_i、l_a、l_f、l_o、K、P，采用罚函数法求解该目标函数，计算结果包括最优安全系数、最优锚固造价以及锚固力的最优锚固方向角。

本发明的有益效果是：

1、实际工程中，为保证工程安全，锚杆的布设通常偏于保守，造成资源极大的浪费；按规范给定公式计算只能得到最优锚固角的经验值，不能保证安全性和经济性均最优。本发明方法以节理岩质边坡为研究对象，用安全系数评价岩质边坡的安全性，用锚固造价评价岩质边坡的经济性，再结合岩块平衡方程约束条件、结构面的屈服条件、锚杆的附加约束条件，建立岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型；使用加权和法构造评价函数，将求解多目标方法优化的非线性数学规划模型转化为求解单目标优化的非线性数学规划模型，然后使用非线性规划的罚函数法求解该模型，可以直接获得岩质边坡的最优锚固角度，使锚杆的锚固效果最好的同时锚固造价最低，进而达到经济性与安全性的统一。

2、本发明方法适用于全面考虑安全性和经济性的节理岩质边坡的锚固计算，具有概念明确、计算精度高、工程应用简便的特点。

附图说明

图1边坡锚杆锚固角示意图

图2边坡锚杆结构示意图

图3岩质边坡示意图；

图4岩块锚固受力示意图；

图5实施例岩质边坡示意图；

图6实施例岩块受力示意图；

图7本发明方法的技术路线图。

具体实施方式

实施例1：如图1-图7所示，一种基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法，所述方法具体步骤如下：

步骤1、拟定岩质边坡的计算参数；

步骤2、对岩质边坡进行受力分析；

步骤3、建立岩质边坡安全性和经济性的双目标函数；

步骤4、建立以双目标函数，同时结合岩块平衡方程约束条件、结构面的屈服条件、锚杆的附加约束条件的岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型；

步骤5、使用加权和法构造评价函数，将求解多目标优化的非线性数学规划模型转化为求解单目标优化的非线性数学规划模型；使用非线性规划的罚函数法求解该模型，获得同时满足安全性和经济性最优的安全系数和锚固造价，以及最优锚固角。

流程图如图1所示。

进一步地，可以设置所述方法具体步骤如下：

1、拟定岩质边坡计算参数：

实施例岩质边坡如图5所示，根据岩质边坡的实际情况拟定计算参数，包括：岩质边坡的高度为45m；图5中岩质边坡几何关键点的位置坐标为：A(18,45)，B(0,0)，C(38,30)，D(43,45)；岩体的容重为20.00kN/m³，结构面的数量为2个、每个结构面的倾角、每个结构面的凝聚力和摩擦角详见表1所示；锚杆锚固力的大小分别取250kN和500kN两种情况。

表1实施例岩质边坡结构面倾角和结构面的凝聚力和摩擦角

(2)岩质边坡的力学受力分析

如图6所示，定义坐标系x，y，假设该岩块的形心O上作用沿x方向的外力f_x、沿y方向的外力f_y、沿锚杆方向的锚固力F_a，锚固力F_a与总体坐标系坐标轴x的夹角为θ_x，θ_x以逆时针方向为正；S₁为第1个结构面上的剪力，其中S₁以逆时针转动为正，S₂为第2个结构面上的剪力，其中S₂以逆时针转动为正；N₁为第1个结构面上的法向力，其中N₁以受压为正，N₂为第2个结构面上的法向力，其中N₂以受压为正。

(3)建立安全性和经济性双目标函数

①建立安全性目标函数

对于岩质边坡稳定性问题，通常通过强度折减法使其达到极限状态，此时强度储备系数即为安全系数，安全系数越大岩质边坡安全性越高。

本发明定义安全系数为：

上式中：K为安全系数；c，

分别为结构面原始的凝聚力和摩擦角，c′，

分别为结构面进行强度折减以后的凝聚力和摩擦角。

将岩质边坡的安全系数作为目标函数，并寻求岩质边坡安全系数的最大值，安全性目标函数定义如下：

Maximize:K (2)

上式中：Maximize表示“求最大”；K为安全系数。

②建立经济性目标函数

岩质边坡采用锚杆加固，经济性以锚固造价体现，锚固造价越小经济性越高，将锚固造价作为目标函数，并寻求锚固造价的最小值，经济性目标函数定义如下：

Minimize:P (3)

上式中：Minimize表示“求最小”；P为锚杆造价；

锚杆造价仅是锚杆总长度的函数，锚杆的造价按下式表示：

P＝F(l) (4)

上式中：F是价格函数，l为锚杆总长度；锚杆总长度应为锚固段、自由段和外锚段的长度之和，如图2所示，即：

l＝l_a+l_f+l_o (5)

上式中：l_a为锚固段长度，l_f为锚杆自由段长度，l_o为外锚段长度；

(4)建立岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型的约束条件

约束条件包括：岩块平衡方程约束条件、结构面的屈服条件、锚杆的附加约束条件；

①岩块平衡方程约束条件：

对岩块进行受力分析，其形心上受到外力、结构面上的剪力、结构面上的法向力以及锚固力而保持平衡，其平衡方程为：

②结构面的屈服条件：

在外荷载作用下，当荷载达到或超过极限荷载时，结构面就会产生破坏，假定岩体为刚体块体，其不会产生任何破坏，且岩质边坡的破坏只发生在结构面上，结构面满足Mohr-Coulomb屈服条件式，结构面上的屈服条件写为：

③锚杆的附加约束条件：

根据《建筑边坡工程技术规范》(GB50330-2017)要求锚杆长度应满足下式要求：

上式中：l_a为锚固段长度，ξ为锚杆锚固体抗拔安全系数，取ξ＝2.4，N_ak为锚杆轴向拉力标准值，即为F_a，f_rbk为岩土层与锚固体极限粘结强度标准值，取f_rbk＝180kN，D为锚杆锚固段钻孔直径，取D＝90mm；

根据《建筑边坡工程技术规范》(GB50330-2017)构造设计要求：锚杆自由段长度按外锚头到潜在滑裂面的长度计算；预应力锚杆自由段应不小于5m，即：

l_f≥((x₀-x_a)²+(y₀-y_a)²)^1/2 (9)

l_f≥5 (10)

上式中：l_f为锚杆自由段长度，x_a为锚杆与潜在滑裂面交点的横坐标值，y_a为锚杆与潜在滑裂面交点的纵坐标值；x₀为锚杆与临空面交点的横坐标值，即外锚头的横坐标值，y₀为锚杆与临空面交点的纵坐标值，即外锚头的纵坐标值；

锚固造价的附加约束条件：对于锚杆而言，每段的造价只是长度的函数，故(1)式可写为：

P＝F(l)＝k₁l_a+k₂l_f+k₃l_o (11)

上式中：k₁为锚固段价格系数，取为2000元/m；k₂为锚杆自由段价格系数，取为2500元/m；k₃为外锚段价格系数，外锚段通常采用相同的固定方式，造价相同，本算例不考虑外锚段对锚固造价的影响；

5、建立岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型

建立以安全系数和锚固造价为双目标函数，同时满足岩块平衡方程约束条件、结构面屈服条件、锚杆的附加约束条件的岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型为：

6、求解岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型

以上得到的数学模型为一个多目标非线性数学规划模型，对于拥有多个目标函数的问题通常采用评价函数法，通过构造评价函数，将求解多目标规划问题转化为求解单目标规划问题。求解步骤如下：

步骤①：求解安全性最优的非线性数学规划模型：

根据目标函数式(2)与约束条件式(6)、(7)、(8)、(9)、(10)、(11)，得到岩质边坡安全性最优的非线性数学规划模型为：

上式为一个非线性数学规划模型，其目标函数为安全系数K，其决策变量为θ_x、S₁、S₂、N₁、N₂、l_a、l_f、l_o。本发明采用罚函数法求解得到安全系数K的最大值为

步骤②：求解经济性最优的非线性数学规划模型

根据目标函数式(3)与约束条件式(6)、(7)、(8)、(9)、(10)、(11)，得到岩质边坡经济性最优的非线性数学规划模型为：

上式为一个非线性数学规划模型，其目标函数为安全系数K，其决策变量为θ_x、S₁、S₂、N₁、N₂、l_a、l_f、l_o。本发明采用罚函数法求解得到安全系数K的最大值为

步骤②：求解经济性最优的非线性数学规划模型

根据目标函数式(3)与约束条件式(6)、(7)、(8)、(9)、(10)、(11)，得到岩质边坡经济性最优的非线性数学规划模型为：

上式为一个非线性数学规划模型，其目标函数为锚固造价P，其决策变量为θ_x、S₁、S₂、N₁、N₂、l_a、l_f、l_o。本文采用罚函数法求解得到锚固造价P的最小值

步骤③：采用线性加权和法构造评价函数

线性加权和法的基本思想为：根据各个目标函数在问题中的重要程度，分别赋予一个权系数，再将带权系数的目标函数相加而构成评价函数，评价函数按下式计算：

上式中：Z是评价函数，

是安全系数的最大值，

是锚固造价的最小值，ω₁为安全系数的权系数，ω₁介于0到1之间，ω₂为锚固造价的权系数，ω₂介于0到1之间，同时满足：ω₁+ω₂＝1.0，本实施例取ω₁＝0.5；ω₂＝0.5；

步骤④：将评价函数作为目标函数

将步骤③采用线性加权和法构造的评价函数作为目标函数，则目标函数写为：

上式中：ω₁为安全系数的权系数，ω₁介于0到1之间，ω₂为锚固造价的权系数，ω₂介于0到1之间，同时满足：ω₁+ω₂＝1.0，本实施例取ω₁＝0.5；ω₂＝0.5；

步骤⑤：建立的岩质边坡经济性和安全性线性加权和法的非线性数学规划模型

根据目标函数式(16)、约束条件式(6)、(7)、(8)、(9)、(10)、(11)，岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型转化为用下式表示的单目标最优化的非线性数学规划模型：

上式为一个非线性数学规划模型，其目标函数为Z，其决策变量为θ_x、S₁、S₂、N₁、N₂、l_a、l_f、l_o、K、P，本文采用罚函数法求解该目标函数，计算结果包括最优安全系数

最优锚固造价

以及锚固力的最优锚固方向角θ_x-OP。

表2中列出了固定锚固位置当安全性最优时所得计算结果，即假定锚杆位于临空面(x_a,y_a)处，得到安全系数

锚固角大小θ_x、锚固段长度l_a、外锚段长度l_f、锚固造价P；表3中列出了固定锚固位置当经济性最优时所得计算结果，即假定锚杆位于临空面(x_a,y_a)处，得到安全系数K、锚固角大小θ_x、锚固段长度l_a、外锚段长度l_f、锚固造价P；表4中列出了使用线性加权和法处理所得到安全系数

锚固角大小θ_x-OP、锚固段长度l_a、外锚段长度l_f、锚固造价

表2、3、4锚固位置均为(10,25)，表5对比了安全性最优时与本发明方法所得安全系数K和锚固造价P，表6对比了经济性最优时与本发明方法所得安全系数K和锚固造价P。

表2实施例岩质边坡固定锚固位置当安全性最优时所得计算结果

表3实施例岩质边坡固定锚固位置当经济性最优时所得计算结果

表4实施例岩质边坡本发明方法所得计算结果

表5安全性最优与本发明方法安全系数及锚固造价对比结果

表6经济性最优与本发明方法安全系数及锚固造价对比结果

如表5所示，在锚固力为250kN条件下按本发明方法所得到的安全系数

相比安全性最优时的安全系数

降低了1.068％，但按本发明方法所得到的锚固造价

相比安全性最优时的锚固造价P降低了21.218％，达到了安全和经济的统一。

如表6所示，在锚固力为250kN条件下按本发明方法所得到的锚固造价

相比经济性最优时的锚固造价

增加了0.012％，但在锚固力为250kN时按本发明方法所得到的安全系数

相比经济性最优时的安全系数K增加了10.072％，达到了安全和经济的统一。

上面结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下做出各种变化。

Claims (6)

1.一种基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法，其特征在于：所述方法具体步骤如下：

步骤1、拟定岩质边坡的计算参数；

步骤2、对岩质边坡进行受力分析；

步骤3、建立岩质边坡安全性和经济性的双目标函数；

步骤4、建立以双目标函数，同时结合岩块平衡方程约束条件、结构面的屈服条件、锚杆的附加约束条件的岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型；

步骤5、使用加权和法构造评价函数，将求解多目标优化的非线性数学规划模型转化为求解单目标优化的非线性数学规划模型；使用非线性规划的罚函数法求解该模型，获得同时满足安全性和经济性最优的安全系数和锚固造价，以及最优锚固角。

2.根据权利要求1所述的基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法，其特征在于：所述步骤1中，岩质边坡的计算参数包括岩质边坡的高度，岩质边坡几何关键点的位置坐标，岩体的容重，结构面的数量、每个结构面的倾角、每个结构面的凝聚力和摩擦角，锚杆锚固力的大小。

3.根据权利要求1所述的基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法，其特征在于：所述步骤2具体为：定义坐标系x,y，以岩块为分析对象，岩块所受的作用力包括：岩块的形心上作用沿x方向的外力f_x、沿y方向的外力f_y、沿锚杆方向的锚固力F_a，锚固力方向与总体坐标系坐标轴x的正向夹角为锚固角θ_x，θ_x以逆时针方向为正；S_i为第i个结构面上的剪力，S_i以逆时针转动为正，i为结构面的个数；N_i为第i个结构面上的法向力，N_i以受压为正，其中i＝(1,2,…,n)，n为结构面的数量。

4.根据权利要求1所述的基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法，其特征在于：所述步骤3具体为：用安全系数评价岩质边坡的安全性，建立岩质边坡安全性目标函数：Maximize:K；用锚固造价评价岩质边坡的经济性，建立岩质边坡经济性目标函数：Minimize:P；其中：Maximize表示“求最大”，安全系数

c、

分别为结构面原始的凝聚力、摩擦角，c′、分别为结构面进行强度折减以后的凝聚力和摩擦角；Minimize表示“求最小”，锚杆造价P＝F(l)，F是价格函数，l为锚杆总长度，锚杆总长度应为锚固段、自由段和外锚段的长度之和。

5.根据权利要求1所述的基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法，其特征在于：所述步骤4中岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型具体为：

式中：Maximize:K为岩质边坡安全性目标函数，K为安全系数；Minimize:P为岩质边坡经济性目标函数，P为锚杆造价；

为岩块平衡方程约束条件，F_a为锚固力，θ_x为锚固力方向与总体坐标系坐标轴x的正向夹角，θ_x以逆时针方向为正；θ_i为第i个结构面与x轴正向夹角，f_x为作用在岩块沿x方向的外力，f_y为作用在岩块沿y方向的外力，S_i为第i个结构面上的剪力，S_i以逆时针转动为正；N_i为第i个结构面上的法向力，N_i以受压为正，i＝(1,2,…,n)，n为结构面的个数；

为结构面的屈服条件，l_i为第i个结构面的长度，c_i、

分别为第i个结构面的凝聚力和摩擦角；

l_f≥((x₀-x_a)²+(y₀-y_a)²)^1/2、l_f≥5、P＝F(l)＝k₁l_a+k₂l_f+k₃l_o为

锚杆的附加约束条件，l_a为锚固段长度，ξ为锚杆锚固体抗拔安全系数，N_ak为锚杆轴向拉力标准值，f_rbk为岩土层与锚固体极限粘结强度标准值，D为锚杆锚固段钻孔直径；l_f为锚杆自由段长度，x_a为锚杆与潜在滑裂面交点的横坐标值，y_a为锚杆与潜在滑裂面交点的纵坐标值；x₀为锚杆与临空面交点的横坐标值，即外锚头的横坐标值；y₀为锚杆与临空面交点的纵坐标值，即外锚头的纵坐标值；F是价格函数，l为锚杆总长度，锚杆总长度应为锚固段、自由段和外锚段的长度之和，k₁为锚固段价格系数，k₂为锚杆自由段价格系数，k₃为外锚段价格系数，l_o为外锚段长度。

6.根据权利要求1所述的基于安全性和经济性多目标优化的岩质边坡锚固计算方法，其特征在于：所述步骤5具体为：

步骤5.1：求解安全性最优的非线性数学规划模型

岩质边坡安全性最优的非线性数学规划模型为：

式中，其目标函数为安全系数K，其决策变量为θ_x、S_i、N_i、l_a、l_f、l_o，采用罚函数法求解得到安全系数K的最大值为

步骤5.2：求解经济性最优的非线性数学规划模型

岩质边坡经济性最优的非线性数学规划模型为：

式中，其目标函数为锚固造价P，其决策变量为θ_x、S_i、N_i、l_a、l_f、l_o，采用罚函数法求解得到锚固造价P的最小值

步骤5.3：采用线性加权和法构造评价函数

根据各个函数在问题中的重要程度，分别赋予一个权系数，再将带权系数的函数相加而构成评价函数，评价函数按下式计算：

式中：Z是评价函数，是安全系数的最大值，

是锚固造价的最小值，ω₁为安全系数的权系数，ω₁介于0到1之间，ω₂为锚固造价的权系数，ω₂介于0到1之间，同时满足：ω₁+ω₂＝1.0；

步骤5.4：将评价函数作为新的目标函数

将步骤5.3采用线性加权和法构造的评价函数作为新的目标函数，则新的目标函数为：

步骤5.5：建立岩质边坡安全性和经济性单目标优化的非线性数学规划模型

岩质边坡安全性和经济性多目标优化的非线性数学规划模型转化为用下式表示的单目标优化的非线性数学规划模型：

式中：Z由评价函数转变为新的目标函数，其决策变量为θ_x、S_i、N_i、l_a、l_f、l_o、K、P，采用罚函数法求解该目标函数，计算结果包括最优安全系数、最优锚固造价以及锚固力的最优锚固方向角。

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