CN110609976A - 一种基于矩阵填充的环境温湿度数学模型构建及恢复方法 - Google Patents

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孙桂玲
刘晓超
陈海华
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Abstract

本发明公开了一种基于矩阵填充(Matrix Completion，MC)的环境温湿度数学模型构建及恢复方法。本发明主要是针对大规模且环境温湿度变化缓慢的无线传感器网络(Wireless Sensor Network，WSNs)，由于该网络监测到的温湿度数据具有低秩性和短时稳定性，因此在模型构建的过程中融入这两方面。本发明采用加速近似梯度奇异值阈值(Accelerated Proximal Gradient Singular Value Thresholding，abbreviated APG)算法对构建的模型进行求解。基于低秩性和短时稳定性的数据恢复方法通过较好地平衡两者对恢复效果的影响，从而能够较大程度的提升对大规模无线传感器网络温湿度数据的恢复性能和重构精度。

Description

一种基于矩阵填充的环境温湿度数学模型构建及恢复方法
【技术领域】
本发明涉及数学模型构建以及无线传感器网络温湿度数据恢复算法领域，更具体地，涉及一种基于矩阵填充理论的环境温湿度数学模型的构建及数据恢复方法。
【背景技术】
无线传感器网络(Wireless Sensor Network，WSNs)被广泛应用于收集环境信息，例如温度、湿度、光照等。随着信息获取技术和网络技术的迅猛发展，对数据的需求在不断的提高，使得数据以指数形式在不断的增长，无线传感器网络的规模也在不断的提高，若继续采用传统的数据采集方法，会导致大量的流量和感知的开销。为了解决该问题，基于压缩感知理论(Compressed Sensing，CS)的数据采集与恢复的算法(Compressive DataGathering，CDG)被提了出来。
利用传感器观测值的稀疏性，基于CS的方法相比于原始的数据采集方法需要更少的样本数量却能够得到更高精度的恢复效果。然而，为了尽可能减少流量和感知的开销，基于压缩感知的方法要求使用最能使传感器观测值稀疏的变换。因此，很可能因为传感器网络的不同而不断的改变变换的形式，适应性也会受到很大的影响。
随着稀疏表示理论的快速发展，利用传感器数据的低秩特征而提出的矩阵填充理论(Matrix Completion，MC)被应用在无线传感器网络中。对比基于向量形式的压缩感知重构方法，矩阵形式的矩阵填充恢复方法可以获得更多的在二维空间上传感数据之间的相关性信息，从而得到更精确地恢复性能。根据矩阵填充理论的描述：一个低秩的矩阵可以通过矩阵中相对少的已知元素来精确地恢复缺失数据。这就意味着在无线传感器网络中采用矩阵填充方法可以通过减少感知和传输的数据量来实现更少的流量开销。
自从矩阵填充理论应用在无线传感器网络以来，许多用于解决矩阵填充问题的算法在无线传感器网络中都可以适用。目前提出来的方法有：高校数据采集方法(EfficientData Collection Approach，EDCA)，时间空间压缩数据采集方法(Spatio-TemporalCompressive Data Collection，STCDG)，联合矩阵填充和稀疏约束的数据恢复方法(DataRecovery method with joint Matrix Completion and Sparsity Constraints，DRMCSC)等。以上这些方法都是用矩阵分解的方式来解决无线传感器网络中的矩阵填充问题，所采用的数学模型以及优化算法会比较复杂。
【发明内容】
针对大规模且环境温湿度变化缓慢的无线传感器网络，本发明提供了一种基于矩阵填充理论的环境温湿度数学模型的构建及数据恢复方法。
本发明所采用的技术方案是：
1.利用大规模且环境温湿度变化缓慢的无线传感器网络所监测到的温湿度数据具有低秩和短时稳定的特性，构建一种基于矩阵填充理论的环境温湿度数学模型。该数学模型为：
其中函数||X||*是矩阵XN×T的核范数，表示为矩阵XN×T中所有奇异值之和，BN×T代表观测矩阵，PΩ表示在采样算子Ω上非零稀疏矩阵子空间上的投影，ST×T代表短时稳定性矩阵；
2.采用加速近似梯度奇异值阈值算法对构建的数学模型进行求解。
对函数F(X)在Y点处进行二阶近似展开，可以得到：
其中Lf是函数的Lipschitz常数，由于
且对于任意一个正数λ的奇异值收缩算子Dλ满足：
于是当步长δ＝Lf -1时，每次迭代后更新的矩阵由以下公式给出：
针对矩阵Yk采用下述的迭代方式进行更新：
根据上述的数学推导，对S1中构建的数学模型所采用的加速近似梯度奇异值求值算法求解包括以下步骤：
输入：观测矩阵BN×T，采样算子Ω，正则化参数λ，调整参数μ，最大容差参数ε，最大迭代次数Kmax；
输出：恢复矩阵
(1)初始化：X0＝X-1＝B，t0＝t-1＝1，迭代次数k＝0，步长δ；
(2)判断是否满足k≤Kmax，若满足，执行步骤(3)，若不满足，执行步骤(9)；
(3)更新矩阵Yk，
(4)采用奇异值阈值处理方式对矩阵Xk+1进行迭代更新，
Xk+1＝Dλδ(Yk-δ(PΩ(Yk-B)+μYkSTS))；
(5)更新辅助序列tk+1，
(6)增加迭代次数k，k＝k+1；
(7)判断是否满足||Xk+1-Xk||F/||Xk||F≤ε，若满足，终止迭代，输出恢复矩阵若不满足，执行步骤(8)；
(8)判断是否满足||PΩ(Xk+1)-B||F/||B||F≤ε，若满足，终止迭代，输出恢复矩阵若不满足，执行步骤(2)；
(9)更新步长δ，δ＝10·δ，重新设置迭代次数k，k＝0，返回步骤(1)。
基于低秩性和短时稳定性的数据恢复方法通过较好地平衡两者对恢复效果的影响，从而能够较大程度的提升对大规模无线传感器网络温湿度数据的恢复性能和重构精度。
【附图说明】
图1是五组无线传感器网络数据矩阵的前d个奇异值占全部奇异值的比重；
图2是五组无线传感器网络数据矩阵的归一化相邻间隙差异的累积分布函数图；
图3是实施例中短时稳定性矩阵；
图4是加速近似梯度奇异值阈值算法步骤流程图；
图5是四种算法对Intel Berkeley Research Lab的温度数据矩阵在不同丢失率下的归一化平均绝对误差比较；
图6是四种算法对Data Sensing Lab的湿度数据矩阵在不同丢失率下的归一化平均绝对误差比较。
【具体实施方式】
下面结合附图对本发明进一步说明。
图1描述了五组无线传感器网络数据矩阵的前d个奇异值占全部奇异值的比重，可以看出前5个奇异值占全部奇异值的比重就已经达到81％-95.6％，所以可以表明这两组无线传感器网络数据矩阵都具有较好的低秩性。
图2描述了五组无线传感器网络数据矩阵的归一化相邻间隙差异的累积分布函数图，可以看出发现超过86.6％的归一化相邻间隙差异是比较小的(＜0.05)，从而能够证明这两组无线传感器网络数据矩阵具有短时稳定性。
结合这两个特性，本发明构建了一种基于矩阵填充理论的环境温湿度数学模型：
其中函数||X||*是矩阵XN×T的核范数，表示为矩阵XN×T中所有奇异值之和，BN×T代表观测矩阵，PΩ表示在采样算子Ω上非零稀疏矩阵子空间上的投影，ST×T代表短时稳定性矩阵，如图3所示；
针对这个数学模型，需要进行以下的数学推导：
对函数F(X)在Y点处进行二阶近似展开，可以得到：
其中Lf是函数的Lipschitz常数，由于
且对于任意一个正数λ的奇异值收缩算子Dλ满足：
于是当步长δ＝Lf -1时，每次迭代后更新的矩阵由以下公式给出：
针对矩阵Yk采用下述的迭代方式进行更新：
图4是加速近似梯度奇异值阈值算法步骤流程图，包括以下步骤：
输入：观测矩阵BN×T，采样算子Ω，正则化参数λ，调整参数μ，最大容差参数ε，最大迭代次数Kmax；
输出：恢复矩阵
(1)初始化：X0＝X-1＝B，t0＝t-1＝1，迭代次数k＝0，步长δ；
(2)判断是否满足k≤Kmax，若满足，执行步骤(3)，若不满足，执行步骤(9)；
(3)更新矩阵Yk，
(4)采用奇异值阈值处理方式对矩阵Xk+1进行迭代更新，
Xk+1＝Dλδ(Yk-δ(PΩ(Yk-B)+μYkSTS))；
(5)更新辅助序列tk+1，
(6)增加迭代次数k，k＝k+1；
(7)判断是否满足||Xk+1-Xk||F/||Xk||F≤ε，若满足，终止迭代，输出恢复矩阵若不满足，执行步骤(8)；
(8)判断是否满足||PΩ(Xk+1)-B||F/||B||F≤ε，若满足，终止迭代，输出恢复矩阵若不满足，执行步骤(2)；
(9)更新步长δ，δ＝10·δ，重新设置迭代次数k，k＝0，返回步骤(1)。
图5、6是CDG算法、STCDG算法、DRMCSC算法、APG-LRST算法分别对Intel BerkeleyResearch Lab的温度数据矩阵和Data Sensing Lab的湿度数据矩阵在不同丢失率下的归一化平均绝对误差的比较。其中Intel Berkeley Research Lab的温度数据矩阵是大小为55×1000的矩阵，Data Sensing Lab的湿度数据矩阵是大小为40×1724的矩阵，采样方式选择随机采样，针对不同的采样率分别重复进行20次实验，并将这20次的实验结果进行求平均的处理，最终所得结果如图5、6所示。X轴代表丢失率(1-采样率)，Y轴表示20次实验的归一化平均绝对误差的平均值。从图5、6中可以看出不同的丢失率下，本发明构建的这种数学模型及相应的数据恢复方法(APG-LRST)在恢复性能和重构精度方面都要明显优于其他方法。

Claims (1)

1.一种基于矩阵填充的环境温湿度数学模型构建及恢复方法，其特征在于，包括：
S1.利用大规模且环境温湿度变化缓慢的无线传感器网络所监测到的温湿度数据具有低秩和短时稳定的特性，构建一种基于矩阵填充理论的环境温湿度数学模型：
其中函数||X||*是矩阵XN×T的核范数，表示为矩阵XN×T中所有奇异值之和，BN×T代表观测矩阵，PΩ表示在采样算子Ω上非零稀疏矩阵子空间上的投影，ST×T代表短时稳定性矩阵；
S2.采用加速近似梯度奇异值阈值算法对S1中构建的数学模型进行求解：
对函数F(X)在Y点处进行二阶近似展开，可以得到：
其中Lf是函数的Lipschitz常数，由于
且对于任意一个正数λ的奇异值收缩算子Dλ满足：
于是当步长δ＝Lf -1时，每次迭代后更新的矩阵由以下公式给出：
针对矩阵Yk采用下述的迭代方式进行更新：
根据上述的数学推导，对S1中构建的数学模型所采用的加速近似梯度奇异值求值算法求解包括以下步骤：
输入：观测矩阵BN×T，采样算子Ω，正则化参数λ，调整参数μ，最大容差参数ε，最大迭代次数Kmax；
输出：恢复矩阵
(1)初始化：X0＝X-1＝B，t0＝t-1＝1，迭代次数k＝0，步长δ；
(2)判断是否满足k≤Kmax，若满足，执行步骤(3)，若不满足，执行步骤(9)；
(3)更新矩阵Yk，
(4)采用奇异值阈值处理方式对矩阵Xk+1进行迭代更新，
Xk+1＝Dλδ(Yk-δ(PΩ(Yk-B)+μYkSTS))；
(5)更新辅助序列tk+1，
(6)增加迭代次数k，k＝k+1；
(7)判断是否满足||Xk+1-Xk||F/||Xk||F≤ε，若满足，终止迭代，输出恢复矩阵若不满足，执行步骤(8)；
(8)判断是否满足||PΩ(Xk+1)-B||F/|B||F≤ε，若满足，终止迭代，输出恢复矩阵若不满足，执行步骤(2)；
(9)更新步长δ，δ＝10.δ，重新设置迭代次数k，k＝0，返回步骤(1)。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN112036000A (zh) * 2020-06-18 2020-12-04 南开大学 一种基于矩阵填充的环境温湿度多时隙数据采集方法
CN112598130A (zh) * 2020-12-09 2021-04-02 华东交通大学 基于自编码器和奇异值阈值的土壤湿度数据重构方法和计算机可读存储介质

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CN112598130B (zh) * 2020-12-09 2024-04-09 华东交通大学 基于自编码器和奇异值阈值的土壤湿度数据重构方法和计算机可读存储介质

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