CN117332200B - 一种基于最大pod系数的物理场重构和预测方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供了一种基于最大POD系数的物理场重构和预测方法，利用传统的恰当正交分解方法对表征物理场的高维实验数据集或计算所得数据集进行正交分解，获得与原始数据空间距离最小的子空间，这个子空间由一系列POD正交基展开获得，每个正交基对应了不同的系统模态。在对某一个原始数据中的某个体进行重构，或对某个并不包含在原始数据集中的个体数据进行预测时，选择与重构或预测数据对应的前几个数值最大的系数所对应的模态，可以实现对个体数据的高精度重构或预测。本发明基于上述方法能够对不同领域的不同物理参数场进行高精度地重构或预测，在航空航天、机械和自动化领域等工业领域具有广泛的应用空间。本发明的方法有效且简单。

Description

一种基于最大POD系数的物理场重构和预测方法
技术领域
本发明涉及航空、航天，机械、自动化等工程领域，具体涉及一种高精度物理场重构和预测的方法。
背景技术
对物理场的快速、高精度的重构和预测方法在工程技术领域中受到广泛重视。适当正交分解(Proper Orthogonal Decomposition,POD)方法常常作为对物理场降维重构和预测的技术手段，该方法在利用适当正交分解获得子空间的基函数后，基于总体误差最小的原则，选择对应POD特征值最大的基函数，可以快速对原始数据空间进行降维重构，此时的总体重构精度最高。但是，在工程上，往往某一个体数据才是技术人员所关注和需要的，对该个体数据的高精度重构和预测方法的重要性远远大于对全部原始数据重构和预测的精度，因此需要建立能够提高对个体数据重构和预测精度的方法。
发明内容
本发明的目的是提供一种在工程各领域中对物理场进行高效重构和预测的方法，本发明的方法对用最大POD系数代替最大POD特征值，使得针对个体数据的重构和预测具有更高的精度。
本发明基于POD技术，给出了一种可以提高对个体数据重构和预测精度的方法，在对POD基函数进行选择时，基于最大的POD系数原则，选择对应的POD基函数，即对不同个体数据进行重构和预测时，POD基函数的选择也是不同的，这样可以大大提高对个体数据重构时的精度。而对并不包含在原始数据集合中的个体数据的预测，则采用拉格朗日插值方法获得POD系数，并根据POD系数绝对值的大小选择POD基函数，从而完成对个体数据的预测，同样可以大大提高预测精度。
本发明通过以下技术手段实现上述技术目的：
一种基于最大POD系数的物理场重构和预测方法，该方法包括以下步骤：
(1)利用试验或计算的方法，获得在N个不同条件或状态下某物理量U在物理空间Ω的离散分布，即{Ui(Xl):1≤i≤N,1≤l≤LXl∈Ω}；
(2)进行数据Ui(X)的预处理，获得多维原始数据集其中为所有条件或状态下物理量Ui(X)的算术平均值；
(3)建立数据集Vi(X)的相关矩阵C(i,j)＝(Vi,Vj)/L(i,j＝1,…,N)；
(4)计算相关矩阵C的特征值(λk,k＝1,…,N)和特征向量(Bk(X),k＝1,…,N)，使得CB＝λB；k表示系统的阶数；
(5)计算POD基函数Φk＝V·Bk；
(6)计算POD系数矩阵A＝VTΦ；
(7)利用前k个绝对值最大的POD系数，实现数据集中某一数据Vi(X)进行重构：
(8)若对某一并不包含于原始数据集中的数据Vi’(X)(i≤i’≤i+1)进行预测时，利用拉格朗日插值计算计算再利用/>对数据进行预测。
步骤(1)中所述的U可以是表征运动、力、热、磁、质量等任何物理属性的量，可以是标量或矢量。Ui(X)为某物理量的物理空间Ω上分布，此处的分布表示离散分布，即在物理空间Ω上，仅有有限个位置{Xl:1≤l≤L,Xl∈Ω}处的Ui通过试验或计算是已知的。
步骤(2)中所述的算术平均值
步骤(3)中所述的运算符(,)表示两个向量的卷积，相关矩阵中的任意元素
步骤(5)中所述的基函数Φk(X)构成了与原始函数空间Vi(X)距离最近的子空间。
步骤(6)中所述的POD系数矩阵A阶数为I×I，其任意元素A(i,k)表示原始Vi(X)的第k阶系数，与之对应的POD基函数为Φk(X)。
步骤(7)中所述的利用前k个绝对值最大的POD系数，是指当在选择POD基函数对Vi(X)重构时，选择对应的POD系数绝对值最大的前k个。
步骤(8)中所述的计算拉格朗日插值，利用已知的POD系数来计算未包含在原始数据集中数据对应的POD系数：
其中参数β表征了步骤(1)所述的不同条件或状态，比如如果原始数据为不同飞行攻角条件下某翼型表面的压力分布，则参数βi表示已知的原始数据的各飞行攻角，而要预测的是飞行攻角为β条件下的翼型表面压力分布。
本发明的有益效果为：
本发明对原始数据集进行传统适当正交分解方法的基础上，通过基于最大POD系数的原则来选择POD基函数，在对某个体数据进行降维重构时，重构精度远远大于传统基于最大POD特征值的基函数选择方法，有效实现了对个体数据的高精度重构。利用拉格朗日插值计算POD系数，然后再基于最大POD系数的基函数选择方法，可以获得更高精度的某个体数据的预测，有效实现对未知个体数据的高精度预测。
附图说明
附图用来提供对本发明技术方案的进一步理解，并且构成说明书的一部分，与本申请的实施例一起用于解释本发明的技术方案，并不构成对本发明技术方案的限制。
图1是基于最大POD系数的物理场重构和预测方法的流程示意图。
具体实施方式
现结合具体实施方式对本发明进一步说明，但本发明的保护范围并不限于此。
对于本领域技术人员应当理解的是，物理场指的是某一个或几个物理量在某一个具有固定边界的空间范围内的分布，而这种通过试验或计算获得的物理量的分布是空间上离散形式的分布。而决定物理量分布的条件或状态表示那些决定物理量分布的物理参数。
一种基于最大POD系数的物理场重构和预测方法，如图1所示，具体包括以下步骤：
(1)利用试验或计算的方法，获得在N个不同条件或状态下某物理量U在物理空间Ω的离散分布，即{Ui(Xl):1≤i≤N,1≤l≤LXl∈Ω}。其中物理量U可以是表征运动、力、热、磁、质量等任何物理属性的量，可以是标量或矢量。Ui(X)为某物理量的物理空间Ω上分布，此处的分布表示离散分布，即在物理空间Ω上，仅有有限个位置{Xl:1≤l≤L,Xl∈Ω}处的Ui通过试验或计算是已知的；
(2)进行数据Ui(X)的预处理，获得多维原始数据集其中为所有条件或状态下物理量Ui(X)的算术平均值，其值为/>
(3)建立数据集Vi(X)的相关矩阵C(i,j)＝(Vi，Vj)/L(i,j＝1,…,N)，运算符(,)表示两个向量的卷积，相关矩阵中的任意元素
(4)计算相关矩阵C的特征值(λk,k＝1,…,N)和特征向量(Bk(X),k＝1,…,N)，使得CB＝λB，k表示系统的阶数；
(5)计算POD基函数Φk＝V·Bk，基函数Φk(X)构成了与原始函数空间Vi(X)距离最近的子空间；
(6)计算POD系数矩阵A＝VTΦ，POD系数矩阵A的阶数为I×I，其任意元素A(i,k)表示原始Vi(X)的第k阶系数，与之对应的POD基函数为Φk(X)；
(7)在选择POD基函数对Vi(X)重构时，利用前k个绝对值最大的POD系数所对应的POD基函数，实现数据集中某一个体数据Vi(X)的重构：
(8)若对某一并不包含于原始数据集中的数据Vi’(X)(i≤i’≤i+1)进行预测时，利用拉格朗日插值计算计算
再利用对数据进行预测。其中参数β表征了步骤(1)所述的不同条件或状态，比如如果原始数据为不同飞行攻角条件下某翼型表面的压力分布，则参数βi表示已知的原始数据的各飞行攻角，而要预测的是飞行攻角为β条件下的翼型表面压力分布。
虽然本发明所揭露的实施方式如上，但的内容仅为便于理解本发明而采用的实施方式，并非用以限定本发明。任何本发明所属领域内的技术人员，在不脱离本发明所揭露的精神和范围的前提下，可以在实施方式及细节上进行任何的修改与变化，这些修改与变化均属于本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种基于最大POD系数的物理场重构和预测方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
(1)利用试验或计算的方法，获得在N个不同条件或状态下物理量U在物理空间Ω的离散分布，即{Ui(Xl):1≤i≤N,1≤l≤LXl∈Ω}；
所述的U，是表征运动、力、热、磁、质量的任何物理属性的量，是标量或矢量；Ui(X)为某物理量的物理空间Ω上分布，此处的分布表示离散分布，即在物理空间Ω上，仅有有限个位置{Xl:1≤l≤L,Xl∈Ω}处的Ui通过试验或计算是已知的；
(2)进行数据Ui(X)的预处理，获得多维原始数据集其中/>为所有条件或状态下物理量Ui(X)的算术平均值；
(3)建立数据集Vi(X)的相关矩阵C(i,j)＝(Vi,Vj)/L(i,j＝1,…,N)；
(4)计算相关矩阵C的特征值λk,k＝1,…,N和特征向量Bk(X),k＝1,…,N，使得CB＝λB；k为特征值或特征向量的序号；
(5)计算POD基函数Φk＝V·Bk；
(6)计算POD系数矩阵A＝VTΦ；
(7)利用前k个绝对值最大的POD系数，实现数据集中数据Vi(X)进行重构：
所述的利用前k个绝对值最大的POD系数，是指当在选择POD基函数对Vi(X)重构时，选择对应的POD系数绝对值最大的前k个；
(8)若对一并不包含于原始数据集中的数据Vi’(X)(i≤i’≤i+1)进行预测时，利用拉格朗日插值计算再利用/>对数据进行预测。
2.根据权利要求1所述的一种基于最大POD系数的物理场重构和预测方法，其特征在于，步骤(2)中所述的算术平均值
3.根据权利要求1所述的一种基于最大POD系数的物理场重构和预测方法，其特征在于，步骤(3)中所述的运算符(,)表示两个向量的卷积，相关矩阵中的任意元素
4.根据权利要求1所述的一种基于最大POD系数的物理场重构和预测方法，其特征在于，步骤(5)中所述的基函数Φk(X)构成了与原始函数空间Vi(X)距离最近的子空间。
5.根据权利要求1所述的一种基于最大POD系数的物理场重构和预测方法，其特征在于，步骤(6)中所述的POD系数矩阵A阶数为I×I，其任意元素A(i,k)表示原始Vi(X)的第k阶系数，与之对应的POD基函数为Φk(X)。
6.根据权利要求1所述的一种基于最大POD系数的物理场重构和预测方法，其特征在于，步骤(8)中所述的利用拉格朗日插值计算，利用已知的POD系数来计算未包含在原始数据集中数据对应的POD系数：
其中参数β表征了步骤(1)所述的不同条件或状态，如果原始数据为不同飞行攻角条件下某翼型表面的压力分布，则参数βi表示已知的原始数据的各飞行攻角，要预测的是飞行攻角为β条件下的翼型表面压力分布。
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