CN109038592B - 一种采样方法及应用该采样方法的概率潮流计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及电力系统的概率潮流计算方法，特别是涉及一种采样方法及应用该采样方法的概率潮流计算方法。其基于奇异值分解和均匀设计采样，进行可考虑输入随机变量相关系数矩阵非正定的蒙特卡洛概率潮流计算。该方法实现简单、适应面广、计算高效、稳健性好、精度高、可准确灵活处理输入变量间的相关性，能较好地适应未来电力系统随机波动性强的特点，具有较好的工程应用前景。

Description

一种采样方法及应用该采样方法的概率潮流计算方法

技术领域

本发明涉及电力系统的概率潮流计算方法，特别是涉及一种采样方法及应用该采样方法的概率潮流计算方法。

背景技术

电力系统中概率潮流计算方法有多种。其中，蒙特卡洛模拟法(Monte CarloSimulation Method，MCSM)以概率论和数理统计为基础，基于大数定律理论，将电力系统中的随机量转化为若干确定量来处理，精度确极高，且几乎不受系统规模及复杂程度的影响，是获得输出变量概率分布的有效分析方法，受到广泛的关注。

目前已有的实现方案有：1、基于拉丁超立方采样(Latin Hypercube Sampling，LHS)的MCSM；2、基于简单随机抽样技术和Nataf变换理论提出的考虑相关性的MCSM；3、基于LHS和Nataf变换理论的考虑相关性的MCSM；4、基于Spearman秩相关系数并结合遗传算法的MCSM；5、基于进化算法和改进LHS的MCSM；6、基于SVD和Nafaf变换的准蒙特卡洛模拟法(Quasi Monte Carlo Simulation Method，QMCSM)；7、SVD控制变量相关性结合Nataf变换的扩展准蒙特卡洛模拟法(Extended Quasi Monte Carlo Simulation Method，EQMCSM)等。

其中，方案1只考虑了输入随机变量相互独立的情形；

方案2虽然考虑了输入随机变量的相关性，但该方法所需输入随机变量样本巨大，计算效率低；

方案3虽比方案2有更高的计算效率，但所采用的LHS采样技术存在采样数必须事先确定且固定的缺陷，且存在不能处理输入变量相关系数矩阵非正定的情形；

方案4和方案5虽能处理输入变量相关系数矩阵非正定的情形，但其基于进化算法的MCSM不仅编程困难，且算法的遗传、交叉、变异等均会影响算法的寻优能力及性能。

方案6和方案7虽能灵活处理输入变量相关系数矩阵非正定的情形，但其采用伪随机数列实现多维输入变量的样本采样，此采样方法虽比LHS具有更高的采样效率，但对多变量的高维度问题理论基础薄弱、计算效果差。

发明内容

在新能源电力系统的背景下，为有效处理输入随机变量相关系数矩阵非正定之情形，并进一步提高蒙特卡洛概率潮流计算方法的计算效率，提出一种基于奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)和均匀设计采样(Uniform Design Sampling，UDS)的可考虑输入随机变量相关系数矩阵非正定的蒙特卡洛概率潮流计算方法(SVD-UDS-MCSM)。该方法实现简单、适应面广、计算高效、稳健性好、精度高、可准确灵活处理输入变量间的相关性，能较好地适应未来电力系统随机波动性强的特点，具有较好的工程应用前景。

本发明的技术方案是；

一种采样方法，包括以下步骤；

S1：输入基础数据，包括输入随机变量的概率分布函数、相关系数矩阵ρX；

S2：由均匀设计采样技术产生相互独立的样本矩阵V_m×n＝[v₁,v₂,…,v_i,…,v_m]^T，其中v_i＝[v_i1,v_i2,…,v_in]，v_i服从[0,1]的均匀分布；

S3：通过式(9)将V_m×n转换为对应的独立正态分布样本矩阵Y_m×n＝[y₁,y₂,…,y_i,…,y_m]^T，其中y_i＝[y_i1,y_i2,…,y_in])

y_i＝Φ^-1(v_i)，i＝1，2，…，m (9)；

S4：根据式(10)对相关系数矩阵ρ_x的非对角元素ρ_xij修正得到矩阵ρ_Z的非对角元素ρ_zij；

S5：对ρ_z进行奇异值分解，并得到正态分布向量Z^*；

S6：将ρ_z中的样本代入式(11)，得到具有相关性的随机变量x_i的样本

其中，均匀设计采样技术是一种基于空间填充思想的随机抽样方法，该方法通过较少的样本数据即可反映随机变量总体的分布信息。与LHS相比，均匀设计的优势在于：①覆盖同样大小的样本空间采样规模更小；②更好的稳健性。这是因为LHS本质上是一种分层抽样技术，该抽样技术在样本空间中仍包含有不好的样本(如：采样点散布不均匀、分量间存在线性相关等)。均匀设计采样技术是LHS的一种重要改进，它通过对均匀设计进行模1随机平移及在向量空间内随机取点而得到。设d为维数，n为采样点数，则这种平移共有n^d个，而每组样本点个数为n，这样正好将全体n^d个生成向量空间中的全体点以同等机会抽到。因此，均匀设计采样是一种统计抽样。

进一步，步骤S2中由均匀设计采样技术产生相互独立的样本矩阵V_m×n的步骤如下；

S21：设m为随机变量的维数，n为样本数，N为自然数的某个无穷子集，且m和n∈N，选取均匀设计的生成向量(n：h₁，h₂，…，h_m)，满足h₁＝1，1<h_j<n且对任意i≠j都有h_i≠h_j；

S22：从多项分布

中随机抽取m个独立同分布样本η₁，η₂，…，η_m；

S23：设V_m×n＝(v₁,…,v_i,…,v_m)^T，v_i＝[v_i1,v_i2,…,v_in]，其中

式中：{·}为取小数运算，w_ij与η_i相互独立且w_ij为来自[-0.5,0.5]上均匀分布的随机数。

进一步，步骤S4中得到相关系数矩阵ρ_x和ρ_z的非对角元素ρ_xij和ρ_zij的过程为；

设m维输入随机变量X＝[x₁,…,x_i,…,x_m]^T的相关系数矩阵为ρ_X，随机变量x_i的累积分布函数及概率分布函数分别为F_i(x_i)和f_i(x_i)，则可通过式(5)所示等概率原则，生成相关系数矩阵为ρ_z的标准正态随机变量Z＝[z₁,…,z_i,…,z_m]^T；

式中，Φ(·)是标准正态变量的累积分布函数，Φ^-1(·)为其反函数，F_i(x_i)及Φ(z_i)均服从[0,1]上的均匀分布；

Nataf变换中，相关系数矩阵ρ_X和ρ_Z的非对角元素ρ_xij和ρ_zij满足式(6)：

式中：

为相关系数为ρ_zij的标准二元正态分布的概率分布函数；μ_i、μ_j、σ_i、σ_j分别为变量x_i、x_j的期望和标准差。

Nataf变换可在已知输入变量边缘分布函数的条件下实现从原始空间到独立标准正态空间的变换，具有精度高、计算简单等优点。

式(6)的计算十分复杂，因此常采用相应的经验公式，在已知ρ_Zij时快速求取ρ_Zij。对于从高斯分布到均匀分布的变换，ρ_Xij和ρ_Zij间有相应的经验公式为式(10)。

进一步，步骤S5中对ρ_z进行奇异值分解，并得到正态分布向量Z^*的过程为；

任意矩阵均存在奇异值分解，且计算量与Cholesky分解相当，采用奇异值来处理多维输入变量X＝[x₁，…，x_i，…，x_m]^T的相关性，克服Cholesky分解不能处理X的相关系数矩阵为非正定之不足；设A是秩为r的m×n阶实矩阵，A^TA的特征值为λ_i(λ₁≥λ₂≥…≥λ_r>λ_r+1＝…＝λ_n＝0)，则称

为A的奇异值；

奇异值分解指：对于任意矩阵A(m×n)，存在列正交矩阵U(m×n)和正交矩阵G(n×n)，使得：

A＝USG^T (2)

式中，S＝diag(α₁,α₂,…,α_n)，α_i为矩阵A^TA第i个特征值的非负平方根值，当矩阵A为对称矩阵时，有U＝G；

奇异值分解有定理：设Y为m维独立标准正态分布向量，矩阵L由向量Z的相关系数矩阵ρ_Z的奇异值分解生成：

式中，U_ρz为酉矩阵，S_ρz为ρ_z的奇异值构成的对角矩阵，且从大到小排列，则由式(4)定义的m维向量Z^*的相关系数矩阵ρ_z*等于ρ_z；

可见，通过奇异值分解可将Y转化为具有相关性的正态分布向量Z*，且ρ_z*＝ρ_z。此定理在相关性随机变量样本形成时有重要作用。

式(6)的计算十分复杂，因此常采用相应的经验公式，在已知ρ_Xij时快速求取ρ_Zij。ρ_z可能非正定或非满秩，此时其Cholesky分解不存在。通过奇异值分解ρ_z＝LL^T必能产生L，再由式(4)可产生Z^*，最后通过式(7)可将Z^*转换为独立的标准正态随机变量Y＝[y₁,…,y_i,…,y_m]^T。

Y＝L^-1Z^* (7)

上述由X到Y的变换过程即为Nataf变换，其逆过程可实现Y到X的变换：

该发明还包括应用上述采样方法的概率潮流计算方法，包括以下步骤；

X1：输入电力系统的结构参数、随机变量的蒙特卡洛模型信息及其相关系数矩阵，设定均匀设计的采样规模s；

X2：利用采样方法生成输入随机变量样本，其中，采样方法利用的是上述的采样方法；

X3：采用Newton-Raphson算法依次进行s次确定性潮流计算，得到节点电压、支路潮流等多组输出变量的计算值；

X4：统计得到输出变量的数字特征及概率统计特性。

本发明的有益效果是；本发明提出一种基于奇异值分解和均匀设计采样技术的蒙特卡洛概率潮流计算方法，该方法涉及多种数学分析方法(均匀设计采样方法、奇异值分解、Nataf变换、蒙特卡洛模拟法等)在电力系统概率潮流计算中的应用，实现简单、可处理输入变量间的相关性，能适应未来电力系统随机波动性强的特点，具有较好的工程应用前景。

附图说明

图1是采样方法的流程示意图。

图2是概率潮流计算方法的流程示意图。

具体实施方式

附图仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制；为了更好说明本实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对于本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。附图中描述位置关系仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制。

实施例1：

如图1所示，一种采样方法，包括以下步骤；

S1：输入基础数据，包括输入随机变量的概率分布函数、相关系数矩阵ρ_x；

S2：由均匀设计采样技术产生相互独立的样本矩阵V_m×n＝[v₁,v₂,…,v_i,…,v_m]^T，其中v_i＝[v_i1,v_i2,…,v_in]，其中v_i服从[0,1]的均匀分布；

S3：通过式(9)将V_m×n转换为对应的独立正态分布样本矩阵Y_m×n＝[y₁,y₂,…,y_i,…,y_m]^T，其中y_i＝[y_i1,y_i2,…,y_in]

y_i＝Φ^-1(v_i)，i＝1，2，…，m (9)；

S4：根据式(10)对相关系数矩阵ρ_x的非对角元素ρ_xij修正得到矩阵ρ_Z的非对角元素ρ_zij；

S5：对ρ_z进行奇异值分解，并得到正态分布向量Z^*；

S6：将ρ_z中的样本代入式(11)，得到具有相关性的随机变量x_i的样本

其中，均匀设计采样技术是一种基于空间填充思想的随机抽样方法，该方法通过较少的样本数据即可反映随机变量总体的分布信息。与LHS相比，均匀设计的优势在于：①覆盖同样大小的样本空间采样规模更小；②更好的稳健性。这是因为LHS本质上是一种分层抽样技术，该抽样技术在样本空间中仍包含有不好的样本(如：采样点散布不均匀、分量间存在线性相关等)。均匀设计采样技术是LHS的一种重要改进，它通过对均匀设计进行模1随机平移及在向量空间内随机取点而得到。设d为维数，n为采样点数，则这种平移共有n^d个，而每组样本点个数为n，这样正好将全体n^d个生成向量空间中的全体点以同等机会抽到。因此，均匀设计采样是一种统计抽样。

在本实施例中，步骤S2中由均匀设计采样技术产生相互独立的样本矩阵V_m×n的步骤如下；

S21：设m为随机变量的维数，n为样本数，N为自然数的某个无穷子集，且m和n∈N，选取均匀设计的生成向量(n：h₁，h₂，…，h_m)，满足h₁＝1，1<h_j<n且对任意i≠j都有h_i≠h_j；

S22：从多项分布

中随机抽取m个独立同分布样本η₁，η₂，…，η_m；

S23：设V_m×n＝(v₁,…,v_i,…,v_m)^T，v_i＝[v_i1,v_i2,…,v_in]，其中

式中：{·}为取小数运算，w_ij与η_i相互独立且w_ij为来自[-0.5,0.5]上均匀分布的随机数。

在本实施例中，步骤S4中得到相关系数矩阵ρ_x和ρ_z的非对角元素ρ_xij和ρ_zij的过程为；

设m维输入随机变量X＝[x₁,…,x_i,…,x_m]^T的相关系数矩阵为ρ_X，随机变量x_i的累积分布函数及概率分布函数分别为F_i(x_i)和f_i(x_i)，则可通过式(5)所示等概率原则，生成相关系数矩阵为ρ_z的标准正态随机变量Z＝[z₁,…,z_i,…,z_m]^T；

式中，Φ(·)是标准正态变量的累积分布函数，Φ^-1(·)为其反函数，F_i(x_i)及Φ(z_i)均服从[0,1]上的均匀分布；

Nataf变换中，相关系数矩阵ρ_X和ρ_Z的非对角元素ρ_xij和ρ_zij满足式(6)：

式中：

为相关系数为ρ_zij的标准二元正态分布的概率分布函数；μ_i、μ_j、σ_i、σ_j分别为变量x_i、x_j的期望和标准差。

式(6)的计算十分复杂，因此常采用相应的经验公式，在已知ρ_Xij时快速求取ρ_Zij。对于从高斯分布到均匀分布的变换，ρ_Xij和ρ_Zij间有相应的经验公式为式(10)。

Nataf变换可在已知输入变量边缘分布函数的条件下实现从原始空间到独立标准正态空间的变换，具有精度高、计算简单等优点。

在本实施例中，步骤S5中对ρ_z进行奇异值分解，并得到正态分布向量Z^*的过程为；

任意矩阵均存在奇异值分解，且计算量与Cholesky分解相当，采用奇异值来处理多维输入变量X＝[x₁，…，x_i，…，x_m]^T的相关性，克服Cholesky分解不能处理X的相关系数矩阵为非正定之不足；设A是秩为r的m×n阶实矩阵，A^TA的特征值为λ_i(λ₁≥λ₂≥…≥λ_r>λ_r+1＝…＝λ_n＝0)，则称

为A的奇异值；

奇异值分解指：对于任意矩阵A(m×n)，存在列正交矩阵U(m×n)和正交矩阵G(n×n)，使得：

A＝USG^T (2)

式中，S＝diag(α₁,α₂,…,α_n)，α_i为矩阵A^TA第i个特征值的非负平方根值，当矩阵A为对称矩阵时，有U＝G；

奇异值分解有定理：设Y为m维独立标准正态分布向量，矩阵L由向量Z的相关系数矩阵ρ_Z的奇异值分解生成：

式中，U_ρz为酉矩阵，S_ρz为ρ_z的奇异值构成的对角矩阵，且从大到小排列，则由式(4)定义的m维向量Z^*的相关系数矩阵ρ_z*等于ρ_z；

可见，通过奇异值分解可将Y转化为具有相关性的正态分布向量Z*，且ρ_z*＝ρ_z。此定理在相关性随机变量样本形成时有重要作用。

式(6)的计算十分复杂，因此常采用相应的经验公式，在已知ρ_Xij时快速求取

ρz可能非正定或非满秩，此时其Cholesky分解不存在。通过奇异值分解ρ_z＝LL^T必能产生L，再由式(4)可产生Z^*，最后通过式(7)可将Z^*转换为独立的标准正态随机变量Y＝[y₁,…,y_i,…,y_m]^T。

Y＝L^-1Z^* (7)

上述由X到Y的变换过程即为Nataf变换，其逆过程可实现Y到X的变换：

如图2所示，该发明还包括应用上述采样方法的概率潮流计算方法，包括以下步骤；

X1：输入电力系统的结构参数、随机变量的蒙特卡洛模型信息及其相关系数矩阵，设定均匀设计的采样规模s；

X2：利用采样方法生成输入随机变量样本，其中，采样方法利用的是上述的采样方法；

X3：采用Newton-Raphson算法依次进行s次确定性潮流计算，得到节点电压、支路潮流等多组输出变量的计算值；

X4：统计得到输出变量的数字特征及概率统计特性。

显然，本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于奇异值分解和均匀设计的采样方法，其特征在于，包括以下步骤；

S1：输入基础数据，包括输入随机变量的概率分布函数、相关系数矩阵ρ_X；

S2：由均匀设计采样技术产生相互独立的样本矩阵V_m×n＝[v₁,v₂,…,v_i,…,v_m]^T，其中v_i＝[v_i1,v_i2,…,v_in]，v_i服从[0,1]的均匀分布；

S3：通过式(9)将V_m×n转换为对应的独立正态分布样本矩阵Y_m×n＝[y₁,y₂,…,y_i,…,y_m]^T，其中y_i＝[y_i1,y_i2,…,y_in]

y_i＝Φ^-1(v_i)，i＝1，2，…，m (9)；

S4：根据式(10)对相关系数矩阵ρ_X的非对角元素ρ_xij修正得到矩阵ρ_Z的非对角元素ρ_zij；

S5：对ρ_Z进行奇异值分解，并得到正态分布向量Z^*；

S6：将Z^*中的样本代入式(11)，得到具有相关性的随机变量x_i的样本

2.根据权利要求1所述的一种基于奇异值分解和均匀设计的采样方法，其特征在于，步骤S2中由均匀设计采样技术产生相互独立的样本矩阵V_m×n的步骤如下；

S21：设m为随机变量的维数，n为样本数，N为自然数的某个无穷子集，且m和n∈N，选取均匀设计的生成向量(n：h₁，h₂，…，h_m)，满足h₁＝1，1<h_j<n且对任意i≠j都有h_i≠h_j；

S22：从多项分布

中随机抽取m个独立同分布样本η₁，η2，…，η_m；

S23：设V_m×n＝(v₁,…,v_i,…,v_m)^T，v_i＝[v_i1,v_i2,…,v_in]，其中

式中：{·}为取小数运算，w_ij与η_i相互独立且w_ij为来自[-0.5,0.5]上均匀分布的随机数。

3.根据权利要求1所述的一种基于奇异值分解和均匀设计的采样方法，其特征在于，步骤S4中得到相关系数矩阵ρ_X和ρ_Z的非对角元素ρ_xij和ρ_zij的过程为；

设m维输入随机变量X＝[x₁,…,x_i,…,x_m]^T的相关系数矩阵为ρ_X，随机变量x_i的累积分布函数及概率分布函数分别为F_i(x_i)和f_i(x_i)，则通过式(5)所示等概率原则，生成相关系数矩阵为ρ_z的标准正态随机变量Z＝[z₁,…,z_i,…,z_m]^T；

式中，Φ(·)是标准正态变量的累积分布函数，Φ^-1(·)为其反函数，F_i(x_i)及Φ(z_i)均服从[0,1]上的均匀分布；

Nataf变换中，相关系数矩阵ρ_X和ρ_Z的非对角元素ρ_xij和ρ_zij满足式(6)：

式中：

为相关系数为ρ_zij的标准二元正态分布的概率分布函数；μ_i、μ_j、σ_i、σ_j分别为变量x_i、x_j的期望和标准差。

4.根据权利要求1所述的一种基于奇异值分解和均匀设计的采样方法，其特征在于，步骤S5中对ρ_Z进行奇异值分解，并得到正态分布向量Z^*的过程为；

奇异值分解指：对于任意矩阵A(m×n)，存在列正交矩阵U(m×n)和正交矩阵G(n×n)，使得：

A＝USG^T (2)

式中，S＝diag(α₁,α₂,…,α_n)，α_i为矩阵A^TA第i个特征值的非负平方根值，当矩阵A为对称矩阵时，有U＝G；

奇异值分解有定理：设Y为m维独立标准正态分布向量，矩阵L由向量Z的相关系数矩阵ρ_Z的奇异值分解生成：

式中，U_ρz为酉矩阵，S_ρz为ρ_z的奇异值构成的对角矩阵，且从大到小排列，则由式(4)定义的m维向量Z^*的相关系数矩阵

等于ρ_z；

通过奇异值分解将Y转化为具有相关性的正态分布向量Z*，且

5.一种概率潮流计算方法，其特征在于，包括以下步骤；

X1：输入电力系统的结构参数、随机变量的蒙特卡洛模型信息及其相关系数矩阵，设定均匀设计的采样规模s；

X2：利用采样方法生成输入随机变量样本，其中，采样方法利用的是权利要求1所述的采样方法；

X3：采用Newton-Raphson算法依次进行s次确定性潮流计算，得到多组输出变量的计算值；

X4：统计得到输出变量的数字特征及概率统计特性。

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