CN111881591A - 基于svd的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法 - Google Patents

基于svd的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法 Download PDF

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CN111881591A CN202010759015.1A CN202010759015A CN111881591A CN 111881591 A CN111881591 A CN 111881591A CN 202010759015 A CN202010759015 A CN 202010759015A CN 111881591 A CN111881591 A CN 111881591A
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Abstract

本发明公开了基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，通过第一次排序消除LHS抽样获得的随机样本矩阵X的相关性，然后对获得的独立随机样本矩阵通过Nataf变换后进行第二次排序，生成具有预期相关性的随机样本矩阵。本发明基于SVD和LHS以及Nataf变换，提出了基于SVD的两次排序抽样方法模拟大规模相关性随机变量，SVD分解扩展了大规模相关性随机变量模拟方法的应用范围，即便相关系数矩阵为非正定的情况也能保证方法有效工作；两次排序方法保证了模拟的随机变量之间具有预期的相关性特性；Nataf变换实现了非线性相关系数矩阵变换。

Description

基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法
技术领域
本发明涉及电力技术领域，具体为基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法。
背景技术
随着电力系统中可再生能源的不断接入，越来越多的以风力发电、光伏发电和负荷波动为代表的随机变量及其相关性特性对电力系统的影响日益凸显，使得对电力系统的分析、运行和控制也变得越来越复杂。如何模拟这些快速增加的随机因素，并在此基础上开展电力系统分析、运行和控制，是迫切需要解决的重要问题。
目前无论是在科学研究中还是在工程实践中，有许多数学工具可以用于模拟随机变量，但是这些工具通常认为随机变量是独立的，从而忽略了可再生能源发电和负荷等随机变量之间的相关性特性及其对电力系统的影响。本发明通过深入研究随机变量采样技术，发现了模拟大规模相关性随机变量将面临两个重要关键问题：(1)如何生成具有特定分布和特定相关性关系的随机样本；(2)大规模相关性随机变量之间的相关性特性复杂，其相关系数矩阵通常是非正定的，如何保证随机样本生成方法在此情况下的有效性。
基于此，本发明设计了基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，以解决上述提到的问题。
发明内容
本发明的目的在于提供基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，以解决上述背景技术中提出的问题。
为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，通过第一次排序消除LHS抽样获得的随机样本矩阵X的相关性，然后对获得的独立随机样本矩阵通过Nataf变换后进行第二次排序，生成具有预期相关性的随机样本矩阵。
优选的，所述通过第一次排序消除LHS抽样获得的随机样本矩阵X的相关性包括以下步骤：
通过LHS抽样得到随机样本矩阵X后，计算其相关系数矩阵RX，由于相关系数矩阵RX是对称的，该相关系数矩阵的奇异值分解如下：
Figure BDA0002612533520000021
上式中，Q是一个下三角矩阵，D是一个实对角矩阵，D的对角线元素是RX的奇异值；
构造一个有n×k个元素的矩阵Y，如下：
Figure BDA0002612533520000022
由于X是标准正态分布，所以yi的均值为0，其中i＝1，2，...，n，所以Y的相关系数矩阵RY等于Y对应的协方差矩阵，且为单位阵，证明如下：
Figure BDA0002612533520000023
因此，矩阵Y是独立的。
优选的，所述通过LHS抽样得到随机样本矩阵X包括以下步骤：
为获得n个随机变量的k个样本，采用LHS抽样方法生成随机样本如下式所示：
Figure BDA0002612533520000031
上式中，行向量(xi1,…,xik)是标准正态随机变量的抽样样本；(θi1,…,θik)是(1，…，k)的随机排列；μij是均匀随机变量的一个样本，
LHS抽样获得的随机样本矩阵为具有如下式所示形式的n×k维矩阵，
Figure BDA0002612533520000032
优选的，所述Nataf变换包括以下步骤：
设包括但不仅限于风力发电、光伏发电和负荷的n个随机变量的样本矩阵为Z＝[Z1,…,Zn]′，它们之间的相关性用下式所示的相关系数矩阵R进行量化：
Figure BDA0002612533520000033
其中rij是随机样本Zi和Zj之间的Person相关系数，相关系数矩阵R是对称的，当以n个随机变量波动为代表的随机变量的边缘分布F＝[F1,…,Fn]′给定时，标准正态分布的随机变量样本Si如下式所示：
Si＝Φ-1(Fi(Zi)) i＝1,…,n (1-7)；
标准正态分布随机变量样本矩阵为S＝[S1,…,Sn]′，该随机样本的中间相关系数矩阵R*如下式所示：
Figure BDA0002612533520000034
则相关系数矩阵R中每个非对角相关系数rij和相应的中间相关系数矩阵R*中的非对角相关系数
Figure BDA0002612533520000041
之间的关系如下式所示：
Figure BDA0002612533520000042
由上式可知，每个相关系数
Figure BDA0002612533520000043
仅取决于rij的值，且可采用数值积分法求解该方程得到
Figure BDA0002612533520000044
优选的，根据获得的标准正态分布的随机变量样本矩阵S，且S具有中间相关系数矩阵特性R*，则n个随机变量的实际样本矩阵Z可以通过式Zi＝Fi -1(Φ(Si))计算得到，且样本矩阵Z的相关性特性与预期的相关系数矩阵R一致。
优选的，所述第二次排序包括以下步骤：
根据式(1-9)，当预期的相关系数矩阵R给定时，可以求出中间相关系数矩阵R*，由于R*是对称的，R*的奇异值分解如下所示：
Figure BDA0002612533520000045
其中P是一个下三角矩阵，E是一个实对角矩阵，E的对角线元素是R*的奇异值，
构造一个有n×k个元素的矩阵Z*如下：
Figure BDA0002612533520000046
由于X是标准正态分布，所以
Figure BDA0002612533520000047
的均值为0，其中i＝1，2，...，n，因此Z*的相关系数矩阵
Figure BDA0002612533520000048
等于Z*对应的协方差矩阵，且等于R*，证明如下：
Figure BDA0002612533520000051
因此，矩阵Z*的相关系数矩阵R*，当相关系数矩阵为正定时，对角矩阵D和E为单位矩阵I，则SVD为Cholesky分解。
优选的，根据矩阵Z*对X的每一行进行排序，得到随机样本矩阵S，得到的随机样本矩阵S的秩相关系数矩阵与矩阵Z*的秩相关系数矩阵是相同，所以随机样本矩阵S的相关系数矩阵近似等于R*，最后根据Zi＝Fi -1(Φ(Si))计算得到的随机样本矩阵Z的相关系数矩阵近似等于R。
优选的，还包括通过下式(1-13)相关矩阵的均方误差指数来衡量样本的统计精度，
Figure BDA0002612533520000052
其中rij是期望相关矩阵的i行和j列元素，
Figure BDA0002612533520000053
是样本相关矩阵的i行和j列元素，n是随机变量的总数。
优选的，还包括通过下式(1-14)和(1-15)采用多次试验的误差指标来评价该方法的稳定性，
Figure BDA0002612533520000054
Figure BDA0002612533520000055
式中，m为测试总次数，
Figure BDA0002612533520000056
为m次测试的平均误差均值，
Figure BDA0002612533520000057
为m次测试的平均误差标准差。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
本发明基于SVD和LHS以及Nataf变换，提出了基于SVD的两次排序抽样方法模拟大规模相关性随机变量，SVD分解扩展了大规模相关性随机变量模拟方法的应用范围，即便相关系数矩阵为非正定的情况也能保证方法有效工作；两次排序方法保证了模拟的随机变量之间具有预期的相关性特性；Nataf变换实现了非线性相关系数矩阵变换。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例描述所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明相关系数矩阵正定情况下，相关系数矩阵的100次测试的误差指图；
图2为本发明相关系数矩阵非正定情况下，相关系数矩阵的100次测试的误差指图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。
实施例1
Nataf变换包括以下步骤：
设包括但不仅限于风力发电、光伏发电和负荷的n个随机变量的样本矩阵为Z＝[Z1,…,Zn]′，它们之间的相关性用下式所示的相关系数矩阵R进行量化：
Figure BDA0002612533520000061
其中rij是随机样本Zi和Zj之间的Person相关系数，相关系数矩阵R是对称的，当以n个随机变量波动为代表的随机变量的边缘分布F＝[F1,…,Fn]′给定时，标准正态分布的随机变量样本Si如下式所示：
Si＝Φ-1(Fi(Zi)) i＝1,…,n (1-7)；
标准正态分布随机变量样本矩阵为S＝[S1,…,Sn]′，该随机样本的中间相关系数矩阵R*如下式所示：
Figure BDA0002612533520000071
则相关系数矩阵R中每个非对角相关系数rij和相应的中间相关系数矩阵R*中的非对角相关系数
Figure BDA0002612533520000072
之间的关系如下式所示：
Figure BDA0002612533520000073
由上式可知，每个相关系数
Figure BDA0002612533520000074
仅取决于rij的值，且可采用数值积分法求解该方程得到
Figure BDA0002612533520000075
根据获得的标准正态分布的随机变量样本矩阵S，且S具有中间相关系数矩阵特性R*，则n个随机变量的实际样本矩阵Z可以通过式Zi＝Fi -1(Φ(Si))计算得到，且样本矩阵Z的相关性特性与预期的相关系数矩阵R一致。
通过LHS抽样得到随机样本矩阵X包括以下步骤：
LHS是一种分层抽样方法。由于在同样的抽样数量下，LHS比简单随机抽样(SimpleRandom Sampling，SRS)覆盖随机变量的更大的抽样空间，因此LHS具有更强的鲁棒性。为了更加高效地获得n个随机变量的k个样本，采用LHS抽样方法生成随机样本如下式所示：
Figure BDA0002612533520000081
上式中，行向量(xi1,…,xik)是标准正态随机变量的抽样样本；(θi1,…,θik)是(1，…，k)的随机排列；μij是均匀随机变量的一个样本，
LHS抽样获得的随机样本矩阵为具有如下式所示形式的n×k维矩阵，
Figure BDA0002612533520000082
为了使得LHS抽样获得的样本矩阵具有预期的相关系数矩阵，通常采用基于Cholesky分解的排序方法。然而，在进行这一处理的过程中，通常都采用了了两个默认的前提条件。第一个默认的前提条件是采用随机排列的LHS抽样获得的随机样本矩阵X是独立的；第二个前提条件是认为相关系数矩阵是正定的。但是事实上，采用随机排列的LHS抽样获得的随机样本矩阵X的独立性假设总是不成立的，同时，很多情况下相关系数矩阵也是难以保证是正定的，特别是对于大规模相关性随机变量来说，这两个条件很难满足。
为此，本发明提供一种技术方案：基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，通过第一次排序消除LHS抽样获得的随机样本矩阵X的相关性，然后对获得的独立随机样本矩阵通过Nataf变换后进行第二次排序，生成具有预期相关性的随机样本矩阵。具体步骤如下：
通过LHS抽样得到随机样本矩阵X后，计算其相关系数矩阵RX，一般情况下，相关系数矩阵RX是非正定的，非满秩的，但是相关系数矩阵RX是对称的，该相关系数矩阵的奇异值分解如下：
Figure BDA0002612533520000091
上式中，Q是一个下三角矩阵，D是一个实对角矩阵，D的对角线元素是RX的奇异值；
构造一个有n×k个元素的矩阵Y，如下：
Figure BDA0002612533520000092
由于X是标准正态分布，所以yi的均值为0，其中i＝1，2，...，n，所以Y的相关系数矩阵RY等于Y对应的协方差矩阵，且为单位阵，证明如下：
Figure BDA0002612533520000093
因此，矩阵Y是独立的。
此外，根据式(1-9)，当预期的相关系数矩阵R给定时，可以求出中间相关系数矩阵R*，由于R*是对称的，R*的奇异值分解如下所示：
Figure BDA0002612533520000094
其中P是一个下三角矩阵，E是一个实对角矩阵，E的对角线元素是R*的奇异值，
构造一个有n×k个元素的矩阵Z*如下：
Figure BDA0002612533520000095
由于X是标准正态分布，所以
Figure BDA0002612533520000096
的均值为0，其中i＝1，2，...，n，因此Z*的相关系数矩阵
Figure BDA0002612533520000101
等于Z*对应的协方差矩阵，且等于R*，证明如下：
Figure BDA0002612533520000102
因此，矩阵Z*的相关系数矩阵R*，当相关系数矩阵为正定时，对角矩阵D和E为单位矩阵I，则SVD为Cholesky分解。
根据矩阵Z*对X的每一行进行排序，得到随机样本矩阵S，得到的随机样本矩阵S的秩相关系数矩阵与矩阵Z*的秩相关系数矩阵是相同，所以随机样本矩阵S的相关系数矩阵近似等于R*，最后根据Zi＝Fi -1(Φ(Si))计算得到的随机样本矩阵Z的相关系数矩阵近似等于R。可以看出，经过第二次排序，获得了具有预期相关性的随机样本矩阵。
因此，利用基于奇异值分解(SVD)的二次排序方法，即使随机变量间的相关系数矩阵非正定，也可以得到具有预期相关性的样本集。随机样本矩阵Z中的每一列构成一组随机样本，作为电力系统的随机性特征分析、运行和控制研究的基础。
实施例2
通过下式(1-13)相关矩阵的均方误差指数来衡量样本的统计精度，
Figure BDA0002612533520000103
其中rij是期望相关矩阵的i行和j列元素，
Figure BDA0002612533520000104
是样本相关矩阵的i行和j列元素，n是随机变量的总数。
实施例3
还包括通过下式(1-14)和(1-15)采用多次试验的误差指标来评价该方法的稳定性，
Figure BDA0002612533520000111
Figure BDA0002612533520000112
式中，m为测试总次数，
Figure BDA0002612533520000113
为m次测试的平均误差均值，
Figure BDA0002612533520000114
为m次测试的平均误差标准差。
实施例4
本发明的一种应用实施例：
一、计算条件：
1、随机变量数量：15
2、随机变量分布函数：
变量1～变量11:正态分布，
Figure BDA0002612533520000115
变量12～变量13：Weibull分布，
Figure BDA0002612533520000116
变量14～变量15：Beta分布，
Figure BDA0002612533520000117
3、随机变量分布函数参数
Figure BDA0002612533520000118
Figure BDA0002612533520000121
4、计算结果：
4.1、相关系数矩阵正定情况：
随机变量间的相关系数矩阵如下表所示
Figure BDA0002612533520000122
Figure BDA0002612533520000131
采用本发明方法和现有文献【1】方法分别对进行抽样试验，样本数量从200到1500个，以50为间隔进行抽样，对每个样本数量进行100次重复试验，计算式(1-14)和式(1-15)相关矩阵的误差指标，结果如图1所示。
4.2、相关系数矩阵非正定情况
Figure BDA0002612533520000132
Figure BDA0002612533520000141
该相关矩阵非正定，在此情况下，基于Cholesky分解的排序方法失效，采用本发明方法进行抽样试验，样本数量从200到1500个，以50为间隔进行抽样，对每个样本数量进行100次重复试验，计算式(1-14)和式(1-15)相关矩阵的误差指标，结果如图2所示。
其中，文献[1]为Chen Y,Wen J,Cheng S.Probabilistic load flow methodbased on Nataf transformation and Latin hypercube sampling.IEEE Transactionson Sustainable Energy.2013；4(2):294-301。
在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“示例”、“具体示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。
以上公开的本发明优选实施例只是用于帮助阐述本发明。优选实施例并没有详尽叙述所有的细节，也不限制该发明仅为所述的具体实施方式。显然，根据本说明书的内容，可作很多的修改和变化。本说明书选取并具体描述这些实施例，是为了更好地解释本发明的原理和实际应用，从而使所属技术领域技术人员能很好地理解和利用本发明。本发明仅受权利要求书及其全部范围和等效物的限制。

Claims (9)

1.基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，其特征在于：通过第一次排序消除LHS抽样获得的随机样本矩阵X的相关性，然后对获得的独立随机样本矩阵通过Nataf变换后进行第二次排序，生成具有预期相关性的随机样本矩阵。
2.根据权利要求1所述的基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，其特征在于：所述通过第一次排序消除LHS抽样获得的随机样本矩阵X的相关性包括以下步骤：
通过LHS抽样得到随机样本矩阵X后，计算其相关系数矩阵RX，由于相关系数矩阵RX是对称的，该相关系数矩阵的奇异值分解如下：
Figure FDA0002612533510000011
上式中，Q是一个下三角矩阵，D是一个实对角矩阵，D的对角线元素是RX的奇异值；
构造一个有n×k个元素的矩阵Y，如下：
Figure FDA0002612533510000012
由于X是标准正态分布，所以yi的均值为0，其中i＝1，2，...，n，所以Y的相关系数矩阵RY等于Y对应的协方差矩阵，且为单位阵，证明如下：
Figure FDA0002612533510000013
因此，矩阵Y是独立的。
3.根据权利要求2所述的基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，其特征在于：所述通过LHS抽样得到随机样本矩阵X包括以下步骤：
为获得n个随机变量的k个样本，采用LHS抽样方法生成随机样本如下式所示：
Figure FDA0002612533510000021
上式中，行向量(xi1,…,xik)是标准正态随机变量的抽样样本；(θi1,…,θik)是(1，…，k)的随机排列；μij是均匀随机变量的一个样本，
LHS抽样获得的随机样本矩阵为具有如下式所示形式的n×k维矩阵，
Figure FDA0002612533510000022
4.根据权利要求1所述的基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，其特征在于：所述Nataf变换包括以下步骤：
设包括但不仅限于风力发电、光伏发电和负荷的n个随机变量的样本矩阵为Z＝[Z1,…,Zn]′，它们之间的相关性用下式所示的相关系数矩阵R进行量化：
Figure FDA0002612533510000023
其中rij是随机样本Zi和Zj之间的Person相关系数，相关系数矩阵R是对称的，当以n个随机变量波动为代表的随机变量的边缘分布F＝[F1,…,Fn]′给定时，标准正态分布的随机变量样本Si如下式所示：
Si＝Φ-1(Fi(Zi))i＝1,…,n (1-7)；
标准正态分布随机变量样本矩阵为S＝[S1,…,Sn]′，该随机样本的中间相关系数矩阵R*如下式所示：
Figure FDA0002612533510000031
则相关系数矩阵R中每个非对角相关系数rij和相应的中间相关系数矩阵R*中的非对角相关系数
Figure FDA0002612533510000032
之间的关系如下式所示：
Figure FDA0002612533510000033
由上式可知，每个相关系数
Figure FDA0002612533510000034
仅取决于rij的值，且可采用数值积分法求解该方程得到
Figure FDA0002612533510000035
5.根据权利要求4所述的基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，其特征在于：根据获得的标准正态分布的随机变量样本矩阵S，且S具有中间相关系数矩阵特性R*，则n个随机变量的实际样本矩阵Z可以通过式Zi＝Fi -1(Φ(Si))计算得到，且样本矩阵Z的相关性特性与预期的相关系数矩阵R一致。
6.根据权利要求1-5任一所述的基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，其特征在于：所述第二次排序包括以下步骤：
根据式(1-9)，当预期的相关系数矩阵R给定时，可以求出中间相关系数矩阵R*，由于R*是对称的，R*的奇异值分解如下所示：
Figure FDA0002612533510000036
其中P是一个下三角矩阵，E是一个实对角矩阵，E的对角线元素是R*的奇异值，
构造一个有n×k个元素的矩阵Z*如下：
Figure FDA0002612533510000041
由于X是标准正态分布，所以
Figure FDA0002612533510000042
的均值为0，其中i＝1，2，...，n，因此Z*的相关系数矩阵
Figure FDA0002612533510000043
等于Z*对应的协方差矩阵，且等于R*，证明如下：
Figure FDA0002612533510000044
因此，矩阵Z*的相关系数矩阵R*，当相关系数矩阵为正定时，对角矩阵D和E为单位矩阵I，则SVD为Cholesky分解。
7.根据权利要求6所述的基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，其特征在于：根据矩阵Z*对X的每一行进行排序，得到随机样本矩阵S，得到的随机样本矩阵S的秩相关系数矩阵与矩阵Z*的秩相关系数矩阵是相同，所以随机样本矩阵S的相关系数矩阵近似等于R*，最后根据Zi＝Fi -1(Φ(Si))计算得到的随机样本矩阵Z的相关系数矩阵近似等于R。
8.根据权利要求1-7任一所述的基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，其特征在于：还包括通过下式(1-13)相关矩阵的均方误差指数来衡量样本的统计精度，
Figure FDA0002612533510000045
其中rij是期望相关矩阵的i行和j列元素，
Figure FDA0002612533510000046
是样本相关矩阵的i行和j列元素，n是随机变量的总数。
9.根据权利要求1-7任一所述的基于SVD的大规模相关性随机变量两次排序抽样方法，其特征在于：还包括通过下式(1-14)和(1-15)采用多次试验的误差指标来评价该方法的稳定性，
Figure FDA0002612533510000051
Figure FDA0002612533510000052
式中，m为测试总次数，
Figure FDA0002612533510000053
为m次测试的平均误差均值，
Figure FDA0002612533510000054
为m次测试的平均误差标准差。
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