CN109038591A - 一种半不变量法概率潮流计算方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及电力系统概率潮流计算，特别是涉及一种半不变量法概率潮流计算方法，首先通过基于Halton序列和SVD分解结合Nataf变换的随机抽样方法产生输入随机变量的离散样本数据，再利用半不变量与原点矩的关系求得随机变量的各阶半不变量并在基准点进行一次确定性潮流计算，然后求得输出随机变量的各阶半不变量，最后求得各输出随机变量的数字特征及概率统计信息。本发明涉及多种数学分析方法，可在随机性较强电力系统中为电网工作人员提供简单、高效、稳健性好的概率潮流分析方法。
Description
技术领域
本发明涉及电力系统概率潮流计算，特别是涉及一种半不变量法概率潮流计算方法。
背景技术
电力系统本来就存在大量的随机性因素，随着电力工业的发展，以风、光等为代表的可再生能源发电在电力系统的渗透率不断提高，系统面临更多的不确定性。电动汽车和主动负荷的广泛应用，大大增强了电力系统源-网-荷之间的互动性，导致电力系统运行方式日趋复杂和多变。概率潮流PLF(Probabilistic Load Flow)计算能全面有效考虑电力系统规律性的不确定性因素对系统运行特性的影响，受到广泛的关注。
电力系统中概率潮流计算方法有多种。其中，半不变量法概率潮流计算方法(PLFbased on Cumulant Method，PLF-CM)先将非线性潮流方程线性化，然后采用半不变量间简单的代数运算代替复杂的卷积运算得到输出随机变量的概率分布，计算简单，只需一次计算就能得到系统的潮流分布，受到广泛的关注。
目前已有的实现方案有：1、基于Gram-Charlier级数展开的PLF-CM；2、基于分段线性化技术的PLF-CM；3、基于统计矩和Cornish-Fisher级数展开的PLF-CM；4、基于简单随机抽样技术的PLF-CM；5、基于拉丁超立方抽样(Latin Hypercube Sampling，LHS)结合Cholesky分解的分段线性化PLF-CM计算方法等。
其中，方案1与方案2未考虑输入变量的相关性，且采用的Gram-Charlier展开在拟合非正态分布变量的概率分布时误差较大；
方案3计算复杂，且要求输入变量的联合密度函数已知，难以实际应用；
方案4在进行概率潮流计算时所需样本规模较大，降低了计算效率；
方案5提高了计算效率及精度，然而所采用的Cholesky分解仅适用于输入变量相关系数矩阵对称正定矩阵之情形，而工程实际中会遇见输入变量相关系数矩阵非正定的情形，限制了PLF-CM的应用范围，且LHS方法采样值的均匀性仍有待提高。
发明内容
在新能源电力系统的背景下，为有效处理输入变量相关系数矩阵非正定之情形，拓展PLF-CM的应用范围，并进一步提高计算效率，本发明将Halton序列、奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)及主元分析法(Principal Component Analysis,PCA)引入到PLF-CM中，提出一种基于离散数据和PCA结合Cornish-Fisher展开的PLF-CM计算方法，简称HSPC-PLF-CM算法。该方法能处理输入随机变量相关系数矩阵非正定的情形；实现简单、适应面广、计算高效、稳健性好、适用于高比例新能源发电并网及电力负荷波动较大的未来电力系统的概率潮流分析。
本发明的技术方案是；一种半不变量法概率潮流计算方法，包括以下步骤；
S1：输入初始数据，包括电力系统数据、随机变量X的CDF及PDF；
S2：采用相关性随机变量样本生成方法产生输入随机变量样本；
S3：用牛顿-拉夫逊算法在基准点进行一次确定性潮流计算，获得输出变量D0、Z0及灵敏度矩阵S0和T0；
S4：判断随机变量X是否具有相关性，若是则转入步骤S5，若不是则转入步骤S8；
S5：通过主元分析方法求得不相关向量Y和负载矩阵P；
S6：根据随机变量X的各阶半不变量γ(v)与其各阶原点矩α(v)的关系求得Y的各阶半不变量ΔY(k)；
S7：根据相关性，计算输出变量的各阶半不变量,转步骤S10；
S8：根据随机变量X的各阶半不变量γ(v)与其各阶原点矩α(v)的关系求得随机变量X的各阶半不变量ΔX(k)；
S9：根据不相关性，求得输出变量的各阶半不变量；
S10：采用Cornish-Fisher级数展开求得输出变量的CDF和PDF。
其中，累积分布函数(Cumulative Distribution Function)简称CDF及概率分布函数(Probability Density Function)简称PDF。
进一步，步骤S2中产生输入随机变量样本的过程包括；设随机变量x的CDF及PDF分别为F(x)和f(x)，则可根据式(7)所示等概率原则，将服从[0,1]区间均匀分布的随机变量u转化为指定分布随机变量x；
式中：Φ(·)表示标准正态变量的CDF，F-1(·)为随机变量x的CDF的反函数；设m维随机变量X＝[x1,…,xi,…,xm]T的相关系数矩阵ρX＝(ρij)，基于Nataf变换产生服从指定分布的输入随机变量样本的步骤如下：
S21：由Halton序列采样生成相互独立的样本矩阵Um×n＝[u1,u2,…,ui,…,um]T(ui＝[ui1,ui2,…,uin])；
S22：通过式(8)将Um×n转换为独立正态分布样本矩阵Km×n＝[k1,k2,…,ki,…,km]T(ki＝[ki1,ki2,…,kin])；
ki＝Φ-1(ui),i＝1,2,…,m (8)
S23：为使Nataf变换前后随机变量间的相关系数保持不变，从K到具有相关性的正态分布样本矩阵K*的变换要按式(9)对ρX进行修正，得到修正后的相关系数矩阵
S24：对进行SVD分解，并通过式(10)得到K*；
K*＝LK (10)
式中，L为奇异值分解后的矩阵，即：
S25：将K*中的样本代入式(11)，得到具有相关性的均匀分布样本矩阵Ucorr；
S26：由式(12)得到具有相关性的随机变量xi的样本；
综上，利用Halton序列和SVD结合Nataf变换，可快速获得服从指定分布且相关系数矩阵满足给定条件的输入随机变量样本。
进一步，步骤S21中由Halton序列采样生成相互独立的样本矩阵Um×n的过程为；
Halton序列是s维无穷序列族，是Van der Corput序列的扩展，一维的Halton序列即为Van der Corput序列，对任意整数n(n≥0)均可用为唯一的b(b≥2)进制数表示，即：
式中，ai(n)∈{0,1,2,…,b-1}；
定义函数Hb(n)为：
式中，n由式(1)求得；
则基为b的Van der Corput序列可表示为Hb(n)，s维Halton序列Us则是由不同的质数bj(j＝0,1,2,…,s)为基的Van der Corput序列构成，即：
Us＝[Hb1(n),Hb2(n),…,Hbs(n)]T,(n＝1,2,…) (3)
其中，取值S＝m×n，代入式(3)即可得到样本矩阵Um×n；
由Halton序列法生成的采样点服从[0,1]上的均匀分布，当所研究的输入随机变量服从其它分布时，可通过Nataf变换将采样点转换成其它分布。
进一步，步骤S24中对进行SVD分解的过程为；
多维输入随机变量X＝[x1,…,xi,…,xm]T的相关关系用其相关系数矩阵ρX来描述，传统PLF-CM方法采用的Cholesky分解无法处理ρX非正定或非满秩的情况，由于任意矩阵均存在SVD分解，可以采用它来处理ρX；
定义：设A是秩为r的m×n实矩阵，ATA的特征值为λi(λ1≥λ2≥…≥λr≥λr+1＝…＝λn＝0)，则称为A的奇异值；
SVD指对于矩阵A存在m阶正交矩阵U和n阶正交矩阵G，使得：
A＝USGT (4)
式中，S＝diag(α1,α2,…,αn)，当矩阵A为对称矩阵时，有U＝G；
对SVD分解有定理：设K为m维独立标准正态分布向量，矩阵L由向量X的相关系数矩阵ρX的奇异值分解生成：
式中，Uρx为酉矩阵，Sρx为由矩阵奇异值构成的对角矩阵，且从大到小排列，则由式(6)定义的m维向量K*的相关系数矩阵等于ρX；
可见，利用SVD可将独立标准正态分布向量K转化为具有相关性的正态分布向量K*，且
进一步，步骤S3中的获得输出变量D0、Z0及灵敏度矩阵S0和T0的过程为；
极坐标形式下交流系统的节点和支路功率方程可表示为：
式中，输入元素为节点注入功率向量，D为节点电压状态向量，E为支路功率向量，f和g分别为节点和支路功率函数；
将式(18)在基准运行点进行泰勒级数展开，并略去高次项，可得线性化潮流模型：
式中，W为节点注入功率向量，D为节点电压状态向量，Z为支路功率向量，f和g分别为节点和支路功率函数，下标0表示基准运行点，Δ表示扰动，S0、T0为灵敏度矩阵，S0＝J0 -1，T0＝G0S0，J0为雅可比矩阵，
进一步，步骤S5中的主元分析过程为；
主元分析(PCA)是一种统计分析方法。它通过寻找一组新的正交基，将原始数据空间中一组具有相关性的变量组合为新的映射空间中一组互不相关的变量，从而消除原始数据间的相关性影响，具有操作简单、计算方便、无参数限制、线性重构误差小等优点。
根据PCA原理，m维数据矩阵Xm×n＝[x1,…,xj,…,xm]T(xj＝[xj1,…,xji,…,xjn])可表示为：
X＝PY (13)
式中，Y＝[y1,…,yj,…,ym]T(yj＝[yj1,…,yji,…,yjn]，j＝1,2,…,m)，yj称为X的主元，主元间互不相关，即Y为不相关向量；
P＝[p1,…,pj,…,pm](pj＝[p1j,…,pij,…,pmj]T，i,j＝1,2,…,m)称为负载矩阵，且PTP＝PPT＝I，正交矩阵P即为新的正交基；
随机变量X的主元yj及负荷向量pj可通过如下步骤求得：
S51：由式(14)求得随机变量X的协方差矩阵CX；
式中cij＝cov(xi,xj)(i,j＝1,2,…,m)为xi和xj的协方差；
S52：解特征方程|λI-CX|＝0，得CX的特征值λj，并使其按大小顺序排列，即λ1≥…≥λj≥…≥λm；
S53：分别求出特征值λj对应的特征向量pj＝[p1j,p2j,…pmj]T，由于协方差矩阵CX是一个实对称矩阵，根据线性代数基本理论，pj即为负荷向量；
S54：通过式(15)求得X的主元yj；
式中，yj表示X在pj方向上的投影，长度越大，X在pj方向上的覆盖程度或变化范围越大，即：若λ1>…>λj>…λm，则p1将代表X变化最大方向，pm将代表X变化最小方向；
PCA对输入变量的协方差矩阵没有限制，故可解决Cholesky分解不能处理非正定和非满秩矩阵之不足。
进一步，步骤S6中求得变量Y的各阶半不变量ΔY(k)的过程为；
半不变量又称累积量，是矩的一种卷积，针对复杂随机变量的半不变量难以求取的问题，本发明根据随机变量的各阶半不变量γ(v)与其各阶原点矩α(v)的关系求得：
式中，为组合数；α(v)可由随机变量x的n个离散数据，通过式(17)求得；
其中将Y代入式(16)即可求得ΔY(k)；
同理，在步骤S8中，将X代入式(16)即可求得ΔX(k)。
进一步，步骤S7中根据相关性，计算输出变量的各阶半不变量的过程为；
当节点注入功率向量W彼此独立时，节点i注入功率扰动量ΔWi的k阶半不变量△Wi (k)可通过式(20)求得；
式中，分别表示节点发电机注入功率及负荷注入功率扰动量的k阶半不变量，均可通过式(16)求得；
输出变量的k阶半不变量可表示为；
式中，和分别为矩阵S0和T0中各元素的k次幂所构成的矩阵；
当W具有相关性时，式(21)不再适用，需对其进行修正，根据式(13)，可将W表示成不相关向量Y的组合：
W＝PY (22)
在此基础上对式(21)进行修正得：
式中，ΔY(k)为Y的k阶半不变量。
进一步，步骤S9中，根据不相关性，将随机变量X的各阶半不变量ΔX(k)代入式(21)即可求得输出变量的各阶半不变量。
进一步，步骤S10中，根据式(21)及式(23)得到输出变量的半不变量后，可通过级数展开逼近得到输出变量的概率分布特性，设输出变量e的分位数为α，则e(α)可表示为：
式中，ζ(α)为标准正态分布累积分布函数的反函数，gv为e的v阶规格化半不变量；根据式e(α)＝F-1(α)，可得e的累积分布函数F(e)，即CDF，对F(e)求导可得e的概率密度函数f(e)，即PDF。
综上，本发明提出的考虑输入变量相关性的HSPC-PLF-CM算法，首先通过基于Halton序列和SVD分解结合Nataf变换的随机抽样方法产生输入随机变量的离散样本数据，再利用半不变量与原点矩的关系求得随机变量的各阶半不变量并在基准点进行一次确定性潮流计算，然后求得输出随机变量的各阶半不变量，最后求得各输出随机变量的数字特征及概率统计信息。
本发明的有益效果是；一种基于Halton序列和奇异值分解结合主元分析的半不变量法概率潮流计算方法，该方法涉及多种数学分析方法(Halton序列、奇异值分解、Nataf变换、主元分析方法、半不变量法以及Cornish-Fisher级数展开等)在电力系统概率潮流计算中的应用，可在随机性较强电力系统中为电网工作人员提供简单、高效、稳健性好的概率潮流分析方法。
附图说明
图1是本发明的流程示意图。
具体实施方式
附图仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制；为了更好说明本实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对于本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。附图中描述位置关系仅用于示例性说明，不能理解为对本专利的限制。
实施例1：
如图1所示，一种半不变量法概率潮流计算方法，包括以下步骤；
S1：输入初始数据，包括电力系统数据、随机变量X的CDF及PDF；
S2：采用相关性随机变量样本生成方法产生输入随机变量样本；
S3：用牛顿-拉夫逊算法在基准点进行一次确定性潮流计算，获得输出变量D0、Z0及灵敏度矩阵S0和T0；
S4：判断随机变量X是否具有相关性，若是则转入步骤S4，若不是则转入步骤S8；
S5：通过主元分析方法求得不相关向量Y和负载矩阵P；
S6：根据随机变量X的各阶半不变量γ(v)与其各阶原点矩α(v)的关系求得Y的各阶半不变量ΔY(k)；
S7：根据相关性，计算输出变量的各阶半不变量,转步骤S10；
S8：根据随机变量X的各阶半不变量γ(v)与其各阶原点矩α(v)的关系求得随机变量X的各阶半不变量ΔX(k)；
S9：根据不相关性，求得输出变量的各阶半不变量；
S10：采用Cornish-Fisher级数展开求得输出变量的CDF和PDF。
其中，累积分布函数(Cumulative Distribution Function)简称CDF及概率分布函数(Probability Density Function)简称PDF。
在本实施例中，步骤S2中产生输入随机变量样本的过程包括；设随机变量x的CDF及PDF分别为F(x)和f(x)，则可根据式(7)所示等概率原则，将服从[0,1]区间均匀分布的随机变量u转化为指定分布随机变量x；
式中：Φ(·)表示标准正态变量的CDF，F-1(·)为随机变量x的CDF的反函数；设m维随机变量X＝[x1,…,xi,…,xm]T的相关系数矩阵ρX＝(ρij)，基于Nataf变换产生服从指定分布的输入随机变量样本的步骤如下：
S21：由Halton序列采样生成相互独立的样本矩阵Um×n＝[u1,u2,…,ui,…,um]T(ui＝[ui1,ui2,…,uin])；
S22：通过式(8)将Um×n转换为独立正态分布样本矩阵Km×n＝[k1,k2,…,ki,…,km]T(ki＝[ki1,ki2,…,kin])；
ki＝Φ-1(ui),i＝1,2,…,m (8)
S23：为使Nataf变换前后随机变量间的相关系数保持不变，从K到具有相关性的正态分布样本矩阵K*的变换要按式(9)对ρX进行修正，得到修正后的相关系数矩阵
S24：对进行SVD分解，并通过式(10)得到K*；
K*＝LK (10)
式中，L为奇异值分解后的矩阵，即：
S25：将K*中的样本代入式(11)，得到具有相关性的均匀分布样本矩阵Ucorr；
S26：由式(12)得到具有相关性的随机变量xi的样本；
综上，利用Halton序列和SVD结合Nataf变换，可快速获得服从指定分布且相关系数矩阵满足给定条件的输入随机变量样本。
在本实施例中，步骤S21中由Halton序列采样生成相互独立的样本矩阵Um×n的过程为；
Halton序列采样是一种低差异序列采样方法，属于拟蒙特卡洛法(Quasi-MonteCarlo)的一种，其在采样过程中一次性生成所需序列，采样值具有良好的均匀分布特性，具有比LHS更高的计算效率。
Halton序列是s维无穷序列族，是Van der Corput序列的扩展，一维的Halton序列即为Van der Corput序列，对任意整数n(n≥0)均可用为唯一的b(b≥2)进制数表示，即：
式中，ai(n)∈{0,1,2,…,b-1}；
定义函数Hb(n)为：
式中，n由式(1)求得；
则基为b的Van der Corput序列可表示为Hb(n)，s维Halton序列Us则是由不同的质数bj(j＝0,1,2,…,s)为基的Van der Corput序列构成，即：
Us＝[Hb1(n),Hb2(n),…,Hbs(n)]T,(n＝1,2,…) (3)
其中，取值S＝m×n，代入式(3)即可得到样本矩阵Um×n；
由Halton序列法生成的采样点服从[0,1]上的均匀分布，当所研究的输入随机变量服从其它分布时，可通过Nataf变换将采样点转换成其它分布。
在本实施例中，步骤S24中对进行SVD分解的过程为；
多维输入随机变量X＝[x1,…,xi,…,xm]T的相关关系用其相关系数矩阵ρX来描述，传统PLF-CM方法采用的Cholesky分解无法处理ρX非正定或非满秩的情况，由于任意矩阵均存在SVD分解，可以采用它来处理ρX；
定义：设A是秩为r的m×n实矩阵，ATA的特征值为λi(λ1≥λ2≥…≥λr≥λr+1＝…＝λn＝0)，则称为A的奇异值；
SVD指对于矩阵A存在m阶正交矩阵U和n阶正交矩阵G，使得：
A＝USGT (4)
式中，S＝diag(α1,α2,…,αn)，当矩阵A为对称矩阵时，有U＝G；
对SVD分解有定理：设K为m维独立标准正态分布向量，矩阵L由向量X的相关系数矩阵ρX的奇异值分解生成：
式中，Uρx为酉矩阵，Sρx为由矩阵奇异值构成的对角矩阵，且从大到小排列，则由式(6)定义的m维向量K*的相关系数矩阵等于ρX；
可见，利用SVD可将独立标准正态分布向量K转化为具有相关性的正态分布向量K*，且
在本实施例中，步骤S3中的获得输出变量D0、Z0及灵敏度矩阵S0和T0的过程为；
极坐标形式下交流系统的节点和支路功率方程可表示为：
式中，输入元素为节点注入功率向量，D为节点电压状态向量，E为支路功率向量，f和g分别为节点和支路功率函数；
将式(18)在基准运行点进行泰勒级数展开，并略去高次项，可得线性化潮流模型：
式中，W为节点注入功率向量，D为节点电压状态向量，Z为支路功率向量，f和g分别为节点和支路功率函数，下标0表示基准运行点，Δ表示扰动，S0、T0为灵敏度矩阵，S0＝J0 -1，T0＝G0S0，J0为雅可比矩阵，
在本实施例中，步骤S5中的主元分析过程为；
主元分析(PCA)是一种统计分析方法。它通过寻找一组新的正交基，将原始数据空间中一组具有相关性的变量组合为新的映射空间中一组互不相关的变量，从而消除原始数据间的相关性影响，具有操作简单、计算方便、无参数限制、线性重构误差小等优点。
根据PCA原理，m维数据矩阵Xm×n＝[x1,…,xj,…,xm]T(xj＝[xj1,…,xji,…,xjn])可表示为：
X＝PY (13)
式中，Y＝[y1,…,yj,…,ym]T(yj＝[yj1,…,yji,…,yjn]，j＝1,2,…,m)，yj称为X的主元，主元间互不相关，即Y为不相关向量；
P＝[p1,…,pj,…,pm](pj＝[p1j,…,pij,…,pmj]T，i,j＝1,2,…,m)称为负载矩阵，且PTP＝PPT＝I，正交矩阵P即为新的正交基；
随机变量X的主元yj及负荷向量pj可通过如下步骤求得：
S41：由式(14)求得随机变量X的协方差矩阵CX；
式中cij＝cov(xi,xj)(i,j＝1,2,…,m)为xi和xj的协方差；
S42：解特征方程|λI-CX|＝0，得CX的特征值λj，并使其按大小顺序排列，即λ1≥…≥λj≥…≥λm；
S43：分别求出特征值λj对应的特征向量pj＝[p1j,p2j,…pmj]T，由于协方差矩阵CX是一个实对称矩阵，根据线性代数基本理论，pj即为负荷向量；
S44：通过式(15)求得X的主元yj；
式中，yj表示X在pj方向上的投影，长度越大，X在pj方向上的覆盖程度或变化范围越大，即：若λ1>…>λj>…λm，则p1将代表X变化最大方向，pm将代表X变化最小方向；
PCA对输入变量的协方差矩阵没有限制，故可解决Cholesky分解不能处理非正定和非满秩矩阵之不足。
在本实施例中，步骤S6中求得Y的各阶半不变量ΔY(k)的过程为；
半不变量又称累积量，是矩的一种卷积，针对复杂随机变量的半不变量难以求取的问题，本发明根据随机变量的各阶半不变量γ(v)与其各阶原点矩α(v)的关系求得：
式中，为组合数；α(v)可由随机变量x的n个离散数据，通过式(17)求得；
其中将Y代入式(16)即可求得ΔY(k)；
同理，在步骤S8中，将X代入式(16)即可求得ΔX(k)。
在本实施例中，步骤S6中的获得输出变量D0、Z0及灵敏度矩阵S0和T0的过程为；
极坐标形式下交流系统的节点和支路功率方程可表示为：
式中，输入元素为节点注入功率向量，D为节点电压状态向量，E为支路功率向量，f和g分别为节点和支路功率函数；
将式(18)在基准运行点进行泰勒级数展开，并略去高次项，可得线性化潮流模型：
式中，W为节点注入功率向量，D为节点电压状态向量，Z为支路功率向量，f和g分别为节点和支路功率函数，下标0表示基准运行点，Δ表示扰动，S0、T0为灵敏度矩阵，S0＝J0 -1，T0＝G0S0，J0为雅可比矩阵，
在本实施例中，步骤S7中根据相关性，计算输出变量的各阶半不变量的过程为；
当节点注入功率向量W彼此独立时，节点i注入功率扰动量ΔWi的k阶半不变量△Wi (k)可通过式(20)求得；
式中，分别表示节点发电机注入功率及负荷注入功率扰动量的k阶半不变量，均可通过式(16)求得；
输出变量的k阶半不变量可表示为；
式中，和分别为矩阵S0和T0中各元素的k次幂所构成的矩阵；
当W具有相关性时，式(21)不再适用，需对其进行修正，根据式(13)，可将W表示成不相关向量Y的组合：
W＝PY (22)
在此基础上对式(21)进行修正得：
式中，ΔY(k)为Y的k阶半不变量。
在本实施例中，步骤S9中，根据不相关性，将随机变量X的各阶半不变量ΔX(k)代入式(21)即可求得输出变量的各阶半不变量。
在本实施例中，步骤S10中，根据式(21)及式(23)得到输出变量的半不变量后，可通过级数展开逼近得到输出变量的概率分布特性，设输出变量e的分位数为α，则e(α)可表示为：
式中，ξ(α)为标准正态分布累积分布函数的反函数，gv为e的v阶规格化半不变量；根据式e(α)＝F-1(α)，可得e的累积分布函数F(e)，即CDF，对F(e)求导可得e的概率密度函数f(e)，即PDF。
综上，本发明提出的考虑输入变量相关性的HSPC-PLF-CM算法，首先通过基于Halton序列和SVD分解结合Nataf变换的随机抽样方法产生输入随机变量的离散样本数据，再利用半不变量与原点矩的关系求得随机变量的各阶半不变量并在基准点进行一次确定性潮流计算，然后求得输出随机变量的各阶半不变量，最后求得各输出随机变量的数字特征及概率统计信息。
显然，本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。
Claims (10)
1.一种半不变量法概率潮流计算方法，其特征在于，包括以下步骤；
S1：输入初始数据，包括电力系统数据、随机变量X的CDF及PDF；
S2：采用相关性随机变量样本生成方法产生输入随机变量样本；
S3：用牛顿-拉夫逊算法在基准点进行一次确定性潮流计算，获得输出变量D0、Z0及灵敏度矩阵S0和T0；
S4：判断随机变量X是否具有相关性，若是则转入步骤S5，若不是则转入步骤S8；
S5：通过主元分析方法求得不相关向量Y和负载矩阵P；
S6：根据随机变量X的各阶半不变量γ(v)与其各阶原点矩α(v)的关系求得Y的各阶半不变量ΔY(k)；
S7：根据相关性，计算输出变量的各阶半不变量,转步骤S10；
S8：根据随机变量X的各阶半不变量γ(v)与其各阶原点矩α(v)的关系求得随机变量X的各阶半不变量ΔX(k)；
S9：根据不相关性，求得输出变量的各阶半不变量；
S10：采用Cornish-Fisher级数展开求得输出变量的CDF和PDF。
2.根据权利要求1所述的一种半不变量法概率潮流计算方法，其特征在于，步骤S2中产生输入随机变量样本的过程包括；
设随机变量x的CDF及PDF分别为F(x)和f(x)，则可根据式(7)所示等概率原则，将服从[0,1]区间均匀分布的随机变量u转化为指定分布随机变量x；
式中：Φ(·)表示标准正态变量的CDF，F-1(·)为随机变量x的CDF的反函数；设m维随机变量X＝[x1,…,xi,…,xm]T的相关系数矩阵ρX＝(ρij)，基于Nataf变换产生服从指定分布的输入随机变量样本的步骤如下：
S21：由Halton序列采样生成相互独立的样本矩阵Um×n＝[u1,u2,…,ui,…,um]T(ui＝[ui1,ui2,…,uin])；
S22：通过式(8)将Um×n转换为独立正态分布样本矩阵Km×n＝[k1,k2,…,ki,…,km]T(ki＝[ki1,ki2,…,kin])；
ki＝Φ-1(ui),i＝1,2,…,m (8)
S23：为使Nataf变换前后随机变量间的相关系数保持不变，从K到具有相关性的正态分布样本矩阵K*的变换要按式(9)对ρX进行修正，得到修正后的相关系数矩阵
S24：对进行SVD分解，并通过式(10)得到K*；
K*＝LK (10)
式中，L为奇异值分解后的矩阵，即：
S25：将K*中的样本代入式(11)，得到具有相关性的均匀分布样本矩阵Ucorr；
S26：由式(12)得到具有相关性的随机变量xi的样本；
综上，利用Halton序列和SVD结合Nataf变换，可快速获得服从指定分布且相关系数矩阵满足给定条件的输入随机变量样本。
3.根据权利要求2所述的一种半不变量法概率潮流计算方法，其特征在于，步骤S21中由Halton序列采样生成相互独立的样本矩阵Um×n的过程为；Halton序列是s维无穷序列族，是Van der Corput序列的扩展，一维的Halton序列即为Van der Corput序列，对任意整数n(n≥0)均可用为唯一的b(b≥2)进制数表示，即：
式中，ai(n)∈{0,1,2,…,b-1}；
定义函数Hb(n)为：
式中，n由式(1)求得；
则基为b的Van der Corput序列可表示为Hb(n)，s维Halton序列Us则是由不同的质数bj(j＝0,1,2,…,s)为基的Van der Corput序列构成，即：
Us＝[Hb1(n),Hb2(n),…,Hbs(n)]T,(n＝1,2,…) (3)
其中，取值S＝m×n，代入式(3)即可得到样本矩阵Um×n；
由Halton序列法生成的采样点服从[0,1]上的均匀分布，当所研究的输入随机变量服从其它分布时，可通过Nataf变换将采样点转换成其它分布。
4.根据权利要求2所述的一种半不变量法概率潮流计算方法，其特征在于，步骤S24中对进行SVD分解的过程为；
多维输入随机变量X＝[x1,…,xi,…,xm]T的相关关系用其相关系数矩阵ρX来描述，传统PLF-CM方法采用的Cholesky分解无法处理ρX非正定或非满秩的情况，由于任意矩阵均存在SVD分解，可以采用它来处理ρX；
定义：设A是秩为r的m×n实矩阵，ATA的特征值为λi(λ1≥λ2≥…≥λr≥λr+1＝…＝λn＝0)，则称为A的奇异值；
SVD指对于矩阵A存在m阶正交矩阵U和n阶正交矩阵G，使得：
A＝USGT(4)
式中，S＝diag(α1,α2,…,αn)，当矩阵A为对称矩阵时，有U＝G；
对SVD分解有定理：设K为m维独立标准正态分布向量，矩阵L由向量X的相关系数矩阵ρX的奇异值分解生成：
式中，Uρx为酉矩阵，Sρx为由矩阵奇异值构成的对角矩阵，且从大到小排列，则由式(6)定义的m维向量K*的相关系数矩阵等于ρX；
可见，利用SVD可将独立标准正态分布向量K转化为具有相关性的正态分布向量K*，且
5.根据权利要求2所述的一种半不变量法概率潮流计算方法，其特征在于，步骤S3中的获得输出变量D0、Z0及灵敏度矩阵S0和T0的过程为；
极坐标形式下交流系统的节点和支路功率方程可表示为：
式中，输入元素为节点注入功率向量，D为节点电压状态向量，E为支路功率向量，f和g分别为节点和支路功率函数；
将式(18)在基准运行点进行泰勒级数展开，并略去高次项，可得线性化潮流模型：
式中，W为节点注入功率向量，D为节点电压状态向量，Z为支路功率向量，f和g分别为节点和支路功率函数，下标0表示基准运行点，Δ表示扰动，S0、T0为灵敏度矩阵，S0＝J0 -1，T0＝G0S0，J0为雅可比矩阵，
6.根据权利要求5所述的一种半不变量法概率潮流计算方法，其特征在于，步骤S5中的主元分析过程为；
根据PCA原理，m维数据矩阵Xm×n＝[x1,…,xj,…,xm]T(xj＝[xj1,…,xji,…,xjn])可表示为：
X＝PY (13)
式中，Y＝[y1,…,yj,…,ym]T(yj＝[yj1,…,yji,…,yjn]，j＝1,2,…,m)，yj称为X的主元，主元间互不相关，即Y为不相关向量；
P＝[p1,…,pj,…,pm](pj＝[p1j,…,pij,…,pmj]T，i,j＝1,2,…,m)称为负载矩阵，且PTP＝PPT＝I，正交矩阵P即为新的正交基；
随机变量X的主元yj及负荷向量pj可通过如下步骤求得：
S51：由式(14)求得随机变量X的协方差矩阵CX；
式中cij＝cov(xi,xj)(i,j＝1,2,…,m)为xi和xj的协方差；
S52：解特征方程|λI-CX|＝0，得CX的特征值λj，并使其按大小顺序排列，即λ1≥…≥λj≥…≥λm；
S53：分别求出特征值λj对应的特征向量pj＝[p1j,p2j,…pmj]T，由于协方差矩阵CX是一个实对称矩阵，根据线性代数基本理论，pj即为负荷向量；
S54：通过式(15)求得X的主元yj；
式中，yj表示X在pj方向上的投影，长度越大，X在pj方向上的覆盖程度或变化范围越大，即：若λ1>…>λj>…λm，则p1将代表X变化最大方向，pm将代表X变化最小方向；
PCA对输入变量的协方差矩阵没有限制，故可解决Cholesky分解不能处理非正定和非满秩矩阵之不足。
7.根据权利要求6所述的一种半不变量法概率潮流计算方法，其特征在于，步骤S6中求得Y的各阶半不变量ΔY(k)的过程为；
根据随机变量的各阶半不变量γ(v)与其各阶原点矩α(v)的关系求得：
式中，为组合数；α(v)可由随机变量x的n个离散数据，通过式(17)求得；
其中将Y代入式(16)即可求得ΔY(k)；
同理，在步骤S8中，将X代入式(16)即可求得ΔX(k)。
8.根据权利要求7所述的一种半不变量法概率潮流计算方法，其特征在于，步骤S7中根据相关性，计算输出变量的各阶半不变量的过程为；
当节点注入功率向量W彼此独立时，节点i注入功率扰动量ΔWi的k阶半不变量△Wi (k)可通过式(20)求得；
式中，分别表示节点发电机注入功率及负荷注入功率扰动量的k阶半不变量，均可通过式(16)求得；
输出变量的k阶半不变量可表示为；
式中，和分别为矩阵S0和T0中各元素的k次幂所构成的矩阵；
当W具有相关性时，式(21)不再适用，需对其进行修正，根据式(13)，可将W表示成不相关向量Y的组合：
W＝PY (22)
在此基础上对式(21)进行修正得：
式中，ΔY(k)为Y的k阶半不变量。
9.根据权利要求8所述的一种半不变量法概率潮流计算方法，其特征在于，步骤S9中，根据不相关性，将随机变量X的各阶半不变量ΔX(k)代入式(21)即可求得输出变量的各阶半不变量。
10.根据权利要求9所述的一种半不变量法概率潮流计算方法，其特征在于，步骤S10中，根据式(21)及式(23)得到输出变量的半不变量后，可通过级数展开逼近得到输出变量的概率分布特性，设输出变量e的分位数为α，则e(α)可表示为：
式中，ζ(α)为标准正态分布累积分布函数的反函数，gv为e的v阶规格化半不变量；根据式e(α)＝F-1(α)，可得e的累积分布函数F(e)，即CDF，对F(e)求导可得e的概率密度函数f(e)，即PDF。
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