CN108471113A - 一种基于主元分析和Cornish-Fisher展开的PLF-CM计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于主元分析和Cornish‑Fisher展开的PLF‑CM计算方法，包括以下步骤：以电力系统的各节点电压状态、支路功率以及节点注入功率作为输入数据；分析节点注入功率矩阵W是否具有相关性，如果具有相关性则通过主元分析法获得输出变量的各阶半不变量，如果不具有相关性则通过直接计算法获得输出变量的各阶半不变量；根据输出变量的各阶半不变量，采用Cornish‑Fisher级数拟合获得输出变量的CDF和PDF。本发明，能有效处理输入变量相关系数矩阵非正定之情形，拓展PLF‑CM的应用范围，能更好地适应未来电力系统的发展趋势。

Description

一种基于主元分析和Cornish-Fisher展开的PLF-CM计算方法

技术领域

本发明涉及电力系统技术领域，具体涉及一种基于主元分析和Cornish-Fisher展开的PLF-CM(半不变量法概率潮流)计算方法。

背景技术

随着电力工业的发展，以风能、光能等为代表的新能源发电在电力系统的渗透比例不断提高，并带来了显著的随机性和波动性。同时，电动汽车和主动负荷的广泛应用，也大大增强了电力系统的源-网-荷之间的互动性，从而导致了电力系统的运行方式日趋复杂和多变。

为了发现电网中的薄弱环节，为规划和调度部门的决策提供有价值的信息，概率潮流PLF(Probabilistic Load Flow)理论在电力系统的分析与运行中已得到了广泛地应用，概率潮流计算能有效考虑电力系统规律性的不确定性因素的影响，是获得输出变量概率分布的有效分析方法。

目前，概率潮流PLF计算方法中的半不变量法(PLF based on Cumulant Method，PLF-CM)将非线性潮流方程线性化，用半不变量间简单的代数运算代替潮流问题中复杂的卷积运算，具有计算简单、计算效率高等优点，受到广泛的关注。实现方案有：

(1)基于Gram-Charlier级数展开的PLF-CM，将分段线性化技术引入到PLF-CM中，但是该方法未考虑输入变量的相关性，且采用的Gram-Charlier展开在拟合非正态分布变量的概率分布时误差较大；

(2)基于统计矩和Cornish-Fisher级数展开的PLF-CM，将蒙特卡罗抽样技术引入到PLF-CM中，但是，该方法计算复杂，且要求输入变量的联合密度函数已知，难以实际应用；

(3)基于拉丁超立方抽样(Latin Hypercube Sampling，LHS)结合Cholesky分解的分段线性化PLF-CM计算方法，该方法提高了计算效率及精度，但是，Cholesky分解仅适用于对称正定矩阵，工程实际中输入变量相关系数矩阵非正定的情形并不少见，限制了PLF-CM的应用范围。

有鉴于此，需要对现有的PLF-CM计算方法进行改进，使其能处理输入随机变量相关系数矩阵非正定的情形；实现简单、适应面广、计算高效、稳健性好、适应于未来电力系统随机波动性强的特点。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是现有的PLF-CM计算方法，计算复杂、适应面具有局限性的问题。

为了解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是提供一种基于主元分析和Cornish-Fisher展开的半不变量法概率潮流计算方法，包括以下步骤：

以电力系统的各节点电压状态、支路功率以及节点注入功率作为输入数据；

对输入数据用牛顿-拉夫逊算法在基准运行点进行一次确定性潮流计算，获得该基准点的电压状态输出变量D₀、支路功率Z₀及灵敏度矩阵S₀和T₀，其中，S₀＝J₀ ^-1，J₀为雅可比矩阵；T₀＝G₀×S₀，

将各节点注入功率向量生成节点注入功率矩阵W，分析节点注入功率矩阵W是否具有相关性，如果具有相关性则采用主元分析法获得输出变量的各阶半不变量，如果不具有相关性则采用直接计算法获得输出变量的各阶半不变量；

根据输出变量的各阶半不变量，采用Cornish-Fisher级数拟合获得输出变量的CDF和PDF。

在上述方案中，

通过主元分析法获得输出变量的各阶半不变量，具体步骤如下：

步骤201：根据公式获得节点注入功率矩阵W的协方差矩阵C_W，式中：c_ij＝cov(w_i,w_j)，为w_i和w_j的协方差，i和j＝1,2,…,m；

步骤202：解特征方程|λI-C_W|＝0，得到C_W的特征值λ_j；

步骤203：分别求出特征值λ_j对应的特征向量p_j＝[p_1j,p_2j,…,p_mj]^T，构建负载矩阵P＝[p₁,…,p_j,…,p_m]；

步骤204：通过公式获得W的主元y_j，并形成节点注入功率矩阵W的不相关向量矩阵Y，式中，y_j表示W在p_j方向上的投影；

步骤205：根据公式获得不相关向量Y的各阶半不变量ΔY^(k)，式中，为组合数；α^(v)可由随机变量W的n个离散数据通过公式获得；

步骤206：根据公式获得输出变量的各阶半不变量ΔD^(k)和ΔZ^(k)。

在上述方案中，

采用直接计算的方式获得输出变量的各阶半不变量，具体步骤如下：

步骤301：由该节点发电机注入功率的扰动量ΔW_Gi及负荷注入功率的扰动量ΔW_Li求得节点i注入功率的扰动量ΔW_i，式中表示卷积运算；

步骤302：通过式求得ΔW_i的k阶半不变量ΔW_i ^(k)，式中，分别表示ΔW_Gi和ΔW_Li的k阶半不变量，均可通过公式获得；

步骤:303：通过公式获得输出变量的各阶半不变量，式中：和分别为矩阵S₀和T₀中各元素的k次幂所构成的矩阵。

在上述方案中，采用Cornish-Fisher级数展开进行半不变量法概率潮流计算，获得输出变量的CDF和PDF，具体步骤如下：

步骤401：构建潮流方程线性化模型；

将节点注入功率矩阵W在极坐标形式下表示为非线性潮流方程的矩阵形式式中：

W为节点注入功率向量，D为节点电压状态向量，Z为支路功率向量，f和g分别为节点和支路功率函数；

将上式在基准运行点进行泰勒级数展开，略去高次项，得线性化潮流模型：

式中：

下标0表示基准运行点，Δ表示扰动，S₀、T₀为灵敏度矩阵，S₀＝J₀ ^-1，T₀＝G₀S₀，J₀为雅可比矩阵，

步骤402：根据输出变量的各阶半不变量ΔD^(k)和ΔZ^(k)，采用Cornish-Fisher级数拟合获得输出变量的CDF和PDF。

在上述方案中，通过蒙特卡罗抽样的方法对概率分布函数抽样产生样本数据作为输入数据W。

与现有技术相比，本发明提供的方法，将主元分析法引入到PLF-CM中，基于离散数据和PCA结合Cornish-Fisher展开PLF-CM计算，计算效率高、稳健性好，精度几乎不受新能源渗透率及负荷波动的影响。并且，该方法能有效处理输入变量相关系数矩阵非正定之情形，拓展PLF-CM的应用范围，能更好地适应未来电力系统的发展趋势。

附图说明

图1为本发明的基本技术方案流程图；

图2为本发明中主元分析的流程图；

图3为本发明的详细流程图。

具体实施方式

本发明提供了一种基于主元分析和Cornish-Fisher展开的半不变量法概率潮流计算方法，能有效处理输入变量相关系数矩阵非正定之情形，拓展PLF-CM的应用范围，能更好地适应未来电力系统的发展趋势。下面结合说明书附图和具体实施方式对本发明做出详细说明。

本发明的实现原理是：

将主元分析法(Principal Component Analysis,PCA)引入到PLF-CM中，基于离散数据和PCA结合Cornish-Fisher展开PLF-CM计算，计算效率高、稳健性好，精度几乎不受新能源渗透率及负荷波动的影响。

本发明提供的基于主元分析和Cornish-Fisher展开的半不变量法概率潮流计算方法，其基本技术方案的实现主要包括以下步骤：

以电力系统的各节点电压状态、支路功率以及节点注入功率作为输入数据；

分析节点注入功率矩阵W是否具有相关性，如果具有相关性则通过主元分析法获得输出变量的各阶半不变量，如果不具有相关性(各节点注入功率彼此独立)则通过直接计算法获得输出变量的各阶半不变量。

根据输出变量的各阶半不变量，采用Cornish-Fisher级数拟合获得输出变量的CDF和PDF。

具体实施例1。

本发明具体实施例1的实现，主要包括以下步骤：

步骤110：以电力系统的各节点电压、支路功率以及节点注入功率作为输入数据。

步骤120：对输入数据用牛顿-拉夫逊算法在基准运行点(即：输入数据均取平均值)进行一次确定性潮流计算，获得该基准运行点的节点电压D₀、支路功率Z₀及灵敏度矩阵S₀和T₀，其中：

S₀＝J₀ ^-1，J₀为雅可比矩阵；

T₀＝G₀×S₀，

步骤130：将各节点注入功率向量生成节点注入功率矩阵W，分析节点注入功率矩阵W是否具有相关性，如果具有相关性则采用主元分析法获得输出变量的各阶半不变量，如果不具有相关性则采用直接计算法获得输出变量的各阶半不变量。

步骤140：根据输出变量的各阶半不变量，采用Cornish-Fisher级数拟合获得输出变量的CDF(标准正态分布累积分布函数，Cumulative Distribution Function)和PDF(概率密度函数Probability Density Function)。

以下分别介绍如何采用主元分析法获得输出变量的各阶半不变量，以及采用直接计算法获得输出变量的各阶半不变量。

主元分析(PCA)是一种统计分析方法，它通过寻找一组新的正交基，将原始数据空间中一组具有相关性的变量组合为新的映射空间中一组互不相关的变量，从而消除原始数据间的相关性影响，具有操作简单、计算方便、无参数限制、线性重构误差小等优点。

在本发明实施例中，节点注入功率是一组离散数据，可将节点注入功率矩阵W表示为W＝P×Y，其中，Y为节点注入功率矩阵W的不相关向量矩阵，P为节点注入功率矩阵W的负载矩阵，以m维数据矩阵为例，W_m×n＝[W₁,…,W_j,…,W_m]^T，W_j＝[W_j1,…,W_ji,…,W_jn]，则：

不相关向量矩阵Y＝[y₁,…,y_j,…,y_m]^T，y_j＝[y_j1,…,y_ji,…,y_jn]，j＝1,2,…,m，y_j为随机变量W_j的主元，主元间互不相关；

负载矩阵P＝[p₁,…,p_j,…,p_m]，p_j＝[p_1j,…,p_ij,…,p_mj]^T，i,j＝1,2,…,m，m为矩阵维数，且P^TP＝PP^T＝I(I为单位矩阵)，正交矩阵P的各列向量即为新的正交基。

本发明步骤130中，如果节点注入功率矩阵W具有相关性，则需要通过主元分析法获得输出变量的各阶半不变量，具体步骤如下：

步骤201：根据公式获得节点注入功率矩阵W的协方差矩阵C_W，式中：

c_ij＝cov(w_i,w_j)，为w_i和w_j的协方差，i和j＝1,2,…,m，m为矩阵维数。

步骤202：解特征方程|λI-C_W|＝0，得到C_W的特征值λ_j，并使其按大小顺序排列，即λ₁≥…≥λ_j≥…≥λ_m。

步骤203：分别求出特征值λ_j对应的特征向量p_j＝[p_1j,p_2j,…,p_mj]^T，由于协方差矩阵C_W是一个实对称矩阵，根据线性代数基本理论，p_j即为负荷向量，从而构建负载矩阵P＝[p₁,…,p_j,…,p_m]。

步骤204：通过公式获得W的主元y_j，并形成节点注入功率矩阵W的不相关向量矩阵Y。

式中，y_j表示W在p_j方向上的投影。长度越大，W在p_j方向上的覆盖程度或变化范围越大。即：若λ₁>…>λ_j>…λ_m，则p₁将代表W变化最大方向，p_m将代表W变化最小方向。

通过以上介绍可知，PCA对输入变量的协方差矩阵没有限制，因此可解决Cholesky分解不能处理非正定和非满秩矩阵之不足。

步骤205：根据公式获得不相关向量Y的各阶半不变量ΔY^(k)。

式中，为组合数；α(v)可由随机变量W的n个离散数据通过公式获得。

步骤206：根据获得输出变量的各阶半不变量，输出变量为电力系统各节点电压状态向量、支路功率向量。

半不变量有两个十分重要的性质：

性质1(可加性)：设随机变量w₁，w₂相互独立，且都存在v阶半不变量γ_j ^(v)(j＝1,2；v＝1,2,3….)，则随机变量(表示卷积运算)的v阶半不变量γ_x ^(v)为：γ_x ^(v)＝γ₁ ^(v)+γ₂ ^(v)。

该性质可推广至有限个独立变量的情形。

性质2(齐次性)：随机变量k倍的v阶半不变量等于该变量v阶半不变量的k^v倍。

利用这两个性质，可大大简化相关计算。

在步骤130中，如果节点注入功率矩阵W不具有相关性(彼此独立)，则可采用直接计算的方式获得输出变量的各阶半不变量，具体步骤如下：

步骤301：由该节点发电机注入功率的扰动量ΔW_Gi及负荷注入功率的扰动量ΔW_Li求得节点i注入功率的扰动量ΔW_i。

式中表示卷积运算。

步骤302：根据半不变量的性质1，通过式求得ΔW_i的k阶半不变量ΔW_i ^(k)，式中：

分别表示ΔW_Gi和ΔW_Li的k阶半不变量，均可通过式获得。

步骤:303：根据半不变量的性质2，通过公式获得输出变量的各阶半不变量ΔD^(k)和ΔZ^(k)，输出变量为电力系统各节点电压、支路功率，式中：和分别为矩阵S₀和T₀中各元素的k次幂所构成的矩阵。

通过以上介绍可知，本发明提供的方法，针对节点注入功率矩阵W是否具有相关性，采用了两种不同的方式获得输出变量的各阶半不变量。获取到获得输出变量的各阶半不变量之后，则采用Cornish-Fisher级数展开拟合获得输出变量的CDF和PDF，具体步骤如下：

步骤401：构建潮流方程线性化模型。

将节点注入功率矩阵W在极坐标形式下表示为非线性潮流方程的矩阵形式式中：

W为节点注入功率向量，D为节点电压状态向量，Z为支路功率向量，f和g分别为节点和支路功率函数。

将上式在基准运行点进行泰勒级数展开，略去高次项，得线性化潮流模型：

式中，下标0表示基准运行点，Δ表示扰动，S₀、T₀为灵敏度矩阵，S₀＝J₀ ^-1，T₀＝G₀S₀，J₀为雅可比矩阵，

步骤402：根据输出变量的各阶半不变量ΔD^(k)和ΔZ^(k)，采用Cornish-Fisher级数拟合获得输出变量的CDF和PDF。

设随机变量w的分位数为α(0<α<1)，则w(α)可表示为：

式中，ζ(α)为标准正态分布累积分布函数(Cumulative Distribution Function，CDF)的反函数；g_v为w的v阶规格化半不变量。

根据式w(α)＝F^-1(α)，可得w的累积分布函数F(w)，对F(w)求导可得w的概率密度函数(Probability Density Function，PDF)f(w)。

具体实施例2。

本具体实施例2应用于无实测数据，但已经节点注入功率矩阵W的概率分布函数的情况下，该具体实施例中，通过蒙特卡罗抽样的方法对概率分布函数抽样产生样本数据作为输入数据。

本发明并不局限于上述最佳实施方式，任何人应该得知在本发明的启示下做出的结构变化，凡是与本发明具有相同或相近的技术方案，均落入本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.基于主元分析和Cornish-Fisher展开的半不变量法概率潮流计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

以电力系统的各节点电压状态、支路功率以及节点注入功率作为输入数据；

对输入数据用牛顿-拉夫逊算法在基准运行点进行一次确定性潮流计算，获得该基准点的电压状态输出变量D₀、支路功率Z₀及灵敏度矩阵S₀和T₀，其中，S₀＝J₀ ^-1，J₀为雅可比矩阵；T₀＝G₀×S₀，

将各节点注入功率向量生成节点注入功率矩阵W，分析节点注入功率矩阵W是否具有相关性，如果具有相关性则采用主元分析法获得输出变量的各阶半不变量，如果不具有相关性则采用直接计算法获得输出变量的各阶半不变量；

根据输出变量的各阶半不变量，采用Cornish-Fisher级数拟合获得输出变量的CDF和PDF。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，通过主元分析法获得输出变量的各阶半不变量，具体步骤如下：

步骤201：根据公式获得节点注入功率矩阵W的协方差矩阵C_W，式中：c_ij＝cov(w_i,w_j)，为w_i和w_j的协方差，i和j＝1,2,…,m；

步骤202：解特征方程|λI-C_W|＝0，得到C_W的特征值λ_j；

步骤203：分别求出特征值λ_j对应的特征向量p_j＝[p_1j,p_2j,…,p_mj]^T，构建负载矩阵P＝[p₁,…,p_j,…,p_m]；

步骤204：通过公式获得W的主元y_j，并形成节点注入功率矩阵W的不相关向量矩阵Y，式中，y_j表示W在p_j方向上的投影；

步骤205：根据公式获得不相关向量Y的各阶半不变量ΔY^(k)，式中，为组合数；α^(v)可由随机变量W的n个离散数据通过公式v＝1,2,…获得；

步骤206：根据公式获得输出变量的各阶半不变量ΔD^(k)和ΔZ^(k)。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，采用直接计算的方式获得输出变量的各阶半不变量，具体步骤如下：

步骤301：由该节点发电机注入功率的扰动量ΔW_Gi及负荷注入功率的扰动量ΔW_Li求得节点i注入功率的扰动量ΔW_i，ΔW_i＝ΔW_Gi⊕ΔW_Li，式中⊕表示卷积运算；

步骤302：通过式求得ΔW_i的k阶半不变量式中，分别表示ΔW_Gi和ΔW_Li的k阶半不变量，均可通过公式获得；

步骤:303：通过公式获得输出变量的各阶半不变量ΔD^(k)和ΔZ^(k)，式中：和分别为矩阵S₀和T₀中各元素的k次幂所构成的矩阵。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，采用Cornish-Fisher级数展开进行半不变量法概率潮流计算，获得输出变量的CDF和PDF，具体步骤如下：

步骤401：构建潮流方程线性化模型；

将节点注入功率矩阵W在极坐标形式下表示为非线性潮流方程的矩阵形式式中：

W为节点注入功率向量，D为节点电压状态向量，Z为支路功率向量，f和g分别为节点和支路功率函数；

将上式在基准运行点进行泰勒级数展开，略去高次项，得线性化潮流模型：

式中：

下标0表示基准运行点，Δ表示扰动，S₀、T₀为灵敏度矩阵，S₀＝J₀ ^-1，T₀＝G₀S₀，J₀为雅可比矩阵，

步骤402：根据输出变量的各阶半不变量ΔD^(k)和ΔZ^(k)，采用Cornish-Fisher级数拟合获得输出变量的CDF和PDF。

5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，

通过蒙特卡罗抽样的方法对概率分布函数抽样产生样本数据作为输入数据W。