CN108462180B - 一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法，包括：以发电费用最小为目标函数，建立含多风电场的概率最优潮流模型；根据非参数核密度拟合风速，建立单风电场风速分布函数；利用单风电场风速分布函数和Vine Copula函数，建立多风电场风速联合分布模型；基于多风电场风速联合分布模型利用Rosenblatt变换和三点估计法确定负荷和风电的M种情景以及每种情形发生的概率，根据多风电场的概率最优潮流模型利用内点法计算M种情景下的最优潮流；根据M种情景下的最优潮流和每种情形发生的概率，得到概率最优潮流。本发明有效地描述风速的多元化相关性结构，计算效率高，能够及时地为电力系统运行提供有效的信息。

Description

一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法

技术领域

本发明属于概率最优潮流计算领域，更具体地，涉及一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法。

背景技术

近年来，风电装机容量增速迅猛，然而风电的消纳问题却成为遏制其发展的主要瓶颈。风电的随机性、波动性以及间歇性给电力系统运行造成了巨大影响；此外，在一定范围的空间区域内，各风电场之间存在复杂的相关性。因此，在分析含多风电场的电力系统最优潮流问题中，应综合考虑风电的不确定性和相关性，建立考虑风速相关性的概率最优潮流模型。

为求解考虑风速相关性的概率最优潮流，首先需要建立考虑风速相关性的多风电场风速模型或风电模型，目前常见的模型包括基于相关系数矩阵的边缘分布模型以及基于Copula函数的联合分布模型。其中，基于相关系数矩阵的边缘分布模型仅需已知随机变量的边缘分布，并通过相关系数矩阵建立随机变量间的耦合关系。但是，该模型构建的前提是随机变量相关系数矩阵的确立，而目前该矩阵的获取多凭借实践经验，可信度不高，可能造成概率最优潮流计算不准确甚至错误的情况；此外，该模型仅通过相关系数作为随机变量相关性的描述指标，而在实际情况中，各风电场风速之间相关性复杂多变，因此利用该模型难以完整描述多风电场风速之间的相依关系。实际上，线性相关系数、Spearman相关系数等均不能完整描述随机变量之间的相关性，随机变量相关特性的完整表征方式是联合概率分布。

Copula函数是一维边缘分布与多维联合分布之间的连接函数，是构建多维随机变量联合概率分布的有效工具。但是，由于Copula函数仅能描述单一类型的相关性结构，因此主要用于构建两随机变量的联合分布模型，难以准确描述多维随机变量可能存在的多元化相关性结构。针对此问题，有学者采用Vine Copula函数构建了多风电场风速相依模型，并利用蒙特卡洛采样完成概率潮流计算，但是计算效率低，且没有求解概率最优潮流。

由此可见，现有技术在描述多风电场之间相关性时存在缺陷，尽管有研究较好描述了多风电场风速相依关系，但计算效率低，且没有求解概率最优潮流。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法，由此解决现有技术在描述多风电场之间相关性时存在缺陷，计算效率低，且没有求解概率最优潮流的技术问题。

为实现上述目的，本发明提供了一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法，包括：

(1)以发电费用最小为目标函数，建立含多风电场的概率最优潮流模型；

(2)根据非参数核密度拟合风速，建立单风电场风速分布函数；

(3)利用单风电场风速分布函数和Vine Copula函数，建立多风电场风速联合分布模型；

(4)基于多风电场风速联合分布模型利用Rosenblatt变换和三点估计法确定负荷和风电的M种情景以及每种情形发生的概率，根据多风电场的概率最优潮流模型利用内点法计算M种情景下的最优潮流；

(5)根据M种情景下的最优潮流和每种情形发生的概率，得到概率最优潮流。

进一步地，步骤(1)的具体实现方式为：

以发电费用最小为目标函数，根据节点有功功率平衡约束、电节点无功功率平衡约束、火电机组有功出力约束、火电机组无功出力约束、节点电压约束、线路潮流约束，建立含多风电场的概率最优潮流模型。

进一步地，目标函数为：

其中，w_g为火电机组节点集合，a_i、b_i和c_i为节点i火电机组燃料成本特性系数，P_Gi为节点i火电机组的出力。

进一步地，单风电场风速分布函数为：

其中，

为单风电场风速分布函数，v为单风电场风速变量，K_h为核函数，N为风电场总数，X_i为节点i连接的风电场风速随机变量，w_w为与节点连接的风电场集合。

进一步地，多风电场风速联合分布模型为：

其中，f_{1，2，...，N}(x₁，x₂，...，x_N)表示多风电场风速联合分布模型，f_k(x_k)为X_i的概率密度函数，k＝1，2，...，N；

为vine copula函数，

为风电场风速具体值为

时的条件累积分布函数，

为风电场风速具体值为

时的条件累积分布函数，i₀＝2，3，...，N-1；j₀＝2，3，...，N-i₀。

进一步地，M种情景下的最优潮流包括：M种情景下的节点电压幅值、节点电压相角、支路有功期望和支路无功期望。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：

本发明提出了一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法，通过vinecopula函数构建多风电场风速联合分布模型，可以有效地描述风速的多元化相关性结构。本发明所提的概率最优潮流计算方法具有较高的计算效率，能够及时地为电力系统运行提供有效的信息。由此解决现有技术在描述多风电场之间相关性时存在缺陷，计算效率低，且没有求解概率最优潮流的技术问题。

附图说明

图1是本发明实施例提供的一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法的流程图；

图2是本发明实施例提供的风电场1风速概率密度曲线示意图；

图3是本发明实施例提供的风电场2风速概率密度曲线示意图；

图4是本发明实施例提供的风电场3风速概率密度曲线示意图；

图5是本发明实施例提供的风电场4风速概率密度曲线示意图；

图6是本发明实施例提供的风电场1和2风速联合概率密度曲线示意图；

图7是本发明实施例提供的风电场1和3风速联合概率密度曲线示意图；

图8是本发明实施例提供的风电场1和4风速联合概率密度曲线示意图；

图9是本发明实施例提供的电压幅值与相角的相对误差指标示意图；

图10是本发明实施例提供的支路有功与无功的相对误差指标示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

如图1所示，本发明提出了一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法，包括：以发电费用最小为目标函数，建立含多风电场的概率最优潮流模型；根据非参数核密度拟合风速，建立单风电场风速分布函数；利用单风电场风速分布函数和Vine Copula函数，建立多风电场风速联合分布模型；基于多风电场风速联合分布模型利用Rosenblatt变换和三点估计法确定负荷和风电的M种情景以及每种情形发生的概率，根据多风电场的概率最优潮流模型利用内点法计算M种情景下的最优潮流；根据M种情景下的最优潮流和每种情形发生的概率，得到概率最优潮流。本发明有效地描述风速的多元化相关性结构，计算效率高，能够及时地为电力系统运行提供有效的信息。

具体的，本发明基于非参数核密度拟合风速，建立单风电场风速分布函数，其中非参数核密度公式为：

其中，

为单风电场风速分布函数，v为单风电场风速变量，K_h为核函数，N为风电场总数，X_i为节点i连接的风电场风速随机变量，w_w为与节点连接的风电场集合。

在电力系统稳定性分析中，对于多台风机并列运行的大型风电场往往采用一台或多台等值机加以考虑。对于单台风机，风速决定其有功出力，其对应关系为：

其中，v_ci为风机的切入风速；v_r为风机的额定风速；v_co为风机的切出风速；P_r为风机的额定输出功率。

其次，本发明采用Vine Copula函数建立多风电场风速联合分布模型。VineCopula理论的核心思想是将多维随机变量的联合分布分解为关于原变量及其条件变量的二维Copula函数，能较好地描述多维随机变量间差异化的相关特性。

在某地区，考虑N个风电场的风速随机变量X＝(X₁，X₂，...，X_N)，其概率密度函数f_1，2，..._，N(x₁，x₂，...，x_N)可进行如下分解：

f_{1，2，...，N}(x₁，x₂，...，x_N)＝f₁(x₁)f₂₁(x₂|x₁)f_31，2(x₃|x₁，x₂)...f_{N1，2，...，N-1}(x_N|x₁，x₂，...，x_N) (3)

式中，f_k(x_k)表示X_i的概率密度函数，k＝1，2，...，N；f_{k|1，2，...，k-1}(x_k|x₁，x₂，...，x_k-1)表示条件概率密度函数，k＝2，3，...，N。在表征多维分布问题上，式(3)可分解为多种形式。本发明使用vine copula对式(3)进行分解，分解后的表达式为：

式中，F_k(x_k)表示X_i的边缘累积分布函数，k＝1，2，...，N；

为vinecopula函数，

为风电场风速具体值为

时的条件累积分布函数，

为风电场风速具体值为

时的条件累积分布函数，i₀＝2，3，...，N-1；j₀＝2，3，...，N-i₀。

其次，本发明采用Rosenblatt变换将相关性的多风电场风速向量转化为独立标准正态随机向量。Rosenblatt变换是将一组非正态相关/非相关随机变量变换成为一组等效的正态独立随机变量的方法。对于N个风电场的风速随机变量X＝(X₁，X₂，...，X_N)，假定其联合累积分布函数为F_{1，2，...，N}(x₁，x₂，...，x_N)；另假定一组相互独立的标准正态变量Y＝(Y₁，Y₂，...，Y_N)，其取值可由以下方程确定：

对式(5)求逆，可得到独立的标准正态变量Y，其表达式为

式(6)称为Rosenblatt变换，通过此变换，具有相关性的多风电场风速随机变量被变换为独立的标准正态随机变量，从而实现了相关性随机性变量的独立化。式(5)的Rosenblatt逆变换为

X_i的条件累积分布函数F_{i|1，2...，i-1}(x_i|x₁，x₂，...，x_i-1)可由下式求出：

其次，本发明采用基于Rosenblatt变换的三点估计法将对多风电场风速随机变量进行采样。其基本思想是在与风速向量维数N相同的标准独立正态向量空间中利用点估计法计算权重因子(每种情形发生的概率)和位置，然后利用Rosenblatt逆变换将位置映射回实际的风速向量，并完成2N+1次确定性的最优潮流计算，最终利用权重因子与最优潮流计算结果得到含多风电场的电力系统概率最优潮流。

其次，本发明采用原对偶内点法计算最优潮流。内点法理论属于数学分支的最优化理论。它所研究的问题是在众多的方案中确定什么样的方案最优以及如何找出最优方案。内点法本质上是拉格朗日函数、牛顿法和对数障碍函数法三者的结合，从初始内点出发，沿着最速下降方向，从可行域内部直接走向最优解。它的显著特征是其迭代次数与系统规模关系不大。虽然内点法最初是由求解线性规划而引入的，但现在已被扩展应用于求解二次规划和非线性规划模型。内点法的计算速度和处理不等式约束条件的能力均超过了求解二次规划模型的经典法和求解非线性规划模型的牛顿法。

在原对偶内点法中，经常将非线性问题用以下的数学公式表示：

obj.minf(ζ) (9)

s.t.g(ζ)＝0 (10)

式中，式(9)为目标函数；式(11)中g(ζ)＝[g₁(ζ)，g₂(ζ)，...，g_m(ζ)]^T为等式约束条件；式(11)中h(ζ)＝[h₁(ζ)，h₂(ζ)，...，h_r(ζ)]^T为不等式约束条件，其上限为

下限为h＝[h ₁，h ₂，...，h _r]^T。在以上模型中共有q个变量，s个等式约束，r个不等式约束。

将不等约束式(11)转化为等约束式，并将目标函数改造为障碍函数，可得：

式中，l＝[l₁，...，l_r]^T和u＝[u₁，...，u_r]^T松弛变量，且l＞0，u＞0；μ为扰动因子(或称障碍常数)。显然，式(12)是只含等式约束的优化问题，可以直接用拉格朗日乘子法求解，其拉格朗日函数为：

式中，y＝[y₁，...，y_m]；z＝[z₁，...，z_r]；w＝[w₁，...，w_r]均为拉格朗日乘子，亦称对偶变量，且z＞0，w＜0。由KKT(Karush-Kuhn-Tucker)一阶必要条件可知：

式中，e为各元素均为1的r维列向量；L＝diag(l₁，l₂，...，l_r)；U＝diag(u₁，u₂，...，u_r)；Z＝diag(z₁，z₂，...，z_r)；W＝diag(w₁，w₂，...，w_r)。将式(14)中的各等式展开成泰勒级数，并写成矩阵形式：

式(15)即为非线性原对偶内点法的修正方程式，其中：

采用阻尼牛顿法求解式(15)，对原对偶变量进行更新：

式中，

表示迭代次数；α_p和α_d分别表示原变量和对偶变量的迭代步长：

式中，γ为安全因子，通常取γ＝0.9995以保证(l，u，z，-w)^T＞0。

原对偶内点法的互补间隙为：

ρ＝l^Tz-u^Tw (21)

将ρ作为收敛判据(例如ρ≤10^-6时认为算法已收敛)，若不满足收敛条件则修正障碍参数：

式中，χ为中心参数，一般取χ＝0.1。然后进入下一次迭代，直至算法收敛。

下面，结合一个优选实施例介绍本发明的一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法，该方法包括如下步骤：

(1)以发电费用最小为目标函数，根据节点有功功率平衡约束、电节点无功功率平衡约束、火电机组有功出力约束、火电机组无功出力约束、节点电压约束、线路潮流约束，建立含多风电场的概率最优潮流模型。具体地，包括如下子步骤：

(1.1)以发电费用最小为目标函数为：

式中，w_g为火电机组节点集合，a_i、b_i和c_i为节点i火电机组燃料成本特性系数，P_Gi为节点i火电机组的出力。

(1.2)节点有功功率平衡约束为：

式中，P_Gi为节点i火电机组的有功出力，P_Wi为节点i风电机组的有功出力，P_Li为节点i的有功负荷大小，V_i和V_j分别为节点i和节点j的电压幅值，G_ij和B_ij分别为支路ij的电导和电纳，δ_ij为节点i和节点j之间电压的相角差，N为节点个数。

(1.3)节点无功功率平衡约束为：

式中，Q_Gi为节点i火电机组的无功出力，Q_Wi为节点i风电机组的无功出力，Q_Li为节点i的无功负荷大小，V_i和V_j分别为节点i和节点j的电压幅值，G_ij和B_ij分别为支路ij的电导和电纳，δ_ij为节点i和节点j之间电压的相角差，n为节点个数。

(1.4)火电机组有功出力约束为：

P_Gi，min≤P_Gi≤P_Gi，max (26)

式中，P_Gi为节点i火电机组的有功出力，P_Gi，min和P_Gi，max分别为节点i火电机组的有功出力下限和上限。

(1.5)火电机组无功出力约束为：

Q_Gi，min≤Q_Gi≤Q_Gi，max (27)

式中，Q_Gi为节点i火电机组的无功出力，Q_Gi，min和Q_Gi，max分别为节点i火电机组的无功出力下限和上限。

(1.6)节点电压约束为：

V_i，min≤V_i≤V_i，max (28)

式中，V_i为节点i的电压幅值，V_i，min和V_i，max分别为节点i的电压幅值下限和上限。

(1.7)线路潮流约束为：

|V_iV_j(G_ijcosδ_ij+B_ijsinδ_ij)-V_i ²G_ij|≤P_ij，max (29)

式中，V_i和V_j分别为节点i和节点j的电压幅值，G_ij和B_ij分别为支路ij的电导和电纳，δ_ij为节点i和节点j之间电压的相角差，P_ij，max为支路ij的潮流上限。

(2)根据式(1)，利用非参数核密度拟合风速，建立单风电场风速分布函数。

具体地，在本实施例中，风速数据为湖北随州的实测数据，根据式(1)，利用非参数核密度估计得到四个风电场风速的概率密度函数，如图2-图5所示，其中，柱状图是利用风速的原始数据，通过归一化得到的风速离散概率分布，而线条是利用非参数核密度估计拟合得到的风速连续概率分布。从图中可以看出，各个风速下线条的概率密度与柱状图相差不大，因此利用非参数核密度可以根据风速的实测数据直接得到风速分布，能够客观描述风速的分布特性。

(3)根据式(4)，利用Vine Copula函数建立多风电场风速联合分布模型。

具体地，在本实施例中，根据式(4)，利用Vine Copula函数建立多风电场风速联合分布模型。得到条件分布分别如图6-图8所示。其中，图6表示风电场1和风电场2的联合概率密度函数，图7表示风电场1和风电场3的联合概率密度函数，图8表示风电场1和风电场4的联合概率密度函数。利用风电场1-2、1-3、1-4的联合概率密度函数，并基于Vine Copula函数，便可得到四风电场的联合概率密度函数。

(4)利用Rosenblatt变换和三点估计法确定负荷和风电的各种情景，以及每种情形发生的概率，并基于内点法计算各种情景下的最优潮流。

具体地，在本实施例中，利用Rosenblatt变换和三点估计法确定负荷和风电的各种情景，以及每种情形发生的概率，并基于内点法计算各种情景下的最优潮流。本实施例中风电节点有4个，负荷节点有17个，因此情景数有3*(4+17)＝63个。各种情形的概率分别是1/6(前17种场景)、1/6(中间17种场景)、1/17-1/6＝-11/102(后17种场景)。需要利用内点法计算3*21＝63次最优潮流，但由于后17种场景相同，因此只需计算2*21+1＝43次最优潮流。限于篇幅，不展示43次计算结果。

(5)根据各种情景下的最优潮流，计算概率最优潮流。

具体地，在本实施例中，根据各种情景下的最优潮流，计算概率最优潮流。为验证本发明算法的准确性，将本发明算法与5000次蒙特卡洛模拟进行比较，得到两种方法下节点电压幅值/相角、支路有功/无功期望的相对误差指标分别如图8-图9所示。可以看出，节点电压幅值和相角、支路有功和无功期望的最大相对误差分别为2.89％、3.12％、2.88％、2.84％；在运行时间方面，本发明算法的运行时间比蒙特卡洛算法降低45倍。上述结果反映出本发明算法的有效性与高效性。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)以发电费用最小为目标函数，建立含多风电场的概率最优潮流模型；

(2)根据非参数核密度拟合风速，建立单风电场风速分布函数；

(3)利用单风电场风速分布函数和Vine Copula函数，建立多风电场风速联合分布模型；

(4)基于多风电场风速联合分布模型利用Rosenblatt变换和三点估计法确定负荷和风电的M种情景以及每种情形发生的概率，根据多风电场的概率最优潮流模型利用内点法计算M种情景下的最优潮流；

(5)根据M种情景下的最优潮流和每种情形发生的概率，得到概率最优潮流；

所述多风电场风速联合分布模型为：

其中，f_{1，2，...,N}(x₁,x₂,...,x_N)表示多风电场风速联合分布模型，f_k(x_k)为X_i的概率密度函数，X_i表示第i个风电场的风速随机变量，i＝1,2,…,N，k＝1,2,…,N；

为vinecopula函数，

为风电场风速具体值为

时的条件累积分布函数，

为风电场风速具体值为

时的条件累积分布函数，i₀＝2,3,…,N-1；j₀＝2,3,…,N-i₀；

所述M种情景下的最优潮流包括：M种情景下的节点电压幅值、节点电压相角、支路有功期望和支路无功期望。

2.如权利要求1所述的一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法，其特征在于，所述步骤(1)的具体实现方式为：

以发电费用最小为目标函数，根据节点有功功率平衡约束、电节点无功功率平衡约束、火电机组有功出力约束、火电机组无功出力约束、节点电压约束和线路潮流约束，建立含多风电场的概率最优潮流模型。

3.如权利要求1或2所述的一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法，其特征在于，所述目标函数为：

其中，w_g为火电机组节点集合，a_i、b_i和c_i为节点i火电机组燃料成本特性系数，P_Gi为节点i火电机组的出力。

4.如权利要求1或2所述的一种基于vine copula函数确定概率最优潮流的方法，其特征在于，所述单风电场风速分布函数为：

其中，

为单风电场风速分布函数，v为单风电场风速变量，K_h为核函数，N为风电场总数，X_i为节点i连接的风电场风速随机变量，w_w为与节点连接的风电场集合。

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