CN114137829A - 基于almbo优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法，首先，选取模型辨识的输入输出变量，并在PEMFC测控平台采集数据。然后，构建输入输出数据的Hankel矩阵，并通过SVD分解求取系统的阶次。本发明发明引入改进的优化算法—变异反向学习的自适应帝王蝶优化算法(ALMB O)，在迁移算子中，引入变异反向学习策略，对蝴蝶的位置进行变异更新，增加种群的多样性。在调整算子中，融入自适应的思想，使得调整算子随着迭代次数的变化进行线性调整，提高了算法适应度，增强算法的寻优能力。并对适应度最差的5个粒子采用柯西变异，提高其寻优能力。本发明无需复杂的电堆特性分析，且引入改进的优化算法，寻优精度高，模型输出更加贴切真实工作特性。

Description

基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法

技术领域

本发明属于工业控制领域，具体为一种基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法。

背景技术

氢能是一种新能源，具有能量高，环保等优点。质子交换膜燃料电池(PE MFC)是利用氢能作为反应物，其反应速度快，无污染，可单元模块化，具有广泛的应用前景。但PEMFC是多变量、强耦合且具有非线性特点的系统，搭建PEMFC模型过程较为复杂，且建模的输出与实际输出存在较大差异。因此，为便于后续PEMFC的控制，准确建立PEMFC的辨识模型成为首要任务。

现有的PEMFC建模方法侧重于机理模型的搭建，利用能斯特电压方程，能量守恒定理，传热方程等定义搭建燃料电池的温度模型，阴阳极气体模型，输出电压模型等。但存在以下几个问题：

(1)机理模型的搭建较为复杂，参数确定存在经验性问题。

(2)机理模型不利于后续PEMFC控制方法实现。

(3)机理模型中，各参数相互关联，耦合性大，参数设置不当，将会与实际工作状态有很大误差。

为克服上述问题，很多学者将PEMFC模型研究从机理模型搭建转移到辨识模型上来。刘璐，李奇，尹良震，et al.基于PFDL的阴极开放式PEMFC系统无模型自适应预测控制[J].中国电机工程学报,2019,39(16):4827-4837+4984.为使得PEMFC的输出性能最佳，提出了一种基于偏格式动态线性化的辨识模型，将PEMFC这一非线性时变系统转换为动态线性化数据模型，从而实现了非线性系统的控制，但实际辨识输出的误差较大。戚志东,何永康,戈卫平,孙琦.质子交换膜燃料电池的分数阶非线性状态空间模型研究[J].控制理论与应用,2019,36(03):420-427.针对PEMFC发电过程中存在强耦合，非线性，分数阶的特征，建立了PEMFC的分数阶Hammerstein模型，其精度高，但在建模过程引入了非线性环节，算法本身复杂度较高，不易在实际操作中使用。

发明内容

本发明的目的在于提供一种质子交换膜燃料电池子空间辨识方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法，包括如下步骤：

步骤1，分析PEMFC工作特性和工作原理，选取合适的PEMFC状态空间辨识模型输入、输出变量；

步骤2，利用PEMFC测控平台采集PEMFC状态空间辨识模型建模所需的实验数据，并从采集的实验数据中挑选出有效实验数据，形成PEMFC状态空间辨识模型有效输入数据集与有效输出数据集；

步骤3，构造PEMFC状态空间辨识模型；

步骤4，PEMFC状态空间辨识模型最佳状态变量初始值寻优；

步骤5，基于有效输入数据集、有效输出数据集构造Hankel矩阵；

步骤6，求解PEMFC状态空间辨识模型的阶次；

步骤7，将PEMFC状态空间辨识模型的辨识输出值与实际输出数据进行比较，若满足输出误差要求则直接输出，如不满足，则进行优化算法的继续迭代。

本发明与现有技术相比，其显著优点在于：1)避免了PEMFC复杂的机理模型，直接利用输入输出数据进行辨识；2)采用子空间辨识方法，其辨识过程不繁琐，速度快；3)引入改进的优化算法——ALMBO优化算法，使得辨识模型精度更高，贴近实际输出。

附图说明

图1是本发明基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识的流程图。

图2是PEMFC氢气流量输入曲线图。

图3是PEMFC电堆电流输入曲线图。

图4是基于ALMBO优化算法的PEMFC子空间辨识输出电压与实际电压曲线图。

图5是基于ALMBO优化算法的PEMFC子空间辨识输出功率与实际功率曲线图。

图6是基于ALMBO优化算法的PEMFC子空间辨识输出电压与实际电压误差曲线图。

图7是基于ALMBO优化算法的PEMFC子空间辨识输出功率与实际功率误差曲线图。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施例，进一步说明本发明方案。

一种基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法，过程如下：

步骤1，分析PEMFC工作特性和工作原理，选取氢气流量、电堆电流作为PEMFC状态空间辨识模型的输入变量，输出电压、输出功率作为PEMFC状态空间辨识模型的输出变量；

PEMFC在发电过程中受很多因素的影响，如氢气压力/流量，氧气压力/流量等。通过实验对电堆的输出特性进行的分析，可知氢气流量和压力的变化都会使输出有很大变化，从可测性和可控性分析，氢气流量要优于氢气压力，故选取氢气流量作为建模输入变量。电堆电流、输出电压和输出功率这三个参数是电堆性能的主要评价指标，因此本发明选取氢气流量和电堆电流作为建模输入变量，输出电压以及输出功率作为建模输出变量。

步骤2，利用PEMFC测控平台采集PEMFC状态空间辨识模型建模所需的实验数据，并从采集的实验数据中挑选出有效实验数据，形成PEMFC状态空间辨识模型有效输入数据集与有效输出数据集：

步骤2.1，利用PEMFC测控平台采集氢气流量、电堆电流、输出电压以及输出功率，得到M组实验数据，对于第i组实验数据，将

作为PEMFC辨识模型输入数据集，将

作为PEMFC辨识模型输出数据集，其中，

为采集的氢气流量，

为采集的电堆电流，

为采集的输出电压，

为采集的输出功率；

步骤2.2，对于任意第i组实验数据，若满足判决条件：

则将该组数据标识为有效实验数据，并形成PEMFC状态空间辨识模型有效输入数据集

以及有效输出数据集

式中Δ为差分运算，δ为PEMFC实际工作时，采集的数据是否具备有效性的判决阈值，N为有效实验数据数量。

步骤3，构造PEMFC状态空间辨识模型：

式中，x∈R^2×1是状态变量，

是状态变量x的导数，A,B,C,D∈R^2×2为状态空间辨识模型的系数矩阵，

是经状态空间模型辨识后的输出数据，即辨识输出电压和辨识输出功率。

步骤4，最佳状态变量初始值寻优：

在PEMFC状态空间辨识模型中，模型状态变量初始值x₀的选取对辨识精度有较为重要的影响，选取不当，会导致辨识输出与实际输出相差较大，模型不能准确地描述真实PEMFC工作情况。本发明采用改进的ALMBO优化算法进行快速准确地寻找最佳状态变量初始值，首先将寻优粒子经过迁移算子进行寻优，然后通过调整算子进行局部调整寻优，最后，将适应度最差的5个粒子进行柯西变异，增大粒子寻优能力，并将生成的第一个粒子赋给状态变量初始值x₀。

步骤4.1，初始化粒子：

生成NP组状态变量初始值x₀的随机值，记为

NP是总的个体数，将

中x₀的随机值平均分配到两个自定义种群Land1和Land2中，形成种群Land1的初始粒子x_o＝[s₁,s₂,…s_ceil(NP/2)]以及种群Land2的初始粒子x_v＝[s_ceil(NP/2)+1,s_ceil(NP/2)+2,…s_NP]，其中ceil为向上取整运算；

步骤4.2，变异反向学习迁移算子更新：

在经过变异反向学习时，将种群Land1中粒子x_o在第t+1时刻的更新值记为

具体描述为：

式中，

表示

的第k维，即帝王蝶o的位置；lb_o、ub_o是搜索空间的下边界和上边界；p_r是变异概率，范围为(0.01，0.1)；R₁、b均为(0，1)间的随机数；

表示在t时刻x_best的第k维，即帝王蝶在种群Land₁和Land₂当中最好个体的位置；t为当前迭代时刻；x_best为本次迭代得到的最优状态变量初始值；当b≤p_r时，通过随机反向学习扩大算法的搜索范围；当b＞p_r时，通过一般反向学习扩大算法的搜索范围；动态变化的lb_o、ub_o相比于固定的边界可以更好地寻找最优解。

步骤4.3，自适应调整算子更新：

完成粒子的迁移算子更新后，对Land2地中粒子x_v进行局部调整。按式(35)进行更新：

当rand≤p时，

当rand＞p时，

其中，rand是(0，1)之间的一个随机数，

表示在k+1时刻x_v的第k维，即帝王蝶v的位置；

表示在t时x_best的第k维，即帝王蝶在种群Land₁和Land₂当中最好个体的位置；t为当前迭代时刻；x_best为本次迭代得到的最优状态变量初始值；

表示从Land2中随机选取第t代帝王蝶x_r3的第k维；同时，在此条件下若rand＞BAR，则有：

其中：BAR表示调整率，在MBO中，取BAR＝5/12；定义粒子x_v的随机步长为dx，dx_k则为粒子x_v第k维的随机步长，其步长为：

α是权值，其值为：α＝S_max/t²，S_max为帝王蝶最大步长，t为当前迭代次数。

将自适应的策略引入到调整率BAR中，形成自适应调整算子，其公式如下：

BAR＝|mt-n| (6)

其中，t为当前迭代的次数，m、n是常数，其值为：

其中，t_m是最大迭代次数，BAR_max、BAR_min是调整率的上下界，其范围为[0,1]；本发明中设定BAR_max＝0.8，BAR_min＝0.2。

更新后Land2地中粒子记为

步骤4.4，柯西变异扰动更新：

将经步骤4.2～步骤4.3更新的粒子

和

按适应度值进行排序，将适应度排在最后的5个粒子按式(9)进行更新。

柯西分布函数对粒子产生的变异扰动大于使用高斯分布函数对粒子产生的扰动。高斯变异在引导粒子跳出局部最优解的能力较弱，不利于寻求最优解。在种群的每一次迭代更新中，将适应度排在最后的5个粒子进行柯西变异扰动，让粒子可以跳出局部最优，在更大的范围内重新寻找最优解。

其算法表达式为：

其中，柯西随机变量生成函数为：

η＝tan(π(ξ-0.5)) (10)

式中，ξ∈rand(0,1)，rand(0,1)是在区间[0,1]上服从均匀分布的随机数，

表示在t时刻x_o的第k维，cauchy(0,1)＝1/π(1+η²)。

更新完成后，将

和

中粒子按适应度值按从小到大进行排序，记为s^t+1。

步骤4.5，赋值计算：

将s^t+1中第一个粒子赋值给状态变量初始值x₀。

步骤5，基于有效输入数据集

有效输出数据集

构造Hankel矩阵：

其中，Y_p为过去输出Hankel矩阵，U_p为过去输入Hankel矩阵，Y_f为未来输出Hankel矩阵，U_f为未来输入Hankel矩阵，p为过去Hankel矩阵的维数，f为未来Hankel矩阵的维数。

步骤6，求解PEMFC状态空间辨识模型的阶次；

步骤6.1，利用过去输出Hankel矩阵Y_p、过去输入Hankel矩阵U_p构造新矩阵W_p＝[Y_pU_p]^T；

步骤6.2，计算O_i＝(Y_f-Y_fU_f ^T(U_fU_f ^T)^-1U_f)(W_p-W_pU_f ^T(U_fU_f ^T)^-1U_f)W_p；

步骤6.3，令W₁＝I_h×h，

对矩阵W₁O_iW₂进行SVD分解：W₁O_iW₂＝USV^T，其中，I表示为单位矩阵，h是Hankel矩阵的行数，j是Hankel矩阵的列数，U和V是酉矩阵，满足U^TU＝I，V^TV＝I；S是除去对角阵元素不为0，其余都为0的矩阵；

步骤6.4，根据S中对角线元素的大小来确定系统的阶次n：提取出S中对角线元素并从大到小排序，画出柱状图，选取数值处于中间的阶次作为该系统的阶次。

步骤7，将PEMFC状态空间辨识模型的辨识输出值

与实际输出数据

进行比较，若满足输出误差要求则直接输出，如不满足，则进行优化算法的继续迭代：

步骤7.1，计算广义能观矩阵Γ和Γ^⊥：

其中，U₁＝U(:,1:n)，指取步骤6.3中矩阵U的第1列到第n列，n是步骤6中确定的系统阶次；U₂＝U(:,n+1:end)，指取步骤6.3中矩阵U的第n列到最后一列所有数据；S₁＝S(1:n,1:n)，指取步骤6.3中S第1行到第n行中第1列到第n列的元素。

步骤7.2，计算状态空间辨识模型的系数矩阵A、C：

A＝ΓΓ^⊥ (12)

C＝Γ(1:l,:) (13)

式中，Γ^⊥表示矩阵Γ的正交矩阵，Γ(1:l,:)指取矩阵Γ的第1行到第l行所有数据，l为输出变量个数。

步骤7.3，构造M矩阵与L矩阵：

(L₁ L₂…L_h)＝Γ^⊥ (15)

表示矩阵U_f的伪逆矩阵，

是伪逆符号。

步骤7.4，计算状态空间辨识模型的系数矩阵B、D：

式中，h是Hankel矩阵的行数。

步骤7.5，将状态空间辨识模型的系数矩阵A、B、C、D以及状态变量初始值x0代入状态空间模型，求解辨识输出值

若达到预设最大迭代次数或者满足判决条件：

则输出辨识结果

否则转步骤4，其中，J为输出误差。

实施例

基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识建立过程主要包括输入输出变量的确定、数据采集和预处理、参数设定、Hankel矩阵构建、SVD分解，ALMBO优化算法寻优等，具体过程如下:

1)辨识模型的输入变量为氢气流量与电堆电流，输出变量为输出电压与输出功率。因此输入个数m＝2，输出个数l＝2。

2)采集输入输出变量的实测数据。利用所搭建的仿真平台采集1000组完整的实测数据。将采集的前500组数据建立PEMFC基于ALMBO优化算法的子空间模型，后500组数据用来验证辨识模型有效性与精确度。

3)参数设定。设过去Hankel矩阵的维数为p＝1，未来Hankel矩阵的维数为f＝5，Hankel矩阵的行数h＝5，x0＝[1.52]^T，N＝500。

4)构建Hankel矩阵。

5)经SVD分解，确定系统的阶次。

6)计算系统矩阵A,B,C,D和辨识输出。

7)定义目标函数为：

设定输出误差J＝100，最大迭代次数t_max＝50。

8)当目标函数值满足终止条件时跳出循环；若当前目标函数值不满足终止条件，则迭代次数t加1，按式(13-21)再次执行粒子更新，直至运行到最大迭代次数后终止。

9)实验结果

经过ALMBO优化算法对初始值x0寻优后，PEMFC子空间模型辨识结果如图4和图5所示，可以看出辨识模型得到的PEMFC输出电压、功率的大小与实际的输出趋于一致，建模精度都能够满足要求。图6和图7为输出变量的误差曲线图，图中可得，输出电压的误差在0-0.05范围内，输出功率的误差在0-0.6范围内,辨识模型输出与实测输出值基本吻合，能够准确描述PEMFC的输出特性。

Claims (8)

1.一种基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1，分析PEMFC工作特性和工作原理，选取合适的PEMFC状态空间辨识模型输入、输出变量；

步骤2，利用PEMFC测控平台采集PEMFC状态空间辨识模型建模所需的实验数据，并从采集的实验数据中挑选出有效实验数据，形成PEMFC状态空间辨识模型有效输入数据集与有效输出数据集；

步骤3，构造PEMFC状态空间辨识模型；

步骤4，PEMFC状态空间辨识模型最佳状态变量初始值寻优；

步骤5，基于有效输入数据集、有效输出数据集构造Hankel矩阵；

步骤6，求解PEMFC状态空间辨识模型的阶次；

步骤7，将PEMFC状态空间辨识模型的辨识输出值与实际输出数据进行比较，若满足输出误差要求则直接输出，如不满足，则进行优化算法的继续迭代。

2.根据权利要求1所述的基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法，其特征在于，步骤1中选取氢气流量、电堆电流作为PEMFC状态空间辨识模型的输入变量，输出电压、输出功率作为PEMFC状态空间辨识模型的输出变量。

3.根据权利要求1所述的基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法，其特征在于，步骤2中利用PEMFC测控平台采集PEMFC状态空间辨识模型建模所需的实验数据，并从采集的实验数据中挑选出有效实验数据，形成PEMFC状态空间辨识模型有效输入数据集与有效输出数据集，具体描述为：

步骤2.1，利用PEMFC测控平台采集氢气流量、电堆电流、输出电压以及输出功率，得到M组实验数据，对于第i组实验数据，将

作为PEMFC辨识模型输入数据集，将

作为PEMFC辨识模型输出数据集，其中，

为采集的氢气流量，

为采集的电堆电流，

为采集的输出电压，

为采集的输出功率；

步骤2.2，对于任意第i组实验数据，若满足判决条件：

则将该组数据标识为有效实验数据，并形成PEMFC状态空间辨识模型有效输入数据集

以及有效输出数据集

式中Δ为差分运算，δ为PEMFC实际工作时，采集的数据是否具备有效性的判决阈值，N为有效实验数据数量。

4.根据权利要求1所述的基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法，其特征在于，步骤3中构造PEMFC状态空间辨识模型，具体描述为：

式中，x∈R^2×1是状态变量，

是状态变量x的导数，A,B,C,D∈R^2×2为状态空间辨识模型的系数矩阵，

是经状态空间模型辨识后的输出数据，即辨识输出电压和辨识输出功率。

5.根据权利要求1所述的基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法，其特征在于，步骤4中PEMFC状态空间辨识模型最佳状态变量初始值寻优，具体描述为：

步骤4.1，初始化粒子：

生成NP组状态变量初始值x₀的随机值，记为

NP是总的个体数，将

中x₀的随机值平均分配到两个自定义种群Land1和Land2中，形成种群Land1的初始粒子x_o＝[s₁,s₂,…s_ceil(NP/2)]以及种群Land2的初始粒子x_v＝[s_ceil(NP/2)+1,s_ceil(NP/2)+2,…s_NP]，其中ceil为向上取整运算；

步骤4.2，变异反向学习迁移算子更新：

在经过变异反向学习时，将种群Land1中粒子x_o在第t+1时刻的更新值记为

具体描述为：

式中，

表示

的第k维，即帝王蝶o的位置；lb_o、ub_o是搜索空间的下边界和上边界；p_r是变异概率，范围为(0.01，0.1)；R₁、b均为(0，1)间的随机数；

表示在t时刻x_best的第k维，即帝王蝶在种群Land₁和Land₂当中最好个体的位置；t为当前迭代时刻；x_best为本次迭代得到的最优状态变量初始值；当b≤p_r时，通过随机反向学习扩大算法的搜索范围；当b＞p_r时，通过一般反向学习扩大算法的搜索范围。

步骤4.3，自适应调整算子更新：

完成粒子的迁移算子更新后，对Land2地中粒子x_v进行局部调整，将种群Land2中粒子x_v在第t+1时刻的更新值记为

按式(3)～(5)进行更新：

当rand≤p时，

当rand＞p时，

其中，rand是(0，1)之间的一个随机数，

表示

的第k维，即帝王蝶v的位置；

表示在t时x_best的第k维，即帝王蝶在种群Land₁和Land₂当中最好个体的位置；t为当前迭代时刻；x_best为本次迭代得到的最优状态变量初始值；

表示从Land2中随机选取第t代帝王蝶x_r3的第k维；同时，在此条件下若rand＞BAR，则有：

其中：t为当前迭代时刻，

为t时刻的粒子x_v；定义粒子x_v的随机步长为dx，dx_k则为粒子x_v第k维的随机步长，其步长为：

α是权值，其值为：α＝S_max/t²，S_max为帝王蝶最大步长；BAR为调整率，其计算公式为：

BAR＝|mt-n| (6)

式中，t为当前迭代时刻，m、n是常数，其值计算方式为：

式中，t_m是最大迭代次数，BAR_max、BAR_min是调整率的上下界，其范围为[0,1]；本发明中设定BAR_max＝0.8，BAR_min＝0.2。

步骤4.4，柯西变异扰动更新：

将经步骤4.2～步骤4.3更新的粒子

和

按适应度值进行排序，将适应度排在最后的5个粒子按式(9)柯西变异扰动进行更新：

其中，cauchy(0,1)＝1/π(1+η²)，η为柯西随机变量生成函数：

η＝tan(π(ξ-0.5)) (10)

式中，ξ∈rand(0,1)，rand(0,1)是在区间[0,1]上服从均匀分布的随机数，

表示在t时刻x_o的第k维。

更新完成后，将

和

中粒子按适应度值按从小到大进行排序，记为s^t+1。

步骤4.5，赋值计算：

将s^t+1中第一个粒子赋值给状态变量初始值x₀。

6.根据权利要求1所述的基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法，其特征在于，步骤5中基于有效输入数据集、有效输出数据集构造Hankel矩阵，具体描述为：

其中，Y_p为过去输出Hankel矩阵，U_p为过去输入Hankel矩阵，Y_f为未来输出Hankel矩阵，U_f为未来输入Hankel矩阵，p为过去Hankel矩阵的维数，f为未来Hankel矩阵的维数。

7.根据权利要求1所述的基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法，其特征在于，步骤6中求解PEMFC状态空间辨识模型的阶次，具体描述为：

步骤6.1，利用过去输出Hankel矩阵Y_p、过去输入Hankel矩阵U_p构造新矩阵W_p＝[Y_p U_p]^T；

步骤6.2，计算O_i＝(Y_f-Y_fU_f ^T(U_fU_f ^T)^-1U_f)(W_p-W_pU_f ^T(U_fU_f ^T)^-1U_f)W_p；

步骤6.3，令W₁＝I_h×h，

对矩阵W₁O_iW₂进行SVD分解：W₁O_iW₂＝USV^T，其中，I表示为单位矩阵，h是Hankel矩阵的行数，j是Hankel矩阵的列数，U和V是酉矩阵，满足U^TU＝I，V^TV＝I；S是除去对角阵元素不为0，其余都为0的矩阵；

步骤6.4，根据S中对角线元素的大小来确定系统的阶次n：提取出S中对角线元素并从大到小排序，画出柱状图，选取数值处于中间的阶次作为该系统的阶次。

8.根据权利要求1所述的基于ALMBO优化算法的质子交换膜燃料电池子空间辨识方法，其特征在于，步骤7中将PEMFC状态空间辨识模型的辨识输出值与实际输出数据进行比较，若满足输出误差要求则直接输出，如不满足，则进行优化算法的继续迭代，具体描述为：

步骤7.1，计算广义能观矩阵Γ和Γ^⊥：

Γ＝W₁ ^-1U₁S₁ ^1/2 (11)

其中，U₁＝U(:,1:n)，指取步骤6.3中矩阵U的第1列到第n列，n是步骤6中确定的系统阶次；U₂＝U(:,n+1:end)，指取步骤6.3中矩阵U的第n列到最后一列所有数据；S₁＝S(1:n,1:n)，指取步骤6.3中S第1行到第n行中第1列到第n列的元素。

步骤7.2，计算状态空间辨识模型的系数矩阵A、C：

A＝ΓΓ^⊥ (12)

C＝Γ(1:l,:) (13)

式中，Γ^⊥表示矩阵Γ的正交矩阵，Γ(1:l,:)指取矩阵Γ的第1行到第l行所有数据，l为输出变量个数。

步骤7.3，构造M矩阵与L矩阵：

(L₁L₂…L_h)＝Γ^⊥ (15)

表示矩阵U_f的伪逆矩阵，

是伪逆符号。

步骤7.4，计算状态空间辨识模型的系数矩阵B、D：

式中，h是Hankel矩阵的行数。

步骤7.5，将状态空间辨识模型的系数矩阵A、B、C、D以及状态变量初始值x₀代入状态空间模型，求解辨识输出值

若达到预设最大迭代次数或者满足判决条件：

则输出辨识结果

否则转步骤4，其中，J为输出误差。

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