CN108038340A - 一种质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法 - Google Patents
一种质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，首先选择氢气流量和负载电流作为输入变量，选择电压作为输出变量，采集大量的数据,并利用Poisson矩函数对数据进行滤波处理。其次，基于Grünwald‑Letnikov分数阶微积分定义，构造短时记忆矩阵和输入输出矩阵，利用矩阵方程的结果构造矩阵投影。然后，计算该投影的SVD奇异值分解，确定系统阶次并得到可观测矩阵，根据可观测矩阵求解系统矩阵A,B,C,D。最后,求解代价函数得到最优的系统分数阶阶次。本发明无需电堆模型先验知识，辨识速度快，辨识精度高，并且通用性好，便于后续的控制器设计和仿真。
Description
技术领域
本发明属于工业控制领域，具体涉及一种质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法。
背景技术
能源短缺、环境污染形势严峻的当下，发展新型清洁、可持续能源是世界任何国家的必走之路。质子交换膜燃料电池是一种新型发电装置，仅需要通入氢气和空气即可产生电能，拥有高效、清洁、噪声小等突出优点，在新能源领域扮演着越来越重要的角色。燃料电池堆的设计研发、以及发电控制系统的设计、仿真，需要精确的数学模型。
现有常用的燃料电池建模方法主要集中在机理建模，通过能量守恒定律、电化学反应方程等物理化学原理对电堆的静态/动态、电特性/温度进行建模。机理建模往往能取得不错的效果，但是依然存在以下几个主要问题：
1)需要对电堆工作机理有较为清楚的了解，需要大量的先验知识。
2)而且建模过程繁琐，需要确定大量的模型参数(模型参数往往因为电堆型号的不同而产生较大的出入)。
3)所建模型往往因为结构问题导致无法直接用于控制仿真。
4)质子交换膜燃料电池内部的气体扩散、质传及电化学反应等过程本质上是一个分数阶的过程，现有模型绝大多数都是基于整数阶领域实现的，无法精确的刻画电池的动态特性。
为了克服以上问题，许多学者对此进行了相关研究。徐夏吟.PEMFC温度子空间辨识模型[J].工业控制计算机,2015(9):77-78.仅利用燃料电池的温度数据辨识得到了单输入单输出状态空间模型，但是模型误差较大，且该方法无法刻画电池的分数阶特性。文献Bian H J,Dong Q Z,Yuan X S,et al.Research on PEMFC fractional model based onan improved genetic algorithm[C]//Control Conference.IEEE,2015:2028-2032.考虑了电池阳极室中氢气扩散的分数阶特性，但该建模方法是基于燃料电池的工作机理，建模过程复杂，需大量先验知识，且通用性不强。
发明内容
本发明的目的在于提供一种质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，无需复杂的电堆先验知识和参数，提高了模型的描述精度。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，包括如下步骤：
步骤1、选择氢气流量和负载电流作为输入变量，选择电压作为输出变量，在测控平台上在无控制作用下采集实验数据；
步骤2、对采集的实测数据进行数据完整性分析，剔除变化率超过实际PEMFC系统工作实际的测试数据，再进行滤波处理；
步骤3、通过参数寻优方法确定分数阶微分阶次的初值和短时记忆长度；
步骤4、根据短时记忆长度和分数阶微分阶次，构造短时记忆矩阵、输入矩阵和输出矩阵；
步骤5、通过QR分解，计算输入矩阵行空间到输出矩阵行空间正交补上的投影；
步骤6、结合短时记忆矩阵，对投影进行SVD分解，确定系统阶次，求解广义能观矩阵；
步骤7、根据广义能观矩阵求解辨识模型的系统矩阵；
步骤8、根据系统矩阵计算代价函数，求解系统最优分数阶阶次。
本发明与现有技术相比，其显著优点：1)本发明无需电堆模型先验知识，辨识速度快，辨识精度高；2)本发明通用性好，便于后续的控制器设计和仿真。
附图说明
图1是本发明质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法的流程图。
图2是50W空冷型电堆实测氢气流量信号。
图3是50W空冷型电堆实测负载电流信号。
图4是系统奇异值分布图。
图5是系统最优分数阶阶次代价函数图。
图6是在采用相同输入信号的情况下，采用本文辨识方法得到的PEMFC分数阶状态空间模型输出电压与实测电堆输出电压的对比。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例，进一步说明本发明方案。
一种质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，包括如下步骤：
步骤1、选择氢气流量和负载电流作为输入变量，选择电压作为输出变量，在测控平台上在无控制作用下采集实验数据；
步骤2、对采集的实测数据进行数据完整性分析，剔除变化率超过实际PEMFC系统工作实际的测试数据，再进行滤波处理；
步骤3、通过参数寻优方法确定分数阶微分阶次的初值和短时记忆长度；
步骤4、根据短时记忆长度和分数阶微分阶次，构造短时记忆矩阵、输入矩阵和输出矩阵；
步骤5、通过QR分解，计算输入矩阵行空间到输出矩阵行空间正交补上的投影；
步骤6、结合短时记忆矩阵，对投影进行SVD分解，确定系统阶次，求解广义能观矩阵；
步骤7、根据广义能观矩阵求解辨识模型的系统矩阵；
步骤8、根据系统矩阵计算代价函数，求解系统最优分数阶阶次。
步骤1采集1000-2000组实验数据。
步骤2采用Poisson矩函数对数据进行滤波处理，具体的：
Poisson矩函数表达式如下：
式中：s为拉普拉斯算子，α为分数阶微积分阶次，q、β、λ为常数，q值大于系统阶次n；对运算符M{·}作如下定义：
M{·}＝gf(t)*f(t)
式中：f(t)为关于时间t的任意函数，*为卷积运算符；
对输入输出数据做如下滤波处理：
M{ui}＝gf(i·T)*ui,i＝1,2,…N
M{yi}＝gf(i·T)*yi,i＝1,2,…N
式中：为输入向量，为输出向量，T为采样时间，N为数据组数。
步骤3中短时记忆长度L为数据组数的十分之一。
步骤4构造短时记忆矩阵、输入矩阵和输出矩阵，具体为：
设函数f(x)在区间[a,t]上，对于任意阶次α的Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义如下：
式中：[x]表示不大于x的最大整数，L为记忆长度，T为采样时间；
短时记忆矩阵构造如下：
式中：q为常数，其值大于系统阶次n；
输入输出矩阵构造方式如下：
式中：M{ui}表示滤波后的输入数据，N为数据组数；
式中：M{yi}表示滤波后的输出数据。
步骤5计算输入矩阵行空间到输出矩阵行空间正交补投影的公式为：
式中：M{UL,N}表示输入矩阵，M{YL,N}表示输出矩阵，表示投影矩阵。
步骤6求解广义能观矩阵的公式为：
式中：Ωα为短时记忆矩阵，Il为单位矩阵，l为输出的围数，为kronecker算子，Γq为广义能观矩阵。
步骤7求解辨识模型系统矩阵的公式为：
系数矩阵A,C的估计为：
式中：表示广义能观矩阵的前1～l行，l为输出的围数，符号“+”为Moore-Penrose伪逆；
则有
式中：Im为单位矩阵，m为输入的围数，求解上述矩阵方程，即可得到系数矩阵B和D的最小二乘解。
步骤8代价函数如下所示：
式中：y是系统的实际输出，是辨识模型的理论输出，||·||F表示Frobenius范数。
实施例1
如图1所示，一种质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，首先选择氢气流量和负载电流作为输入变量，选择电压作为输出变量，采集大量的数据,并利用Poisson矩函数对数据进行滤波处理。其次，基于Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义，构造短时记忆矩阵和输入输出矩阵，利用矩阵方程的结果构造矩阵投影。然后，计算该投影的SVD奇异值分解，确定系统阶次并得到可观测矩阵，根据可观测矩阵求解系统矩阵A,B,C,D。最后,求解代价函数得到最优的系统分数阶阶次。该方法可以对质子交换膜燃料电池的分数阶特性进行十分准确的描述，不仅对实际工程人员对质子交换膜燃料电池建模以及后续控制系统设计提供解决方案，而且对此类系统建模均有较好的参考价值。具体步骤如下：
步骤一、采集实测数据
输入输出变量的选择。作为新型发电装置，保证质子交换膜燃料电池的输出电压稳定自然是首要任务。然而对燃料电池的电特性有影响的因素有很多，例如氢气/氧气流量、氢气/氧气压力、电堆/环境温度、负载电流等。氢气流量直接影响电堆氧化还原反应的效率，且流量变化已于调节和测量，只需要控制氢瓶的流量阀即可。因此，将氢气流量作为一个输入。本文的建模对象为空冷型自增湿电堆，氧气流量通过风扇调节和改变，无法调节和测量。因此不将氧气流量作为输入变量。由于实测实验条件假设电堆温度通过风扇调节维持恒定，而环境温度变化微乎其微，因此不考虑两者作为输入变量。负载电流对电压的影响是最明显、最直接，因此将负载电流作为系统输入变量。采集1500组输入输出数据，前1000组用于算法辨识，后500组用于验证算法的正确性，系统输入氢气流量和负载电流波形如图2和图3所示。
步骤二、数据预处理
对实测进行数据完整性分析，数据滤波的准备工作。剔除一部分变化率不符合PEMFC系统工作实际的测试数据。
取q＝5，令Poisson矩函数为：
令采样时间T＝1，分别对输入和输出数据进行滤波处理：
M{ui}＝gf(i)*ui,i＝1,2,…1000
M{yi}＝gf(i)*yi,i＝1,2,…1000
步骤三、选择合适的分数阶阶次α和短时记忆长度L
分别取α＝0.9和L＝99。
步骤四、构造短时记忆矩阵和输入输出矩阵
式中：为输入向量，为输出向量，系统分数阶阶次α＝0.9，短时记忆长度L＝99，采样时间T＝1,q＝5。
步骤五、QR分解计算M{YL,N}的行空间到M{UL,N}的行空间正交补上的投影
步骤六、对投影进行SVD分解，求解广义能观矩阵
R22＝R(m*(L+1)+1:end,m*(L+1)+1:end)
式中：l为输出的围数，Il为单位矩阵，为kronecker算子。
S1中包含了系统的所有奇异值，通过截断法可以判断系统阶次，如图4所示。从图中可以看出当n＝4时，系统奇异值存在较大的落差，判断系统为一个4阶系统。
步骤七、求解系统矩阵A,B,C,D
系数矩阵A,C的估计为：
式中：为matlab表达式，表示矩阵的前1～l行。符号“+”为Moore-Penrose伪逆。
令
则有
求解上述矩阵方程，即可得到系数矩阵B和D的最小二乘解。
通过计算得到系统系数矩阵分别如下：
步骤八、计算代价函数求解系统最优分数阶阶次
代价函数如下所示：
式中：y是系统的实际输出，是辨识模型的理论输出，||·||F表示Frobenius范数。从图5中可以看出，当α＝0.891时，代价函数J(α)＝0.155取得最小值，故系统的分数阶阶次为0.891。
至此，系统系数矩阵和分数阶阶次都已求得。利用剩下的500组实测数据对模型进行验证。从附录图6可以看出，辨识得到的模型可以对质子交换膜燃料电池的分数阶进行很好的描述。
Claims (9)
1.一种质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1、选择氢气流量和负载电流作为输入变量，选择电压作为输出变量，在测控平台上在无控制作用下采集实验数据；
步骤2、对采集的实测数据进行数据完整性分析，剔除变化率超过实际PEMFC系统工作实际的测试数据，再进行滤波处理；
步骤3、通过参数寻优方法确定分数阶微分阶次的初值和短时记忆长度；
步骤4、根据短时记忆长度和分数阶微分阶次，构造短时记忆矩阵、输入矩阵和输出矩阵；
步骤5、通过QR分解，计算输入矩阵行空间到输出矩阵行空间正交补上的投影；
步骤6、结合短时记忆矩阵，对投影进行SVD分解，确定系统阶次，求解广义能观矩阵；
步骤7、根据广义能观矩阵求解辨识模型的系统矩阵；
步骤8、根据系统矩阵计算代价函数，求解系统最优分数阶阶次。
2.根据权利要求1所述的质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，其特征在于，步骤1采集1000-2000组实验数据。
3.根据权利要求1所述的质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，其特征在于，步骤2采用Poisson矩函数对数据进行滤波处理，具体的：
Poisson矩函数表达式如下：
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</mrow>
式中：s为拉普拉斯算子，α为分数阶微积分阶次，q、β、λ为常数，q值大于系统阶次n；
对运算符M{·}作如下定义：
M{·}＝gf(t)*f(t)
式中：f(t)为关于时间t的任意函数，*为卷积运算符；
对输入输出数据做如下滤波处理：
M{ui}＝gf(i·T)*ui,i＝1,2,…N
M{yi}＝gf(i·T)*yi,i＝1,2,…N
式中：为输入向量，为输出向量，T为采样时间，N为数据组数。
4.根据权利要求1所述的质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，其特征在于，步骤3中短时记忆长度L为数据组数的十分之一。
5.根据权利要求1所述的质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，其特征在于，步骤4构造短时记忆矩阵、输入矩阵和输出矩阵，具体为：
设函数f(x)在区间[a,t]上，对于任意阶次α的Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义如下：
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式中：[x]表示不大于x的最大整数，L为记忆长度，T为采样时间；
短时记忆矩阵构造如下：
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式中：q为常数，其值大于系统阶次n；
输入输出矩阵构造方式如下：
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<mrow></mrow>
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</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
式中：M{ui}表示滤波后的输入数据，N为数据组数；
<mrow>
<mi>M</mi>
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<msub>
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<mrow>
<mi>L</mi>
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<mi>N</mi>
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</mover>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
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<mn>1</mn>
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</mtr>
</mtable>
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<mtr>
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<mn>0</mn>
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<mi>M</mi>
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</mrow>
</msub>
<mo>}</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
式中：M{yi}表示滤波后的输出数据。
6.根据权利要求5所述的质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，其特征在于，步骤5计算输入矩阵行空间到输出矩阵行空间正交补投影的公式为：
<mrow>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
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<mi>M</mi>
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<mi>U</mi>
<mrow>
<mi>L</mi>
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</mtable>
</mfenced>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
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<msub>
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<mn>21</mn>
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<mtd>
<msub>
<mi>R</mi>
<mn>22</mn>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mi>Q</mi>
<mn>1</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
</mtd>
</mtr>
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<mtd>
<msubsup>
<mi>Q</mi>
<mn>2</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
式中：M{UL,N}表示输入矩阵，M{YL,N}表示输出矩阵，表示投影矩阵。
7.根据权利要求6所述的质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，其特征在于，步骤6求解广义能观矩阵的公式为：
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>&Omega;</mi>
<mi>&alpha;</mi>
</msub>
<mo>&CircleTimes;</mo>
<msub>
<mi>I</mi>
<mi>l</mi>
</msub>
<mo>)</mo>
<msub>
<mi>R</mi>
<mn>22</mn>
</msub>
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<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>U</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
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<mtd>
<msub>
<mi>U</mi>
<mn>2</mn>
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</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>S</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mi>V</mi>
<mn>1</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
</mtd>
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<mi>V</mi>
<mn>2</mn>
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<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>/</mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msubsup>
</mrow>
式中：Ωα为短时记忆矩阵，Il为单位矩阵，l为输出的围数，为kronecker算子，Γq为广义能观矩阵。
8.根据权利要求7所述的质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，其特征在于，步骤7求解辨识模型系统矩阵的公式为：
系数矩阵A,C的估计为：
<mrow>
<mover>
<mi>C</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
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<mi>&Gamma;</mi>
<mo>^</mo>
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<mo>:</mo>
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<mi>n</mi>
<mi>d</mi>
<mo>,</mo>
<mo>:</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：表示广义能观矩阵的前1～l行，l为输出的围数，符号“+”为Moore-Penrose伪逆；
<mrow>
<msubsup>
<mi>U</mi>
<mn>2</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>&Omega;</mi>
<mi>&alpha;</mi>
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<mo>&CircleTimes;</mo>
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<mo>)</mo>
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<mn>21</mn>
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<mi>R</mi>
<mn>11</mn>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mi>&Omega;</mi>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>+</mo>
</msubsup>
<mo>&CircleTimes;</mo>
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<mi>I</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mover>
<mo>=</mo>
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<mfenced open = "[" close = "]">
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<mn>1</mn>
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<mtd>
<msub>
<mi>h</mi>
<mn>2</mn>
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<mn>...</mn>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>h</mi>
<mi>q</mi>
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</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
<mrow>
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<mi>U</mi>
<mn>2</mn>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mover>
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<mi>&Delta;</mi>
</mover>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
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<mtd>
<msub>
<mi>l</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>l</mi>
<mn>2</mn>
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<msub>
<mi>l</mi>
<mi>q</mi>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
则有
<mrow>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>h</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>h</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mo>.</mo>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mo>.</mo>
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</mtr>
<mtr>
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</mtr>
<mtr>
<mtd>
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<mi>h</mi>
<mi>q</mi>
</msub>
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</mtr>
</mtable>
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<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
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<mi>l</mi>
<mn>1</mn>
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<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>C</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mover>
<mi>C</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mover>
<mi>A</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mo>...</mo>
<mo>+</mo>
<mover>
<mi>C</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<msup>
<mover>
<mi>A</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>q</mi>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
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</msup>
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</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>l</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>C</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mover>
<mi>C</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mover>
<mi>A</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<mo>...</mo>
<mo>+</mo>
<mover>
<mi>C</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<msup>
<mover>
<mi>A</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>q</mi>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mo>.</mo>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mo>.</mo>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mo>.</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mtd>
<mtd>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mo>.</mo>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mo>.</mo>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mo>.</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>l</mi>
<mi>q</mi>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>D</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mi>B</mi>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
式中：Im为单位矩阵，m为输入的围数，求解上述矩阵方程，即可得到系数矩阵B和D的最小二乘解。
9.根据权利要求8所述的质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法，其特征在于，步骤8代价函数如下所示：
<mfenced open = "" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mover>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>arg</mi>
<munder>
<mi>min</mi>
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo><</mo>
<mi>&alpha;</mi>
<mo><</mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
</munder>
<mi>J</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>=</mo>
<mi>arg</mi>
<munder>
<mrow>
<mi>m</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo><</mo>
<mi>&alpha;</mi>
<mo><</mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
</munder>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mi>y</mi>
<mo>-</mo>
<mover>
<mi>y</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>|</mo>
<msubsup>
<mo>|</mo>
<mi>F</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>/</mo>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mi>y</mi>
<mo>|</mo>
<msubsup>
<mo>|</mo>
<mi>F</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
式中：y是系统的实际输出，是辨识模型的理论输出，||·||F表示Frobenius范数。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
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|---|---|---|---|
| CN201711494739.2A CN108038340B (zh) | 2017-12-31 | 2017-12-31 | 一种质子交换膜燃料电池分数阶状态空间模型辨识方法 |
Publications (2)
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