CN115561639B - 基于分数阶模型的电池参数在线辨识与简化计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于分数阶模型的电池参数在线辨识与分数阶简化计算的方法，所述方法包括如下步骤：步骤一、分数阶模型传递函数和微分方程的建立；步骤二、分数阶微分项时域的计算与化简；步骤三、分数阶方程递推形式的化简；步骤四、分数阶窗口数据计算的简化。该方法基于包含Warburg元件的一阶分数阶模型，推导出用于参数在线辨识的递推形式，然后对分数阶窗口数据的计算进行简化，以减小分数阶模型的计算量。本发明的方法可使分数阶模型自适应不同的温度、工况等环境，可更准确的反应电池内部实际的动态反应特性；可为准确的状态估计、续驶里程预测等提供基础，发挥电池的最大性能并保障电动汽车的安全行驶。

Description

基于分数阶模型的电池参数在线辨识与简化计算方法

技术领域

本发明属于锂离子电池技术领域，涉及一种基于分数阶模型的参数辨识方法，具体涉及一种基于分数阶模型的电池参数在线辨识与分数阶的简化计算方法。

背景技术

电动汽车的普及和发展为资源短缺、环境污染等提供了一种新的解决途径。锂离子电池因体积小、能量密度高等优点已成为电动汽车的主流动力源。作为电池安全监测和管理的设备，电池管理系统的许多重要功能，如状态估计等与电池模型密切相关。电池模型可以很好地反映电池的内部状态，为续驶里程预测等提供信息，同时也对电动汽车的安全行驶等具有重要意义。

目前，电池模型主要有三大类：电化学模型、整数阶模型和分数阶模型。其中，电化学模型通过考虑锂离子的固液相扩散等微观反应来准确表征电池内部的动态特性，模型精度高，但是电化学模型涉及大量的参数，且表征电池内部反应的偏微分方程所带来的复杂度使其难以在实际的应用中部署。整数阶模型使用电阻、整数阶电容等电气元件来描述电池的反应特性，结构简单，计算复杂度低。然而，面对复杂工况、低温等环境时，整数阶模型并不能准确地描述电池内部的微观反应，精度较低。随着电化学阻抗谱技术的发展，人们发现整数阶模型的奈奎斯特曲线总是偏离实际电化学阻抗谱的半圆轨迹，这反映了电极双电层偏离理想电容的性质。换句话说，把电极界面的双电层简单的等效为一个物理上的整数阶电容是不够准确的。因此，采用常相位角元件代替整数阶电容的分数阶模型被提出以提高整数阶模型的精度。然而，分数阶模型在时域内需要保存一定窗口长度的数据以进行分数阶的计算，与整数阶模型相比增加了计算负担。但是，分数阶模型相较电化学模型结构简单，涉及的参数少，且相较于整数阶模型精度高，物理意义更加明确，因此若能减小分数阶在时域内计算的复杂度，则分数阶模型很适合在实际的电池管理系统中进行部署和应用。

此外，考虑到电池所经历的不同工况、不同温度等复杂条件，需实时在线辨识模型参数以使电池模型准确表征当前环境下实际的动态反应特性。然而，现有基于分数阶模型的参数辨识方法大都基于群智能优化算法进行离线辨识，目前尚未有一种明确的给出基于分数阶模型的在线参数辨识方法。

发明内容

为避免上述现有技术所存在的不足之处，本发明提供了一种基于分数阶模型的电池参数在线辨识与简化计算方法。该方法基于包含Warburg元件的一阶分数阶模型，推导出用于参数在线辨识的递推形式，然后对分数阶窗口数据的计算进行简化，以减小分数阶模型的计算量。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

一种基于分数阶模型的电池参数在线辨识与简化计算方法，包括如下步骤：

步骤一、分数阶模型传递函数和微分方程的建立

步骤一一、基于分数阶模型的结构给出分数阶模型的传递函数，对于包含Warburg元件的一阶分数阶模型，其分数阶模型的传递函数为：

上式中，y(s)＝U_ocv(s)-U_t(s)，s表示复频域，U_ocv为电池的开路电压，U_t为电池的端电压，I为电池的电流，R₀为分数阶模型的欧姆内阻，R₁为分数阶模型的极化电阻，C₁为常相位角元件的电容值，α为常相位角元件的电容阶数，W为Warburg元件的电容值，β为Warburg元件的电容阶数；

步骤一二、基于分数阶的原理，将分数阶模型的传递函数转化成分数阶微分方程，则步骤一一中包含Warburg元件的一阶分数阶模型的传递函数可转化为：

(WD^β+WR₁C₁D^α+β)y(t)＝(R₁C₁D^α+(R₀W+R₁W)D^β+R₀R₁C₁WD^α+β)I(t)+I(t)；

上式中，t表示时域内的时间。

步骤二、分数阶微分项时域的计算与化简

步骤二一、根据GL定义对步骤一给出的分数阶微分方程在时域中进行近似的离散化计算：

上式中，D^ωf(t)为分数阶计算的时域项，ΔT为采样间隔，ω为分数阶阶数，τ为分数阶计算所设定的窗口总长度，k＝i·ΔT，表示离散化后的采样时间，而的具体计算公式为：

步骤二二、根据GL的计算方式，化简分数阶微分方程，在包含Warburg元件的一阶分数阶模型中，令：

则分数阶微分方程整理成以下形式：

上式中，N₁为分数阶微分方程左边分数阶计算的窗口长度，N₂为分数阶微分方程右边分数阶计算的窗口长度；

步骤二三、令：则步骤二二的公式整理成以下的递推形式：

步骤三、分数阶方程递推形式的化简

步骤三一、根据分数阶模型中所需辨识的参数个数，设定步骤二给出的递推形式中的窗口长度值，对于包含Warburg元件的分数阶模型，令：N₁＝2,N₂＝2，并将剩余数据窗口的分数阶计算写成一个误差项e，则步骤二三的公式可转化成二阶差分方程，即可化简得到参数在线辨识的递推形式：

其中：

步骤三二、令：有：

步骤三三、将Warburg元件的阶数β当成已知量，求解步骤三二的方程组，得：

步骤四、分数阶窗口数据计算的简化

步骤四一、设置截断阈值M并定义权重因子则分数阶计算的简化策略设置为：

1)当i≤M时，采取步骤二一所示的形式对分数阶计算，即有：

2)当i＞M时，将权重因子W_m(M＜i≤τ)的平均值设置为截断时间M后的权重因子，而分数阶的计算方式如下所示：

步骤四二、对于步骤四一中i＞M时的分数阶计算，采用交叉消项的方式进行简化，即有：

1)当k＝τ时，整个窗口的分数阶计算为：

2)当k＞τ时，整个窗口的分数阶计算为：

相比于现有技术，本发明具有如下优点：

一、本发明的基于分数阶模型的在线参数辨识方法可进一步提高分数阶模型在不同环境中的动态适应能力和模型精度。

二、本发明的基于分数阶模型的在线参数辨识方法除了适应于包含Warburg元件的一阶分数阶模型外，也适用于其他类型的分数阶模型，无论是哪种类型的分数阶模型，在线参数辨识方法的思路和思想是一致的。

三、本发明的基于分数阶模型的分数阶简化计算方法大大减小了分数阶模型的计算量，有利于分数阶模型在实际应用中部署。

四、本发明的基于分数阶模型的在线参数辨识和分数阶简化计算方法可使分数阶模型自适应不同的温度、工况等环境，可更准确的反应电池内部实际的动态反应特性。

五、本发明的基于分数阶模型的在线参数辨识和分数阶简化计算方法可为准确的状态估计、续驶里程预测等提供基础，发挥电池的最大性能并保障电动汽车的安全行驶。

附图说明

图1为基于分数阶模型的在线参数辨识与分数阶简化计算方法的流程框图；

图2为考虑Warburg元件的一阶分数阶模型。

图3为分数阶模型各参数的在线辨识结果图。

图4为在线辨识过程中端电压的估计值与参考值的比较和估计误差图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。

本发明提供了一种基于分数阶模型的在线参数辨识与分数阶简化计算方法，所述方法以包含Warburg元件的一阶分数阶模型为例，推导出参数在线辨识模型，并简化分数阶窗口数据的计算以减小分数阶模型的计算量，包括以下步骤：

(1)分数阶模型传递函数和微分方程的建立

对于包含Warburg元件的一阶分数阶模型，分数阶模型的传递函数为：

上式中，y(s)＝U_ocv(s)-U_t(s)，s表示复频域，U_ocv为电池的开路电压，U_t为电池的端电压，I为电池的电流，R₀为分数阶模型的欧姆内阻，R₁为分数阶模型的极化电阻，C₁为常相位角元件的电容值，α为常相位角元件的电容阶数，W为Warburg元件的电容值，β为Warburg元件的电容阶数。

基于分数阶的原理，式(1)给出的传递函数可转化为以下的分数阶微分方程：

(WD^β+WR₁C₁D^α+β)y(t)＝(R₁C₁D^α+(R₀W+R₁W)D^β+R₀R₁C₁WD^α+β)I(t)+I(t) (2)。

上式中，t表示时域内的时间。

(2)分数阶微分项的时域计算与化简

根据Grunwald-Letnikov(GL)定义对步骤(1)给出的分数阶微分方程在时域中进行近似的离散化计算，其中，GL所定义的计算方式为：

上式中，D^ωf(t)为分数阶计算的时域项，ΔT为采样间隔，ω为分数阶阶数，τ为分数阶计算所设定的窗口总长度，k＝i·ΔT，表示离散化后的采样时间，的具体计算公式为：

根据GL的计算方式，令：

则式(2)可整理成以下形式：

上式中，N₁为式(2)左边分数阶计算的窗口长度，N₂为式(2)右边分数阶计算的窗口长度。

令：

则式(6)可整理成以下形式：

(3)分数阶方程递推形式的化简

令：N₁＝2,N₂＝2，给出参数在线辨识的递推形式，并将剩余数据窗口的分数阶计算写成一个误差项e，即由式(8)，可得：

其中：

同时，根据式(9)，令：则根据式(10)，有：

为减小计算量并利用现有条件求解上述方程组，将Warburg元件的阶数(β)当成已知量。因此，求解式(11)，可得：

(4)分数阶窗口数据计算的简化

对于式(3)所示的时域内分数阶的近似计算，设权重因子：根据式(4)，则有以下关系：

其中，当i＝0时，W_m＝1。

由于权重因子W_m随窗口数据的增加而不断减小，因此设置截断阈值M，则分数阶计算的简化策略设置为：

1)当i≤M时，此时的权重因子W_m较大，对于分数阶计算的影响也大，因此仍采取式(3)所示的形式对分数阶计算，即有：

2)当i＞M时，此时的权重因子W_m非常小，对于分数阶计算的影响也非常小。此时将W_m(M＜i≤τ)的平均值设置为截断时间M后的权重因子，而分数阶的计算方式如下所示：

为进一步简化上述运算，对于式(15)所示i＞M时的分数阶计算，采用交叉消项的方式进行简化，即：

1)当k＝τ时，结合式(14)和式(15)，则整个窗口的分数阶计算为：

2)当k＞τ时，结合式(14)，采用交叉消项的方式对式(15)进行处理，则整个窗口的分数阶计算为：

实施例：

本实施例提供了一种基于分数阶模型的在线参数辨识与分数阶简化计算方法，如图1所示，所述方法包括如下步骤：

步骤一：以图2所示的分数阶等效电路模型为基础，该模型的常相位角元件和Warburg元件的阻抗可表示为：

上式中，C₁为常相位角元件的电容值，α为常相位角元件的电容阶数，W为Warburg元件的电容值，β为Warburg元件的电容阶数。

基于图2所示的分数阶等效电路模型，上述分数阶模型的传递函数为：

上式中，y(s)＝U_ocv(s)-U_t(s)，s表示复频域，R₀为分数阶模型的欧姆内阻，R₁为分数阶模型的极化电阻，U_ocv为电池的开路电压，U_t为电池的端电压，I为电池的电流。

基于给出的分数阶模型的传递函数得到分数阶微分方程，由分数阶原理，式子(19)可化简为以下的分数阶微分方程：

(WD^β+WR₁C₁D^α+β)y(t)＝(R₁C₁D^α+(R₀W+R₁W)D^β+R₀R₁C₁WD^α+β)I(t)+I(t) (20)。

上式中，t表示时域内的时间。

步骤二：对步骤一给出的分数阶微分方程中的分数阶微分项进行离散计算与化简，以WD^βy(k)和R₁C₁D^αI(k)为例，根据GL定义对分数阶在时域内进行近似计算，其中，GL所定义的计算方程为：

上式中，D^ωf(t)为分数阶计算的时域项，ΔT为采样间隔，ω为分数阶阶数，τ为分数阶计算所设定的窗口总长度，k＝i·ΔT，表示离散化后的采样时间，而的具体计算为：

因此，WD^βy(t)和R₁C₁D^αI(t)在时域内的近似计算方程为：

类似的，每一个分数阶微分项都可以展开为上述形式，令：

则式(20)可整理成以下形式：

上式中，N₁为式(20)左边分数阶计算的窗口长度，N₂为式(20)右边分数阶计算的窗口长度。

令：

则式(26)可整理为：

步骤三：基于步骤二所化简的分数阶微分项推导出分数阶模型参数辨识的递推形式。令：N₁＝2,N₂＝2，基于步骤二给出的分数阶微分项的时域计算，给出参数在线辨识的递推形式，即由式(28)，可得：

将剩余窗口的分数阶计算写成一个误差项e，则上式可整理为：

其中：

同时，根据式(30)，取：和则有：/>

根据式子(25)，上式进一步整理有：

为减小计算量并利用现有条件求解上述方程组，将Warburg元件的阶数(β)当成已知量，实际中可由离线辨识等方法确定。因此，求解上式，可得：

若使用递推最小二乘法算法进行在线辨识，则基于分数阶模型在线参数辨识模型的系数矩阵与参数矩阵分别为：

θ＝[θ₁ θ₂ θ₃ θ₄ θ₅ e] (35)；

/>

步骤四：分数阶窗口计算的简化。对于式(21)所示的时域内分数阶的近似计算，设权重因子：根据式(22)，则有以下关系：

其中，当i＝0时，W_m＝1。

由于权重因子W_m随窗口数据的增加而不断减小，因此设置截断时间阈值M，则分数阶计算的简化策略设置为：

1)当i≤M时，此时的权重因子W_m较大，对于分数阶计算的影响也大，因此仍采取式(21)所示的形式对分数阶计算，即有：

2)当i＞M时，此时的权重因子W_m非常小，对于分数阶计算的影响也非常小。此时将W_m(M＜i≤τ)的平均值设置为截断时间M后的权重因子，而分数阶的计算方式如下所示：

为进一步简化上述运算，对于式(39)所示i＞M时的分数阶计算，采用交叉消项的方式进行简化，即：

1)当k＝τ时，结合式(38)和式(39)，则整个窗口的分数阶计算为：

2)当k＞τ时，结合式(38)，采用交叉消项的方式对式(39)进行处理，则整个窗口的分数阶计算为：

本实施例基于额定容量为57Ah的三元锂离子电池进行验证，该电池的充放电截止电压分别为4.20v和2.50v，通过混合动力脉冲测试实验确定SOC与OCV之间的关系，并在NEDC工况下获得动态测试实验数据，实验中的采样时间为1s。基于本实施例所给出的在线参数辨识的递推形式，采用递推最小二乘法算法在线辨识分数阶模型的参数。其中，参数辨识的初始值基于实际的电化学阻抗谱曲线和遗传算法离线确定，分数阶窗口大小设置为70，分数阶简化计算方法中的截断时间阈值设置为5，电池模型与本实施例所给出的在线参数辨识方法在Matlab2021b平台上运行。

图3为基于图2的分数阶模型和实施例所给出的参数在线辨识方法所辨识的各参数的结果，可以看出，各参数的收敛结果较好，所辨识的结果符合实际的物理意义。

图4为基于分数阶模型和递推最小二乘法的在线参数辨识方法在参数辨识过程中电压的估计值与真实值的比较和所估计端电压的误差图。可以看出，本实施例所提出的基于分数阶模型的在线参数辨识方法合理有效，基于在线辨识的分数阶模型的模型精度高。

表1为在同一计算平台上基于分数阶模型的简化分数阶计算与未简化分数阶计算的平均运行时间的比较。可以看出，未简化分数阶计算的平均运行时间是简化分数阶计算平均运行时间的12倍，因此本实施例所提出的分数阶计算的简化方法可使分数阶模型的计算量大大减小。

表1简化分数阶计算与未简化分数阶计算的平均运行时间比较结果

/>

Claims (1)

1.一种基于分数阶模型的电池参数在线辨识与分数阶简化计算的方法，其特征在于所述方法包括如下步骤：

步骤一、分数阶模型传递函数和微分方程的建立

步骤一一、基于分数阶模型的结构给出分数阶模型的传递函数，对于包含Warburg元件的一阶分数阶模型，其分数阶模型的传递函数为：

上式中，y(s)＝U_ocv(s)-U_t(s)，s表示复频域，U_ocv为电池的开路电压，U_t为电池的端电压，I为电池的电流，R₀为分数阶模型的欧姆内阻，R₁为分数阶模型的极化电阻，C₁为常相位角元件的电容值，α为常相位角元件的电容阶数，W为Warburg元件的电容值，β为Warburg元件的电容阶数；

步骤一二、基于分数阶的原理，将分数阶模型的传递函数转化成分数阶微分方程，则包含Warburg元件的一阶分数阶模型的传递函数可转化为：

(WD^β+WR₁C₁D^α+β)y(t)＝(R₁C₁D^α+(R₀W+R₁W)D^β+R₀R₁C₁WD^α+β)I(t)+I(t)；

上式中，t表示时域内的时间；

步骤二、分数阶微分项时域的计算与化简

步骤二一、根据GL定义对步骤一给出的分数阶微分方程在时域中进行近似的离散化计算：

上式中，D^ωf(t)为分数阶计算的时域项，ΔT为采样间隔，ω为分数阶阶数，τ为分数阶计算所设定的窗口总长度，k＝i·ΔT，表示离散化后的采样时间，而的具体计算为：

步骤二二、根据GL的计算方式，化简分数阶微分方程，在包含Warburg元件的一阶分数阶模型中，令：

则分数阶微分方程整理成以下形式：

上式中，N₁为分数阶微分方程左边分数阶计算的窗口长度，N₂为分数阶微分方程右边分数阶计算的窗口长度；

步骤二三、令：则步骤二二的公式整理成以下形式：

步骤三、分数阶方程递推形式的化简

步骤三一、根据分数阶模型中所需辨识的参数个数，设定步骤二给出的递推形式中的窗口长度值，对于包含Warburg元件的分数阶模型，令：N₁＝2,N₂＝2，并将剩余数据窗口的分数阶计算写成一个误差项e，则步骤二三的公式可转化成二阶差分方程，即可化简得到参数在线辨识的递推形式，即：

其中：

步骤三二、令：和/>有：

步骤三三、将Warburg元件的阶数β当成已知量，求解步骤三二的方程组，得：

步骤四、分数阶窗口数据计算的简化

步骤四一、设置截断阈值M并定义权重因子则分数阶计算的简化策略设置为：

1)当i≤M时，采取步骤二一所示的形式对分数阶计算，即有：

2)当M＜i≤τ时，将权重因子W_m的平均值设置为截断时间M后的权重因子，分数阶的计算方式如下所示：

步骤四二、对于步骤四一中i＞M时的分数阶计算，采用交叉消项的方式进行简化，即有：

1)当k＝τ时，整个窗口的分数阶计算为：

2)当k＞τ时，整个窗口的分数阶计算为：