CN104009247A - 一种固体氧化物燃料电池电堆温度分布估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种固体氧化物燃料电池的电堆温度分布估计方法，具体为：建立非线性电堆温度模型，以该模型为参考对象，建立非线性滑模观测器；对非线性电堆温度模型在电堆运行稳定工况下，进行线性化处理得到线性电堆温度模型；使用线性电堆温度模型作为参考对象，设计电堆温度观测器，并在极点配置保证观测误差收敛的情况下，求解出反馈增益系数，将其替代非线性温度观测器中的反馈增益系数；将固体氧化物燃料电池的实际输入作为电堆温度观测器输入，即可估计电堆内的温度分布。本发明仅需获知电堆入口及出口条件，即可准确估计出电堆内的温度分布，进而为固体氧化物燃料电池电堆温度控制提供依据，确保电堆能够安全、稳定地工作。

Description

一种固体氧化物燃料电池电堆温度分布估计方法

技术领域

本发明属于燃料电池领域，具体而言，它是一种固体氧化物燃料电池(SOFC)电堆内部温度分布估计方法。

背景技术

固体氧化物燃料电池(SOFC)作为一种可将化学能直接转化为电能的系统，因其高效率、零污染和零噪声等显著优点，已经成为传统不可再生能源最有可能的替代发电装置之一。尽管SOFC相关技术在近年得到了长足的发展，但在其商品化的道路上仍有不少的障碍需要克服，而SOFC电堆内温度和温度梯度的监测及控制即是其中最突出的障碍之一。

由于SOFC运行在600～900℃的高温环境之下，考虑到电池材料的安全性，必须对电堆中的最大温度进行控制。再者，SOFC电堆的核心部件PEN是由三层固体以类似三明治的方式叠加组合在一起构成的。而组成PEN的这三层固体又具有不同的热膨胀特性，因此当电堆内的温度分布不均匀，即当温度梯度过大时，PEN可能会因热应力过大而产生形变甚至是断裂。因此，为了SOFC能够稳定、长寿命的运行，必须把电堆的最大温度及最大温度梯度控制在材料能承受的范围之内。

最大温度及最大温度梯度作为SOFC电堆内两个最重要的温度安全指标，要对其进行控制，只需掌握电堆内的温度分布即可。然而，基于实际操作的难度和成本方面的考虑，SOFC电堆内的温度分布难以直接测量得到。因为SOFC电堆运行在高温环境之下，且对气密性的要求很高，所以不可能在电堆上打太多的孔放入热电偶，来直接测量温度。除试验台上对SOFC单电池的温度监测可能会使一些热电偶直接测量外，一般对SOFC系统而言，电堆温度的指标只是考虑了电堆入口和出口的气体温度。经对现有的技术文献进行检索，尚未发现将温度估计作为一种技术手段对SOFC电堆温度进行监测控制的技术方案。

发明内容

针对SOFC电堆内温度分布因费用高、操作难度大而难以直接测量的问题，本发明提供了一种SOFC电堆温度分布估计方法，该方法仅需要获知电堆入口及出口条件，即可以准确估计出电堆内的温度分布，进而为SOFC电堆温度控制提供依据，确保电堆能够安全、稳定地工作。

一种固体氧化物燃料电池的电堆温度分布估计方法，包括如下步骤：

步骤一、以质量守恒和能量守恒为基础的机理建模方式，对固体氧化物燃料电池建立非线性电堆温度模型，并对电堆温度模型进行有限元处理；

步骤二、以步骤一有限元处理后的电堆温度模型为参考对象，以滑模控制为理论基础，设计用于估计固体氧化物燃料电池电堆内部温度分布的包含反馈增益系数的非线性电堆温度观测器,将观测器的输出与固体氧化物燃料电池电堆的实际输出之差记为观测误差，将其作为反馈量作用于观测器，以使观测误差收敛至零；

步骤三、对步骤一建立的非线性电堆温度模型在电堆运行稳定工况下，进行线性化处理得到线性电堆温度模型；

步骤四、向线性电堆温度模型和非线性电堆温度模型的输入分别施加扰动，比较两模型在相同的输入和扰动下的响应差异，若两模型表现出的差异在可接受范围之内，则进入步骤五；

步骤五、使用经步骤四检验过的线性电堆温度模型代替步骤一建立的非线性电堆温度模型作为参考对象，设计与步骤二相同结构的电堆温度观测器，并在极点配置保证观测误差收敛的情况下，求解出反馈增益系数，并将其替代步骤二建立的非线性温度观测器中的反馈增益系数，至此非线性电堆温度观测器构建完毕；

步骤六、将固体氧化物燃料电池的实际输入作为电堆温度观测器输入，将电堆温度观测器的输出与固体氧化物燃料电池的实际输出之间的差值作为观测误差反馈量作用于观测器，直至观测误差收敛至零，此时即可估计固体氧化物燃料电池电堆内部温度分布情况。

进一步，所述步骤一在建立非线性电堆温度模型中，视电堆内的燃料与固体层温度相同并记为T_sol，电堆内空气的温度记为T_air，以T_sol和T_air作为非线性电堆温度模型的温度变量。

进一步，所述步骤一的具体实现方式为：

所述固体氧化物燃料电池的电堆由若干片单电池并联而成，视每片单电池具有完全相同的动态行为；对单电池进行建模，然后将若干片单电池模型组合即得非线性电堆温度模型；所述单电池建模的具体实现方式为：

将单电池从气体入口到出口依次等分为N个节点；

第k个节点内的燃料成分j的摩尔分数模型为：

$N_{\mathrm{an}}^k\frac{{\mathrm{dx}}_j^k}{\mathrm{dt}}=F_{\mathrm{an}}^{k-1}{x}_j^{k-1}-F_{\mathrm{an}}^k{x}_j^k+R_j^k,j\∈\left\{\begin{array}{cc}{H}_2& H_{2}O\end{array}\right\},$

第k个节点内的空气成分i的摩尔分数模型为：

$N_{\mathrm{ca}}^k\frac{{\mathrm{dx}}_i^k}{\mathrm{dt}}=F_{\mathrm{ca}}^{k-1}{x}_i^{k-1}-F_{\mathrm{ca}}^k{x}_i^k+R_i^k,i\∈\left\{\begin{array}{cc}{O}_2& N_2\end{array}\right\},$

第k个节点内的空气温度模型为：

$N_{\mathrm{ca}}^k{C}_V^k\left(T_{\mathrm{air}}^k\right)\frac{{\mathrm{dT}}_{\mathrm{air}}^k}{\mathrm{dt}}={\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{air}}^k+{\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{sol}2\mathrm{air}}^k,$

第k个节点的固体层温度模型为：

${\mathrm{\ρ}}_s{V}_s^k{C}_s^k\left(T_{\mathrm{sol}}^k\right)\frac{{\mathrm{dT}}_{\mathrm{sol}}^k}{\mathrm{dt}}={\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{fuel}}^k+{\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{air}2\mathrm{sol}}^k+{\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{sol}2\mathrm{sol}}^k+{\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{react}}^k-{\stackrel{\·}{W}}_{\mathrm{out}}^k,$

第k个节点的能斯特电压模型为：

$E_N^k=-(0.003445{\left(T_{\mathrm{sol}}^2\right)}^2+{48.12T}_{\mathrm{sol}}^k-2.443e+5)+\frac{{\mathrm{RT}}_{\mathrm{sol}}^k}{2F}\ln \left(\frac{x_{H_2}^k{\left(x_{O_2}^k\right)}^{0.5}}{x_{H_{2}O}^k}\right),$

其中，和分别为第k个节点内的燃料和空气的摩尔量，和分别为流出第k个节点的燃料和空气摩尔流速，和分别为第k个节点内的燃料成分j和空气成分i的摩尔反应速率，为空气的恒容比热容，为第k个节点内的空气温度，为空气流经第k个节点带入和带出的能量之差的变化率，为第k个节点内固体层的温度，分别为第k个节点内固体层的密度、体积和比热容，为燃料流经第k个节点带入和带出的能量之差的变化率；为第k个节点的固体层传递给空气的热量的变化率；为第k个节点的空气传递给固体层的热量的变化率；为相邻节点的固体层传递给第k个节点的固体层间的热量的变化率；为第k个节点内电化学反应产生的热量变化率；为第k个节点的输出功率，是第k个节点的能斯特电压，R为理想气体常数，F为法拉第常数， 分别为第k个节点的氢气、氧气和水蒸气的摩尔分数；

将上述模型抽象为以下形式：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(x_1,y,u,w)\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=f_2(x_1,y,u,w)\end{array}\right.$

其中：

${\left[\begin{array}{cc}{\left(x_1\right)}^T& y^T\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccccccccccccc}{x}_{O_2}^1& x_{H_2}^1& T_{\mathrm{air}}^1& T_{\mathrm{sol}}^1& x_{O_2}^2& x_{H_2}^2& T_{\mathrm{air}}^2& T_{\mathrm{sol}}^2& \·\·\·& x_{O_2}^5& x_{H_2}^5& T_{\mathrm{air}}^5& T_{\mathrm{sol}}^5\end{array}\right]}^T,$

$u={\left[\begin{array}{cc}{F}_{\mathrm{ca}}^{\mathrm{in}}& F_{\mathrm{an}}^{\mathrm{in}}\end{array}\right]}^T,$ 为电堆入口燃料流速，为电堆入口空气流速，

w＝I_tot，

y是待定输出，f₁和f₂是对非线性模型方程中相关变量关系的函数抽象。

进一步，所述非线性温度观测器的输入量包括电堆入口处的燃料流速、燃料温度、空气流速和空气温度，非线性温度观测器的输出量包括电堆出口处的燃料温度和空气温度，以及电堆内部空气温度和固体层温度。

进一步，所述步骤二的非线性温度观测器为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\hat{x}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1({\hat{x}}_1,\hat{y},u,w)+\mathrm{Lv}\\ \frac{d\hat{y}}{\mathrm{dt}}=f_2({\hat{x}}_1,\hat{y},u,w)-v\end{array}\right.$

其中：

和分别是变量x₁和y的估计值，反馈控制量 ${\left[\mathrm{csign}(\hat{y}-y)\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}{c}_1\mathrm{sign}({\hat{y}}_1-y_1)& c_2\mathrm{sign}({\hat{y}}_2-y_2)& \·\·\·& c_l\mathrm{sign}({\hat{y}}_l-y_i)\end{array}\right]}^T,$ c_z＞0(1≤z≤l)c_z为常数，l是输出y的维数，w＝I_tot，I_tot为电堆的总电流，L是观测器反馈增益系数，sign是符号函数，上标Ｔ表示转置，；

进一步，所述步骤三的具体实现方式为：在非线性电堆模型运行稳定时记录各变量的稳态值，将模型中的微分方程在其稳态值处进行泰勒级数展开，舍弃高阶项，只取其中的线性部分，即完成非线性模型的线性近似。

进一步，所述步骤五的具体实现方式为：在进行极点配置的时候，先对解耦了的电系统和热系统分别进行极点配置，然后再将其耦合到一起，计算出反馈增益系数L，用L代替步骤二建立的非线性温度观测器中的反馈增益系数，至此非线性电堆温度观测器构建完毕。

本发明的技术效果体现在：

本发明针对SOFC电堆因高温密闭的运行环境而使内部温度分布难以直接测量的这一难题，通过对SOFC电堆建立有限元机理模型，并以该模型为参考对象，建立对电堆内部温度分布的非线性滑模观测器。当该温度估计方法应用到实际对象时，把参考模型的输入输出替换为电堆的实际输入输出，即可实现对电堆内部温度分布的估计。本发明仅需要获知电堆入口及出口条件，即可以准确估计出电堆内的温度分布，进而为SOFC电堆温度控制提供依据，确保电堆能够安全、稳定地工作。

附图说明

图1为用观测器来估计SOFC电堆温度分布示意图；

图2为SOFC单电池结构及其工作原理示意图；

图3为SOFC电堆有限元分割示意图；

图4为模型输出与观测器输出的反馈误差示意图，图4(a)为电堆出口处(根据模型假设，也即第5个节点内)空气温度的观测误差，图4(b)为电堆出口处(即第5个节点内)燃料温度的观测误差；

图5为模型空气温度分布与观测器空气温度分布的比较结果图，图5(a)为第1个节点内空气温度观测值与模型值的比较，图5(b)为第2个节点内空气温度观测值与模型值的比较，图5(c)为第3个节点内空气温度观测值与模型值的比较，图5(d)为第4个节点内空气温度观测值与模型值的比较；

图6为模型空气温度分布与观测到固体层温度分布的比较结果图，图6(a)为第1个节点内固体层温度观测值与模型值的比较，图6(b)为第2个节点内固体层温度观测值与模型值的比较，图6(c)为第3个节点内固体层温度观测值与模型值的比较，图6(d)为第4个节点内固体层温度观测值与模型值的比较。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

参见图1，本发明方法步骤如下：

(1)电堆建模

本步骤采用以质量守恒、能量守恒为基础的机理建模方式，以便了解电堆内部的温度及电化学反应机制。对电堆温度建模主要考虑空气温度、燃料温度、连接体温度和PEN(阳极—电解质—阴极)温度四个温度因素，最周全的建模是以该四个温度为变量，但是计算量太大，过于复杂，实时性差。考虑到燃料相对于过量的空气流速很慢，有足够的时间跟固体结构之间进行热交换。因此，在建模中假定阳极气体与包括PEN(阳极—电解质—阴极)和连接体在内的固体层具有相同的温度并统称为T_sol，空气的温度记为T_air。本发明以T_sol和T_air作为温度变量建立二阶温度模型，下面将以这两个温度变量为例详细说明电堆温度建模过程。

SOFC单电池的结构及其工作原理，如图2所示。电堆由若干片单电池并联而成，假设每片单电池相互绝热且具有完全相同的动态行为。对电堆建模，只需对单电池进行建模，然后简单组合形成电堆模型即可。如图3所示，将单电池从气体入口到出口依次等分为N个节点，对于每个节点做如下假设：

1.所有气体为理想气体，满足理想气体方程。

2.在每个节点之内，气体分子、气体和固体的温度都均匀分布，与空间位置无关

3.气体流出节点的温度和摩尔分数等同于该点内相应的温度和摩尔分数

4.沿气流方向上，上一个节点的输出等于下一个节点的输入

基于以上假设，对SOFC单电池建模如下：

(11)摩尔分数模型

根据质量守恒，当空气流经第k(1≤k≤N)个节点时，其出口流速和入口流速之间存在如下等量关系：

$F_{\mathrm{out}}^k=F_{\mathrm{in}}^k+\mathrm{\Σ}{R}_i^k,i\∈\left\{\begin{array}{cc}{O}_2& N_2\end{array}\right\}$

其中，为第k个节点内的空气成分i的摩尔反应速率。

根据摩尔分数守恒定律，在节点k内，空气成分i的摩尔分数为：

$N_{\mathrm{ca}}^k\frac{{\mathrm{dx}}_i^k}{\mathrm{dt}}=F_{\mathrm{ca}}^{k-1}{x}_i^{k-1}-F_{\mathrm{ca}}^k{x}_i^k+R_i^k,i\∈\left\{\begin{array}{cc}{O}_2& N_2\end{array}\right\}$

其中，为流出第k个节点的空气摩尔流速；为第k个节点内空气的摩尔总量，根据理想气体方程有：

$N_{\mathrm{ca}}^k=\frac{R{T}_{\mathrm{air}}^k}{P_{\mathrm{ca}}^k{V}_{\mathrm{ca}}^k}$

其中，R为理想气体常数；分别为空气温度、压力和体积。

燃料的摩尔分数模型与空气的摩尔分数模型类似，同理可得：

第k个节点内的燃料j的摩尔分数模型为：

$N_{\mathrm{an}}^k\frac{{\mathrm{dx}}_j^k}{\mathrm{dt}}=F_{\mathrm{an}}^{k-1}{x}_j^{k-1}-F_{\mathrm{an}}^k{x}_j^k+R_j^k,j\∈\left\{\begin{array}{cc}{H}_2& H_{2}O\end{array}\right\},$ 为第k个节点内的燃料的摩尔量，为流出第k个节点的燃料摩尔流速，为第k个节点内的燃料成分j的摩尔反应速率。

(12)温度模型

根据能量守恒定律，第k个节点内空气温度模型为：

$N_{\mathrm{ca}}^k{C}_V^k\left(T_{\mathrm{air}}^k\right)\frac{{\mathrm{dT}}_{\mathrm{air}}^k}{\mathrm{dt}}={\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{air}}^k+{\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{sol}2\mathrm{air}}^k$

其中，为第k个节点内空气温度；为空气的恒容比热容；为气体流经第k个节点带入和带出的能量之差的变化率，为固体层与空气之间的热传递量的变化率，分别用如下形式表示：

${\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{air}}^k=F_{\mathrm{ca}}^{k-1}\left(\mathrm{\Σ}{x}_i^{k-1}{h}_{x_i}\left(T_{\mathrm{air}}^{k-1}\right)\right)-F_{\mathrm{ca}}^k\left(\mathrm{\Σ}{x}_i^k{h}_{x_i}\left(T_{\mathrm{air}}^k\right)\right)$

${\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{sol}2\mathrm{air}}^k=S_{\mathrm{area}}{k}_{\mathrm{sa}}(T_{\mathrm{sol}}^k-T_{\mathrm{air}}^k)$

其中，S_area为热传导表面积；k_sa为空气与固体之间的热传递系数；为气体x_i的摩尔热焓。

基于阳极燃料气体同固体结构温度相同的假设，同样根据能量守恒定律，第k个节点内的固体层温度模型为：

${\mathrm{\ρ}}_s{V}_s^k{C}_s^k\left(T_{\mathrm{sol}}^k\right)\frac{{\mathrm{dT}}_{\mathrm{sol}}^k}{\mathrm{dt}}={\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{fuel}}^k+{\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{air}2\mathrm{sol}}^k+{\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{sol}2\mathrm{sol}}^k+{\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{react}}^k-{\stackrel{\·}{W}}_{\mathrm{out}}^k$

其中，为第k个节点内固体层的温度；分别为第k个节点内固体层的密度、体积和比热容；为燃料流经第k个节点带入和带出的能量之差的变化率；为第k个节点的空气传递给固体层的热量的变化率；为相邻节点的固体层传递给第k个节点的固体层间的热量的变化率；为第k个节点的固体层同相邻的节点的固体层间的热量交换的变化率；为第k个节点内电化学反应产生的热量的变化率；为第k个节点的输出功率；具体表达如下：

${\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{fuel}}^k=F_{\mathrm{an}}^{k-1}\left(\mathrm{\Σ}{x}_i^{k-1}{h}_{x_i}\left(T_{\mathrm{sol}}^{k-1}\right)\right)-F_{\mathrm{an}}^k\left(\mathrm{\Σ}{x}_i^k{h}_{x_i}\left(T_{\mathrm{sol}}^k\right)\right)$

${\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{sol}2\mathrm{sol}}=\frac{S_{\mathrm{area}}{k}_{\mathrm{ss}}(T_{\mathrm{sol}}^{k-1}+T_{\mathrm{sol}}^{k+1}-{2T}_{\mathrm{sol}}^k)}{d_{\mathrm{sol}2\mathrm{sol}}}$

${\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{air}2\mathrm{sol}}^k=S_{\mathrm{area}}{k}_{\mathrm{sa}}(T_{\mathrm{air}}^k-T_{\mathrm{sol}}^k)$

${\stackrel{\·}{Q}}_{\mathrm{react}}=\frac{i^k}{2F}{h}_{H_{2}O}\left(T_{\mathrm{sol}}^k\right)$

${\stackrel{\·}{W}}_{\mathrm{out}}=i^{k}V$

其中，S_area为热传导表面积；k_ss为相邻固体层之间的热传递系数；为第k个节点内层的温度；d_sol2sol为两相邻节点固体层之间的等效距离，即电堆被等分时每个节点的长度；i^k为第k个节点内的总电流；V为单电池的电压；F为法拉第常数。

(13)电化学反应模型

电堆内单电池工作电压V与第k个节点内电流i^k之间的关系由下式给出：

$V=E_N^k-i^k{R}_s^k$

其中，V是电堆内单电池的工作电压；是第k个节点内的等效电阻，是极化损失电压、欧姆损失电压和浓差损失电压的等效值，本例中由实际试验数据辨识得出；是第k个节点的能斯特电压，由下式给出：

$E_N^k=-(0.003445{\left(T_{\mathrm{sol}}^2\right)}^2+{48.12T}_{\mathrm{sol}}^k-2.443e+5)+\frac{{\mathrm{RT}}_{\mathrm{sol}}^k}{2F}\ln \left(\frac{x_{H_2}^k{\left(x_{O_2}^k\right)}^{0.5}}{x_{H_{2}O}^k}\right)$

(2)观测器设计

以SOFC电堆模型为参考对象，以滑模控制为理论基础，设计非线性温度观测器。观测器作为用来估计SOFC电堆内部温度分布的工具，其输入包括电堆入口条件和控制反馈两部分。将SOFC电堆相同的操作条件，输入给观测器。观测器会产生两部分输出。第一部分是电堆实际可测的输出量，第二部分为无法直接测量，要用本发明进行估计的量。将观测器的第一部分输出与电堆的实际输出进行对比，将电堆出口处的燃料和空气温度的观测误差作为反馈量，经用滑模控制理论设计求解出的反馈增益作用后，输入给观测器。观测器则在此反馈控制之下，使自己的观测误差收敛到0。这样就得到了SOFC电堆温度分布的估计。其中，非线性观测器的增益系数L待定。

本例中观测器优化的结果是观测器输入包括电堆入口处的燃料流速、燃料温度、空气流速和空气温度；观测器输出包括电堆出口处的燃料温度和空气温度，以及电堆内部空气温度和固体层温度。

下面详细示例说明。需说明的是，本实例以步骤一例举的二阶温度模型为参考对象，观测器输入和观测器输出采用本发明的优化选择。

将SOFC电堆的非线性模型，表达成以下形式：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(x_1,y,u,w)\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}{=f}_2(x_1,y,u,w)\end{array}\right.$

其中：

${\left[\begin{array}{cc}{\left(x_1\right)}^T& y^T\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccccccccccccc}{x}_{O_2}^1& x_{H_2}^1& T_{\mathrm{air}}^1& T_{\mathrm{sol}}^1& x_{O_2}^2& x_{H_2}^2& T_{\mathrm{air}}^2& T_{\mathrm{sol}}^2& \·\·\·& x_{O_2}^5& x_{H_2}^5& T_{\mathrm{air}}^5& T_{\mathrm{sol}}^5\end{array}\right]}^T,$

$u={\left[\begin{array}{cc}{F}_{\mathrm{ca}}^{\mathrm{in}}& F_{\mathrm{an}}^{\mathrm{in}}\end{array}\right]}^T,$

w＝I_tot，

为电堆入口燃料流速，为电堆入口空气流速，I_tot为电堆的总电流，f₁和f₂是对非线性模型方程中相关变量关系的函数抽象。

基于以上模型，设计如下结构的非线性滑模观测器：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\hat{x}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1({\hat{x}}_1,\hat{y},u,w)+\mathrm{Lv}\\ \frac{d\hat{y}}{\mathrm{dt}}=f_2({\hat{x}}_1,\hat{y},u,w)-v\end{array}\right.$

其中，分别是变量x₁和y的估计值；L是待定的观测器反馈增益；f₁和f₁和f₂是对非线性模型方程中相关变量关系的函数抽象。

v是反馈控制量，具体形式如下：

$v=\mathrm{ksign}(\hat{y}-y)$

${\left[\mathrm{csign}(\hat{y}-y)\right]}^T={\left[\begin{array}{cccc}{c}_1\mathrm{sign}({\hat{y}}_1-y_1)& c_2\mathrm{sign}({\hat{y}}_2-y_2)& \·\·\·& c_l\mathrm{sign}({\hat{y}}_l-y_i)\end{array}\right]}^T,$

k_j＞0(1≤j≤l)k_j为常数

l是输出y的维数；sign是符号函数。

因为对于线性观测器的设计，已经有成熟的理论，再考虑到计算的复杂度以及实用性，本发明中先将模型线性化，用线性模型代替非线性模型来求解非线性观测器中的反馈增益L。

(3)线性化

将SOFC电堆的非线性模型在电堆稳定操作点下，以Taylor展开为工具，进行线性化处理。将非线性电堆模型运行稳定时，各变量的稳态值记录下来。将模型中的微分方程，在其稳态值处进行Taylor展开，只取其中的线性部分，舍弃高阶项，即得到非线性模型的线性近似。

因为SOFC电堆模型方程均为一阶微分方程，不失一般性，不妨采用二元函数简记为如下形式：

$\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=f(x,y)$

给SOFC电堆模型一个适当的输入，等模型运行稳定时，记录下模型所涉及变量的稳态值。以为例，设其稳态值为(x₀,y₀)。这意味着变量x在数值下(x₀,y₀)不再变化，因此有

下面以二元函数为例详细说明，实际模型方程会涉及到多元函数，处理方法相同。

对方程右端函数进行一阶Taylor展开如下：

f(x,y)＝f(x₀,y₀)+f_x(x₀,y₀)(x-x₀)+f_y(x₀,y₀)(y-y₀)

+o(x-x₀)+o(y-y₀)

≈f(x₀,y₀)+f_x(x₀,y₀)(x-x₀)+f_y(x₀,y₀)(y-y₀)

＝f_x(x₀,y₀)(x-x₀)+f_y(x₀,y₀)(y-y₀)

其中，f_x(x₀,y₀)、f_y(x₀,y₀)分别表示函数f(x,y)对变量x和y的一阶偏导在(x₀,y₀)处的值；o(x-x₀)、o(y-y₀)则分别表示x-x₀和y-y₀的高阶无穷小。

再经过一个简单的坐标变换，即可得到原非线性模型的线性近似如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}}=A_{11}{x}_1+A_{12}y+B_{1}u+C_{1}w\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=A_{21}{x}_1+A_{22}y+B_{2}u+C_{2}w\end{array}\right.$

(4)模型对比

因为线性化仅能很好地保留原函数的局部性质，所以要对线性化的模型进行检验，以考察其对原模型的可替代程度。检验方法是，给使得模型达到线性化的稳态值时的输入以一定的扰动，观察两者的动态响应是否一致，其误差是否在可接受的范围之内。如果误差在可接受范围，说明对象的性质在进行线性化的点处具有较好的连续性，可以在该局部用线性模型近似原非线性模型。否则，说明对象的性质在该点处表现为不连续，在此处不适用线性化近似，应该考虑别的研究手段。

例如，仿真时在不同的时刻分别给电堆电流、入口燃料流速和空气流速以5A，10％和20％的扰动，观察到线性与非线性模型的任意节点内的温度误差均不超过5℃。对于SOFC电堆600-900℃的运行条件，该误差在可接受的范围之内。因此，用线性化的模型来代替非线性的模型，计算观测器的增益L。

(5)求解增益L

用检验过的SOFC电堆线性模型来代替非线性模型，设计相同结构的观测器，并在极点配置保证观测误差收敛的情况下，求解出线性观测器的反馈增益系数(记为)。考虑到SOFC电堆是由响应非常快的电化学反应过程和响应非常慢的热交换过程耦合而成，因此在计算而进行极点配置的时候，先对解耦了的电系统和热系统分别进行极点配置，然后再将其耦合到一起，计算出

还是以步骤三线性化处理得到的模型为例，以检验过的线性模型代替非线性模型，设计相同结构的观测器如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\hat{x}}_1}{\mathrm{dt}}=A_{11}{\hat{x}}_1+A_{12}\hat{y}+B_{1}u+C_{1}w+\stackrel{\‾}{L}v\\ \frac{d\hat{y}}{\mathrm{dt}}=A_{21}{\hat{x}}_1+A_{22}\hat{y}+B_{2}u+C_{2}w-v\end{array}\right.$

将线性观测器方程减去线性模型方程，即得到观测误差系统如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\tilde{x}}_1}{\mathrm{dt}}=A_{11}{\tilde{x}}_1+A_{12}\tilde{y}+\stackrel{\‾}{L}v\\ \frac{d\tilde{y}}{\mathrm{dt}}=A_{21}{\tilde{x}}_1+A_{22}\tilde{y}-v\end{array}\right.$

其中， ${\tilde{x}}_1={\hat{x}}_1-x_1;\tilde{y}=\hat{y}-y.$

根据滑模控制理论，选取适当的v，以确保系统能先收敛到滑模面 $\hat{y}-y=0$ 附近且 $\frac{d\tilde{y}}{\mathrm{dt}}=0.$ 然后，由 $\frac{d\tilde{y}}{\mathrm{dt}}=A_{21}{\tilde{x}}_1+A_{22}\tilde{y}-v=0,$ 计算出等效控制 $v=v_{\mathrm{eq}}=A_{21}{\hat{x}}_1.$ 将其代入 $\frac{d{\tilde{x}}_1}{\mathrm{dt}}=A_{11}{\tilde{x}}_1+A_{12}\tilde{y}+\stackrel{\‾}{L}v,$ 得到 $\frac{d{\tilde{x}}_1}{\mathrm{dt}}=(A_{11}+\stackrel{\‾}{L}{A}_{21}){\tilde{x}}_1.$ 通过极点配置，确定适当的使得即可得到一个误差收敛的线性观测系统。

(6)用代替L，观测器设计完成。

因为线性模型跟非线性模型之间很小的误差，线性观测器和非线性观测器有相同的反馈控制形式，以及观测误差系统的收敛特性，用代替L，即可得到收敛的非线性观测器。

这样只要测量得到上述所需的输入、输出，即可估计出电堆内整个温度的分布情况。

本发明在matlab/simulink平台上进行了仿真，电堆入口条件取为： $F_{\mathrm{ca}}^{\mathrm{in}}=5.83e-{3\mathrm{mols}}^{-1},F_{\mathrm{an}}^{\mathrm{in}}=3.41e-{4\mathrm{mols}}^{-1},T_{\mathrm{fuel}}^{\mathrm{in}}=T_{\mathrm{air}}^{\mathrm{in}}=1000K.$ 在200s的时候，将电堆总电流从50A阶跃到55A。仿真结果如图所示，图4表明反馈误差被控制在很小的范围内，图5和图6分别表明了对空气温度分布和固体层温度分布估计的准确性。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种固体氧化物燃料电池的电堆温度分布估计方法，其特征在于，包括如下步骤： 

步骤一、以质量守恒和能量守恒为基础的机理建模方式，对固体氧化物燃料电池建立非线性电堆温度模型，并对电堆温度模型进行有限元处理； 

步骤二、以步骤一有限元处理后的电堆温度模型为参考对象，以滑模控制为理论基础，设计用于估计固体氧化物燃料电池电堆内部温度分布的包含反馈增益系数的非线性电堆温度观测器,将观测器的输出与固体氧化物燃料电池电堆的实际输出之差记为观测误差，将其作为反馈量作用于观测器，以使观测误差收敛至零； 

步骤三、对步骤一建立的非线性电堆温度模型在电堆运行稳定工况下，进行线性化处理得到线性电堆温度模型； 

步骤四、向线性电堆温度模型和非线性电堆温度模型的输入分别施加扰动，比较两模型在相同的输入和扰动下的响应差异，若两模型表现出的差异在可接受范围之内，则进入步骤五； 

步骤五、使用经步骤四检验过的线性电堆温度模型代替步骤一建立的非线性电堆温度模型作为参考对象，设计与步骤二相同结构的电堆温度观测器，并在极点配置保证观测误差收敛的情况下，求解出反馈增益系数，并将其替代步骤二建立的非线性温度观测器中的反馈增益系数，至此非线性电堆温度观测器构建完毕； 

步骤六、将固体氧化物燃料电池的实际输入作为电堆温度观测器输入，将电堆温度观测器的输出与固体氧化物燃料电池的实际输出之间的差值作为观测误差反馈量作用于观测器，直至观测误差收敛至零，此时即可估计固体氧化物燃料电池电堆内部温度分布情况。 

2.根据权利要求1所述的固体氧化物燃料电池的电堆温度分布估计方法，其特征在于，所述步骤一在建立非线性电堆温度模型中，视电堆内的燃料与固体层温度相同并记为T_sol，电堆内空气的温度记为T_air，以T_los和^T _air作为非线性电堆温度模型的温度变量。 

3.根据权利要求2所述的固体氧化物燃料电池的电堆温度分布估计方法，其特征在于，所述步骤一的具体实现方式为： 

所述固体氧化物燃料电池的电堆由若干片单电池并联而成，视每片单电池具有完全相同的动态行为；对单电池进行建模，然后将若干片单电池模型组合即得非线性电堆温度模型；所述单电池建模的具体实现方式为： 

将单电池从气体入口到出口依次等分为N个节点； 

第k个节点内的燃料成分j的摩尔分数模型为： 

第k个节点内的空气成分i的摩尔分数模型为： 

第k个节点内的空气温度模型为： 

第k个节点的固体层温度模型为： 

第k个节点的能斯特电压模型为： 

其中，和分别为第k个节点内的燃料和空气的摩尔量，和分别为流出第k个节点的燃料和空气摩尔流速，和分别为第k个节点内的 燃料成分j和空气成分i的摩尔反应速率，为空气的恒容比热容，为第k个节点内的空气温度，为空气流经第k个节点带入和带出的能量之差的变化率，为第k个节点内固体层的温度，分别为第k个节点内固体层的密度、体积和比热容，为燃料流经第k个节点带入和带出的能量之差的变化率；为第k个节点的固体层传递给空气的热量的变化率；为第k个节点的空气传递给固体层的热量的变化率；为相邻节点的固体层传递给第k个节点的固体层间的热量的变化率；为第k个节点内电化学反应产生的热量变化率；为第k个节点的输出功率，是第k个节点的能斯特电压，R为理想气体常数，F为法拉第常数， 分别为第k个节点的氢气、氧气和水蒸气的摩尔分数； 

将上述模型抽象为以下形式： 

其中： 

为电堆入口燃料流速，为电堆入口空气流速， 

w＝I_tot， 

y是待定输出，f₁和f₂是对非线性模型方程中相关变量关系的函数抽象。 

4.根据权利要求3所述的固体氧化物燃料电池的电堆温度分布估计方法，其特征在于，所述非线性温度观测器的输入量包括电堆入口处的燃料流速、燃料温度、空气流速和空气温度，非线性温度观测器的输出量包括电堆出口处的燃料温度和空气温度，以及电堆内部空气温度和固体层温度。 

5.根据权利要求4所述的固体氧化物燃料电池的电堆温度分布估计方 法，其特征在于，所述步骤二的非线性温度观测器为： 

其中： 

和分别是变量x1和y的估计值，反馈控制量 c_z＞0(1≤z≤l)c_z为常数，l是输出y的维数，w＝I_tot，I_tot为电堆的总电流，L是观测器反馈增益系数，sign是符号函数，上标Ｔ表示转置。 

6.根据权利要求1或2或3或4或5所述的固体氧化物燃料电池的电堆温度分布估计方法，其特征在于，所述步骤三的具体实现方式为：在非线性电堆模型运行稳定时记录各变量的稳态值，将模型中的微分方程在其稳态值处进行泰勒级数展开，舍弃高阶项，只取其中的线性部分，即完成非线性模型的线性近似。 

7.根据权利要求1或2或3或4或5所述的固体氧化物燃料电池的电堆温度分布估计方法，其特征在于，所述步骤五的具体实现方式为：在进行极点配置的时候，先对解耦了的电系统和热系统分别进行极点配置，然后再将其耦合到一起，计算出反馈增益系数用代替步骤二建立的非线性温度观测器中的反馈增益系数，至此非线性电堆温度观测器构建完毕。