CN110579969A - 一种用于双无人机协同吊运棒状刚体负载的控制方法 - Google Patents

Abstract

一种用于双无人机协同吊运棒状刚体负载的控制方法。针对平面内双无人机协同吊运系统，提出一种建模与控制方法。首先使用拉格朗日建模方法建立了完整的系统动力学模型，分析了两台旋翼无人机与负载的相对运动学关系。在所建立模型的基础上，使用李雅普诺夫方法进行控制器的设计，并结合拉塞尔不变性原理进行外环稳定性分析，随后得出期望平衡点是渐近稳定的结论。该控制方案能够防止无人机之间相互碰撞，平稳完成吊运任务，实现定点悬停，并抑制负载的摆动。实验结果表明，本发明能够完成控制目标，保证两台无人机在各自期望的范围内飞行，且对负载摆动有很好的抑制作用。

Description

一种用于双无人机协同吊运棒状刚体负载的控制方法

技术领域

本发明属于非线性欠驱动机电系统自动控制的技术领域，特别是涉及一种双无人机协同吊运的建模和控制方法。

背景技术

无人机运输是通过吊运或夹持的方式将所要运输的物品按照已规划的路径自动送达目的地的运送方式，其优点主要在于人力成本低廉，可无视大部分的地形地势，并能够解决偏远地区的配送问题，运输效率高。

多无人机协同吊运重载，目的在于使用一般吊运装置解决特殊的运送任务，比如搬运大型货物，或者对吊运过程中负载的姿态有特殊的要求等。旋翼无人机本身就是一类欠驱动系统，而当其吊运负载时，整个吊运系统变为双重欠驱动系统，对其进行有效的控制是一大难点。当吊运一个棒状的刚体负载时，不同于质点类的负载，棒状的负载需要考虑其姿态问题[1-2]。在真实的吊运场景下，无人机因为气流的作用，其互相之间是存在一定干扰的，并且由于两台无人机的速度和加速度可能不同，当存在外界扰动如自然界风的影响，两台无人机就有发生碰撞的可能，所吊运的负载也会摆动，如何进行有效的协同控制，防止碰撞，并抑制负载的摆动，是目前要考虑的实际问题。

国内外相关领域的学者对多无人机协同吊运问题也做出了相应的研究，具体解决问题的方法分为两步，首先是建立起完善而准确的系统动力学模型，这是下一步分析的基础，一些学者对系统动力学分析方面做出了很多工作[3-5]，在Liang等人的工作中，使用单台无人机吊运负载，并得出了相关的消摆算法[6-8]，但是这种拉格朗日建模方法应用在多无人机协同工作中求解极其复杂，其中涉及到的变量数量较多，因而很难计算出来，具体的实验验证也较为困难，很多研究成果仅给出了仿真验证[9-10]。对于所提出的双无人机协同吊运系统，可根据负载的特性在二维或三维空间内建立模型，在二维空间的动力学建模可以参考吊车等一些平面建模方法，Lu等人在平面内分析了两台吊车的运动状态并提出协同工作方法[11]，但是相比较而言，无人机的高度并非完全固定，此方法无法完全应用在无人机系统中。第二步提出相关的控制方法，一般分为控制或者规划。对于多无人机的控制策略包括了非线性分层控制[12]、无源控制[13]、几何控制[14]和编队控制[15]以及紧多机协同控制等。对于多无人机的协同规划是指预先规划出一定的轨迹，并令各个无人机跟踪这条轨迹，按照规划所设定的物理约束，无人机的摆角和摆角速度等将会被限制在一个比较小的范围内，各无人机的轨迹之间也不会因为干涉而发生无人机的碰撞现象。Sreenath等人证明了无人机吊运系统是微分平坦的，所以在规划方面做出了很多工作[16-17]。

发明内容

本发明的目的是解决现有双无人机协同吊运的研究在建模和控制存在的上述不足，提供一种双无人机协同吊运的建模和控制方法。

本发明通过拉格朗日建模方法，分析系统的广义力和各个状态变量的耦合关系，建立起完整的双无人机协同吊运系统动力学模型。首先使用拉格朗日建模方法建立了完整的系统动力学模型，分析了两台旋翼无人机与负载的相对位置、速度和加速度的关系。在所建立模型的基础上，使用李雅普诺夫方法进行控制器的设计并结合拉塞尔不变性原理进行稳定性分析。随后得出结论，期望的平衡点是渐近稳定的。通过对控制输入的设计，能够防止无人机之间相互碰撞，平稳完成吊运任务，实现定点悬停，并抑制负载的摆动。仿真和实验结果表明，本发明能够完成控制目标，保证两台无人机在各自期望的范围内飞行，且对负载摆动有很好的抑制作用。这对于未来的无人机快递运输和抗震救灾方面有较好的实际应用意义。

本发明用于双无人机协同吊运棒状刚体负载的控制方法，包括：

1)双无人机协同吊运系统动力学建模；

2)通过双无人机吊运系统的动力学模型，选择李雅普诺函数的候选，建立无人机外环控制器；

3)无人机内环控制器设计，对两台无人机设计相同的内环来控制无人机的姿态。

具体包括以下步骤：

第1、双无人机协同吊运系统动力学建模：

其中，m₁,m₂,m₃分别表示无人机L、无人机R和棒状刚体负载的质量；g表示重力加速度；J₁,J₂表示无人机L和无人机R的转动惯量；y,z分别表示无人机L的横、纵向位移，表示无人机L横、纵向的速度，则表示无人机L的横、纵向加速度；l₁,l₂,a分别表示与无人机L相连的吊绳长度、与无人机R相连的吊绳长度以及负载的长度；φ₁,φ₂分别表示无人机L和无人机R自身的偏转角度，相应的，表示无人机自身的偏转角速度，表示无人机自身偏转角的加速度；S₁,C₁,S₂,C₂,S₃,C₃是三角函数sinθ₁,cosθ₁,sinθ₂,cosθ₂,sinθ₃,cosθ₃的简写，S₁₊₂,C₁₊₂,S₂₊₃,C₂₊₃,S₁₊₃,C₁₊₃,S_1-3,C_1-3是sin(θ₁+θ₂),cos(θ₁+θ₂),sin(θ₂+θ₃),cos(θ₂+θ₃),sin(θ₁+θ₃),cos(θ₁+θ₃)的简写，其中θ₁,θ₂分别表示吊绳l₁,l₂关于竖直方向的偏转角度，θ₃表示负载关于水平方向的偏转角度。另外Q₁～Q₅分别表示外环独立变量[y,z,θ₁,θ₂,θ₃]所对应的广义力，Q₆,Q₇表示内环独立变量φ₁,φ₂所对应的广义力；τ₁,τ₂分别表示无人机L和无人机R的力矩。

第2、无人机外环控制器设计

考虑前面所建立的双无人机吊运系统的动力学模型，选择如下李雅普诺函数的候选：

其中V表示能量函数，分别表示无人机L横、纵向上的位置误差，其中[y₁,z₁]代表无人机L的当前位置，[y_1d,z_1d]代表无人机L的期望位置；e_y2＝y₂-y_2d 分别表示无人机R在横、纵向上的位置误差，其中[y₂,z₂]代表无人机R的当前位置，[y_2d,z_2d]代表无人机R的期望位置；C_1d,C_2d表示cosθ_1d,cosθ_2d；kp₁,kp₂,kp₃,kp₄是所设定的正的控制增益；λ＞0,Δ＞0表示双无人机协同工作中有关无人机之间的距离控制参数；q表示外环独立变量[y,z,θ₁,θ₂,θ₃]^T，表示外环独立变量的导数；M是拉格朗日方程中的正定对称矩阵M_C。

通过对外环李雅普诺夫函数(21)的求导，令其导函数可将控制输入构造如下：

k_a1,k_a2,k_d1,k_d2,k_d3,k_d4是正的控制增益，利用此外环控制器设计的控制输入，可实现无人机的定点悬停、消除负载摆动和双无人机之间的距离控制。

第3、无人机内环控制器设计

双无人机协同吊运的过程中，无人机的内环(姿态环)是相互独立的，所以可以对两台无人机设计相同的内环来控制无人机的姿态，可以选择如下的李雅普诺夫函数的候选：

在(54)中，V₁,V₂分别代表无人机L和无人机R的能量方程；r₁,r₂为滤波信号，其表达式为其中α是正的控制增益；分别是无人机L和无人机R关于自身偏转角的误差信号，其表达式为其中φ₁,φ₂为无人机L、R自身的偏转角度，而φ_1d,φ_2d则是无人机L、R的期望偏转角。

通过对内环李雅普诺夫函数(54)的求导，可将控制输入构造设计如下：

无人机L、R的转动惯量分别为J₁、J₂，可将分别作用在无人机L、R上的τ₁,τ₂设计如下：

其中k₁，k₂为正的控制增益，利用此内环设计的控制输入，可实现控制无人机自身的偏转角，从而在外环输出相应的升力f₁,f₂，从而实现所设计的控制目标。

本发明的优点和有益效果是：

本发明提出了一种双无人机协同吊运的建模和控制方法。针对平面内双无人机协同吊运系统，提出一种建模与控制方法。首先使用拉格朗日建模方法建立了完整的系统动力学模型，分析了两台旋翼无人机与负载的相对运动学关系。在所建立模型的基础上，使用李雅普诺夫方法进行控制器的设计，并结合拉塞尔不变性原理进行外环稳定性分析，随后得出期望平衡点是渐近稳定的结论。该控制方案能够防止无人机之间相互碰撞，平稳完成吊运任务，实现定点悬停，并抑制负载的摆动。实验结果表明，本发明能够完成控制目标，保证两台无人机在各自期望的范围内飞行，且对负载摆动有很好的抑制作用。

附图说明：

图1双无人机吊运棒状刚体平面示意图；

图2双无人机定位仿真结果；

图3负载摆动与自身偏转仿真结果；

图4 F330型四旋翼无人机；

图5双无人机定位实验结果；

图6负载摆动实验结果；

图7手动施加干扰的负载摆动实验结果；

图8距离控制实验结果；

图9施加干扰的距离控制实验结果。

具体实施方式：

实施例1：

第1、双无人机协同吊运系统动力学建模：

这里，选择的系统参数如下：

m₁＝m₂＝3kg,m₃＝20kg,J₁＝J₂＝7kg·m²,l₁＝l₂＝2m,a＝5m,g＝9.8m/s²

第2、无人机外环控制器设计

通过对外环李雅普诺夫函数(21)的求导，可将控制输入构造设计如下：

其中，设定两台无人机的期望位置分别为[y_d1 z_d1]^T＝[7 10]^T,[y_d2 z_d2]^T＝[1210]^T，并且期望的角度吊绳摆角和负载摆角分别为θ_1d＝θ_2d＝θ_3d＝0°。k_a1,k_a2,k_d1,k_d2,k_d3,k_d4是正的控制增益，利用外环控制器设计的控制输入(23)和(24)，可实现无人机的定点悬停、消除负载摆动和双无人机之间的距离控制；另外，外环的一些参数设定如下：

kp₁＝kp₂＝21,k_d1＝k_d2＝33,ka₁＝ka₂＝10

kp₃＝kp₄＝21,k_d3＝k_d4＝33,λ＝7,Δ＝11

其它变量可通过观测得到，相应的f₁,f₂即可计算出来。

第3、无人机内环控制器设计

无人机L、R的转动惯量分别为J₁、J₂，可将分别作用在无人机L、R上的τ₁,τ₂设计如下：

这里的φ_1d,φ_2d来自于外环所得到的f₁,f₂对应的无人机偏转角，通过观测可以得到相应的这里选择的控制参数如下：

α₁＝1,k₁＝15,α₂＝1,k₂＝15

第4、仿真与实验效果描述

第4.1、仿真结果

为验证本发明中所提出的算法的性能，首先在MATLAB/Simulink环境中进行数值仿真，具体分为两步，第一，按照所设计的控制器搭建无人机协同吊运的Simulink框架；第二，使用MATLAB绘图分析具体的结果。

仿真的结果如附图2-3所示，图2给出了所提出的方法对于无人机位置环的控制结果，所观测到的无人机的位置为用实线表示，虚线表示两台无人机的期望位置。图3给出了无人机负载的摆角，以及两台无人机自身的偏转情况。观测到的负载摆角以及两台无人机自身的偏转角度用实线表示，虚线表示负载的期望摆角和两台无人机自身的期望偏转角。从图2-3中可以看出，所提出的方法在仿真的环境下，能够在5s内将摆动角度削减至0°，即飞行器的快速定位和负载消摆两个方面均得到了令人满以的效果。

第4.2实验结果

关于实验平台方面，考虑到现有的已成体系的商用无人机一般价格昂贵，零件大都经过特别加工，所以一旦损坏，维修将变得特别困难。另外商用无人机一般不开源，只能进行简单的遥控飞行或者巡航等，不适用于实验室的条件。为此，拼装了F330型四旋翼无人机如图4所示，该无人机搭载了Raspberry Pi 3B+型机载电脑，配有Pixhawk飞行控制器，在动作捕捉系统下进行定位和控制。整个平台建立在Ubuntu下的机器人操作系统ROS上进行实际的实验验证。

实验中，无人机的参数测定如下：

m₁＝m₂＝1.5kg,m₃＝0.3kg,J₁＝J₂＝0.0117kg·m²,l₁＝l₂＝0.9m,a＝1.2m,g＝9.8m/s²

另外，一些外环控制参数经过具体的调参以后，选定了如下的参数：

kp₁＝kp₂＝5.4,k_d1＝k_d2＝6.0,ka₁＝ka₂＝1.0

kp₃＝kp₄＝6.0,k_d3＝k_d4＝8.0,λ＝4.0,Δ＝2.0

对于一些内环控制参数，经过具体的调参以后，选定了如下的参数：

α₁＝α₂＝0.15,,k₁＝k₂＝2.86

实验结果如附图5-8所示。通过改变无人机的期望位置，可以验证所提出方法对无人机精确定位的实验效果，图5中虚线表示两台无人机的期望位置，实线是观测所得的无人机位置，可以看出无人机能够较为准确的到达期望位置，并最终悬停下来；另外，图6给出了两台无人机到达期望位置后所提出方法的摆动抑制效果，相比较于传统的PD控制器，所提出的方法抑制摆动的效果较为明显，所需时间也较短。图7给出了所提出的控制方法对于摆动抑制的作用，在两台无人机悬停的时候，每隔20s对负载施加一次干扰，能够从图中看出所提出的方法抑制摆动的效果较为明显，且所提出的方法相比较于传统的PD控制器，摆角的收敛时间更短，在扰动幅度约为30°的情况下，所提出的控制器消除摆动所需的时间约为PD控制器的图8是对所提出的控制方法协同工作方面的验证，具体来说，所设计的控制输入f₁sinφ₁中，保证了无人机不会距离太近而碰撞，也不会因为距离太远而拉断吊绳或者损坏所吊运的物品。通过改变两台无人机的期望位置来验证当无人机水平方向上的位置和期望位置有偏差时，无人机能否快速有效的收敛到期望的位置。具体的，图8中的所有的虚线都表示在PD控制器下系统的吊运状态，而实现则表示所提出方法的实验结果，每当两台无人机在水平方向上的期望位置发生改变时，所提出的方法比PD方法更快的收敛到期望位置，根据水平方向的偏差的不同大小从而输出不同的f₁sinφ₁,f₁sinφ₂，验证了所提出的控制方法在协同工作中距离控制上的有效性。图9中虚线表示两台无人机在水平方向上的期望位置，可以从在将两台无人机靠近或拉开一段距离以后，都会产生所设计的控制器都会在水平方向上产生一个相反的力使得在Y方向上将两个无人机之间的距离拉回到期望的范围内。通过这种方式，两个无人机在Y方向上不会相互碰撞或者彼此离得太远，图9也验证了所提出方法的有效性。

本发明方法的理论依据及推导过程：

第1、双无人机协同吊运系统动力学建模

系统模型示意图如图1所示，用ξ₁,ξ₂,ξ₃∈R²分别表示无人机L、R以及负载的质心位置坐标，两台无人机的升力f₁、f₂垂直于无人机机体向上，无人机L、R自身翻转角度为φ₁,φ₂，长度为l₁与l₂的吊绳在竖直方向上的偏离角度分别为θ₁,θ₂，负载自身在水平方向上的偏离角度为θ₃。如图1所示，无人机L、无人机R和棒状刚体的质心三点的坐标可表示为：

为了构造独立变量，下面的计算中使用y表示y₁，用z表示z₁，S₁,C₁,S₂,C₂,S₃,C₃分别是sinθ₁,cosθ₁,sinθ₂,cosθ₂,sinθ₃,cosθ₃的简写。

根据两台无人机和负载质心的几何位置关系，用独立变量y,z,θ₁,θ₂,θ₃表示无人机R和负载的质心位置，可得：

将位置左边关于时间求导，可得两台无人机或者负载在该点的速度：

设整个吊运系统的总动能为T，包含了外环的平动动能T_ou和内环的转动动能T_in，无人机L、R的转动惯量分别为J₁、J₂，得：

T＝T_ou+T_in

对于所提出的双无人机协同吊运系统，整个系统拥有7个自由度，对应七个广义力分别为：Q₁,Q₂,Q₃,Q₄,Q₅,Q₆,Q₇，根据两台无人机的螺旋桨升力f₁,f₂，可计算其虚功为：

由速度表达式(3)，将用δ_y,δ_z替换，则有

可得外环各独立变量对应的广义力分别为

本文所使用的拉格朗日方程的表达式为

根据(8)中的表述，所提出的双无人机协同吊运系统外环的五个独立变量可表示为：

q＝[y,z,θ₁,θ₂,θ₃]^T (9)

根据(8)和(9)的表述，经过一定的数学计算后，可得：

其中，如图1所示，m₁,m₂,m₃分别表示无人机L、无人机R和棒状刚体负载的质量；g表示重力加速度；J₁,J₂表示无人机L和无人机R的转动惯量；y,z分别表示无人机L的横、纵向位移，表示无人机L横、纵向的速度，则表示无人机L的横、纵向加速度；l₁,l₂,a分别表示与无人机L相连的吊绳长度、与无人机R相连的吊绳长度以及负载的长度；φ₁,φ₂分别表示无人机L和无人机R自身的偏转角度，相应的，表示无人机自身的偏转角速度，表示无人机自身偏转角的加速度；S₁,C₁,S₂,C₂,S₃,C₃是三角函数sinθ₁,cosθ₁,sinθ₂,cosθ₂,sinθ₃,cosθ₃的简写，S₁₊₂,C₁₊₂,S₂₊₃,C₂₊₃,S₁₊₃,C₁₊₃,S_1-3,C_1-3是sin(θ₁+θ₂),cos(θ₁+θ₂),sin(θ₂+θ₃),cos(θ₂+θ₃),sin(θ₁+θ₃),cos(θ₁+θ₃)的简写，其中θ₁,θ₂分别表示吊绳l₁,l₂关于竖直方向的偏转角度，θ₃表示负载关于水平方向的偏转角度，θ₁,θ₂,θ₃定义方式和图1中是一致的。另外Q₁～Q₅分别表示外环独立变量[y,z,θ₁,θ₂,θ₃]所对应的广义力，Q₆,Q₇表示内环独立变量φ₁,φ₂所对应的广义力，可表示为：

τ₁,τ₂分别表示无人机L和无人机R的力矩。

在对外环的分析中，根据拉格朗日方程,可写为其中M_C(q)矩阵表示为：

其中有关科氏力的项可以表述为：

有关重力项的G(q)项可以表述为：

另外，有关广义力的项U可以表述为：

第2、无人机外环控制器设计与稳定性分析

第2.1、外环控制器设计

考虑前面所建立的双无人机吊运系统的动力学模型，选择如下李雅普诺函数的候选：

其中V表示能量函数，分别表示无人机L在横、纵向上的位置误差，[y₁,z₁]代表无人机L的当前位置，[y_1d,z_1d]代表无人机L的期望位置；e_y2＝y₂-y_2d，分别表示无人机R在横、纵向上的位置误差，其中[y₂,z₂]代表无人机R的当前位置，[y_2d,z_2d]代表无人机R的期望位置；C_1d,C_2d表示cosθ_1d,cosθ_2d；kp₁,kp₂,kp₃,kp₄是所设定的正的控制增益；λ＞0,Δ＞0表示双无人机协同工作中有关无人机之间的距离控制参数；q表示外环独立变量[y,z,θ₁,θ₂,θ₃]^T，表示外环独立变量的导数；M_C是拉格朗日方程中的正定对称矩阵，前文中的(17)已有表述。

通过对李雅普诺夫函数(21)的求导，可得李雅普诺夫函数的导数为：

其中表示无人机L在水平和竖直方向上的线速度，表示无人机R在水平和竖直方向上的线速度。基于此，可将控制输入构造如下：

在(23)、(24)中f₁sinφ₁、f₂sinφ₂的第三项，可以在水平方向上控制无人机L、R之间的距离不会太小而发生碰撞，也不会太大而拉断吊绳。具体来说，如果两个无人机在水平方向上的距离差到达了系统崩溃的边界，例如，则因而所提出的控制方法在距离控制方面的作用是当两台无人机在水平方向上偏离期望的位置越远，螺旋桨输出的反向力就越大。所以在当无人机到达系统即将崩溃的边界时，输出的反向力会大到足以将两个无人机之间的距离拉回到期望的范围内，这一控制策略大大降低了无人机相互碰撞或者拉断吊绳的可能。

第2.2、外环控制器稳定性分析

为简化证明过程，其中C_1d,C_2d表示cosθ_1d,cosθ_2d；kp₁,kp₂,kp₃,kp₄是的正的控制增益，λ＞0,Δ＞0，θ_2d表示θ₂的期望值。在实际正常的吊运场景下，吊绳l₁、l₂不会发生与负载重叠或者处于同一直线上的情况，所以Δ,θ₁,θ₂,θ₃满足以下的条件：

考虑实际的吊运场景，将一些参数设定如下

y_d2-y_d1≥a,z_d2＝z_d1,θ_1d＝θ_2d≥0，l₁＝l₂＝l (28)

所设计的上述控制输入(23～26)可以确保飞行器到达目标位置，并且能够消除载摆动，即：

采用拉塞尔不变性定理证明其所提出的控制器的稳定性，将(23～26)代入式(22)得到：

由式(29)可得成立，即

对等式(21)中项分析，M是一个正定矩阵，所以恒成立；

对等式(21)中进行分析，kp₁,kp₂,kp₃,kp₄是可设定的正的控制增益，

对等式(21)中进行分析，三角函数C₁,C₃最大取值为1，则该项满足所以该项有最小值；

对等式(21)中进行分析，根据(27)中所设定的条件，该项满足

对等式(21)中进行分析，根据(27)的条件，在λ＞0的情况下，

由上述分析可知V的每项条件都有下界，所以V有下界，结合(31)的结论，得

定义集合定义ψ为Ω中的最大不变集，根据式(30)得：

将(23),(24)两式相加，根据(7)和(10)中关于Q₁的算式，可得：

将(33)中的条件代入(34),并对等式(34)关于时间积分，可得：

等式(35)中的β₁为常数，当t→∞时，等式(35)将趋于无穷大，这和(32)中的推论是矛盾的，所以从(35)中可得出如下判断：

将等式(36)代入等式(35)，对时间再次进行积分，可得：

等式(37)中的β₂为常数，当t→∞时，等式(37)将趋向于无穷大，等式左边是含有三角函数的有界算式，这就产生了明显的矛盾，所以从(35)和(37)中可以得出结论：

根据(3)中关于无人机R的速度表示，等式(33)与(38)联立后，可得：

对于任意时刻t，根据(27)中关于θ₁,θ₂,θ₃的限制条件，(39)三个算式在任意时刻t都各不相同，所以在时，对于未知量有唯一解即：

根据(7)和(11)中Q₂的表示，将(25)和(26)相加，使用(40)中的条件，可以得到：

另外当时，两个无人机螺旋桨在竖直方向上仅需平衡负载与自身的重力。根据(27)的条件，在时f₁cosφ₁与f₂cosφ₂存在以下限制：

m₁g＜f₁cosφ₁＜(m₁+m₃)g；m₂g＜f₂cosφ₂＜(m₂+m₃)g (42)

(42)中的限制条件是符合真实吊运场景的，当使用吊绳拉起负载时，如果单个无人机的升力承担了整个负载和另一台无人机的部分重量，这种吊运状态会使螺旋桨电机过载，另外双无人机协同吊运一般是为了解决较重负载的吊运问题，单个无人机也无法承担负载的全部重量。

将(40)中的结果代入(12)、(13)和(14)，并根据(7)中的条件，可得：

将(26)中f₂cosφ₂的取值代入(43)可得

通过假设三种情况，可判断出并没有相应的飞行状态可以满足也就是说仅存在这一种情况，即

根据(45)的结论可得

另外，根据(45)的结论还可得出结合(28)中的设定，能够得到

z₁＝z₂,θ₁＝θ₂＝0 (47)

根据，将(24)中f₂sinφ₂的取值代入等式(44)中的第二个式子，联立(33)、(45)，可得：

对于(48)中等号的右边，根据(46)和(47)的结果，可以判断其符号

对于(48)中等号的左边，因为kp₁,kp₂是所设定的正的控制增益，λ为正数，可以判断其符号

联立(49)，(50)，即：

很显然，能得到以下结论：

综合(33)、(40)、(45)和(52)所得到的结果，推导出时存在唯一解，即

(53)是的唯一解，将(53)代入V，V在所设定的平衡点上仅有唯一的最小值V＝0。再次利用(30)～(52)的结果，可得结论：闭环系统是稳定的，前文中所设定的最大不变集ψ包含且仅包含期望的平衡点，根据拉塞尔不变性定理，期望的平衡点是渐近稳定的。

第3、无人机内环控制器设计与稳定性分析

第3.1、内环控制器设计

双无人机协同吊运的过程中，无人机的内环(姿态环)是相互独立的，所以可以对两台无人机设计相同的内环来控制无人机的姿态，可以选择如下的李雅普诺夫函数的候选：

其中V₁,V₂分别代表无人机L、R的能量方程；r₁,r₂为滤波信号，其表达式为其中α₁,α₂是正的控制增益；分别是无人机L和无人机R关于自身偏转角的误差信号，其表达式为其中φ₁,φ₂为无人机L、R自身的偏转角度，而φ_1d,φ_2d则是无人机L、R的期望偏转角。

由李雅普诺夫函数(54),可得其导数为：

无人机L、R的转动惯量分别为J₁、J₂，则有τ₁,τ₂分别为作用在无人机L、R上的力矩

τ₁,τ₂分别为作用在无人机L、R上的力矩，将控制输入设计如下：

其中k₁,k₂,α₁,α₂是所设定的正控制增益，利用此内环设计的控制输入，可实现控制无人机自身的偏转角，从而在外环输出期望的升力f₁,f₂，进而实现所设计的控制目标。

第3.2、内环控制器稳定性分析

首先，根据所设计的控制器(54)，V₁,V₂都是正定的，根据所设计的输入(57)，可得

将(58)的结果代入(55)，可得

根据(59)的结果，所设计的控制器使得无人机内环子系统在期望的平衡点指数收敛。

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[8]X.Liang,Y.Fang,N.Sun and H.Lin,A novel energy coupling basedhierarchical control approach for unmanned quadrotor transportation systems,IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,24(1):248-259,2019.

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Claims (5)

1.一种用于双无人机协同吊运棒状刚体负载的控制方法，其特征在于该方法包括：

1)双无人机协同吊运系统动力学建模；

2)通过双无人机吊运系统的动力学模型，选择李雅普诺函数的候选，建立无人机外环控制器；

3)无人机内环控制器设计，对两台无人机设计相同的内环来控制无人机的姿态。

2.根据权利要求1所述的用于双无人机协同吊运棒状刚体负载的控制方法，其特征是：步骤1)中所述的双无人机协同吊运系统动力学建模：

其中，m₁,m₂,m₃分别表示无人机L、无人机R和棒状刚体负载的质量，g表示重力加速度，J₁,J₂表示无人机L和无人机R的转动惯量，y,z分别表示无人机L的横、纵向位移，表示无人机L横、纵向的速度，则表示无人机L的横、纵向加速度，l₁,l₂,a分别表示与无人机L相连的吊绳长度、与无人机R相连的吊绳长度以及负载的长度，φ₁,φ₂分别表示无人机L和无人机R自身的偏转角度，表示无人机自身的偏转角速度，表示无人机自身偏转角的加速度；S₁,C₁,S₂,C₂,S₃,C₃是三角函数sinθ₁,cosθ₁,sinθ₂,cosθ₂,sinθ₃,cosθ₃的简写，S₁₊₂,C₁₊₂,S₂₊₃,C₂₊₃,S₁₊₃,C₁₊₃,S_1-3,C_1-3是sin(θ₁+θ₂),cos(θ₁+θ₂),sin(θ₂+θ₃),cos(θ₂+θ₃),sin(θ₁+θ₃),cos(θ₁+θ₃)的简写，其中θ₁,θ₂分别表示吊绳l₁,l₂关于竖直方向的偏转角度，θ₃表示负载关于水平方向的偏转角度。

3.根据权利要求1所述的用于双无人机协同吊运棒状刚体负载的控制方法，其特征是：步骤2)选择如下李雅普诺函数的候选：

其中V表示能量函数，分别表示无人机L在横、纵向上的相对于期望位置的误差，其中[y₁,z₁]代表无人机L的当前位置，[y_1d,z_1d]代表无人机L的期望位置，e_y2＝y₂-y_2d,分别表示无人机R在横、纵向上的位置误差，[y₂,z₂]代表无人机R的当前位置，[y_2d,z_2d]代表无人机R的期望位置；C_1d,C_2d表示cosθ_1d,cosθ_2d，kp₁,kp₂,kp₃,kp₄是所设定的正的控制增益，λ＞0,Δ＞0表示双无人机协同工作中有关无人机之间的距离控制参数，q表示外环独立变量[y,z,θ₁,θ₂,θ₃]^T，表示外环独立变量的导数，M是拉格朗日方程中的正定对称矩阵M_C。

4.根据权利要求1所述的用于双无人机协同吊运棒状刚体负载的控制方法，其特征是：步骤2)控制输入构造设计如下：

k_a1,k_a2,k_d1,k_d2,k_d3,k_d4是正的控制增益，利用外环控制器设计的控制输入(23)和(24)，实现无人机的定点悬停、消除负载摆动和双无人机之间的距离控制。

5.根据权利要求1所述的用于双无人机协同吊运棒状刚体负载的控制方法，其特征是步骤3)包括：

选择如下的李雅普诺夫函数的候选：

其中V₁,V₂分别代表无人机L、R的能量方程，r₁,r₂为滤波信号，其表达式为其中α₁,α₂是正的控制增益，分别是无人机L和无人机R关于自身偏转角的误差信号，其表达式为其中φ₁,φ₂为无人机L、R自身的偏转角度，而φ_1d,φ_2d则是无人机L、R的期望偏转角；

通过对内环李雅普诺夫函数(54)的求导，可将控制输入构造如下：

其中J₁,J₂分别为无人机L、R的转动惯量，k₁,k₂为正的控制增益，利用此内环设计的控制输入，控制无人机自身的偏转角，从而在外环输出期望的升力f₁,f₂。