CN110375772B - 自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机误差建模与补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于环形激光器的转台现场快速校准装置，提出了一种自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机误差建模与补偿方法，属于惯性校准技术领域。本发明首先进行实验测试，获得环形激光器的输出脉冲数据；对数据进行处理，计算Allan方差；进而根据Allan方差建立自回归阶滑动平均模型(ARMA模型)，并利用BIC准则和最小二乘法辨识模型的阶次和参数；然后对此ARMA模型设计了基于自适应卡尔曼滤波的补偿方法，降低随机误差对模型精度的影响，有效地提高了环形激光器的校准精度。本发明利用环形激光校准法实现对现场用转台的校准，不但操作简单，而且环境适应性强，可以在宽的温度范围内使用，它具有精度高，可靠性好，动态范围大，无机械噪声影响等优点。

Description

自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机误差建模与补偿方法

技术领域

本发明涉及一种基于环形激光器的转台现场快速校准装置，提出了一种自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机误差建模与补偿方法，属于惯性校准技术领域。

背景技术

近年来，伺服转台已经在航空、航天、兵器、船舶、核工业、电子等行业得到广泛应用。转台性能的优劣直接关系到惯性器件参数验证的准确性、可靠性和可信度。能够在现场环境下对转台进行快速、便捷的校准，使其满足较高的测试精度和测量分辨率，是保证部队、航空、航天等军工系统型号产品和武器系统的精度和性能的基础。

四频环形激光器是美国最新研制成功的新型激光陀螺，它具有精度高，可靠性好，动态范围大，无机械噪声影响等优点，广泛地应用在导航和制导领域。而随机误差是影响环形激光器测角精度的主要因素之一。因此，研究四频环形激光器随机误差的建模与补偿方法具有重要的实际应用价值。为了消除环形激光器随机误差的影响，已有很多国内外专家开展了随机误差建模和补偿的相关研究工作。美国的Sandia实验室在分析了造成激光器随机游走的原因后，根据统计规律给出了随机游走总效应的表达式。俄罗斯圣彼德堡电子大学利用Allan方差分析法对随机游走总效应进行分析，区分出了由量子噪声所引起的随机游走系数和其他因素所引起的随机游走系数。浙江大学采用最小二乘法对Allan方差进行拟合，得到了随机游走系数。北京信息科技大学使用自回归平均滑动模型对输出数据进行分析，并采用卡尔曼进行滤波处理，明显减小了环形陀螺的随机误差。然而，标准的卡尔曼滤波方程要求过程噪声与观测噪声是期望为零、不相关的白噪声序列，而环形激光器中的随机噪声为有色噪声，这就影响了状态方程和测量方程的精度，使得环形激光器的校准精度下降。

发明内容

本发明针对上述问题，提出了自适应卡尔曼滤波方法对环形激光器的随机误差进行建模和补偿，由于所提出自适应卡尔曼滤波在对观测数据进行递推滤波的同时，不断地对未知的或不确定的模型参数和噪声的统计特性进行适当的估计和修正，因此该方法能够减小模型误差，使滤波结果更接近于真实值，有效地消除随机噪声的影响，进而提高环形激光器的校准精度，为环形激光器校准法在复杂环境下的应用提供了保障。

本发明的目的是对于环形激光器校准法，研究随机噪声对环形激光器校准精度的影响，并设计了一种基于自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机误差建模与补偿方法，有效地消除了随机噪声对激光陀螺测量精度的影响。具体方法如下：首先进行实验测试，获得环形激光器的输出脉冲数据；对数据进行处理，计算Allan方差；进而根据Allan方差建立自回归阶滑动平均模型(ARMA模型)，并利用BIC准则和最小二乘法辨识模型的阶次和参数；然后对此ARMA模型设计了基于自适应卡尔曼滤波的补偿方法，降低随机误差对模型精度的影响，有效地提高了环形激光器的校准精度。

自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机误差建模与补偿方法，具体技术方案如下：

步骤一、将环形激光器安置在转台上，测试在匀速转动下的环形激光器的输出脉冲数，进行数据处理，计算方差。

将环形激光器固定在转台上，对环形激光器进行预热，设置采样时间为t₀，预热后开始采集转台静止时环形激光器的输出脉冲，记为φ_i。

设总数据长度为n，将m个连续数据作为一个数组，对所得数据进行划分，得到c个数据组，根据下式计算每个数组的方差σ²：

其中

为相邻两个数组,

为输出的平均值，表示为

选择不同的m值构成不同的数组，即得到多个方差σ²。

步骤二、结合式(1)所得的多个方差值，根据Allan方差分析法建立随机误差的模型。

选取不同的采样时间，重复步骤一的过程，在双对数坐标系得到方差与时间的关系曲线，称为Allan方差曲线，并建立Allan方差模型，如下式：

式中τ为采样时间间隔，σ²(τ)是经典方差或者Allan方差，B为零偏不稳定性系数，N为角度随机游走系数，Q为量化噪声系数，K为速率随机游走系数，R为速率斜坡系数。采用最小二乘方法对(2)式进行辨识，得出随机游走参数。

步骤三，根据Allan方差模型建立ARMA模型，并利用BIC准则和最小二乘法辨识模型阶次和参数。

根据对(2)式的辨识结果，可得ARMA模型为

式中：序列{a_t}(t＝1,2,…,m)为残差序列，且为服从(0,σ²)分布的白噪声序列；x_t为平稳、零均值的时间序列{x_t}(t＝1,2,…,m)在t时刻的数据；

为自回归参数；θ₁、θ_q、{θ_j}(j＝1,…,q)为滑动平均参数；

由Akaike提出的BIC准则，能够有效确定模型的阶次，Akaiket提出的准则函数BIC(p,q)为：

式中：p,q分别为ARMA(p,q)模型中x_t序列和a_t序列的阶数；

为Allan方差的最大似然估计；

在运用BIC准则确定ARMA(p,q)模型阶次时，利用式(4)计算准则函数的值，计算得到的值越接近0，代表所用的ARMA(p,q)模型阶数越合适。

确定了ARMA(p,q)模型的阶次后，下面将采用最小二乘法对模型参数进行辨识。

首先定义参数向量

信息向量w(τ)＝[a_t,x_t-1,…,x_t-p,a_t-1,…,a_t-q]^T，最小二乘法迭代式如下：

其中L(τ),P(τ)分别为增益向量和协方差矩阵，P(τ)为P(τ-1)的前一时刻值，

为θ(τ)的估计值，θ(τ-1)为θ(τ)的前一时刻值，

为θ(τ-1)的估计值，p₀为设定值，I为单位矩阵。

步骤四，基于所得ARMA(p,q)模型，提出基于自适应卡尔曼的滤波方法对环形激光器输出进行补偿。

根据ARMA(p,q)模型(3)，选择状态变量为X_k＝[x_t x_t-1 … x_t-p]^T，系统噪声为W_k＝[a_t a_t-1 … a_t-q]^T，则ARMA(p,q)模型的离散系统的状态方程与测量方程为

其中，X_k-1为X_k的前一时刻状态矩阵，Z_k为测量矩阵，H为核函数矩阵，W_k为系统噪声，A为状态转移矩阵，B为系统噪声系数矩阵，V_k为测量噪声。系统噪声W_k与测量噪声V_k是均值为0，且相互独立。W_k的自相关函数为

V_k的自相关函数为

式中，R_k取ARMA(p,q)估计误差的方差，Q_k是分布为(0,σ²)的白噪声的方差，δ_ki为切换函数，表达为

则基于自适应卡尔曼滤波的递推方程为：

其中L_k,M_k为噪声的均值，

的更新率为：

式中，

为状态估计值，

为预测状态，K_k为滤波增益，P_k，k-1为预测方差，P_k为估计均方误差，其中P₀为零矩阵，

取R_k的估计值，

是Q_k的估计值，I为单位矩阵，d_k为加权系数设计为：

d_k＝(1-a)/(1-a^k+1) (11)

式中a为遗忘因子，取值范围在0到1之间。

采用如公式(9)的自适应卡尔曼滤波方法对原系统(6)的输出X_k进行滤波，所得到的

比X_k具有更小的波动范围，有效地消除了随机效应对环形激光器输出的影响，提高了校准精度。

有益效果：

1、本发明的自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机误差建模与补偿方法，利用环形激光校准法实现对现场用转台的校准，不但操作简单，而且环境适应性强，可以在宽的温度范围内使用，它具有精度高，可靠性好，动态范围大，无机械噪声影响等优点。

2、本发明的自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机误差建模与补偿方法，通过对输出数据测量，计算Allan方差，并构建随机误差的ARMA模型，设计基于自适应卡尔曼滤波的补偿方法，能够有效消除随机误差对系统的影响，提高环形激光器的校准精度。

3、本发明的自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机误差建模与补偿方法，相比于标准的卡尔曼滤波补偿方法，所提出的方法增加了对噪声统计特性的估计，能够有效提高模型的逼近精度，降低随机噪声对测量精度的影响。

4、本发明的自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机误差建模与补偿方法，与标准卡尔曼滤波相比，自适应卡尔曼滤波增加了对噪声统计特性的估计。利用测量数据Z_k在线估计噪声的均值L_k和M_k，以及方差Q_k和R_k，根据每一步的噪声均值和方差的估计结果不断修正当前的状态估计值，实现对估计状态量和噪声的统计量的交替更新。

附图说明

图1为本发明的基于环形激光器的测速结构示意图；

图2为本发明的基于自适应卡尔曼滤波的随机误差建模和补偿方法；

图3环形激光器静止下的输出脉冲数据(零偏)；

图4滤波后的输出脉冲数据(零偏)。

具体实施方式

本实施例中，根据发明内容所述方法利用环形激光器对伺服转台进行校准，并设计了基于自适应卡尔曼滤波的随机误差建模和补偿方法，消除了随机噪声对环形激光器的影响，提高了校准精度。

基于自适应卡尔曼滤波的随机误差建模和补偿方法，如图2所示，主要分为以下几个步骤：

步骤一、将环形激光器安置在转台上，测试在静止下的环形激光器的输出脉冲数，进行数据处理，计算方差。

如图1所示，将环形激光器固定在转台中心位置，激光器的轴心要与转台轴心重合，连接好线路后，打开测试软件，启动环形激光器预热30分钟，通过控制转台静止不动，设置采样时间为t₀＝1s，采集10小时的环形激光器输出脉冲φ_i。

所得总数据长度为n，对第一步得到的数据进行划分，将m个连续数据作为一个数组，总共有c组数据，并求每个数据组的平均值，总共有n-c个所述的平均值。计算公式如下：

其中，

为每个数组的平均值。

对相邻数组平均值作差可得一个新的数组ξ_v+1,v为

定义一个元素为数组平均之差的随机变量集合{ξ_v+1,v,v＝1,2,…,n-c-1}，共有n-c-1个所述的数组。

根据下式对所述集合{ξ_v+1,v,v＝1,2,…,n-c-1}求方差σ²：

步骤二、根据Allan方差分析法建立随机误差的模型。

选取不同的采样时间，计算方差σ²，在双对数坐标系得到方差与时间的关系曲线，称为Allan方差曲线，并建立Allan方差模型，进而求得随机游走系数，如下式：

式中τ为采样时间间隔，σ²(τ)是经典方差或者Allan方差，B为零偏不稳定性系数，N为角度随机游走系数，Q为量化噪声系数，K为速率随机游走系数，R为速率斜坡系数。

根据第一步中所得的Allan方差σ²(τ)作为输出，采样时间τ作为输入，采用最小二乘法对(15)式进行辨识，得到各项系数为

Q＝1.1281,N＝0.0015,B＝0.0329,K＝0.1288,N＝0.1468 (16)

步骤三、根据Allan方差模型建立ARMA模型，并利用BIC准则和最小二乘法辨识模型阶次和参数。

根据(16)式，可得ARMA模型的残差为

式中：序列{a_t}(t＝1,2,…,m)为残差序列，且为服从(0,σ²)分布的白噪声序列；x_t为平稳、零均值的时间序列{x_t}(t＝1,2,…,m)在t时刻的数据；

为自回归参数；θ₁、θ_q、{θ_j}(j＝1,…,q)为滑动平均参数。

ARMA(p,q)模型常用的定阶方法有动态数据系统(DDS)法、Box-Jenkins法、AIC准则定阶法、BIC准则定阶法等，而AIC与BIC准则定阶法因简单、方便而被经常使用。1974年，Akaike提出了AIC准则，主要是通过式(17)所示的各种ARMA(p,q)模型阶次下的AIC的值，确定模型最适合的阶数。

实际应用中，由于AIC准则确定的ARMA(p,q)的模型阶数偏高，因此，在统计的测量数据数量较大时，Akaike又提出了BIC准则，其准则函数为由Akaike提出的BIC准则，能够有效确定模型的阶次，其准则函数为：

式中：p,q分别为ARMA(p,q)模型中x_t序列和a_t序列的阶数；

为Allan方差的最大似然估计。

在运用BIC准则确定ARMA(p,q)模型阶次时，利用式(18)计算准则函数的值，计算得到的值越接近0，代表所用的ARMA(p,q)模型阶数越合适。计算结果如表1所示。

表1 ARMA模型的阶数计算结果

由表1可知，由于ARMA(2,1)模型的BIC准则函数的值最接近0，因此最合适的模型为ARMA(2,1)，然后采用式(5)对ARMA(p,q)模型进行辨识，设置时间间隔0.01s，辨识参数

的初始值设置为I_2p-1/10³，其中I为单位矩阵，迭代结束后的

即为对θ值的准确估计，进而得出ARMA(p,q)模型的各项系数。

因此，建立的模型为

x_t＝a_t-0.6624a_t-1+0.7451x_t-1-0.03894x_t-2 (19)

步骤四，基于所得ARMA(p,q)模型，提出基于自适应卡尔曼的滤波方法对环形激光器输出进行补偿。

对于状态方程与测量方程(6)，标准卡尔曼滤波的递推方程可设计为：

式中，

为状态估计值，

为预测状态，K_k为滤波增益，P_k,k-1为预测方差，P_k为估计均方误差，P₀为初始矩阵，H为核矩阵，

取R_k的估计值，

是Q_k的估计值，I为单位矩阵。

然而，标准的卡尔曼滤波方程要求过程噪声与观测噪声是期望为零、不相关的白噪声序列，这限制了卡尔曼滤波方法在实际中的应用。因此，本专利设计了基于自适应卡尔曼滤波的补偿方法，对噪声进行实时估计并对模型进行修正，有效地消除噪声对系统的影响。则基于自适应卡尔曼滤波的递推方程为：

其中L_k,M_k为噪声的均值，

的更新率为：

式中d_k为加权系数设计为：

d_k＝(1-a)/(1-a^k+1) (23)

式中a为遗忘因子，取值范围在0到1之间。

与标准卡尔曼滤波相比，自适应卡尔曼滤波增加了对噪声统计特性的估计。利用测量数据Z_k在线估计噪声的均值L_k和M_k，以及方差Q_k和R_k，根据每一步的噪声均值和方差的估计结果不断修正当前的状态估计值，实现对估计状态量和噪声的统计量的交替更新。

为了验证本发明的有效性，采用环形激光器在转台静止时采集10小时以上的原始输出数据进行验证。自适应卡尔曼滤波器的参数设置为

p₀＝0.1,a＝0.3，最终的辨识结果如图3和图4所示。

从实验结果图3和图4对比中可看出，随着时间的延长，环形激光器输出发生了漂移，趋于发散状态，并且由于受到随机因素的影响，静止时的输出波动范围在-14.4～+15.8之间，如图3所示。而采用本专利所设计的自适应卡尔曼自适应滤波方法对输出数据进行处理，静止时的输出脉冲波动范围在-15.0～+15.3之间，相比于原始输出脉冲的波动范围大为减弱，并且输出曲线的漂移程度也显著下降。因此，采用基于自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机游走建模与补偿能够有效消除随机因素对环形激光器的影响，大幅提高环形激光器的校准精度。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.自适应卡尔曼滤波的环形激光器随机误差建模与补偿方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤一、将环形激光器安置在转台上，测试在匀速转动下的环形激光器的输出脉冲数，进行数据处理，计算方差；

将环形激光器固定在转台上，对环形激光器进行预热，设置采样时间为t₀，预热后开始采集转台静止时环形激光器的输出脉冲，记为φ_i；

总数据长度为n，选择采样时间t₀的整数倍m，对所得数据进行划分，得到c个数据组，根据下式计算每个数据组的方差σ²：

其中

为相邻两个数组,

为输出的平均值，表示为

选择采样时间t₀的不同整数倍，即得到多个方差σ²；

步骤二、结合式(1)所得的多个方差值，根据Allan方差分析法建立随机误差的模型；

选取不同的采样时间，重复步骤一的过程，在双对数坐标系得到方差与时间的关系曲线，称为Allan方差曲线，并建立Allan方差模型，如下式：

式中τ为采样时间间隔，σ²(τ)是经典方差或者Allan方差，B为零偏不稳定性系数，N为角度随机游走系数，Q为量化噪声系数，K为速率随机游走系数，R为速率斜坡系数；采用最小二乘方法对(2)式进行辨识，得出各项系数；

步骤三，根据Allan方差模型建立ARMA模型，并利用BIC准则和最小二乘法辨识模型阶次和参数；

根据对(2)式的辨识结果，得ARMA模型为

式中：序列{a_t}(t＝1,2,…,m)为残差序列，且为服从(0,σ²)分布的白噪声序列；x_t为平稳、零均值的时间序列{x_t}(t＝1,2,…,m)在t时刻的数据；

为自回归参数；θ₁、θ_q、{θ_j}(j＝1,…,q)为滑动平均参数；

由Akaike提出的BIC准则，能够有效确定模型的阶次，Akaiket提出的准则函数BIC(p,q)为：

式中：p,q分别为ARMA(p,q)模型中x_t序列和a_t序列的阶数；

为Allan方差的最大似然估计；

在运用BIC准则确定ARMA(p,q)模型阶次时，利用式(4)计算准则函数的值，计算得到的值越接近0，代表所用的ARMA(p,q)模型阶数越合适；

确定了ARMA(p,q)模型的阶次后，再采用最小二乘法对模型参数进行辨识；

首先定义参数向量

信息向量w(τ)＝[a_t,x_t-1,…,x_t-p,a_t-1,…,a_t-q]^T，最小二乘法迭代式如下：

其中L(τ),P(τ)分别为增益向量和协方差矩阵，P(τ)为P(τ-1)的前一时刻值，

为θ(τ)的估计值，θ(τ-1)为θ(τ)的前一时刻值，

为θ(τ-1)的估计值，p₀为设定值，I为单位矩阵；

步骤四，基于所得ARMA(p,q)模型，提出基于自适应卡尔曼的滤波方法对环形激光器输出进行补偿；

根据ARMA(p,q)模型，即式(3)，选择状态变量为X_k＝[x_t x_t-1…x_t-p]^T，系统噪声为W_k＝[a_t a_t-1…a_t-q]^T，则ARMA(p,q)模型的离散系统的状态方程与测量方程为

其中，X_k-1为X_k的前一时刻状态矩阵，Z_k为测量矩阵，H为核函数矩阵，W_k为系统噪声，A为状态转移矩阵，B为系统噪声系数矩阵，V_k为测量噪声；系统噪声W_k与测量噪声V_k的均值为0，且相互独立；W_k的自相关函数为

V_k的自相关函数为

式中，R_k为ARMA(p,q)估计误差的方差，Q_k是分布为(0,σ²)的白噪声的方差，δ_ki为切换函数，表达为

则基于自适应卡尔曼滤波的递推方程为：

其中L_k,M_k为噪声的均值，L_k,M_k,

的更新率为：

式中，

为状态估计值，

为预测状态，K_k为滤波增益，P_k,k-1为预测方差，P_k为估计均方误差，其中P₀为零矩阵，

取R_k的估计值，

是Q_k的估计值，I为单位矩阵，d_k为加权系数：

d_k＝(1-a)/(1-a^k+1) (11)

式中a为遗忘因子，取值范围在0到1之间；

采用如公式(9)的自适应卡尔曼滤波方法对原系统(6)的输出X_k进行滤波，所得到的

比X_k具有更小的波动范围，有效地消除了随机效应对环形激光器输出的影响，提高了校准精度。

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