CN110175372B - 一种基于母面特征参数的包络面表征方法 - Google Patents

一种基于母面特征参数的包络面表征方法 Download PDF

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Abstract

本发明提出了一种基于母面特征参数的包络面表征方法。本发明将包络母面等效为多个空间点矢量，以各点的坐标与法向量组合形成母面上的点矢量簇；通过矩阵变换提取空间点矢量的特征向量和特征值并形成包络母面的特征参数；建立包络运动中相对运动速度矢、公法矢与母面特征参数的映射关系，构建包络面基于母面特征参数的型面啮合模型。通过啮合模型逐一判断母面点矢量对应的相对运动速度矢和公法矢的正交性，以获得工件上实时包络线以及包络面的三维模型。本发明优点在于，将复杂的包络运动等效为母面点矢量簇对工件的包络运动，通过包络面与母面点矢量的映射关系构建其型面表征模型，避免了复杂数学模型的构建与求解，降低了建模的计算复杂度。

Description

一种基于母面特征参数的包络面表征方法
技术领域
本发明属于包络环面蜗杆传动副等包络面传动部件的精密建模技术领域，尤其涉及一种基于母面特征参数的包络面表征方法。
背景技术
包络面是由包络母面在空间内做包络运动得到的曲面，在精密机床、机器人、航天航空、轨道交通和工业物流等领域有着广泛的应用，尤其用于各种精密和重型传动的啮合部件。复杂的包络运动致使包络面通常为空间内复杂曲面，同时也造就了包络面零件具有传动紧凑平稳、噪音低、效率高、承载能力强、使用寿命长等优点。常见的包络面零件有弧面分度凸轮机构、平面包络蜗杆传动、锥面包络蜗杆传动、内齿轮包络蜗杆传动、面齿轮传动、全向移动Mecanum轮等。
包络面模型精度将直接影响其曲面制造精度和啮合质量，目前包络面主要有直接数字化建模和解析法建模两种方法。直接数字化建模基于展成原理，模拟包络面实际加工过程，在造型软件里进行布尔运算生成实体，此方法虽然直观，但不能获得各啮合点的坐标信息，模型的精度难以准确验证。解析建模方法采用解析几何、包络原理等解析方法构建曲面的数学模型，求解出模型的解集，然后拟合得到曲面模型。此方法需要建立并求解复杂的数学模型，存在模型求解困难的问题，而且型面模型对母面参数的变化不能快速响应。
包络面虽然型面复杂，但包络母面一般较为简单，通常为平面、锥面、柱面、鼓面、球面等。同时包络面具有相同的成型过程，都由包络线簇组成，每一啮合点都与母面上的矢量点存在映射关系。
发明内容
为了解决上述技术问题，充分考虑包络面成型规律，将包络面的表征与其母面特征参数相关联，本发明提出了一种基于母面特征参数的包络面表征方法，为包络面的快速高效的建模提供新方法。
本发明的技术方案为一种基于母面特征参数的包络面表征方法，具体包括以下步骤：
步骤1：将包络母面等效为多个空间点矢量，以各点的坐标与该点的法向量组合形成包络母面上的点矢量簇；
步骤2：对空间点矢量簇进行矩阵变换，提取空间点矢量的特征向量和特征值，由空间点矢量簇的特征向量和特征值形成包络母面的特征参数；
步骤3：将每一包络时刻包络母面对工件的包络运动转化为空间点矢量簇相对工件的包络运动，构建包络面基于母面特征参数的型面啮合模型；
步骤4：通过啮合模型逐一判断母面点矢量对应的相对运动速度矢和公法矢的正交性，以确定每一包络时刻的啮合点及其母面特征参数，从而获得工件上实时包络线，通过所有时刻的实时包络线构建包络面的三维型面模型；
作为优选，步骤1中所述空间点矢量为
Figure BDA0002055574130000021
为第i个点的空间点矢量，具体定义为：
步骤1中所述点矢量
Figure BDA0002055574130000022
的坐标为Si(xi,yi,zi)，步骤1中所述点矢量的法向量为Ni(ii,ji,ki)；通常包络母面上点矢量
Figure BDA0002055574130000023
的坐标Si(xi,yi,zi)可运用矢径法表达，ri为此刻点矢量
Figure BDA0002055574130000024
的矢径，βi为角度参数，即点矢量
Figure BDA0002055574130000025
的各坐标信息为：
Figure BDA0002055574130000026
根据微分几何学方法可求得点矢量
Figure BDA0002055574130000027
的法向量Ni(ii,ji,ki)：
Figure BDA0002055574130000028
其中，xi为第i个点矢量的x方向坐标，yi为第i个点矢量的y方向坐标，zi为第i个点矢量的z方向坐标，ii为第i个点矢量法向量的x方向分量，ji为第i个点矢量法向量的y方向分量，ki为第i个点矢量法向量的z方向分量，i∈[1,Q]，Q＝M*N，N表示包络母面上包络母线的数量，M表示每条包络母线上点矢量的数量，Q表示包络母面上点矢量的数量；
步骤1中所述包络母面上的点矢量簇
Figure BDA0002055574130000029
为：
Figure BDA0002055574130000031
以此运用点矢量簇完整描述空间内包络母面的几何特性；
作为优选，步骤2中所述对空间点矢量簇进行矩阵变换为：
采用相似矩阵变换方法在点矢量
Figure BDA0002055574130000032
的矩阵表达中将母面特征参数与其它几何参数分离，形成点矢量基于母面特征参数的表征：
Figure BDA0002055574130000033
其中，λ1，λ2，λ3为第i个点矢量
Figure BDA0002055574130000034
的三个特征值，[αi,1,βi,1,γi,1]，[αi,2,βi,2,γi,2]，[αi,3,βi,3,γi,3]分别为λ1，λ2，λ3对应的特征向量，i∈[1,Q]，Q表示点矢量的数量；
步骤2中所述提取空间点矢量的特征值与特征向量计算方法为：
Figure BDA0002055574130000035
其中，
Figure BDA0002055574130000036
为点矢量
Figure BDA0002055574130000037
的转置，
Figure BDA0002055574130000038
为点矢量
Figure BDA0002055574130000039
的特征向量，λ为点矢量
Figure BDA00020555741300000310
的特征值；在
Figure BDA00020555741300000311
的解集中选取三个线性无关的向量组构成空间点矢量
Figure BDA00020555741300000312
的特征值为：
Figure BDA00020555741300000313
空间点矢量
Figure BDA00020555741300000314
的特征向量
Figure BDA00020555741300000315
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3即为
Figure BDA00020555741300000316
的特征参数，空间点矢量簇所有的特征参数构成了包络母面的特征参数集；
包络面上的每个啮合点都与包络母面上的某一点矢量存在确定的映射关系；
作为优选，步骤3中所述将包络母面对工件的包络运动转化为空间点矢量簇相对工件的包络运动为：
根据具体的包络轨迹计算包络运动中工件的相对运动速度矢
Figure BDA00020555741300000317
公法矢
Figure BDA00020555741300000318
与空间点矢量簇的特征向量
Figure BDA00020555741300000319
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3的映射关系：
即每个点矢量
Figure BDA0002055574130000041
的相对运动速度矢为
Figure BDA0002055574130000042
每个点矢量
Figure BDA0002055574130000043
的公法矢为
Figure BDA0002055574130000044
与每个点矢量点为
Figure BDA0002055574130000045
的特征向量
Figure BDA0002055574130000046
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3的映射关系；
将包络面的型面表征与其空间点矢量簇特征参数相关联，可得下式：
Figure BDA0002055574130000047
Figure BDA0002055574130000048
Figure BDA0002055574130000049
其中，
Figure BDA00020555741300000410
是矢量点
Figure BDA00020555741300000411
的相对运动速度矢，
Figure BDA00020555741300000412
是矢量点
Figure BDA00020555741300000413
的公法矢，映射函数f与g是从包络母面到工件的坐标转换矩阵函数，它们具体的表达形式根据具体包络运动对应的坐标转换关系确定；
步骤3中所述构建包络面基于母面特征参数的型面啮合模型为：
根据空间啮合原理：
Figure BDA00020555741300000414
构建包络面基于母面特征参数即空间点矢量
Figure BDA00020555741300000415
的特征向量
Figure BDA00020555741300000416
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3，建立型面啮合模型：
Figure BDA00020555741300000417
将上述啮合点根据特定的包络运动所对应的坐标系关系转换至工件坐标系即可形成工件包络面的型面模型，所述转换为映射函数f与g是从包络母面到工件的坐标转换矩阵函数，它们具体的表达形式根据工件成型的具体包络运动对应的坐标转换关系确定；
作为优选，步骤4中所述通过啮合模型获取实时包络母线为：
在某一啮合瞬间，利用型面啮合模型依次判断包络母面上的每个点矢量
Figure BDA00020555741300000418
的相对运动速度矢
Figure BDA00020555741300000419
和公法矢
Figure BDA00020555741300000420
的正交性，即两矢量相乘，若乘积为0，则正交；
若
Figure BDA00020555741300000421
和
Figure BDA00020555741300000422
正交，则点矢量
Figure BDA00020555741300000423
为此刻包络线上啮合点对应的母面点矢量，找出此刻所有满足型面啮合模型的点矢量，这些点矢量组成了这一瞬间包络母线对应的实时包络线Γj，j∈[1,N]，N表示包络面上包络线的数量，也是包络母面上母线的数量；
步骤4中所述通过瞬时包络线构建包络面的三维型面模型为：
辨识包络母线对应母面点矢量的特征参数，通过特定的包络运动所构建的坐标系关系进行坐标变换计算，得到包络面上此刻包络线Γj的坐标信息Sk(xk,yk,zk)，k∈[1,M]，M表示包络线Γj上啮合点的数量；
依次计算包络面上所有包络线的坐标信息即可获得组成包络面的所有啮合点云的坐标信息，对所有啮合点云采用包络样式进行曲面拟合即获取包络面的三维型面模型。
本发明的优点在于，将复杂的包络运动等效为母面点矢量簇对工件的包络运动，通过包络面与母面点矢量的映射关系构建包络面的型面表征模型，避免了复杂数学模型的构建与求解，在保证模型精度的同时降低了建模的计算复杂度。
附图说明
图1：为本发明方法流程；
图2：常见包络母面；
图3：包络母面点矢量示意图；
图4：包络线及包络面成型过程示意图；
图5：包络线与母面点矢量间的映射关系。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
下面结合图1至图5介绍本发的具体实施方式为一种基于母面特征参数的包络面表征方法，具体包括以下步骤：
步骤1：将包络母面，常见包络母面见图2，等效为多个空间点矢量，以各点的坐标与该点的法向量组合形成包络母面上的点矢量簇，见图3；
步骤1中所述空间点矢量为
Figure BDA0002055574130000051
为第i个点的空间点矢量，具体定义为：
步骤1中所述点矢量
Figure BDA0002055574130000061
的坐标为Si(xi,yi,zi)，步骤1中所述点矢量的法向量为Ni(ii,ji,ki)；通常包络母面上点矢量
Figure BDA0002055574130000062
的坐标Si(xi,yi,zi)可运用矢径法表达，ri为此刻点矢量
Figure BDA0002055574130000063
的矢径，βi为角度参数，即点矢量
Figure BDA0002055574130000064
的各坐标信息为：
Figure BDA0002055574130000065
根据微分几何学方法可求得点矢量
Figure BDA0002055574130000066
的法向量Ni(ii,ji,ki)：
Figure BDA0002055574130000067
其中，xi为第i个点矢量的x方向坐标，yi为第i个点矢量的y方向坐标，zi为第i个点矢量的z方向坐标，ii为第i个点矢量法向量的x方向分量，ji为第i个点矢量法向量的y方向分量，ki为第i个点矢量法向量的z方向分量，i∈[1,Q]，Q＝M*N，N表示包络母面上包络母线的数量，M表示每条包络母线上点矢量的数量，Q表示包络母面上点矢量的数量,包络线及包络面成型过程示意图如图4；
步骤1中所述包络母面上的点矢量簇
Figure BDA0002055574130000068
为：
Figure BDA0002055574130000069
以此运用点矢量簇完整描述空间内包络母面的几何特性；
步骤2：对空间点矢量簇进行矩阵变换，提取空间点矢量的特征向量和特征值，由空间点矢量簇的特征向量和特征值形成包络母面的特征参数；
步骤2中所述对空间点矢量簇进行矩阵变换为：
采用相似矩阵变换方法在点矢量
Figure BDA00020555741300000610
的矩阵表达中将母面特征参数与其它几何参数分离，形成点矢量基于母面特征参数的表征：
Figure BDA0002055574130000071
其中，λ1，λ2，λ3为第i个点矢量
Figure BDA0002055574130000072
的三个特征值，[αi,1,βi,1,γi,1]，[αi,2,βi,2,γi,2]，[αi,3,βi,3,γi,3]分别为λ1，λ2，λ3对应的特征向量，i∈[1,Q]，Q表示点矢量的数量；
步骤2中所述提取空间点矢量的特征值与特征向量计算方法为：
Figure BDA0002055574130000073
其中，
Figure BDA0002055574130000074
为点矢量
Figure BDA0002055574130000075
的转置，
Figure BDA0002055574130000076
为点矢量
Figure BDA0002055574130000077
的特征向量，λ为点矢量
Figure BDA0002055574130000078
的特征值；在
Figure BDA0002055574130000079
的解集中选取三个线性无关的向量组构成空间点矢量
Figure BDA00020555741300000710
的特征值为：
Figure BDA00020555741300000711
空间点矢量
Figure BDA00020555741300000712
的特征向量
Figure BDA00020555741300000713
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3即为
Figure BDA00020555741300000714
的特征参数，空间点矢量簇所有的特征参数构成了包络母面的特征参数集；
根据包络面的成型过程得知，包络面上的每个啮合点都与包络母面上的某一点矢量存在确定的映射关系，如图5所示；
步骤3：将每一包络时刻包络母面对工件的包络运动转化为空间点矢量簇相对工件的包络运动，通过包络面上的每一啮合点与母面点矢量的映射关系构建包络面基于母面特征参数的型面啮合模型，对啮合模型进行求解得到工件上实时包络线，通过所有时刻的实时包络线构建包络面的三维型面模型；
步骤3中所述将包络母面对工件的包络运动转化为空间点矢量簇相对工件的包络运动为：
根据具体的包络轨迹计算包络运动中工件的相对运动速度矢
Figure BDA00020555741300000715
公法矢
Figure BDA00020555741300000716
与空间点矢量簇的特征向量
Figure BDA00020555741300000717
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3的映射关系：
即每个点矢量
Figure BDA00020555741300000718
的相对运动速度矢为
Figure BDA00020555741300000719
每个点矢量
Figure BDA00020555741300000720
的公法矢为
Figure BDA00020555741300000721
与每个点矢量点为
Figure BDA00020555741300000722
的特征向量
Figure BDA00020555741300000723
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3的映射关系；
将包络面的型面表征与其空间点矢量簇特征参数相关联，可得下式：
Figure BDA0002055574130000081
Figure BDA0002055574130000082
Figure BDA0002055574130000083
其中，
Figure BDA0002055574130000084
是矢量点
Figure BDA0002055574130000085
的相对运动速度矢，
Figure BDA0002055574130000086
是矢量点
Figure BDA0002055574130000087
的公法矢，映射函数f与g是从包络母面到工件的坐标转换矩阵函数，它们具体的表达形式根据具体包络运动对应的坐标转换关系确定；
步骤3中所述构建包络面基于母面特征参数的型面啮合模型为：
根据空间啮合原理：
Figure BDA0002055574130000088
构建包络面基于母面特征参数即空间点矢量
Figure BDA0002055574130000089
的特征向量
Figure BDA00020555741300000810
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3，建立型面啮合模型：
Figure BDA00020555741300000811
将上述啮合点根据特定的包络运动所对应的坐标系关系转换至工件坐标系即可形成工件包络面的型面模型，所述转换为映射函数f与g是从包络母面到工件的坐标转换矩阵函数，它们具体的表达形式根据工件成型的具体包络运动对应的坐标转换关系确定；
步骤4中所述对啮合模型进行求解得到实时包络母线为：
在某一啮合瞬间，利用型面啮合模型依次判断包络母面上的每个点矢量
Figure BDA00020555741300000812
的相对运动速度矢
Figure BDA00020555741300000813
和公法矢
Figure BDA00020555741300000814
的正交性，即两矢量相乘，若乘积为0，则正交；
若
Figure BDA00020555741300000815
和
Figure BDA00020555741300000816
正交，则点矢量
Figure BDA00020555741300000817
为此刻包络线上啮合点对应的母面点矢量，找出此刻所有满足型面啮合模型的点矢量，这些点矢量组成了这一瞬间包络母线对应的实时包络线Γj，j∈[1,N]，N表示包络面上包络线的数量；
步骤4中所述通过瞬时包络线构建包络面的三维型面模型为：
辨识包络母线对应母面点矢量的特征参数，通过特定的包络运动所构建的坐标系关系进行坐标变换计算，得到包络面上此刻包络线Γj的坐标信息Sk(xk,yk,zk),k∈[1,M]，M表示包络线Γj上啮合点的数量；
依次计算包络面上所有包络线的坐标信息即可获得组成包络面的所有啮合点云的坐标信息，对所有啮合点云采用包络样式进行曲面拟合即获取包络面的三维型面模型。
应当理解的是，本说明书未详细阐述的部分均属于现有技术。
应当理解的是，上述针对较佳实施例的描述较为详细，并不能因此而认为是对本发明专利保护范围的限制，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明权利要求所保护的范围情况下，还可以做出替换或变形，均落入本发明的保护范围之内，本发明的请求保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (3)

1.一种基于母面特征参数的包络面表征方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：将包络母面等效为多个空间点矢量，以各点的坐标与该点的法向量组合形成包络母面上的点矢量簇；
步骤2：对空间点矢量簇进行矩阵变换，提取空间点矢量的特征向量和特征值，由空间点矢量簇的特征向量和特征值形成包络母面的特征参数；
步骤3：将每一包络时刻包络母面对工件的包络运动转化为空间点矢量簇相对工件的包络运动，构建包络面基于母面特征参数的型面啮合模型；
步骤4：通过啮合模型逐一判断母面点矢量对应的相对运动速度矢和公法矢的正交性，以确定每一包络时刻的啮合点及其母面特征参数，从而获得工件上实时包络线，通过所有时刻的实时包络线构建包络面的三维型面模型；
步骤1中所述空间点矢量为
Figure FDA0004070551350000011
为第i个点的空间点矢量，具体定义为：
步骤1中所述点矢量
Figure FDA0004070551350000012
的坐标为Si(xi,yi,zi)，步骤1中所述点矢量的法向量为Ni(ii,ji,ki)；包络母面上点矢量
Figure FDA0004070551350000013
的坐标Si(xi,yi,zi)可运用矢径法表达，ri为此刻点矢量
Figure FDA0004070551350000014
的矢径，βi为角度参数，即点矢量
Figure FDA0004070551350000015
的各坐标信息为：
Figure FDA0004070551350000016
根据微分几何学方法可求得点矢量
Figure FDA0004070551350000017
的法向量Ni(ii,ji,ki)：
Figure FDA0004070551350000018
其中，xi为第i个点矢量的x方向坐标，yi为第i个点矢量的y方向坐标，zi为第i个点矢量的z方向坐标，ii为第i个点矢量法向量的x方向分量，ji为第i个点矢量法向量的y方向分量，ki为第i个点矢量法向量的z方向分量，i∈[1,Q]，Q＝M*N，N表示包络母面上包络母线的数量，M表示每条包络母线上点矢量的数量，Q表示包络母面上点矢量的数量；
步骤1中所述包络母面上的点矢量簇
Figure FDA0004070551350000021
为：
Figure FDA0004070551350000022
以此运用点矢量簇完整描述空间内包络母面的几何特性；
步骤2中所述对空间点矢量簇进行矩阵变换为：
采用相似矩阵变换方法在点矢量
Figure FDA0004070551350000023
的矩阵表达中将母面特征参数与其它几何参数分离，形成点矢量基于母面特征参数的表征：
Figure FDA0004070551350000024
其中，λ1，λ2，λ3为第i个点矢量
Figure FDA0004070551350000025
的三个特征值，[αi,1,βi,1,γi,1]，[αi,2,βi,2,γi,2]，[αi,3,βi,3,γi,3]分别为λ1，λ2，λ3对应的特征向量，i∈[1,Q]，Q表示点矢量的数量；
步骤2中所述提取空间点矢量的特征值与特征向量计算方法为：
Figure FDA0004070551350000026
其中，
Figure FDA0004070551350000027
为点矢量
Figure FDA0004070551350000028
的转置，
Figure FDA0004070551350000029
为点矢量
Figure FDA00040705513500000210
的特征向量，λ为点矢量
Figure FDA00040705513500000211
的特征值；在
Figure FDA00040705513500000212
的解集中选取三个线性无关的向量组构成空间点矢量
Figure FDA00040705513500000213
的特征值为：
Figure FDA00040705513500000214
空间点矢量
Figure FDA00040705513500000215
的特征向量
Figure FDA00040705513500000216
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3即为
Figure FDA00040705513500000217
的特征参数，空间点矢量簇所有的特征参数构成了包络母面的特征参数集；
包络面上的每个啮合点都与包络母面上的某一点矢量存在确定的映射关系。
2.根据权利要求1中所述的基于母面特征参数的包络面表征方法，其特征在于，步骤3中所述将包络母面对工件的包络运动转化为空间点矢量簇相对工件的包络运动为：
根据具体的包络轨迹计算包络运动中工件的相对运动速度矢
Figure FDA00040705513500000218
公法矢
Figure FDA00040705513500000219
与空间点矢量簇的特征向量
Figure FDA0004070551350000031
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3的映射关系：
即每个点矢量
Figure FDA0004070551350000032
的相对运动速度矢为
Figure FDA0004070551350000033
每个点矢量
Figure FDA0004070551350000034
的公法矢为
Figure FDA0004070551350000035
与每个点矢量点为
Figure FDA0004070551350000036
的特征向量
Figure FDA0004070551350000037
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3的映射关系；
将包络面的型面表征与其空间点矢量簇特征参数相关联，可得下式：
Figure FDA0004070551350000038
Figure FDA0004070551350000039
Figure FDA00040705513500000310
其中，
Figure FDA00040705513500000311
是矢量点
Figure FDA00040705513500000312
的相对运动速度矢，
Figure FDA00040705513500000313
是矢量点
Figure FDA00040705513500000314
的公法矢，映射函数f与g是从包络母面到工件的坐标转换矩阵函数，它们具体的表达形式根据具体包络运动对应的坐标转换关系确定；
步骤3中所述构建包络面基于母面特征参数的型面啮合模型为：
根据空间啮合原理：
Figure FDA00040705513500000315
构建包络面基于母面特征参数即空间点矢量
Figure FDA00040705513500000316
的特征向量
Figure FDA00040705513500000317
以及对应的特征值λ1，λ2，λ3，建立型面啮合模型：
Figure FDA00040705513500000318
将上述啮合点根据特定的包络运动所对应的坐标系关系转换至工件坐标系即可形成工件包络面的型面模型，所述转换为映射函数f与g是从包络母面到工件的坐标转换矩阵函数，它们具体的表达形式根据工件成型的具体包络运动对应的坐标转换关系确定。
3.根据权利要求1中所述的基于母面特征参数的包络面表征方法，其特征在于，步骤4中所述通过啮合模型获取实时包络母线为：
在某一啮合瞬间，利用型面啮合模型依次判断包络母面上的每个点矢量
Figure FDA00040705513500000319
的相对运动速度矢
Figure FDA00040705513500000320
和公法矢
Figure FDA00040705513500000321
的正交性，即两矢量相乘，若乘积为0，则正交；
若
Figure FDA0004070551350000041
和
Figure FDA0004070551350000042
正交，则点矢量
Figure FDA0004070551350000043
为此刻包络线上啮合点对应的母面点矢量，找出此刻所有满足型面啮合模型的点矢量，这些点矢量组成了这一瞬间包络母线对应的实时包络线Γj，j∈[1,N]，N表示包络面上包络线的数量，也是包络母面上母线的数量；
步骤4中所述通过瞬时包络线构建包络面的三维型面模型为：
辨识包络母线对应母面点矢量的特征参数，通过特定的包络运动所构建的坐标系关系进行坐标变换计算，得到包络面上此刻包络线Γj的坐标信息Sk(xk,yk,zk)，k∈[1,M]，M表示包络线Γj上啮合点的数量；
依次计算包络面上所有包络线的坐标信息即可获得组成包络面的所有啮合点云的坐标信息，对所有啮合点云采用包络样式进行曲面拟合即获取包络面的三维型面模型。
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