CN110138241B - 一种基于雅可比理论的单相电压源的稳定性分析方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于雅可比理论的单相电压源的稳定性分析方法，先建立单相电压源整流器的dq坐标系下数学模型；再根单相电压源整流器的dq坐标系下数学模型建立时域非线性动态平均模型；然后基于单相电压源整流器的dq坐标系下数学模型求解稳态工作点；最后根据雅可比理论求系统的特征值，并利用跟轨迹法即可判断出系统的稳定性。本发明运用时域非线性模型，使系统模型清晰简洁；基于根轨迹法得出动车组网侧参数和整流器直流侧参数均会对系统的稳定性产生影响。

Description

一种基于雅可比理论的单相电压源的稳定性分析方法
技术领域
本发明涉及单相电压源整流器技术领域，具体为一种基于雅可比理论的单相电压源的稳定性分析方法。
背景技术
随着大量功率电子元件的应用，单相电压源整流器已经成为一个非常复杂的非线性系统，于此同时也带来了一些新的问题。最近，人们越来越关注单相电压源整流器尤其是其稳定性。尽管许多研究致力于三相电压源整流器的稳定性分析，但对单相电压源整流器的稳定性分析却很少关注。黄勐等分析了三相VSC的不稳定现象，但尚不清楚单相VSC是否会不稳定。因此，单相VSC的稳定性分析对于电力电子系统是必要的。
为了解释不稳定性，首先要建立一个系统模型。张晗等人提出了一种阻抗建模方法来分析单相电压源整流器的稳定性。Kwon等人使用谐波状态空间法对小信号进行建模分析系统的稳定性。然后，采用了一些不同的理论来分析系统的稳定性。Shakerighadi等人总结了常用的非线性稳定性判据，如Lyapunov稳定性分析，描述函数法等。Lyapunov稳定性分析方法主要用于设计控制器，很难找到合适的Lyapunov函数；描述函数法是从频率域的角度研究非线性控制系统的稳定性的一种等效线性化方法，在此不适用。一些线性化稳定性方法，包括Floquet理论和雅可比方法均有在相关文献中被提及。Golestan S等人建立了单相电压源整流器模型，并利用特征值方法分析了谐波传递函数的动态谐波特性。
发明内容
针对上述问题，本发明的目的在于提供一种基于雅可比理论的单相电压源的稳定性分析方法。技术方案如下：
一种基于雅可比理论的单相电压源的稳定性分析方法，包括以下步骤：
步骤1：建立单相电压源整流器的dq坐标系下数学模型；
步骤2：根据所述单相电压源整流器的dq坐标系下数学模型建立时域非线性动态平均模型；
步骤3：基于时域非线性动态平均模型求解稳态工作点；
步骤4：根据雅可比理论求系统的特征值，并利用根轨迹法判断系统的稳定性。
进一步，所述单相电压源整流器的dq坐标系下数学模型如下：
Figure BDA0002086709540000021
式中：Ln为牵引变压器牵引绕组等效漏感；id和iq分别为动车组网侧电流in转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量；t为时间；Rn线路电阻；ω为动车组网侧电压基波角频率；dd和dq分别为开关函数d转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量；udc为直流侧电压；ed和eq分别是动车组网侧电压en转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量；Cd为直流侧支撑电容；Rd为直流侧等效电阻。
更进一步的，所述时域非线性动态平均模型如下所示：
Figure BDA0002086709540000022
式中：x表示6个独立变量，且x＝[id,iq,udc,mid,miq,mdc]T，其中
Figure BDA0002086709540000023
Figure BDA0002086709540000024
和
Figure BDA0002086709540000025
Figure BDA0002086709540000026
和
Figure BDA0002086709540000027
别为动车组网侧电流in转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量的参考值；v表示控制变量，且v＝[ddudc,dqudc]T；u表示输入变量，且
Figure BDA0002086709540000028
usd和usq分别为动车组网侧电压us转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量，
Figure BDA0002086709540000029
为直流侧电压的参考值。
更进一步的，所述稳态工作点的求解过程如下：
根据所述单相电压源整流器的dq坐标系下数学模型得：
Figure BDA00020867095400000210
根据KVL定理，流经网侧电感Ls的电压表示为：
Figure BDA0002086709540000031
式中，Rs为网侧等效电阻。
考虑电流内环以及电压外环的控制，假设
Figure BDA0002086709540000032
式中：
Figure BDA0002086709540000033
为输入电流的参考值；通过以上几个式子的替代，得到最后的结果：
Figure BDA0002086709540000034
Figure BDA0002086709540000035
式中，f1(id)、f2(iq)、f3(udc)、f4(mdc)、f5(mid)和f6(miq)分别为以id、iq、udc、mdc、mid、miq为变量的微分方程；Kii、Kip、Kui和Kup分别为电流内环和电压外环的PI参数。
令微分方程f1(id)、f2(iq)、f3(udc)、f4(mdc)、f5(mid)和f6(miq)分别等于零并带入电路参数值和控制参数值，得稳态工作点为：id＝386.002A，iq＝0A，udc＝3600V，mid＝-213.76，miq＝52.386，mdc＝77.2003。
更进一步的，所述步骤4的过程如下：
将稳态工作点的值带入微分方程f1(id)、f2(iq)、f3(udc)、f4(mdc)、f5(mid)和f6(miq)中即可以得到雅可比矩阵：
Figure BDA0002086709540000041
式中，x为状态变量，XQ为稳态工作点；系统的特征方程为：
det|λI-A|＝0
式中，A＝J(XQ)即为雅可比矩阵，特征方程的根，I为单位矩阵。
通过特征方程计算出它的根，系统的稳定性从根的值来判定。当λ≥0时，特征根在复平面的右半平面，系统不稳定；当λ<0时，特征根在复平面的左半平面，系统稳定。
本发明的有益效果是：本发明运用时域非线性模型，使系统模型清晰简洁；基于根轨迹法得出动车组网侧参数和整流器直流侧参数均会对系统的稳定性产生影响；针对整流器这种强耦合、非线性系统，运用非线性理论分析更加准确，为分析单相整流器的稳定性提供了新思路。
附图说明
图1为本发明单相电压源整流器电路图。
图2为本发明电流内环控制框图。
图3为本发明电压外环控制框图。
图4为本发明不同参数下的根轨迹图。
图5为本发明在Matlab/Simulink中搭建单相电压源整流器仿真模型的稳定情况。
图6为本发明当网侧参数改变时系统不稳定的仿真图。
图7为本发明当整流器直流侧参数改变时系统不稳定的仿真图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。
以单相电压源整流器为例说明本发明方法，具体过程如下：
步骤1：建立动车组网侧脉冲整流器的dq坐标系下数学模型；针对两电平拓扑结构，受电弓从接触网取流，经车载变压器降压后作为整流器的输入，整流器将输入的单相交流电压变换成稳定的直流电压；通过对交流侧、直流侧分别列写基尔霍夫第一、第二定律KCL、KVL方程，得到动车组网侧脉冲整流器的dq坐标系下的数学模型。
Figure BDA0002086709540000051
式中：Ln为牵引变压器牵引绕组等效漏感；id和iq分别为动车组网侧电流in转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量；t为时间；Rn为线路电阻；ω为动车组网侧电压基波角频率；dd和dq分别为开关函数d转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量；udc为直流侧电压；ed和eq分别是动车组网侧电压en转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量；Cd为直流侧支撑电容。
步骤2：建立时域非线性动态平均模型；
Figure BDA0002086709540000052
式中：x表示6个独立变量，且x＝[id,iq,udc,mid,miq,mdc]T，mid、miq和mdc分别为
Figure BDA0002086709540000053
和
Figure BDA0002086709540000054
v表示控制变量，且v＝[ddudc,dqudc]T；u表示输入变量，且
Figure BDA0002086709540000055
usd和usq分别为动车组网侧电压us转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量，
Figure BDA0002086709540000056
为直流侧电压的参考值。
步骤3：基于步骤2的平均模型求解稳态工作点；
具体过程如下：
根据dq坐标系下的数学模型
Figure BDA0002086709540000061
根据图1的单相电压源整流器的电路图以及KVL定理，流经网侧电感Ls的电压可以表示为：
Figure BDA0002086709540000062
考虑电流内环以及电压外环的控制，控制框图分别如图2、3所示：
假设
Figure BDA0002086709540000063
式中：
Figure BDA0002086709540000064
为直流侧电压的参考值，同理
Figure BDA0002086709540000065
也为参考值。通过以上几个式子的替代，可以得到：
Figure BDA0002086709540000066
将ed、eq表达式带入上式可以得到：
Figure BDA0002086709540000067
最终得到：
Figure BDA0002086709540000071
Figure BDA0002086709540000072
进一步的，根据所述步骤3，令微分方程f1(id)、f2(iq)、f3(udc)、f4(mdc)、f5(mid)和f6(miq)分别等于零并带入电路参数值和控制参数值，得稳态工作点为：id＝386.002A，iq＝0A，udc＝3600V，mid＝-213.76，miq＝52.386，mdc＝77.2003。
步骤4：根据雅可比理论求系统的特征值，并利用根轨迹法判断系统的稳定性。
将稳态工作点的值带入微分方程f1(id)、f2(iq)、f3(udc)、f4(mdc)、f5(mid)和f6(miq)中即可以得到雅可比矩阵：
Figure BDA0002086709540000073
式中：x为状态变量，XQ为稳态工作点。
系统的特征方程为：
det|λI-A|＝0
这里的A＝J(XQ)即为雅可比矩阵，可以通过特征方程计算出它的根，系统的稳定性即可以从根的值上来判定。当λ≥0时，特征根在复平面的右半平面，系统不稳定；当λ<0时，特征根在复平面的左半平面，系统稳定。
在理论分析中，系统的其中一对共轭特征根的实部会从负变成正，这也就意味着此时的系统是不稳定的。根轨迹法也可以判断系统的稳定性，当改变网侧电感和直流侧电容时的根轨迹图如图4所示，从图中可以发现，根轨迹从复平面的左半平面穿越到右半平面，系统表现为不稳定。为了进一步验证该方法的有效性，在Matlab/Simulink中搭建单相电压源整流器仿真模型，仿真结果如图5-7所示。图5为系统稳定时的仿真图，与理论结果基本一致；图6为当改变网侧参数时系统的不稳定情况，且不稳定的临界点与理论分析一致；图7为改变直流侧电容值时系统的不稳定情况，且不稳定的临界点与理论分析一致。
本发明基于时域非线性动态平均模型，通过雅可比理论以及根轨迹法分析系统的稳定情况；针对整流器这种强耦合、非线性系统，运用非线性理论分析更加准确。本发明基于一种用于分析单相电压源整流器稳定性的方法，为分析单相整流器的稳定性提供了新思路。

Claims (1)

1.一种基于雅可比理论的单相电压源的稳定性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：建立单相电压源整流器的dq坐标系下数学模型；
单相电压源整流器的dq坐标系下数学模型如下：
Figure FDA0002622085240000011
式中：Ln为牵引变压器牵引绕组等效漏感；id和iq分别为动车组网侧电流in转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量；t为时间；Rn为线路电阻；ω为动车组网侧电压基波角频率；dd和dq分别为开关函数d转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量；udc为直流侧电压；ed和eq分别是动车组网侧电压en转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量；Cd为直流侧支撑电容；Rd为直流侧等效电阻；
步骤2：根据所述单相电压源整流器的dq坐标系下数学模型建立时域非线性动态平均模型；
时域非线性动态平均模型如下所示：
Figure FDA0002622085240000012
式中：x表示6个独立变量，且x＝[id,iq,udc,mid,miq,mdc]T，其中
Figure FDA0002622085240000013
Figure FDA0002622085240000014
和
Figure FDA0002622085240000015
Figure FDA0002622085240000016
和
Figure FDA0002622085240000017
别为动车组网侧电流in转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量的参考值；v表示控制变量，且v＝[ddudc,dqudc]T；u表示输入变量，且
Figure FDA0002622085240000018
usd和usq分别为动车组网侧电压us转换到两相旋转坐标系下的有功分量和无功分量，
Figure FDA0002622085240000019
为直流侧电压的参考值；
步骤3：基于时域非线性动态平均模型求解稳态工作点；
稳态工作点的求解过程如下：
根据所述单相电压源整流器的dq坐标系下数学模型得：
Figure FDA0002622085240000021
根据KVL定理，流经网侧电感Ls的电压表示为：
Figure FDA0002622085240000022
式中，Rs为网侧等效电阻；
考虑电流内环以及电压外环的控制，假设
Figure FDA0002622085240000023
式中：
Figure FDA0002622085240000024
为系统输入电流的参考值；通过以上几个式子的替代，得到最后的微分方程：
Figure FDA0002622085240000031
Figure FDA0002622085240000032
式中，f1(id)、f2(iq)、f3(udc)、f4(mdc)、f5(mid)和f6(miq)分别为以id、iq、udc、mdc、mid和miq为变量的微分方程；Kii、Kip、Kui和Kup分别为电流内环和电压外环的PI参数；
令微分方程f1(id)、f2(iq)、f3(udc)、f4(mdc)、f5(mid)和f6(miq)分别等于零并带入电路参数值和控制参数值，得稳态工作点为：id＝386.002A，iq＝0A，udc＝3600V，mid＝-213.76，miq＝52.386，mdc＝77.2003；
步骤4：根据雅可比理论求系统的特征值，并利用根轨迹法判断系统的稳定性；
将稳态工作点的值带入微分方程f1(id)、f2(iq)、f3(udc)、f4(mdc)、f5(mid)和f6(miq)中得到雅可比矩阵：
Figure FDA0002622085240000033
式中，x为状态变量，XQ为稳态工作点；系统的特征方程为：
det|λI-A|＝0
式中，A＝J(XQ)即为雅可比矩阵，λ为特征方程的根即特征根，I为单位矩阵；
计算所述特征方程的根，根据根的值判定系统的稳定性：当λ≥0时，特征根在复平面的右半平面，系统不稳定；当λ<0时，特征根在复平面的左半平面，系统稳定。
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Granted publication date: 20200925

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