CN110109488B - 一种城市河道水位的低增益反馈控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种城市河道水位的低增益反馈控制方法。目前国内河道水位控制方法很少考虑执行器饱和、模型参数不确定性和外部干扰对河道水位控制的影响，不能及时、有效地控制河道水位，城市内涝现象时有发生。本发明方法包括：建立河道水位系统状态空间模型、设计椭球集合、设计低增益反馈控制器和建立闭环系统状态空间模型、设计平均驻留时间切换律、分析闭环系统的稳定性、闭环系统的H_∞性能分析、低增益反馈控制器的增益求解。本发明基于低增益反馈技术和切换系统控制理论，实现了对低、中、高三种水位的有效控制。同时，本发明建立了较精确的河道水位控制系统模型，实现了对河道水位的及时、有效控制。

Description

一种城市河道水位的低增益反馈控制方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，涉及一种城市河道水位的低增益反馈控制方法，通过切换系统的低增益控制方法，实现了城市河道水位的有效控制，可用于现代城市排水行业。

背景技术

城市排水系统是收集、传输、处理和排放城市污水、雨(雪)水的一种城市基础设施系统，由城市污水排水系统、工业废水排水系统和城市雨(雪)水排水系统组成。现代城市的污水排放量巨大，城市排水系统是否能够及时、有效的处理和排除污水和雨(雪)水，对城市居民的正常生活、安全生产以及城市发展有着至关重要的影响。

河流湖泊是现代城市排水系统中的一个重要组成部分，不管是生活污水，工业废水，还是城市雨(雪)水最终都会流向河流湖泊。随着人们生活水平和城市工业水平的提高，城市居民的生活污水排放量和工业废水排放量变得越来越大。同时，由于全球气候变化，暴雨等极端天气频发，加之部分城市排水防涝基础设施滞后，城市内涝的情况时有发生，对居民生活和城市发展带来了许多不利的影响。因此，对城市河道水位的实时精确控制显得尤为重要。

现有的河道水位控制方法大多采用简单的反馈控制方法，这些控制方法很少考虑执行器饱和、模型参数不确定性和外部干扰对河道水位控制的影响。在夏季，雨水量很大并且居民生活污水排放量相对其他季节较多，导致现有的控制方法并不能及时、有效地控制河道水位，城市内涝现象时有发生。因此，急需一种新方法，对河道水位进行及时、有效的控制。

发明内容

本发明的目的是针对现有控制方法的不足，提供一种城市河道水位的低增益反馈控制方法，以满足对河道水位及时、有效的控制。

本发明基于低增益反馈技术、平均驻留时间方法和切换系统理论，设计了一种低增益反馈控制器，实现了对低、中、高三种水位的有效控制。另外，考虑到执行器饱和、外部干扰和模型参数不确定性的影响，本发明建立了较精确的河道水位控制系统模型，实现了对河道水位的及时、有效控制。

本发明的具体包括：

(1).建立河道水位系统状态空间模型：

基于水力学原理，建立如下切换系统模型：

其中，

表示t时刻河道的水流状态向量，

表示n维列向量；

表示t时刻河道水位系统的被控输出向量，符号

代表欧几里得空间。x(t)＝[x₁(t),x₂(t),x₃(t)]^T，x₁(t)、x₂(t)和x₃(t)分别表示t时刻水流速度值、水位高度值和水压值，上标T表示矩阵的转置。

表示t时刻的控制输入，即排水阀的阀门开度值，sat(·)是饱和函数，表示阀门开度是有限的。σ(t)表示切换信号，是关于时间的分段常值函数，在有限集

中取值；切换系统有三个模态，当σ(t)＝1时，子系统1被激活，河道水位被控制在低水位；当σ(t)＝2时，子系统2被激活，河道水位被控制在中水位；当σ(t)＝3时，子系统3被激活，河道水位被控制在高水位。

表示数据采集过程中传感器受到的外部干扰，且外部干扰是能量有界的。ΔA_σ(t)和ΔB_1σ(t)分别表示系统不确定性矩阵和输入不确定性矩阵，其中ΔA_σ(t)＝E_σ(t)Σ_σ(t)(t)F_σ(t)，ΔB_1σ(t)＝E_σ(t)Σ_σ(t)(t)G_σ(t)，

和

都是常数矩阵，符号

表示n₁×n₂维的向量或矩阵。Σ_σ(t)(t)是属于集合Ω的未知矩阵，

I表示维数匹配的单位矩阵。

(2).设计椭球集合：

设定如下两个集合：

其中，γ_i＞0，为低增益参数；

表示3×3维的对称正定矩阵；

表示1×3维的矩阵；i表示系统运行在第i个子系统上，

上标-1表示矩阵的逆，‖‖表示矩阵或向量的2范数，集合

为椭球集合；当状态x(t)属于集合

时，执行器不发生饱和。

当满足条件：

即

时，线性矩阵不等式成立：

其中符号*表示矩阵不等式中的对称结构，得到：

表明对于任意的

执行器不会发生饱和，即sat(u(t))＝u(t)。

(3).设计低增益反馈控制器，建立闭环系统状态空间模型：

设计低增益反馈控制器：

其中，K_i＝γ_iH_iP_i ^-1，表示控制器的增益。

控制输入是有界的，并且满足||u||≤1，即

将所设计的低增益反馈控制器代入到河道水位系统状态空间模型中，得到闭环系统状态空间模型：

(4).设计平均驻留时间切换律：

根据Lyapunov稳定性理论，定义Lyapunov函数V_i(x(t))＝x^T(t)P_i ^-1x(t),P_i＞0。

要使闭环系统稳定，只需

要使

只需

其中，λ是一个大于0的常数。

解上式得到：

其中，t_j表示切换时刻，且满足0＝t₀＜t₁＜···＜t_j＜t_j+1＜···，t₀表示初始时刻。定义切换信号σ(t)＝σ(t_j),t∈[t_j,t_j+1)。

由于系统状态在切换点不发生跳变，可以得到：

其中，μ是一个大于1的常数，

表示切换时刻t_j的左极限。

根据平均驻留时间方法，推导出：

根据平均驻留时间方法和Lyapunov稳定性理论，推导出平均驻留时间为

其中，lnμ是以无理数e(e＝2.71828…)为底的μ的对数。

(5).闭环系统的稳定性分析：

令

和

λ_max(P_i)和λ_min(P_i)分别表示矩阵P_i的最大特征值和最小特征值；在满足平均驻留时间

时，得到：

进而得到：

根据Lyapunov稳定性理论和平均驻留时间方法，在平均驻留时间

下，闭环系统指数稳定。

(6).闭环系统的H_∞性能分析：

对城市河道水位控制过程中存在的外部干扰ω(t)，对闭环系统进行干扰抑制性能分析性能指标

其中，ζ表示干扰抑制水平，且ζ＞0；

因为闭环系统指数稳定，所以对任意非零ω(t)，考虑到零初始条件和V_i(x)≥0，得到：

为了处理2x^T(t)(ΔA_i+γ_iΔB_1iH_iP_i ^-1)^TP_i ^-1x(t)中的不确定性矩阵ΔA_i和ΔB_1i，引入不等式：

其中，

和

是具有适当维数的矩阵，且满足

得到：

进而得到：

其中，

要使闭环系统指数稳定，且满足H_∞性能指标，只需J＜0；显然，若

则有J＜0。

根据Schur补引理，

等价于矩阵不等式：

其中，

步骤(7).低增益反馈控制器的增益求解：

对矩阵不等式Ξ＜0左乘、右乘对角矩阵diag{P_i,I,I,I,I}，符号diag{}表示对角矩阵，得到线性矩阵不等式：

其中，

通过MATLAB中的LMI(线性矩阵不等式)工具箱，求解线性矩阵不等式Γ＞0和Ψ＜0，得到P_i和H_i的值，从而得到低增益反馈控制器的增益K_i值，K_i＝γ_iH_iP_i ^-1。

本发明方法针对现有的城市河道水位控制方法无法进行及时、准确控制水位的问题，提出了基于低增益反馈技术和切换系统理论的控制方法。本发明方法同时考虑了执行器饱和、模型参数不确定性和外部干扰的影响，对系统进行了更加精准的建模，提出了针对低、中、高三种水位的切换控制，通过平均驻留时间方法得到了满足平均驻留时间的切换信号，设计了低增益反馈控制器，最后利用线性矩阵不等式方法求解出了控制器增益，实现了河道水位的准确控制。利用本发明的方法，可以对城市河道水位进行准确控制，满足在各种情况下对不同水位及时、有效控制的实际需求。

具体实施方式

一种城市河道水位的低增益反馈控制方法，具体包括：

步骤1、建立河道水位系统状态空间模型：

基于水力学原理，建立如下切换系统模型：

其中，

表示t时刻河道的水流状态向量，

表示n维列向量；

表示t时刻河道水位系统的被控输出向量，符号

代表欧几里得(Euclidean)空间。x(t)＝[x₁(t),x₂(t),x₃(t)]^T，x₁(t)、x₂(t)和x₃(t)分别表示t时刻水流速度值、水位高度值和水压值，上标T表示矩阵的转置。

表示t时刻的控制输入，即排水阀的阀门开度值，sat(·)是饱和函数，表示阀门开度是有限的。σ(t)表示切换信号，是关于时间的分段常值函数，在有限集

中取值；切换系统有三个模态，当σ(t)＝1时，子系统1被激活，河道水位被控制在低水位；当σ(t)＝2时，子系统2被激活，河道水位被控制在中水位；当σ(t)＝3时，子系统3被激活，河道水位被控制在高水位。

表示数据采集过程中传感器受到的外部干扰，且外部干扰是能量有界的。ΔA_σ(t)和ΔB_1σ(t)分别表示系统不确定性矩阵和输入不确定性矩阵，其中ΔA_σ(t)＝E_σ(t)Σ_σ(t)(t)F_σ(t)，ΔB_1σ(t)＝E_σ(t)Σ_σ(t)(t)G_σ(t)，

和

都是常数矩阵，符号

表示n₁×n₂维的向量或矩阵。Σ_σ(t)(t)是属于集合Ω的未知矩阵，其中

I表示维数匹配的单位矩阵。

步骤2、椭球集合的设计：

给出如下两个集合的定义：

其中，γ_i＞0是低增益参数，

表示3×3维的对称正定矩阵，

表示1×3维的矩阵，i表示系统运行在第i个子系统上

上标-1表示矩阵的逆，‖‖表示矩阵或向量的2范数，集合

为椭球集合；当状态x(t)属于集合

时，执行器不发生饱和。

当如下条件满足：

也就是

时，线性矩阵不等式成立：

其中符号*表示矩阵不等式中的对称结构，可以得到：

这就表明，对于任意的

执行器不会发生饱和，即sat(u(t))＝u(t)。

步骤3、设计低增益反馈控制器，建立闭环系统状态空间模型：

设计如下低增益反馈控制器：

其中，K_i＝γ_iH_iP_i ^-1表示控制器的增益。控制输入是有界的，并且满足||u||≤1，即

将所设计的低增益反馈控制器代入到河道水位系统状态空间模型中，可以得到如下闭环系统状态空间模型

步骤4、平均驻留时间切换律的设计：

根据Lyapunov稳定性理论，定义一个Lyapunov函数：V_i(x(t))＝x^T(t)P_i ^-1x(t),P_i＞0。

要使闭环系统稳定，只需

要使

只需：

其中，λ是一个大于0的常数。求解上式可得：

其中，t_j表示切换时刻，且满足0＝t₀＜t₁＜···＜t_j＜t_j+1＜···，t₀表示初始时刻。定义切换信号σ(t)＝σ(t_j),t∈[t_j,t_j+1)。

由于系统状态在切换点不发生跳变，可以得到：

其中，μ是一个大于1的常数，

表示切换时刻t_j的左极限。根据平均驻留时间方法，推导出：

根据平均驻留时间方法和Lyapunov稳定性理论，可以推导出平均驻留时间为

其中，lnμ是以无理数e(e＝2.71828…)为底的μ的对数。

步骤5、闭环系统的稳定性分析：

令

和

λ_max(P_i)和λ_min(P_i)分别表示矩阵P_i的最大特征值和最小特征值。在满足平均驻留时间

时，可以得到：

从而可以推导出：

根据Lyapunov稳定性理论和平均驻留时间方法，在平均驻留时间

下，闭环系统指数稳定。

步骤6、闭环系统的H_∞性能分析：

对城市河道水位控制过程中存在的外部干扰ω(t)，需要对闭环系统进行干扰抑制性能分析。考虑如下H_∞性能指标：

其中，ζ表示干扰抑制水平，且ζ＞0。

因为闭环系统指数稳定，所以对任意非零ω(t)，考虑到零初始条件和V_i(x)≥0，得到：

为了处理2x^T(t)(ΔA_i+γ_iΔB_1iH_iP_i ^-1)^TP_i ^-1x(t)中的不确定性矩阵ΔA_i和ΔB_1i，引入不等式

其中，

和

是具有适当维数的矩阵，且满足

根据引入的不等式，可以得到：

因此，可以得到：

其中，

要使闭环系统指数稳定且满足H_∞性能指标，只需J＜0。显然，若

则有J＜0。由Schur补引理，

等价于矩阵不等式：

其中，

步骤7、低增益反馈控制器的增益求解

对矩阵不等式Ξ＜0左乘、右乘对角矩阵diag{P_i,I,I,I,I}，符号diag{}表示对角矩阵，可以得到如下线性矩阵不等式：

其中，

通过MATLAB中的LMI(线性矩阵不等式)工具箱，求解线性矩阵不等式Γ＞0和Ψ＜0，可以得到P_i和H_i的值，从而可以得到低增益反馈控制器的增益K_i的值，其中K_i＝γ_iH_iP_i ^-1。

Claims (1)

1.一种城市河道水位的低增益反馈控制方法，其特征在于该方法具体包括：

(1).建立河道水位系统状态空间模型：

基于水力学原理，建立如下切换系统模型：

其中，

表示t时刻河道的水流状态向量，

表示n维列向量；

表示t时刻河道水位系统的被控输出向量，符号

代表欧几里得空间；x(t)＝[x₁(t),x₂(t),x₃(t)]^T，x₁(t)、x₂(t)和x₃(t)分别表示t时刻水流速度值、水位高度值和水压值，上标T表示矩阵的转置；

表示t时刻的控制输入，即排水阀的阀门开度值，sat(·)是饱和函数，表示阀门开度是有限的；σ(t)表示切换信号，是关于时间的分段常值函数，在有限集

中取值；切换系统有三个模态，当σ(t)＝1时，子系统1被激活，河道水位被控制在低水位；当σ(t)＝2时，子系统2被激活，河道水位被控制在中水位；当σ(t)＝3时，子系统3被激活，河道水位被控制在高水位；

表示数据采集过程中传感器受到的外部干扰，且外部干扰是能量有界的；ΔA_σ(t)和ΔB_1σ(t)分别表示系统不确定性矩阵和输入不确定性矩阵，其中ΔA_σ(t)＝E_σ(t)Σ_σ(t)(t)F_σ(t)，ΔB_1σ(t)＝E_σ(t)Σ_σ(t)(t)G_σ(t)，

和

都是常数矩阵，符号

表示n₁×n₂维的向量或矩阵；Σ_σ(t)(t)是属于集合Ω的未知矩阵，

I表示维数匹配的单位矩阵；

(2).设计椭球集合：

设定如下两个集合：

其中，γ_i＞0，为低增益参数；

表示3×3维的对称正定矩阵；

表示1×3维的矩阵；i表示系统运行在第i个子系统上，

上标-1表示矩阵的逆，‖ ‖表示矩阵或向量的2范数，集合

为椭球集合；当状态x(t)属于集合

时，执行器不发生饱和；

当满足条件：

即

时，线性矩阵不等式成立：

其中符号*表示矩阵不等式中的对称结构，得到：

表明对于任意的

执行器不会发生饱和，即sat(u(t))＝u(t)；

(3).设计低增益反馈控制器，建立闭环系统状态空间模型：

设计低增益反馈控制器：u＝K_ix(t),

其中，K_i＝γ_iH_iP_i ^-1，表示控制器的增益；控制输入是有界的，并且满足||u||≤1，即

将所设计的低增益反馈控制器代入到河道水位系统状态空间模型中，得到闭环系统状态空间模型：

(4).设计平均驻留时间切换律：

定义函数V_i(x(t))＝x^T(t)P_i ^-1x(t),P_i＞0；要使闭环系统稳定，需满足

其中，λ为大于0的常数；得到：

其中，t_j表示切换时刻，且满足0＝t₀＜t₁＜···＜t_j＜t_j+1＜···，t₀表示初始时刻；

定义切换信号σ(t)＝σ(t_j),t∈[t_j,t_j+1)；得到：

其中，μ为大于1的常数，

表示切换时刻t_j的左极限；

根据平均驻留时间方法，推导出：

得到平均驻留时间为

其中，lnμ是以无理数e为底的μ的对数；

(5).分析闭环系统的稳定性：

令

和

λ_max(P_i)和λ_min(P_i)分别表示矩阵P_i的最大特征值和最小特征值；在满足平均驻留时间

时，得到：

进而得到：

在平均驻留时间

下，闭环系统指数稳定；

(6).闭环系统的H_∞性能分析：

对城市河道水位控制过程中存在的外部干扰ω(t)，对闭环系统进行干扰抑制性能分析，性能指标H_∞：

其中，ζ表示干扰抑制水平，且ζ＞0；

对任意非零ω(t)，考虑到零初始条件和V_i(x)≥0，得到：

引入不等式：

其中，

和

是具有适当维数的矩阵，且满足

得到：

进而得到：

其中，

要使闭环系统指数稳定，且满足H_∞性能指标，只需J＜0；若

则有J＜0；根据Schur补引理，

等价于矩阵不等式：

其中，

步骤(7).低增益反馈控制器的增益求解：

对矩阵不等式Ξ＜0左乘、右乘对角矩阵diag{P_i,I,I,I,I}，符号diag{}表示对角矩阵，得到线性矩阵不等式：

其中，

求解线性矩阵不等式Γ＞0和Ψ＜0，得到P_i和H_i的值，从而得到低增益反馈控制器的增益K_i值，K_i＝γ_iH_iP_i ^-1。