CN110687790B - 一种城市排水系统防止污水溢出的优化控制方法 - Google Patents

一种城市排水系统防止污水溢出的优化控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种城市排水系统防止污水溢出的优化控制方法。现有的城市排水系统防止污水溢出的控制方法很少考虑到多模态切换、执行器饱和、不匹配不确定性、模型参数不确定性和外部干扰对防止污水溢出控制的影响。本发明方法同时考虑了执行器饱和、不匹配不确定性、模型参数不确定性和外部干扰的影响，基于不同水位的污水控制切换模型，通过平均驻留时间方法得到了满足平均驻留时间的切换信号，利用切换系统控制理论和低增益反馈技术，设计了基于观测器的多模态切换系统反馈控制器，最后利用线性矩阵不等式方法求解出控制器增益，实现了城市排水系统污水水位在警戒线以下、处于警戒线和位于警戒线以上三种水位的有效控制。

Description

一种城市排水系统防止污水溢出的优化控制方法
技术领域
本发明属于自动控制技术领域，涉及一种城市排水系统防止污水溢出的优化控制方法，通过设计基于观测器的多模态切换系统的反馈控制器，实现对污水水位的控制，有效防止污水的溢出，可用于现代城市排水行业。
背景技术
污水排水系统是城市排水系统的重要组成部分，主要用于排放城市工业废水、径流污水和居民生活污水。城市污水中一般含有大量病毒、病菌，除此之外，由于现代城市工业水平的高度发展，工业废水的水质变得越来越复杂，使现在的城市污水中含有大量各种类型的有毒、有害污染物。如果这些污水不能得到妥善排放和处理，将会严重影响生态环境和城市居民的健康安全。
随着城市工业化的快速发展和人民生活水平的极大提高，生活污水和工业废水的排放量越来越大，而且全球气候变化使得暴雨和台风极端天气频发，河道和下水道中污水溢出的情况时有发生，严重影响了居民生活和工业生产。因此，实时污水水位的有效控制，防止污水溢出显得尤为重要。
现有的许多防止污水溢出的控制方法建模过于简单，很少考虑到多模态切换、执行器饱和、不匹配不确定性、模型参数不确定性和外部干扰对防止污水溢出控制效果的影响。另外，由于现代城市排水管道交错复杂，且很多管道常年位于地下，污水水流状态无法获得或者测量成本过高，导致现有的控制方法并不能及时有效地防止污水溢出。因此，急需一种新方法，对污水水位进行及时有效的控制，防止污水溢出。
发明内容
本发明的目的是针对现有控制方法的不足，提供一种城市排水系统防止污水溢出的优化控制方法，通过切换系统基于观测器的反馈控制，有效地防止城市污水溢出。
本发明基于切换系统模型分别考虑污水水位在警戒线以下(未溢出)、处于警戒线(溢出临界状态)和位于警戒线以上(已溢出)三种运行模态，基于低增益反馈方法和平均驻留时间方法，设计了一种基于观测器的多模态切换系统反馈控制器，可在污水水位状态不可测或测量成本过高时，对一种城市排水系统的污水水位进行及时、有效控制。
本发明的具体包括：
(1).针对城市排水系统，建立污水水位控制的状态空间模型：
基于水力学原理及实验数据，建立如下切换系统模型：
Figure BDA0002253747210000021
y(t)＝C1σ(t)x(t)+Dσ(t)ω(t)
z(t)＝C2σ(t)x(t)；
其中，
Figure BDA0002253747210000022
表示t时刻城市排水系统污水水流状态向量，符号
Figure BDA0002253747210000023
表示n维列向量；
Figure BDA0002253747210000024
表示t时刻污水水位系统的测量输出向量。
Figure BDA0002253747210000025
表示t时刻污水水位系统的被控输出向量。x(t)＝[x1(t),x2(t),x3(t)]T，x1(t)、x2(t)和x3(t)分别表示t时刻污水水压值、污水水流速度值和污水水位高度值，上标T表示矩阵的转置。
Figure BDA0002253747210000026
表示t时刻的控制输入，即污水排水阀的阀门开度值，sat(·)是饱和函数，表示阀门开度是有限的。σ(t)表示切换信号，是关于时间的分段常值函数，在有限集
Figure BDA0002253747210000027
中取值；可将污水水位控制系统划分为三个模态，当σ(t)＝1时，子系统1被激活，表示控制水位处于警戒线以下的污水，即污水未溢出；当σ(t)＝2时，子系统2被激活，表示控制水位处于警戒线处的污水，即污水位于溢出的临界状态；当σ(t)＝3时，子系统3被激活，表示控制水位处于警戒线以上的污水，即污水已经溢出。
Figure BDA0002253747210000028
表示外部干扰，且外部干扰是能量有界的。ΔAσ(t)和ΔB1σ(t)分别表示系统不确定性矩阵和输入不确定性矩阵，其中ΔAσ(t)＝Eσ(t)Σσ(t)(t)Fσ(t)，ΔB1σ(t)＝Eσ(t)Σσ(t)(t)Gσ(t)。δσ(t)(x(t))是不匹配不确定性，并且存在常数矩阵
Figure BDA0002253747210000029
使得||δσ(t)(x(t))||≤||Hσ(t)x(t)||。
Figure BDA00022537472100000210
Figure BDA00022537472100000211
和
Figure BDA00022537472100000212
都是常数矩阵，符号
Figure BDA00022537472100000213
表示n1×n2维的实矩阵。Σσ(t)(t)是属于集合Ω的未知矩阵，其中
Figure BDA00022537472100000214
I表示维数匹配的单位矩阵。
(2).设计基于观测器的多模态切换系统反馈控制器，建立闭环系统状态空间模型：
当
Figure BDA0002253747210000031
时，表示城市排水系统运行在第i个模态，前面的符号
Figure BDA0002253747210000032
Figure BDA0002253747210000033
Figure BDA0002253747210000034
和
Figure BDA0002253747210000035
分别简写为
Figure BDA0002253747210000036
Figure BDA0002253747210000037
和
Figure BDA0002253747210000038
设计具有观测器形式的多模态切换系统状态反馈控制器：
Figure BDA0002253747210000039
其中，
Figure BDA00022537472100000310
表示水流状态向量x(t)的估计量，
Figure BDA00022537472100000311
表示控制器增益，
Figure BDA00022537472100000312
标量γi＞0为低增益参数；
Figure BDA00022537472100000313
表示观测器增益。
根据低增益反馈控制方法，当γi→0+时，执行器不发生饱和，也就是说，存在
Figure BDA00022537472100000314
使得
Figure BDA00022537472100000315
时，sat(u(t))＝u(t)，其中0+表示0的右极限，
Figure BDA00022537472100000316
是一个常数。
将所设计的控制器代入到污水水位系统状态空间模型中，得到闭环系统状态空间模型：
Figure BDA00022537472100000317
其中，
Figure BDA00022537472100000318
表示系统状态估计误差。
(3).设计平均驻留时间切换律：
定义Lyapunov函数
Figure BDA00022537472100000319
其中，
Figure BDA00022537472100000320
为增广向量，
Figure BDA00022537472100000321
Figure BDA00022537472100000322
和
Figure BDA00022537472100000323
表示3×3维的对称正定矩阵；
根据Lyapunov稳定性理论，要使闭环系统稳定，只需
Figure BDA00022537472100000324
要使
Figure BDA00022537472100000325
只需
Figure BDA00022537472100000326
其中，λ是一个大于0的常数。
解上式得到：
Figure BDA00022537472100000327
t∈[tj,tj+1)；
其中，tj表示切换时刻，且满足0＝t0＜t1＜···＜tj＜tj+1＜···，t0表示初始时刻，exp()表示自然数e(e＝2.71828…)为底的指数函数。定义切换信号σ(t)＝σ(tj),t∈[tj,tj+1)。
由于系统状态在切换点不发生跳变，可以得到：
Figure BDA0002253747210000041
其中，μ是一个大于1的常数，
Figure BDA0002253747210000042
表示切换时刻tj的左极限。
根据平均驻留时间方法，推导出：
Figure BDA0002253747210000043
其中，τa表示平均驻留时间，lnμ是以自然数e(e＝2.71828…)为底的μ的对数。
根据平均驻留时间方法和Lyapunov稳定性理论，推导出平均驻留时间为
Figure BDA0002253747210000044
(4).闭环系统的稳定性分析：
令
Figure BDA0002253747210000045
和
Figure BDA0002253747210000046
符号λmax()和λmin()分别表示矩阵的最大特征值和最小特征值，max{}和min{}分别表示最大值和最小值；在满足平均驻留时间
Figure BDA0002253747210000047
时，得到：
Figure BDA0002253747210000048
进而得到：
Figure BDA0002253747210000049
符号‖‖表示矩阵或向量的2范数。
根据Lyapunov稳定性理论和平均驻留时间方法，在平均驻留时间
Figure BDA00022537472100000410
下，闭环系统指数稳定。
(5).闭环系统的H∞性能分析：
因为污水水位控制过程中存在的外部干扰ω(t)，所以需要对闭环系统进行干扰抑制性能分析，定义H∞性能指标：
Figure BDA0002253747210000051
其中，ζ表示干扰抑制水平，且ζ＞0；
因为闭环系统指数稳定，所以对任意非零ω(t)，考虑到零初始条件和
Figure BDA0002253747210000052
得到：
Figure BDA0002253747210000053
为了处理2xT(t)P1i(ΔAi-γiΔB1iKi)x(t)，2xT(t)γiP1i(B1i+ΔB1i)Kie(t)，2eT(t)γiP2iΔB1σ(t)Kie(t)和2eT(t)P2i(ΔAi-γiΔB1iKi)x(t)中的不确定性矩阵ΔAi和ΔB1i，以及2xT(t)P1iMiδi(x)和2eT(t)P2iMiδi(x)中的不匹配不确定性，引入不等式：
Figure BDA0002253747210000054
其中，
Figure BDA0002253747210000055
和
Figure BDA0002253747210000056
是具有适当维数的矩阵，且满足
Figure BDA0002253747210000057
由此可得
Figure BDA0002253747210000058
Figure BDA0002253747210000061
Figure BDA0002253747210000062
Figure BDA0002253747210000063
Figure BDA0002253747210000064
Figure BDA0002253747210000065
Figure BDA0002253747210000066
Figure BDA0002253747210000067
进一步可得
Figure BDA0002253747210000068
其中，
Figure BDA0002253747210000071
Figure BDA0002253747210000072
显然，若Γ＜0和Λ＜0，则有J＜0，即闭环系统满足H∞性能指标。根据Schur补引理，Γ＜0和Λ＜0分别等价于下述矩阵不等式：
Figure BDA0002253747210000073
和
Figure BDA0002253747210000074
其中，符号*表示矩阵不等式中的对称部分，
Figure BDA0002253747210000075
(6).控制器增益和观测器增益的求解：
对矩阵不等式Ψ1＜0左乘、右乘对角矩阵diag{Pi -1,I,I,I,I,I}，符号diag{}表示对角矩阵，上标-1表示矩阵的逆，再令
Figure BDA0002253747210000081
得到下述线性矩阵不等式：
Figure BDA0002253747210000082
其中，
Figure BDA0002253747210000083
同理，令Yoi＝P2iLi，得到下述线性矩阵不等式：
Figure BDA0002253747210000084
其中，
Figure BDA0002253747210000085
通过MATLAB中的LMI(线性矩阵不等式)工具箱，求解线性矩阵不等式Ψ3＜0和Ψ4＜0，得到Ki和观测器增益Li的值，从而得到多模态切换系统反馈控制器的增益
Figure BDA0002253747210000086
值，
Figure BDA0002253747210000087
本发明方法针对现有城市排水系统的防止污水溢出的控制方法无法及时、有效控制污水水位的问题，提出了基于切换系统理论的优化控制方法。本发明方法同时考虑了执行器饱和、不匹配不确定性、模型参数不确定性和外部干扰的影响，对系统进行了更加精准的切换系统建模，提出了针对处于不同水位的污水优化控制，通过平均驻留时间方法得到了满足平均驻留时间的切换信号，设计了基于观测器的多模态切换系统反馈控制器，最后利用线性矩阵不等式方法求解出控制器增益，实现了城市排水系统污水水位的准确控制。利用本发明的方法，可以对城市污水水位进行准确控制，实现多种情况下污水的溢出。
具体实施方式
一种城市排水系统防止污水溢出的优化控制方法，具体包括：
(1).针对城市排水系统，建立污水水位控制的状态空间模型：
基于水力学原理及实验数据，建立如下切换系统模型：
Figure BDA0002253747210000091
y(t)＝C1σ(t)x(t)+Dσ(t)ω(t)
z(t)＝C2σ(t)x(t)；
其中，
Figure BDA0002253747210000092
表示t时刻城市排水系统污水水流状态向量，符号
Figure BDA0002253747210000093
表示n维列向量；
Figure BDA0002253747210000094
表示t时刻污水水位系统的测量输出向量。
Figure BDA0002253747210000095
表示t时刻污水水位系统的被控输出向量。x(t)＝[x1(t),x2(t),x3(t)]T，x1(t)、x2(t)和x3(t)分别表示t时刻污水水压值、污水水流速度值和污水水位高度值，上标T表示矩阵的转置。
Figure BDA0002253747210000096
表示t时刻的控制输入，即污水排水阀的阀门开度值，sat(·)是饱和函数，表示阀门开度是有限的。σ(t)表示切换信号，是关于时间的分段常值函数，在有限集
Figure BDA0002253747210000097
中取值；可将污水水位控制系统划分为三个模态，当σ(t)＝1时，子系统1被激活，表示控制水位处于警戒线以下的污水，即污水未溢出；当σ(t)＝2时，子系统2被激活，表示控制水位处于警戒线处的污水，即污水位于溢出的临界状态；当σ(t)＝3时，子系统3被激活，表示控制水位处于警戒线以上的污水，即污水已经溢出。
Figure BDA0002253747210000098
表示外部干扰，且外部干扰是能量有界的。ΔAσ(t)和ΔB1σ(t)分别表示系统不确定性矩阵和输入不确定性矩阵，其中ΔAσ(t)＝Eσ(t)Σσ(t)(t)Fσ(t)，ΔB1σ(t)＝Eσ(t)Σσ(t)(t)Gσ(t)。δσ(t)(x(t))是不匹配不确定性，并且存在常数矩阵
Figure BDA0002253747210000101
使得||δσ(t)(x(t))||≤||Hσ(t)x(t)||。
Figure BDA0002253747210000102
Figure BDA0002253747210000103
和
Figure BDA0002253747210000104
都是常数矩阵，符号
Figure BDA0002253747210000105
表示n1×n2维的实矩阵。Σσ(t)(t)是属于集合Ω的未知矩阵，其中
Figure BDA0002253747210000106
I表示维数匹配的单位矩阵。
(2).设计基于观测器的多模态切换系统反馈控制器，建立闭环系统状态空间模型：
当
Figure BDA0002253747210000107
时，表示城市排水系统运行在第i个模态，前面的符号
Figure BDA0002253747210000108
Figure BDA0002253747210000109
Figure BDA00022537472100001010
和
Figure BDA00022537472100001011
分别简写为
Figure BDA00022537472100001012
Figure BDA00022537472100001013
和
Figure BDA00022537472100001014
设计具有观测器形式的多模态切换系统状态反馈控制器：
Figure BDA00022537472100001015
其中，
Figure BDA00022537472100001016
表示水流状态向量x(t)的估计量，
Figure BDA00022537472100001017
表示控制器增益，
Figure BDA00022537472100001018
标量γi＞0为低增益参数；
Figure BDA00022537472100001019
表示观测器增益。
根据低增益反馈控制方法，当γi→0+时，执行器不发生饱和，也就是说，存在
Figure BDA00022537472100001020
使得
Figure BDA00022537472100001021
时，sat(u(t))＝u(t)，其中0+表示0的右极限，
Figure BDA00022537472100001022
是一个常数。
将所设计的控制器代入到污水水位系统状态空间模型中，得到闭环系统状态空间模型：
Figure BDA00022537472100001023
其中，
Figure BDA00022537472100001024
表示系统状态估计误差。
(3).设计平均驻留时间切换律：
定义Lyapunov函数
Figure BDA00022537472100001025
其中，
Figure BDA0002253747210000111
为增广向量，
Figure BDA0002253747210000112
Figure BDA0002253747210000113
和
Figure BDA0002253747210000114
表示3×3维的对称正定矩阵；
根据Lyapunov稳定性理论，要使闭环系统稳定，只需
Figure BDA0002253747210000115
要使
Figure BDA0002253747210000116
只需
Figure BDA0002253747210000117
其中，λ是一个大于0的常数。
解上式得到：
Figure BDA0002253747210000118
t∈[tj,tj+1)；
其中，tj表示切换时刻，且满足0＝t0＜t1＜···＜tj＜tj+1＜···，t0表示初始时刻，exp()表示自然数e(e＝2.71828…)为底的指数函数。定义切换信号σ(t)＝σ(tj),t∈[tj,tj+1)。
由于系统状态在切换点不发生跳变，可以得到：
Figure BDA0002253747210000119
其中，μ是一个大于1的常数，
Figure BDA00022537472100001110
表示切换时刻tj的左极限。
根据平均驻留时间方法，推导出：
Figure BDA00022537472100001111
其中，τa表示平均驻留时间，lnμ是以自然数e(e＝2.71828…)为底的μ的对数。
根据平均驻留时间方法和Lyapunov稳定性理论，推导出平均驻留时间为
Figure BDA00022537472100001112
(4).闭环系统的稳定性分析：
令
Figure BDA00022537472100001113
符号λmax()和λmin()分别表示矩阵的最大特征值和最小特征值，max{}和min{}分别表示最大值和最小值；在满足平均驻留时间
Figure BDA00022537472100001114
时，得到：
Figure BDA0002253747210000121
进而得到：
Figure BDA0002253747210000122
符号‖‖表示矩阵或向量的2范数。
根据Lyapunov稳定性理论和平均驻留时间方法，在平均驻留时间
Figure BDA0002253747210000123
下，闭环系统指数稳定。
(5).闭环系统的H∞性能分析：
因为污水水位控制过程中存在的外部干扰ω(t)，所以需要对闭环系统进行干扰抑制性能分析，定义H∞性能指标：
Figure BDA0002253747210000124
其中，ζ表示干扰抑制水平，且ζ＞0；
因为闭环系统指数稳定，所以对任意非零ω(t)，考虑到零初始条件和
Figure BDA0002253747210000125
得到：
Figure BDA0002253747210000126
为了处理2xT(t)P1i(ΔAi-γiΔB1iKi)x(t)，2xT(t)γiP1i(B1i+ΔB1i)Kie(t)，2eT(t)γiP2iΔB1σ(t)Kie(t)和2eT(t)P2i(ΔAi-γiΔB1iKi)x(t)中的不确定性矩阵ΔAi和ΔB1i，以及2xT(t)P1iMiδi(x)和2eT(t)P2iMiδi(x)中的不匹配不确定性，引入不等式：
Figure BDA0002253747210000127
其中，
Figure BDA0002253747210000128
和
Figure BDA0002253747210000129
是具有适当维数的矩阵，且满足
Figure BDA00022537472100001210
由此可知
Figure BDA0002253747210000131
Figure BDA0002253747210000132
Figure BDA0002253747210000133
Figure BDA0002253747210000134
Figure BDA0002253747210000135
Figure BDA0002253747210000136
Figure BDA0002253747210000137
Figure BDA0002253747210000138
进而可得
Figure BDA0002253747210000141
其中，
Figure BDA0002253747210000142
Figure BDA0002253747210000143
显然，若Γ＜0和Λ＜0，则有J＜0，即闭环系统满足H∞性能指标。根据Schur补引理，Γ＜0和Λ＜0分别等价于下述矩阵不等式：
Figure BDA0002253747210000144
和
Figure BDA0002253747210000151
其中，符号*表示矩阵不等式中的对称结构，
Figure BDA0002253747210000152
(6).控制器增益和观测器增益的求解：
对矩阵不等式Ψ1＜0左乘、右乘对角矩阵diag{Pi -1,I,I,I,I,I}，符号diag{}表示对角矩阵，上标-1表示矩阵的逆，再令
Figure BDA0002253747210000153
得到下述线性矩阵不等式：
Figure BDA0002253747210000154
其中，
Figure BDA0002253747210000155
同理，令Yoi＝P2iLi，得到下述线性矩阵不等式：
Figure BDA0002253747210000161
其中，
Figure BDA0002253747210000162
通过MATLAB中的LMI(线性矩阵不等式)工具箱，求解线性矩阵不等式Ψ3＜0和Ψ4＜0，得到Ki和观测器增益Li的值，从而得到多模态切换系统反馈控制器的增益
Figure BDA0002253747210000163
值，
Figure BDA0002253747210000164

Claims (1)

1.一种城市排水系统防止污水溢出的优化控制方法，其特征在于，该方法具体包括以下步骤：
(1).针对城市排水系统，建立污水水位控制的状态空间模型：
基于水力学原理及实验数据，建立如下切换系统模型：
Figure FDA0003481438060000011
y(t)＝C1σ(t)x(t)+Dσ(t)ω(t)
z(t)＝C2σ(t)x(t)，
其中，
Figure FDA0003481438060000012
表示t时刻城市排水系统污水水流状态向量，符号
Figure FDA0003481438060000013
表示n维列向量；
Figure FDA0003481438060000014
表示t时刻污水水位系统的测量输出向量；
Figure FDA0003481438060000015
表示t时刻污水水位系统的被控输出向量；x(t)＝[x1(t),x2(t),x3(t)]T，x1(t)、x2(t)和x3(t)分别表示t时刻污水水压值、污水水流速度值和污水水位高度值，上标T表示矩阵的转置；
Figure FDA0003481438060000016
表示t时刻的控制输入，即污水排水阀的阀门开度值，sat(·)是饱和函数，表示阀门开度是有限的；σ(t)表示切换信号，是关于时间的分段常值函数，在有限集
Figure FDA0003481438060000017
中取值；将污水水位控制系统划分为三个模态，当σ(t)＝1时，子系统1被激活，表示控制水位处于警戒线以下的污水，即污水未溢出；当σ(t)＝2时，子系统2被激活，表示控制水位处于警戒线处的污水，即污水位于溢出的临界状态；当σ(t)＝3时，子系统3被激活，表示控制水位处于警戒线以上的污水，即污水已经溢出；
Figure FDA0003481438060000018
表示外部干扰，且外部干扰是能量有界的；ΔAσ(t)和ΔB1σ(t)分别表示系统不确定性矩阵和输入不确定性矩阵，其中ΔAσ(t)＝Eσ(t)Σσ(t)(t)Fσ(t)，ΔB1σ(t)＝Eσ(t)Σσ(t)(t)Gσ(t)；δσ(t)(x(t))是不匹配不确定性，并且存在常数矩阵
Figure FDA0003481438060000019
使得||δσ(t)(x(t))||≤||Hσ(t)x(t)||；
Figure FDA00034814380600000110
Figure FDA00034814380600000111
和
Figure FDA00034814380600000112
都是常数矩阵，符号
Figure FDA00034814380600000113
表示n1×n2维的实矩阵；Σσ(t)(t)是属于集合Ω的未知矩阵，其中
Figure FDA0003481438060000021
I表示维数匹配的单位矩阵；
(2).设计基于观测器的多模态切换系统反馈控制器，建立闭环系统状态空间模型：
当
Figure FDA0003481438060000022
时，表示城市排水系统运行在第i个模态，前面的符号
Figure FDA0003481438060000023
Figure FDA0003481438060000024
Figure FDA0003481438060000025
和
Figure FDA0003481438060000026
分别简写为
Figure FDA0003481438060000027
Figure FDA0003481438060000028
和
Figure FDA0003481438060000029
设计具有观测器形式的多模态切换系统状态反馈控制器：
Figure FDA00034814380600000210
其中，
Figure FDA00034814380600000211
表示水流状态向量x(t)的估计量，
Figure FDA00034814380600000212
表示控制器增益，
Figure FDA00034814380600000213
标量γi>0为低增益参数；
Figure FDA00034814380600000214
表示观测器增益；
根据低增益反馈控制方法，当γi→0+时，执行器不发生饱和，即存在
Figure FDA00034814380600000215
使得
Figure FDA00034814380600000216
时，sat(u(t))＝u(t)，其中0+表示0的右极限，
Figure FDA00034814380600000217
是一个常数；
将所设计的控制器代入到污水水位系统状态空间模型中，得到闭环系统状态空间模型：
Figure FDA00034814380600000218
其中，
Figure FDA00034814380600000219
表示系统状态估计误差；
(3).设计平均驻留时间切换律：
定义Lyapunov函数
Figure FDA00034814380600000220
其中，
Figure FDA00034814380600000221
为增广向量，
Figure FDA00034814380600000222
和
Figure FDA00034814380600000223
表示3×3维的对称正定矩阵；
根据Lyapunov稳定性理论，要使闭环系统稳定，只需
Figure FDA00034814380600000224
要使
Figure FDA00034814380600000225
只需
Figure FDA00034814380600000226
其中，λ是一个大于0的常数；
解上式得到：
Figure FDA0003481438060000031
其中，tj表示切换时刻，且满足0＝t0<t1<…<tj<tj+1<…，t0表示初始时刻，exp()表示自然数e为底的指数函数，e＝2.71828…；定义切换信号σ(t)＝σ(tj),t∈[tj,tj+1)；
由于系统状态在切换点不发生跳变，得到：
Figure FDA0003481438060000032
其中，μ是一个大于1的常数，
Figure FDA0003481438060000033
表示切换时刻tj的左极限；
根据平均驻留时间方法，推导出：
Figure FDA0003481438060000034
其中，τa表示平均驻留时间，lnμ是以自然数e为底的μ的对数；
根据平均驻留时间方法和Lyapunov稳定性理论，推导出平均驻留时间为
Figure FDA0003481438060000035
(4).闭环系统的稳定性分析：
令
Figure FDA0003481438060000036
和
Figure FDA0003481438060000037
符号λmax()和λmin()分别表示矩阵的最大特征值和最小特征值，max{}和min{}分别表示最大值和最小值；在满足平均驻留时间
Figure FDA0003481438060000038
时，得到：
Figure FDA0003481438060000039
进而得到：
Figure FDA00034814380600000310
符号|| ||表示矩阵或向量的2范数；
根据Lyapunov稳定性理论和平均驻留时间方法，在平均驻留时间
Figure FDA0003481438060000041
下，闭环系统指数稳定；
(5).闭环系统的H∞性能分析：
因为污水水位控制过程中存在的外部干扰ω(t)，所以需要对闭环系统进行干扰抑制性能分析，定义H∞性能指标：
Figure FDA0003481438060000042
其中，ζ表示干扰抑制水平，且ζ>0；
因为闭环系统指数稳定，所以对任意非零ω(t)，考虑到零初始条件和
Figure FDA0003481438060000043
得到：
Figure FDA0003481438060000044
为了处理2xT(t)P1i(ΔAi-γiΔB1iKi)x(t)，2xT(t)γiP1i(B1i+ΔB1i)Kie(t)，2eT(t)γiP2iΔB1σ(t)Kie(t)和2eT(t)P2i(ΔAi-γiΔB1iKi)x(t)中的不确定性矩阵ΔAi和ΔB1i，以及2xT(t)P1iMiδi(x)和2eT(t)P2iMiδi(x)中的不匹配不确定性，引入不等式：
Figure FDA0003481438060000045
其中，
Figure FDA0003481438060000046
和
Figure FDA0003481438060000047
是具有适当维数的矩阵，且满足
Figure FDA0003481438060000048
由此可得
Figure FDA0003481438060000049
Figure FDA0003481438060000051
Figure FDA0003481438060000052
Figure FDA0003481438060000053
Figure FDA0003481438060000054
Figure FDA0003481438060000055
2xT(t)P1iB2iω(t)≤2ζ-2xT(t)P1iB2iB2 T iP1ix(t)+1/2ζ2ωT(t)ω(t)；
Figure FDA0003481438060000056
进一步可得
Figure FDA0003481438060000057
其中，
Figure FDA0003481438060000061
Figure FDA0003481438060000062
显然，若Γ<0和Λ<0，则有J<0，即闭环系统满足H∞性能指标；根据Schur补引理，Γ<0和Λ<0分别等价于下述矩阵不等式：
Figure FDA0003481438060000063
和
Figure FDA0003481438060000064
其中，符号*表示矩阵不等式中的对称部分，
Figure FDA0003481438060000065
(6).控制器增益和观测器增益的求解：
对矩阵不等式Ψ1<0左乘、右乘对角矩阵
Figure FDA0003481438060000071
符号diag{}表示对角矩阵，上标-1表示矩阵的逆，再令
Figure FDA0003481438060000072
得到下述线性矩阵不等式：
Figure FDA0003481438060000073
其中，
Figure FDA0003481438060000074
同理，令Yoi＝P2iLi，得到下述线性矩阵不等式：
Figure FDA0003481438060000075
其中，
Figure FDA0003481438060000076
通过MATLAB中的线性矩阵不等式LMI工具箱，求解线性矩阵不等式Ψ3<0和Ψ4<0，得到Ki和观测器增益Li的值，从而得到多模态切换系统反馈控制器的增益
Figure FDA0003481438060000077
值，
Figure FDA0003481438060000078
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