CN109933853A - 一种用于齿轮的反渐开线获取方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于齿轮的反渐开线获取方法，所述提取方法包括以下步骤：1)：以齿轮基圆为基准建模，建立反渐开线的函数关系式；2)：由渐开线齿廓啮合传动无侧隙啮合方程，推导反渐开线齿廓啮合传动无侧隙啮合方程；3)：反渐开线齿廓的条件，以及反渐开线齿轮变位系数的计算取值。在渐开线齿轮上设计反渐开线齿廓的啮合轨迹，能提高主工作面的承载能力，由于在设计时考虑了弹性变形，并利用弹性变形量对齿轮受力变形作了修正，同时还满足弹性共轭齿廓曲线的要求，适当还能放宽齿轮制造的误差，降低了齿轮制造满足精度要求的难度。

Description

一种用于齿轮的反渐开线获取方法

技术领域

本发明涉及齿轮制造领域，特别涉及一种用于齿轮的反渐开线获 取方法。

背景技术

渐开线齿轮是两段对称的渐开线组成的外凸齿廓，传动过程中齿 廓是凸凸接触，根据赫茲(H.Hertz)球面接触应力理论，凸凸接触 是弹性变形，应力集中在接触点，并随变形区域从大到小分布，接触 点的接触应力大，在大动力、大功率传动中多以点蚀破坏而使齿轮失 效，因此齿轮寿命短，可靠性低，传动机构维护费用大，这是渐开线 齿轮的一个致命缺陷。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供了一种用于齿轮的反渐开线获 取方法，制成包含有渐开线和反渐开线齿形的齿轮，使弯曲应力降低， 从而进一步提高承载能力。

本发明的技术方案如下：

一种用于齿轮的反渐开线获取方法，所述获取方法包括以下步 骤：

1)：以齿轮基圆为基准建模，建立反渐开线的函数关系式；

2)：由渐开线齿廓啮合传动无侧隙啮合方程，推导反渐开线齿廓 啮合传动无侧隙啮合方程；

3)：反渐开线齿廓的条件，以及反渐开线齿轮变位系数的计算取 值。

进一步地，在所述齿轮基圆上，任一切点P(x，y)轨迹曲线的 直角坐标函数表达式，换成极坐标函数方程，得到

invα_k＝tanα_k-α_k

式中，α_k为压力角，β_k为螺旋角，这就是渐开线函数，在基圆 内的曲线从基圆上起始点开始到滚刀刀尖最高切削点的曲线也是渐 开线，因在基圆内与基圆外渐开线关于起始点对称，因此称为反渐开 线。

进一步地，所述步骤2)中，基于渐开线齿廓啮合传动无侧隙啮 合方程，即，渐开线齿轮无侧隙啮合方程，其方程是

x_∑n＝x_n1+x_n2 (1-5)

或

再结合α_t、α_wt、α_n与分度圆螺旋角β有如下关系：

由于渐开线与反渐开线啮合传动的齿廓曲线是光滑过渡连接的， 变位系数是相同的，只是总变位系数不同，因此无侧隙啮合方程也是 渐开线齿轮无侧隙啮合方程，其方程是

x_∑sn＝x_n1-x_n2 (1-8)

x_∑sn是辅啮合传动总法向变位系数，因为x_n2为负值，显然α_wtn＞α_wt，这即是反渐开线齿廓啮合传动无侧隙啮合方程。

有益效果：在渐开线齿轮上设计反渐开线齿廓的啮合轨迹，能提 高主工作面的承载能力，由于在设计时考虑了弹性变形，并利用弹性 变形量对齿轮受力变形作了修正，同时还满足弹性共轭齿廓曲线的要 求，适当还能放宽齿轮制造的误差，降低了齿轮制造满足精度要求的 难度。

附图说明

图1为齿根部过渡曲线形成过程。

图2为基圆内渐开线齿廓起始点示意图。

图3为小齿轮根部与大齿轮顶部渐开线齿廓啮合图。

图4为小齿轮顶部与大齿轮根部渐开线与反渐开线啮合图。

图5为图4中的D处放大图。

图6为反渐开线弧齿厚计算示意图。

图7为齿轮不发生根切条件示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明。

如图1到图7所示，本发明的获取方法包括以下步骤：

1)：以齿轮基圆为基准建模，得出反渐开线的函数关系式；

据已知的，当滚刀或插刀在基圆外切削加工时，渐开线的发生线 是沿着基圆形成的，当滚刀或插刀延伸至基圆内时，则在基圆起始点 发生方向变化，以起始点作基圆的切线，连接起始点与基圆圆心并延 伸，可以证明连心线与切线是相互垂直的，构成平面直角坐标系，设 切线是x线，连心线是y线，坐标系原点为起始点O，可以证明基圆 内渐开线是与基圆外渐开线关于起始点对称的，形成了基圆与反基 圆，发生线与反发生线，完全对应的镜像曲线，即，在平面直角坐标 系中正、反渐开线分别在二、四象限是两条关于原点对称的镜像曲线。

具体的建模推导如下：

如图1所示，滚刀实际是一个齿条，被切削齿轮以角速度ω旋转， 滚刀上的齿以直线速度vk向前移动，滚刀刀尖(顶尖)圆弧中心始 终沿一条直线移动，v_k＝ω_bs，相当于齿轮与滚刀作纯滚动，刀尖圆弧 中心点与一个圆始终是相切的，圆的半径等于齿根圆半径r_f与滚刀 刀尖圆弧半径ρ_f相加之和，即r_bs＝r_f+ρ_f，因刀尖是一圆弧，滚刀 的切削点在刀尖圆弧上，切削点不同，则这个圆的半径是会发生变化 的。过滚刀刀尖圆弧中心作滚刀上刀齿切削边的垂线与边线相交于P (x，y)点，同时也与圆弧相交于P(x，y)点，这是滚刀刀齿切削边的最高点，因齿轮滚动时滚刀刀尖总是向离开齿轮中心移动，但P(x， y)点始终与齿轮基圆内齿廓相接触，这也是滚刀在基圆内曲线的实 际切削的切点，基圆内曲线就是滚刀刀齿边线最高切点的包络曲线， 因此，滚刀刀尖圆弧切点切线的夹角等于滚刀端面齿形角α_t，最高 切削点相切圆半径减小了ρ_f sinα_t，这是实际切削出来的齿廓的相 切圆半径，用r_s表示，

r_s＝r_f+ρ_f(1-sinα_t) (1-1)

因滚刀刀尖是一段圆弧，所以基圆内渐开线也有起始点，又由于 滚刀刀齿有一定厚度，因此齿根圆到渐开线起始点应该是由两段曲线 组成，滚刀刀齿边的最高切削点是两段曲线的分界点。

建立以齿轮圆心O为原点的直角坐标系，P(x,y)是任一切点， 直线O₂Q＝r_f+ρ_f，△POO₂与△OO₂Q是直角三角形。于是有

根据以上关系得到

式中r_sk＝r_f+ρ_f(1-sinα_k)，是任一切点P(x，y)的相切圆半 径，r_sk随压力角α_k变化而变化。对斜齿轮切点P(x，y)的螺旋角 β_k

将公式(1-2)代入上式转换成压力角αk的函数式

任一切点P(x，y)的直角坐标函数

X＝O₂Psinα_k cosβ_k

Y＝O₂Pcosα_k

因O₂P与有关，代入上面的关系式，转换成α_k的函数式

根据三角函数关系：

(sinα_k)²+(cosα_k)²＝1

因此起始段任一点坐标P(x，y)满足

在起始段是一个不变的常数，因此，这是一个椭圆的直角坐 标函数，其长轴为短轴为证明齿根部分的过渡曲 线仍是椭圆曲线。现在要证明以滚刀刀尖最高切削点为分界点到基圆 上起始点的曲线是渐开线。

根据公式(1-2)，将切削点P(x，y)变成压力角α_k的直角坐 标函数式：

X＝r_sktanα_kcosβ_k

Y＝r_skcosβ_k

这就是任一切点P(x，y)轨迹曲线的直角坐标函数表达式，也 表明切点位置与压力角密切相关。将直角坐标函数表达式换成极坐标 函数方程，得到

invα_k＝tanα_k-α_k

这就是渐开线函数，根据以上研究分析，从数学模型上证明了在 基圆内的曲线从基圆上起始点开始到滚刀刀尖最高切削点的曲线也 是渐开线，因在基圆内与基圆外渐开线关于起始点对称，因此称为反 渐开线。

关于基圆内过渡曲线与渐开线的起始点，也可以表达为数学公 式。

如图2所示，P点是基圆内渐开线起始点，αd是起始点压力角， P点拉伸直线与基圆外切相交于N点，

根据图示可以得到如下关系式：

PN＝P_JN-PP_J

P_JN＝r_ssinα_t

得到：

式中，α_t是滚刀齿形角，h_a*是齿顶高系数，x_n是齿轮的变位系 数，r_s是相切圆半径。

如果将以上坐标系，换在以基圆外渐开线起始点为原点，以起始 点与基圆的切线和起始点与基圆圆心连线建立的平面直角坐标系中， 两条渐开线是关于原点对称的。

2)：由主啮合传动无侧隙啮合方程，推导辅啮合传动无侧隙啮合 方程；

如图3所示，主啮合传动是大齿轮顶部与小齿轮根部齿廓啮合传 动，设r_b为大齿轮基圆半径，设r_a为大齿轮顶圆半径，设P点为节 点，设小齿轮节圆的一段节线为1-1，大齿轮节圆的一段节线设为2-2， 在节线2-2上取相对应的一点B₂，B₂到P点的弧线B₂P，B₂P是公法 线，C₂曲线也是滚刀或插刀的包络曲线。滚刀或插刀齿廓C₁曲线 是渐开线，根据“齿廓啮合基本定律”和渐开线的特性，可以证明被 切削齿轮的齿廓C₂也是渐开线，据此，无侧隙啮合方程也是渐开线 齿轮无侧隙啮合方程，其方程是

x_∑n＝x_n1+x_n2 (1-5)

或

式中，z₁是小齿轮齿数，z₂是大齿轮齿数，α_wt是端面啮合角， α_t是分度圆端面压力角，α_n是分度圆法向压力角，x_∑n是主啮合传动 总法向变位系数，x_n1是小齿轮法向变位系数，x_n2是大齿轮法向变位 系数。α_t、α_wt、α_n与分度圆螺旋角β有如下关系：

式中a是两齿轮实际的安装中心距，a＇是两齿轮的理论中心距。

推导辅啮合传动无侧隙啮合方程：

如图4和图5所示，设J₂是大齿轮基圆，J₂′是大齿轮根部反渐 开线齿廓的反基圆，设A点是啮合点，α_t1是小齿轮在A点的端面 压力角，α_t2是大齿轮在A点的端面压力角，α_wtn是A点啮合角， 也就是大小齿轮作用力与水平线(X轴)的夹角。因为大齿轮根部是 反渐开线，与内齿轮传动相同，所以齿厚变化规律也是相反的，主辅 啮合传动的齿廓曲线是光滑过渡连接的，变位系数是相同的，只是总 变位系数不同，因此无侧隙啮合方程也是渐开线齿轮无侧隙啮合方 程，其方程是

x_∑sn＝x_n1-x_n2 (1-8)

x_∑sn是辅啮合传动总法向变位系数，因为x_n2是负值，显然α_wtn＞α_wt，计算结果与作图的情况是完全一致的，也说明了双渐开线齿 轮啮合传动时齿轮齿廓各点的受力方向是不一致的。

在齿轮存在反渐开线的条件下，需要对相对应的齿廓参数进行计 算，其中，

1、包括反渐开线齿廓弧齿厚计算；

由图6所示，设O是大齿轮圆心，O′是反基圆圆心，设A为 渐开线齿廓上的任一点，A′是与A对称的反渐开线齿廓上的一点， r_i是任一点A的半径，r_k是对称点A′的半径，θ_i是任一点A的展 角，θ_k是对称点A′的展角。可以证明两个三角形△AOO′≌△A′ OO′，θ_k＝θ_i。因为OA＝r_i，OA′＝r_k，OO′＝2r_b，在AOO′ 三角形中，根据边角关系有

根据渐开线的性质有

根据渐开线性质，渐开线起始点在基圆处的夹角

根据渐开线性质可知

θ_k＝θ_i＝invα_k＝invα_i

联立求解，得到方程

因为θi很小，θi＝invα_k≈0，可以近似得到

即有

r_b-r_k＝r_i-r_b

或

r_k＝2r_b-r_i

r_i＝2r_b-r_k

根据渐开线函数公式得到

这是关于反渐开线的一条性质：渐开线与反渐开线任意对称点与 齿轮中心点的夹角被起始点与齿轮中心的连线平分，或者说，渐开线 与反渐开线上任意对称点和齿轮中心点连线与起始点和齿轮中心连 线的夹角相等。根据弧齿厚计算公式，大齿轮基圆内任一点A′处弧 齿厚计算公式为

因此，只要确定A′点，即r_k数值，就可以求得此处的弧齿厚。

2、包括顶隙与齿顶高减短系数计算；

保证一对齿轮正确啮合，齿轮根部与顶部间留有一定间隙，这个 间隙称为齿顶隙，简称顶隙。变位齿轮按照保证无侧隙啮合的要求选 定安装中心距，则不能够保证顶隙，按照保证顶隙的要求选定安装中 心距，则不能够保证无侧隙啮合，因此，变位齿轮要保证顶隙与无侧 隙啮合则将齿顶减短，与模数的比值称齿顶高减短系数，用δy表示， 其计算公式

δ_y＝x_∑n-y_n (1–13)

式中y_n是中心分离系数，计算公式

将式(1-6)、(1-14)代入式(1-13)，得到δ_y计算公式

一对渐开线齿轮啮合传动的极限情况就是啮合角α_wt≥0，根据 公式(1-15)得到

这也是得到反渐开线齿廓的条件。根据齿高与基圆的关系也可以 确定滚齿、插齿切削加工得到反渐开线齿廓的条件。即齿根圆必然要 小于基圆。

r-2h_f＜r_b

根据渐开线齿轮计算公式

h_f＝(h_a ^*-δ_y+c^*)m_n

代入相关计算公式得到

因此齿顶高减短系数的范围是

这是反渐开线齿轮齿高减短的范围，也是反渐开线齿廓形成的条 件，可以用于确定设计反渐开线齿轮的参数，同时也是校核反渐开线 齿轮的齿高是否合理。

3、包括渐开线齿轮不根切的条件式；

如图7所示，反渐开线齿轮也是大负变位渐开线齿轮，因此，要 保证不根切，啮合传动不干涉，则大齿轮齿数和变位系数与螺旋角要 满足一定关系，或要选择适当的数值。根据变位齿轮原理，变位齿轮 是滚刀由标准位置沿径向移动x_nm_n距离所切制出来的齿轮。其中x_n是法向变位系数，m_n是法向模数。

取对应分度圆齿顶端所在平面与基圆的交点处的切点位置N₁， 不根切干涉的条件是

N₁Q＞h_a-x_nm_n

或

x_nm_n＞h_a-N₁Q

式中ha是分度圆齿顶高，αt是齿轮端面分度圆压力角，r是齿轮分 度圆直径，h_a ^*为齿顶高系数，δ_y为齿顶高减短系数、m_n为模数， 分别由下面公式计算

h_a＝(h_a ^*-δ_y)m_n

N₁Q＝P N₁sinα_t

PN₁＝rsinα_t

将以上计算式代入不发生根切干涉的条件式，根据数学运算得变位系 数的校核公式

或根据变位系数、螺旋角、压力角校核齿数

或根据变位系数、齿数、压力角校核螺旋角

式中，ha*为齿顶高系数，δ_y为齿顶减短系数，m_n为模数，公式 (1-17)、(1-18)、(1-19)是校核变位系数、齿数、螺旋角三者互 相满足条件。

3)：最后，由上述计算得到反渐开线齿廓的形成条件，还需要确 认反渐开线齿轮变位系数的计算取值，确认步骤如下：

反渐开线形成条件是工作齿廓的最小圆应小于基圆半径，不考虑 顶隙即有

r-(h_a ^*-x_n)m_n＜r_b

式中，r是分度圆半径，r_b是基圆半径，代入相关的计算公式得 到

根据不发生根切的取值范围条件即公式(1-17)和形成反渐开 线的条件即公式(1-20)得到大齿轮变位系数xn的选择范围

在选取变位系数x_n时，不考虑齿顶减短系数的影响，因此变位 系数x_n的取值范围是

双渐开线齿轮两段齿廓均匀分布，工作齿廓以基圆为对称线，则 有

r是分度圆半径，r_b是基圆半径，代入计算公式得到

式(1–22)就是得到反渐开线齿廓的条件和变位系数的取值范 围，满足公式(1–23)是设计反渐开线齿轮的最佳变位系数。

综上所述，反渐开线齿廓啮合传动与渐开线齿廓的内齿啮合传动 相似，但反渐开线齿廓啮合传动不同于渐开线齿廓的啮合传动，因 此，渐开线齿廓内齿啮合传动与反渐开线齿廓啮合传动有如下相同 点和不同点：

相同点

反渐开线齿廓是内齿廓啮合，与内齿轮齿廓啮合相同。

不同点。

内齿轮的齿廓是沿着内圆周分布，反渐开线齿廓是沿着外圆周分 布；内齿轮传动的运动方向相同，反渐开线齿廓运动方向相反；反 渐开线齿轮传动是主、辅啮合传动共存，即凸凸齿廓与凸凹齿廓接 触共存，内齿轮传动只有凸凹齿廓接触。

再基于前述推导计算的过程，可以看出，相互啮合的两个齿轮的 圆心是相对固定不变的，即中心距不变，当小齿轮以ω₁的角速度旋 转时，带动大齿轮以ω₂角速度旋转，从图1到图4的图示中，J₁是 小齿轮的基圆，J₂是大齿轮的基圆，当小齿轮与大齿轮的接触齿廓是 在大齿轮的基圆外时，大、小齿轮的齿廓必经过节点，所以传动比与 旋转角速度恒定不变，其啮合角与两齿轮齿面的受力方向一致这就是 渐开线齿廓的啮合传动，即主啮合传动。

当小齿轮与大齿轮的接触点在大齿轮的基圆内时，这段是辅啮合 传动，设啮合角为α_wtn，小齿轮的压力角为α_t1，大齿轮的压力角为 α_t2，α_t1和α_wtn以及α_t2三角有如下关系：

α_t1＞α_wtn＞α_t2

这种关系说明，当小齿轮与大齿轮的接触点在大齿轮的基圆内 时，大齿轮的齿廓是反渐开线，是与渐开线相反的内包络齿廓，其接 触点的法线与反基圆相切，小齿轮齿廓接触点的法线与小齿轮基圆相 切，小齿轮与大齿轮的齿廓没有公法线，而是沿着辅啮合角α_wtn形 成合力作用在两齿轮的齿面上；但三个角的大小是不相等的，接触点 始终有一个切向分力，产生滑动，相当于磨削加工，试验发现当反渐 开线齿廓通过大负荷传动运行一段时间后，大齿轮根部与小齿轮顶部 是光滑的，如磨削加工一样，就是因为有一个切向分力相互作用的结 果。这种滑动现象在渐开线齿轮传动中也存在，当采用变位渐开线齿 廓时，压力角与啮合角是不相等的，当采用正变位时α_wt＞α_t，当采 用负变位时，α_wt＜α_t，即变位渐开线齿廓啮合传动并不是纯滚动， 也存在滑动，通常用滑动系数来评价，要求滑动系数不得超过某一数 值。同样道理，只要控制反渐开线齿廓的相对滑动系数不超过某一数 值也是允许的，并且因为这段齿廓是辅啮合传动，其运动轨迹由主啮 合传动控制，仅仅是辅助支撑作用。

根据以上分析，渐开线与反渐开线齿廓是完全可以用于啮合传动 的，但这是有条件的，需要找到最佳使用范围，保证滑动系数在条件 许可范围内，以便设计计算双渐开线齿轮。

当大齿轮与小齿轮齿数相同时传动比为1，即输入转速与输出转 速相同，这就是不变速啮合传动，如果仍然采用反渐开线齿廓啮合传 动，若采用x_n1＝x_n2，则α_wtn＝α_t，这是不允许的，根据反渐开线形 成条件(1-21)或(1-22)，以及无侧隙啮合方程(1-4)和(1-5)，可以证明，若x_n1＝x_n2，则不能够满足反渐开线条件；因此，当小齿 轮齿数与大齿轮齿数相同时，存在关系式x_n1＝x_∑n-x_n2，这是双渐开 线齿轮传动的特殊情况。一般情况，当传动比很小时，均可以采用这 种方法。

另外，根据基圆内曲线的特征，反渐开线与渐开线是关于渐开线 的起始点对称的，因此双渐开线的分界圆就是基圆。对于一对相啮 合传动的齿轮，基圆也是节圆，对应小齿轮的节圆也就是小齿轮的 分界圆，因此有

r_J2＝r_b2 (1–24)

r_J1＝a–r_b2 (1–25)

式中，r_b2是大齿轮基圆半径，r_J2是大齿轮分界圆半径，a是齿轮 副实际中心距，r_J1是小齿轮分界圆半径。

关于齿顶高系数h_a*，顶隙系数c*，一般渐开线齿轮取h*_a＝1， c*＝0.25，双渐开线齿轮仍然按照渐开线齿轮确定。关于滚刀刀尖 圆弧半径系数ρ*，这在滚刀标准中有规定，为了齿根光滑过渡，双 渐开线齿轮滚刀仍然按照滚刀标准选取，滚刀刀尖圆弧半径系数取ρ*＝0.25。为了保护工作齿面，齿顶采用去尖角毛刺倒角，角度 45°，倒角高度根据模数变化，ca＝c*_am_n，倒角系数c*_a＝0.1。传 动比i要根据传动速度变化要求确定，模数m_n要根据传动功率P与 转速n或扭矩Ne来确定，安装(实际)中心距a要根据传动扭矩或 机构空间尺寸确定。因此，齿顶高系数h*a，顶隙系数c*，滚刀刀 尖圆弧半径系数ρ*，倒角系数c*a，传动比i，模数m_n，实际中心 距a等均是已知条件。齿数根据传动比i最先得出，分度圆法向压 力角α_n和分度圆螺旋角β与变位系数x_n也可以初步选取，再按照 啮合条件校核修改确定，然后计算齿轮各部尺寸，确定加工参数。

本发明未描述部分与现有技术一致，在此不做赘述。

以上仅为本发明的实施方式，并非因此限制本发明的专利范围， 凡是利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构，直接或间接运用 在其他相关的技术领域，均同理在本发明的专利保护范围之内。

Claims (3)

1.一种用于齿轮的反渐开线获取方法，其特征在于：所述获取方法包括以下步骤：

1)：以齿轮基圆为基准建模，建立反渐开线的函数关系式；

2)：由渐开线齿廓啮合传动无侧隙啮合方程，推导反渐开线齿廓啮合传动无侧隙啮合方程；

3)：依据反渐开线齿廓的条件，以及反渐开线齿轮变位系数的计算取值。

2.根据权利要求1所述的一种用于齿轮的反渐开线获取方法，其特征在于：所述步骤1)中，在所述齿轮基圆上，任一切点P(x，y)轨迹曲线的直角坐标函数表达式，换成极坐标函数方程，得到

inv α_k＝tan α_k-α_k

式中，α_k为压力角，β_k为螺旋角，这就是渐开线函数，在基圆内的曲线从基圆上起始点开始到滚刀刀尖最高切削点的曲线也是渐开线，因在基圆内与基圆外渐开线关于起始点对称，因此称为反渐开线。

3.根据权利要求1所述的一种用于齿轮的反渐开线获取方法，其特征在于：所述步骤2)中，基于渐开线齿廓啮合传动无侧隙啮合方程，即，渐开线齿轮无侧隙啮合方程，其方程是

x_∑n＝x_n1+x_n2 (1-5)

或

再结合α_t、α_wt、α_n与分度圆螺旋角β有如下关系：

由于主辅啮合传动的齿廓曲线是光滑过渡连接的，变位系数是相同的，只是总变位系数不同，因此无侧隙啮合方程也是渐开线齿轮无侧隙啮合方程，其方程是

x_∑sn＝x_n1-x_n2 (1-8)

x_∑sn是辅啮合传动总法向变位系数，因为x_n2为负值，显然α_wtn＞α_wt，这即是反渐开线齿廓啮合传动无侧隙啮合方程。