CN109815580A - 基于正交理论的膜结构变形分解方法 - Google Patents

基于正交理论的膜结构变形分解方法 Download PDF

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Abstract

本发明提出了一种基于正交理论的膜结构变形分解方法，包括以下步骤：步骤1：构建四节点正方形单元的空间变形，并得到完备正交坐标基矩阵P；步骤2：采用四节点正方形单元对膜结构进行划分，并形成四节点正方形单元的节点坐标位移变形向量d e ；步骤3：得出节点坐标位移变形向量d e 投影到完备正交坐标基矩阵P上的投影系数向量p；步骤4：根据投影系数向量p的大小，判定四节点正方形单元的主要变形，从而对膜结构体系进行变形分解。本发明能更加准确、完善地反映出膜结构整体和局部的受力变形情况。

Description

基于正交理论的膜结构变形分解方法
技术领域
本发明属于力学分析技术领域，尤其涉及一种基于正交理论的膜结构变形分解方法。
背景技术
膜结构由于自重轻、便于安装、节能环保等优点，在工程结构中得到了广泛应用。膜结构是由不同类型的高强薄膜及辅助结构通过一定的方式施加预应力而形成的一种空间整体张拉体系，具有足够的刚度以抵御外部荷载作用。膜结构的常见破坏类型有两种：1)由于支撑错位、气压过大等因素造成膜结构的面内变形达到极限破坏状态，导致膜结构的拉剪等破坏；2)面外非均匀荷载会造成膜结构的凹陷，甚至膜撕裂，即由膜结构的面外变形导致结构破坏。如何有效识别膜结构的面内、面外基本变形类型，对于分析膜结构的性能分析与优化设计具有重要意义。
膜结构不能承受面外弯矩，导致常规的力学方法不能有效识别出其变形情况，同时膜结构在外界作用下表现出的是综合变形形式，单一基本变形的信息被包含在综合变形中，无法被直接分离出来。目前，基于正交理论的膜结构变形分解方法尚未发现。
发明内容
本发明的目的在于克服上述现有技术中存在的问题，从而提出一种基于正交理论的膜结构变形分解方法，能更加准确、完善地反映出膜结构整体和局部的受力变形情况。
为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
一种基于正交理论的膜结构变形分解方法，包括以下步骤：
步骤1：构建四节点正方形单元的空间变形，并得到完备正交坐标基矩阵P；
步骤2：采用四节点正方形单元对膜结构进行划分，并形成四节点正方形单元的节点坐标位移变形向量de；
步骤3：得出节点坐标位移变形向量de投影到完备正交坐标基矩阵P上的投影系数向量p；
步骤4：根据投影系数向量p的大小，判定四节点正方形单元的主要变形，从而对膜结构体系进行变形分解。
优选地，所述步骤1具体包括以下步骤：
步骤1.1：构建X轴向刚体线位移、Y轴向刚体线位移、Z轴向刚体线位移、XOY平面内X轴向拉压变形、XOY平面内Y轴向拉压变形、XOY平面内X轴向弯曲变形、XOY平面内Y轴向弯曲变形、XOY平面剪切变形、Z轴向翘曲变形、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移和XOZ平面刚体转动位移12种基本位移或变形的基向量；并得出完备正交坐标基矩阵P；
步骤1.2：通过上述步骤1.1中的12种基本位移或变形基向量叠加组合成四节点正方形单元的空间变形。
优选地，所述步骤1.1具体包括：
对于四节点正方形单元，采用正交分解法，用其单元节点坐标位移向量构造9种基向量P1～P9；
利用基向量P1～P9通过Schmidt正交化方法得到单元的转动位移基向量P10～P12；
将12种基向量P1～P12构建成完备正交坐标基矩阵P；
P＝[P1 P2 P3 P4 P5 P6 … P11 P12] (1.1)。
优选地，所述基向量P1～P9分别为：
P1为X轴向刚体线位移的基向量：
P1＝(0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0)T (1.2)
P2为Y轴向刚体线位移的基向量：
P2＝(0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0)T (1.3)
P3为Z轴向刚体线位移的基向量：
P3＝(0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000)T (1.4)
P4为XOY平面内X轴向拉压变形的基向量：
P4＝(0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0)T (1.5)
P5为XOY平面内Y轴向拉压变形的基向量：
P5＝(0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000 0)T (1.6)
P6为XOY平面内X轴向弯曲变形的基向量：
P6＝(0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0)T (1.7)
P7为XOY平面内Y轴向弯曲变形的基向量：
P7＝(0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0)T (1.8)
P8为XOY平面剪切变形的基向量：
P8＝(0.3536 0.3536 0 0.3536 -0.3536 0 -0.3536 -0.3536 0 -0.35360.3536 0)T (1.9)
P9为Z轴向翘曲变形的基向量：
P9＝(0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000)T (1.10)
所述单元的转动位移基向量P10～P12分别为：
P10为XOY平面刚体转动位移的基向量：
P10＝(0.3536 -0.3536 0 0.3536 0.3536 0 -0.3536 0.3536 0 -0.3536 -0.3536 0)T (1.11)
P11为YOZ平面刚体转动位移的基向量：
P11＝(0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000)T (1.12)
P12为XOZ平面刚体转动位移的基向量：
P12＝(0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000)T (1.13)。
优选地，所述的步骤2具体包括：
采用四节点正方形单元对膜结构进行划分，得到四节点正方形单元在三维空间坐标系中的节点坐标值为d1；
d1＝(x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 x4 y4 z4) (2.1)
四节点正方形单元在受到任意荷载工况下产生任意位移变形后的节点坐标值为d2；
d2＝(x1' y1' z1' x2' y2' z2' x3' y3' z3' x4' y4' z4') (2.2)
将式(2.2)减去式(2.1)，得到四节点正方形单元的节点坐标位移变形向量de；
de＝(x1'-x1 y1'-y1 z1'-z1 x2'-x2 y2'-y2 z2'-z2 x3'-x3 y3'-y3 z3'-z3 x4'-x4y4'-y4 z4'-z4) (2.3)。
优选地，所述的步骤3具体包括：
将单元节点坐标的变形向量de投影到完备正交坐标基矩阵P上，得到下式：
de＝p·PT (3.1)
将上式(3.1)进行转化，得到：
p＝de·(PT)-1＝de·P (3.2)
其中，PT为P的转置矩阵，(PT)-1为PT的逆矩阵，p为12种基本位移和变形基向量上的投影系数向量；式(3.2)中的p为：
p＝(p1 p2 p3 p4 p5 p6 … pi) (3.3)
式(3.3)中，pi表示相应第i种基本位移或变形基向量上的投影系数，其中i＝1,2,…,12；比如，p1为X轴向刚体线位移基向量上的投影系数。
优选地，所述的步骤4，具体包括以下步骤：
对6种基本变形基向量P4～P9上的投影系数p4～p9的绝对值大小进行比较，绝对值最大的投影系数对应的基本变形判定为四节点正方形单元的主要变形；绝对值次大的投影系数对应的基本变形为次要变形，以此类推，得出四节点正方形单元的基本变形分量信息；
其中，投影系数p4和p5为正值时，其对应的基本变形均为受拉变形；投影系数p4和p5为负值时，其对应的基本变形均为受压变形。
与现有技术相比，本发明具有的有益效果：
本发明可对膜结构的综合变形进行量化识别分析，利用构造的完备正交力学基向量，对膜结构的综合变形进行变形分解，分离出面内拉压、剪切和弯曲等基本变形，以及面外翘曲基本变形等，从而实现了膜结构任一基本变形的量化识别，同时亦可采用此方法对膜结构的局部变形进行量化识别分析；能够更加准确、完善地反映出膜结构整体和局部的受力变形情况。
附图说明
图1为本发明基于正交理论的膜结构变形分解方法的基本流程示意图。
图2为本发明四节点正方形单元示意图。
图3为本发明四节点正方形单元受力后变形示意图。
图4为本发明四节点正方形单元的X轴向刚体位移的示意图。
图5为本发明四节点正方形单元的Y轴向刚体位移的示意图。
图6为本发明四节点正方形单元的Z轴向刚体位移的示意图。
图7为本发明四节点正方形单元的XOY平面内X轴向拉压变形示意图。
图8为本发明四节点正方形单元的XOY平面内Y轴向拉压变形示意图。
图9为本发明四节点正方形单元的XOY平面内X轴向弯曲变形示意图。
图10为本发明四节点正方形单元的XOY平面内Y轴向弯曲变形示意图。
图11为本发明四节点正方形单元的XOY平面剪切变形示意图。
图12为本发明四节点正方形单元的Z轴向翘曲变形示意图。
图13为本发明四节点正方形单元的XOY平面刚体转动位移示意图。
图14为本发明四节点正方形单元的YOZ平面刚体转动位移示意图。
图15为本发明四节点正方形单元的XOZ平面刚体转动位移示意图。
图16为实施例3中的XOZ平面刚体转动位移示意图。
图17为实施例4中的XOZ平面刚体转动位移示意图。
具体实施方式
参考图1所示，实施例1：本发明提供的一种基于正交理论的膜结构变形分解方法，包括以下步骤：
步骤1：构建四节点正方形单元的空间变形，并得到完备正交坐标基矩阵P；
步骤2：采用四节点正方形单元对膜结构进行划分，并形成四节点正方形单元的节点坐标位移变形向量de；
步骤3：得出节点坐标位移变形向量de投影到完备正交坐标基矩阵P上的投影系数向量p；
步骤4：根据投影系数向量p的大小，判定四节点正方形单元的主要变形，从而对膜结构体系进行变形分解。
参考图2～15所示，实施例2：本发明提供的一种基于正交理论的膜结构变形分解方法，包括以下步骤：
步骤1：构建四节点正方形单元的空间变形，并得到完备正交坐标基矩阵P；
所述步骤1具体包括以下步骤：
步骤1.1：构建X轴向刚体线位移、Y轴向刚体线位移、Z轴向刚体线位移、XOY平面内X轴向拉压变形、XOY平面内Y轴向拉压变形、XOY平面内X轴向弯曲变形、XOY平面内Y轴向弯曲变形、XOY平面剪切变形、Z轴向翘曲变形、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移和XOZ平面刚体转动位移12种基本位移或变形的基向量；并得出完备正交坐标基矩阵P；
步骤1.2：通过上述步骤1.1中的12种基本位移或变形基向量叠加组合成四节点正方形单元的空间变形。
优选地，所述步骤1.1具体包括：
对于四节点正方形单元，采用正交分解法，用其单元节点坐标位移向量构造9种基向量P1～P9；
利用基向量P1～P9通过Schmidt正交化方法得到单元的转动位移基向量P10～P12；
将12种基向量P1～P12构建成完备正交坐标基矩阵P；
P＝[P1 P2 P3 P4 P5 P6 … P11 P12] (1.1)
优选地，所述基向量P1～P9分别为：
P1为X轴向刚体线位移的基向量：
P1＝(0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0)T (1.2)
P2为Y轴向刚体线位移的基向量：
P2＝(0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0)T (1.3)
P3为Z轴向刚体线位移的基向量：
P3＝(0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000)T (1.4)
P4为XOY平面内X轴向拉压变形的基向量：
P4＝(0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0)T (1.5)
P5为XOY平面内Y轴向拉压变形的基向量：
P5＝(0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000 0)T (1.6)
P6为XOY平面内X轴向弯曲变形的基向量：
P6＝(0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0)T (1.7)
P7为XOY平面内Y轴向弯曲变形的基向量：
P7＝(0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0)T (1.8)
P8为XOY平面剪切变形的基向量：
P8＝(0.3536 0.3536 0 0.3536 -0.3536 0 -0.3536 -0.3536 0 -0.35360.3536 0)T (1.9)
P9为Z轴向翘曲变形的基向量：
P9＝(0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000)T (1.10)
所述单元的转动位移基向量P10～P12分别为：
P10为XOY平面刚体转动位移的基向量：
P10＝(0.3536 -0.3536 0 0.3536 0.3536 0 -0.3536 0.3536 0 -0.3536 -0.3536 0)T (1.11)
P11为YOZ平面刚体转动位移的基向量：
P11＝(0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000)T (1.12)
P12为XOZ平面刚体转动位移的基向量：
P12＝(0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000)T (1.13)
步骤2：采用四节点正方形单元对膜结构进行划分，并形成四节点正方形单元的节点坐标位移变形向量de；
所述的步骤2具体包括：
采用四节点正方形单元对膜结构进行划分，得到四节点正方形单元在三维空间坐标系中的节点坐标值为d1；
d1＝(x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 x4 y4 z4) (2.1)
四节点正方形单元在受到任意荷载工况下产生任意位移变形后的节点坐标值为d2；
d2＝(x1' y1' z1' x2' y2' z2' x3' y3' z3' x4' y4' z4') (2.2)
将式(2.2)减去式(2.1)，得到四节点正方形单元的节点坐标位移变形向量de；
步骤3：得出节点坐标位移变形向量de投影到完备正交坐标基矩阵P上的投影系数向量p；所述的步骤3具体包括：
将单元节点坐标的变形向量de投影到完备正交坐标基矩阵P上，得到下式：
de＝p·PT (3.1)
将上式(3.1)进行转化，得到：
p＝de·(PT)-1＝de·P (3.2)
其中，PT为P的转置矩阵，(PT)-1为PT的逆矩阵，p为12种基本位移和变形基向量上的投影系数向量；式(3.2)中的p为：
p＝(p1 p2 p3 p4 p5 p6 … pi) (3.3)
式(3.3)中，pi表示相应第i种基本位移或变形基向量上的投影系数，其中i＝1,2,…,12；比如，p1为X轴向刚体线位移基向量上的投影系数。
步骤4：根据投影系数向量p的大小，判定四节点正方形单元的主要变形，从而对膜结构体系进行变形分解。
所述的步骤4，具体包括以下步骤：
对6种基本变形基向量P4～P9上的投影系数p4～p9的绝对值大小进行比较，绝对值最大的投影系数对应的基本变形判定为四节点正方形单元的主要变形；绝对值次大的投影系数对应的基本变形为次要变形，以此类推，得出四节点正方形单元的基本变形分量信息；
应当说明的是，X轴向的刚体线位移、Y轴向刚体线位移、Z轴向刚体线位移、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移和XOZ平面刚体转动位移属于刚体位移，不产生应力应变，因此不需要考虑其基向量上的投影系数，只需要分析其他6种基本变形基向量上的投影系数即可。
其中，投影系数p4和p5为正值时，其对应的基本变形均为受拉变形；投影系数p4和p5为负值时，其对应的基本变形均为受压变形。
为进一步验证本方法的精度，进行刚体转动位移对本方法的误差影响分析：
应当说明的是：转动位移为非线性位移，进行线性分解时会产生误差，即四节点正方形单元的转动位移向量不仅会投影到转动位移基向量上，还会投影到其他基本位移和基本变形基向量上，因此需要对四节点正方形单元的刚体转动位移在其他基本位移和基本变形上产生的额外投影系数大小进行分析，判定刚体转动位移是否影响计算精度。
设定四节点正方形单元的边长为l，当正方形绕中心顺时针旋转θ，单元四个节点的坐标位移向量为：
将四节点正方形单元的转动位移向量投影到已经构造得到的完备正交力学基上，四节点正方形单元的转动位移向量仅在刚体转动位移基向量、X轴向拉压变形基向量和Y轴向拉压变形基向量上，在其他基本位移和基本变形基向量上的投影系数为0；因此四节点正方形单元的刚体转动的坐标位移向量投影得到的12个约束方程简化为3个独立的约束方程，如下所示：
其中：p4、p5分别为XOY平面刚体转动位移在X、Y轴向拉压变形基上的投影系数，p10为其在XOY平面刚体转动位移基上的投影系数。
对方程组(5)求解，可得：
对式(7)中的sinθ、cosθ项进行泰勒级数展开，并忽略高阶小量，得到：
由式(8)可知，在小变形的情况下，投影系数p4、p5相对于p10为θ的高阶小量，故XOY平面刚体转动位移在X、Y轴向拉压变形基上的投影可以忽略不计，其误差对本方法的影响在允许范围内。
实施例3：应用实施例(一)
如图16所示，以四边固支的张拉膜结构为例，其中膜结构的长、宽均为0.4m，膜的厚度为0.5mm，长、宽方向为X、Y轴，厚度方向为Z轴；膜结构的弹性模量为150MPa，泊松比为0.38，对膜面施加初始预应力为2Mpa；
在膜结构的面上施加竖向均布荷载，得出在其中的1号四节点正方形单元的节点位移向量de为：
de＝(0.0298 0.0456 -95.1160 0.0258 0.0412 -74.5370 0.0286 0.0323 -80.1270 0.0372 0.0375 -102.3500)×10-5m
对公式(3.2)进行单元刚体位移与基本变形的刚柔分离；投影系数向量p转化为下式：
p＝de·P (9)
可对公式(3.2)进行单元刚体位移与基本变形的刚柔分离，即得到下式：
p＝(pL pD pR) (10)
其中，pL＝(p1 p2 p3)为单元刚体线位移投影系数向量；
pD＝(p4 p5 p6 p7 p8 p9)为单元基本变形投影系数向量；
pR＝(p10 p11 p12)为单元刚体转动位移投影系数向量；
令对pD中基本变形的投影系数p进行归一化处理，得出：
pD'＝(p4' p5' p6' p7' p8' p9') (11)
其中，pi'(i＝4,5,...,9)表示j单元中第i种基本变形在总基本变形中所占比例。
根据上式，得到膜结构的综合变形在12种完备正交力学基上的变形分解结果如表1所示(除去6种基本刚体位移)。
表1 1号四节点正方形单元变形分解结果
由表1可知，Z轴向翘曲变形在综合变形中所占比例为97.88％，即四节点正方形单元所在局部区域的变形以翘曲变形为主。
实施例4：应用实施例(二)
如图17所示，以四边固支的硬膜结构为例，其中膜结构的长、宽均为0.4m，膜的厚度为2mm，长、宽方向为X、Y轴，厚度方向为Z轴；膜结构的弹性模量为300000MPa，泊松比为0.3。
在膜结构的面上施加竖向均布荷载，其中2号四节点正方形单元的节点位移向量de为：
de＝(-0.0121 -0.0121 -0.6779 -0.0109 -0.0038 -0.2189 -0.0036 -0.0036-0.0717 -0.0038 -0.0109 -0.2189)×10-3m
得到综合变形在12种完备正交力学基上的变形分解结果如表2所示(除去6种基本刚体位移)。
表2 2号四节点正方形单元变形分解结果
由表2中的结果可知，结构角隅处的主要变形为面外变形，即Z轴向翘曲变形；除了面外的变形，在结构角隅处的平面内主要变形为XOY平面剪切变形。
进一步地，在膜结构的面上施加竖向均布荷载，3号四节点正方形单元的节点位移向量de为：
de＝(0 -0.0235 -0.4707 -0.0015 -0.0219 -0.4400 0 0 0 0 0 0)×10-3m
得到膜结构综合变形在12种完备正交力学基上的变形分解结果如表3所示(除去6种基本刚体位移)。
表3 3号四节点正方形单元变形分解结果
由表3中的结果可知，在结构跨中靠近边界处，区域的综合变形中Y轴向拉压变形所占比例最大，其次是Z轴向翘曲变形。因此，四节点正方形单元所在区域Y轴向拉压变形为主要变形，Z轴向翘曲变形为次要变形。
本发明的变形分解方法，能有效识别膜结构的面内、面外基本变形类型，对于分析膜结构的性能分析与优化设计具有重要意义；并将膜结构单一基本变形的信息从在外界作用下表现出的综合变形形式中分离出来，使得膜结构的变形分解对于其研发和应用具有指导性的意义。
以上所示仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种基于正交理论的膜结构变形分解方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：构建四节点正方形单元的空间变形，并得到完备正交坐标基矩阵P；
步骤2：采用四节点正方形单元对膜结构进行划分，并形成四节点正方形单元的节点坐标位移变形向量de；
步骤3：得出节点坐标位移变形向量de投影到完备正交坐标基矩阵P上的投影系数向量p；
步骤4：根据投影系数向量p的大小，判定四节点正方形单元的主要变形，从而对膜结构体系进行变形分解。
2.根据权利要求1所述的基于正交理论的膜结构变形分解方法，其特征在于，所述步骤1具体包括以下步骤：
步骤1.1：构建X轴向刚体线位移、Y轴向刚体线位移、Z轴向刚体线位移、XOY平面内X轴向拉压变形、XOY平面内Y轴向拉压变形、XOY平面内X轴向弯曲变形、XOY平面内Y轴向弯曲变形、XOY平面剪切变形、Z轴向翘曲变形、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移和XOZ平面刚体转动位移12种基本位移或变形的基向量；并得出完备正交坐标基矩阵P；
步骤1.2：通过上述步骤1.1中的12种基本位移或变形基向量叠加组合成四节点正方形单元的空间变形。
3.根据权利要求2所述的基于正交理论的膜结构变形分解方法，其特征在于，所述步骤1.1具体包括：
对于四节点正方形单元，采用正交分解法，用其单元节点坐标位移向量构造9种基向量P1～P9；
利用基向量P1～P9通过Schmidt正交化方法得到单元的转动位移基向量P10～P12；
将12种基向量P1～P12构建成完备正交坐标基矩阵P；
P＝[P1 P2 P3 P4 P5 P6 … P11 P12] (1.1)。
4.根据权利要求3所述的基于正交理论的膜结构变形分解方法，其特征在于，所述基向量P1～P9分别为：
P1为X轴向刚体线位移的基向量：
P1＝(0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0)T (1.2)
P2为Y轴向刚体线位移的基向量：
P2＝(0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0)T (1.3)
P3为Z轴向刚体线位移的基向量：
P3＝(0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 0.5000)T (1.4)
P4为XOY平面内X轴向拉压变形的基向量：
P4＝(0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0)T (1.5)
P5为XOY平面内Y轴向拉压变形的基向量：
P5＝(0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000 0)T (1.6)
P6为XOY平面内X轴向弯曲变形的基向量：
P6＝(0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0)T (1.7)
P7为XOY平面内Y轴向弯曲变形的基向量：
P7＝(0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0)T (1.8)
P8为XOY平面剪切变形的基向量：
P8＝(0.3536 0.3536 0 0.3536 -0.3536 0 -0.3536 -0.3536 0 -0.3536 0.3536 0)T (1.9)
P9为Z轴向翘曲变形的基向量：
P9＝(0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000)T (1.10)
所述单元的转动位移基向量P10～P12分别为：
P10为XOY平面刚体转动位移的基向量：
P10＝(0.3536 -0.3536 0 0.3536 0.3536 0 -0.3536 0.3536 0 -0.3536 -0.3536 0)T (1.11)
P11为YOZ平面刚体转动位移的基向量：
P11＝(0 0 0.5000 0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000)T (1.12)
P12为XOZ平面刚体转动位移的基向量：
P12＝(0 0 0.5000 0 0 -0.5000 0 0 -0.5000 0 0 0.5000)T (1.13)。
5.根据权利要求1所述的基于正交理论的膜结构变形分解方法，其特征在于，所述的步骤2具体包括：
采用四节点正方形单元对膜结构进行划分，得到四节点正方形单元在三维空间坐标系中的节点坐标值为d1；
d1＝(x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 x4 y4 z4) (2.1)
四节点正方形单元在受到任意荷载工况下产生任意位移变形后的节点坐标值为d2；
d2＝(x1' y1' z1' x2' y2' z2' x3' y3' z3' x4' y4' z4') (2.2)
将式(2.2)减去式(2.1)，得到四节点正方形单元的节点坐标位移变形向量de；
6.根据权利要求4所述的基于正交理论的膜结构变形分解方法，其特征在于，所述的步骤3具体包括：
将单元节点坐标的变形向量de投影到完备正交坐标基矩阵P上，得到下式：
de＝p·PT (3.1)
将上式(4.1)进行转化，得到：
p＝de·(PT)-1＝de·P (3.2)
其中，PT为P的转置矩阵，(PT)-1为PT的逆矩阵，p为12种基本位移和变形基向量上的投影系数向量；式(3.2)中的p为：
p＝(p1 p2 p3 p4 p5 p6 … pi) (3.3)
式(3.3)中，pi表示相应第i种基本位移或变形基向量上的投影系数，其中i＝1,2,…,12；比如，p1为X轴向刚体线位移基向量上的投影系数。
7.根据权利要求6所述的基于正交理论的膜结构变形分解方法，其特征在于，所述的步骤4，具体包括以下步骤：
对6种基本变形基向量P4～P9上的投影系数p4～p9的绝对值大小进行比较，绝对值最大的投影系数对应的基本变形判定为四节点正方形单元的主要变形；绝对值次大的投影系数对应的基本变形为次要变形，以此类推，得出四节点正方形单元的基本变形分量信息；
其中，投影系数p4和p5为正值时，其对应的基本变形均为受拉变形；投影系数p4和p5为负值时，其对应的基本变形均为受压变形。
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Cited By (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111046463A (zh) * 2019-11-28 2020-04-21 郑州大学 基于正交理论的桁架结构变形分解方法
CN111180850A (zh) * 2019-12-31 2020-05-19 清华大学 一种梯度薄膜
CN111368469A (zh) * 2020-02-22 2020-07-03 郑州大学 基于正交分解理论的梁单元变形分解方法
CN112613211A (zh) * 2020-12-22 2021-04-06 郑州大学 平面结构中任意三角形单元的变形分解方法
CN114781087A (zh) * 2022-04-22 2022-07-22 郑州大学 基于板单元变形分解的空间结构性能量化分析方法

Citations (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JP2013050814A (ja) * 2011-08-30 2013-03-14 Toyota Motor Corp 剛体運動及び弾性変形の解析方法
CN104408286A (zh) * 2014-10-23 2015-03-11 郑州大学 基于正交分解理论的平面构件变形分解与振型识别方法
CN105677971A (zh) * 2016-01-07 2016-06-15 郑州大学 满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法

Patent Citations (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JP2013050814A (ja) * 2011-08-30 2013-03-14 Toyota Motor Corp 剛体運動及び弾性変形の解析方法
CN104408286A (zh) * 2014-10-23 2015-03-11 郑州大学 基于正交分解理论的平面构件变形分解与振型识别方法
CN105677971A (zh) * 2016-01-07 2016-06-15 郑州大学 满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法

Non-Patent Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
赵阳等: "向量式有限元膜单元及其在膜结构褶皱分析中的应用", 《建筑结构学报》 *

Cited By (9)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111046463A (zh) * 2019-11-28 2020-04-21 郑州大学 基于正交理论的桁架结构变形分解方法
CN111046463B (zh) * 2019-11-28 2022-11-22 郑州大学 基于正交理论的桁架结构变形分解方法
CN111180850A (zh) * 2019-12-31 2020-05-19 清华大学 一种梯度薄膜
CN111180850B (zh) * 2019-12-31 2021-06-11 清华大学 一种梯度薄膜
CN111368469A (zh) * 2020-02-22 2020-07-03 郑州大学 基于正交分解理论的梁单元变形分解方法
CN111368469B (zh) * 2020-02-22 2023-03-24 郑州大学 基于正交分解理论的梁单元变形分解方法
CN112613211A (zh) * 2020-12-22 2021-04-06 郑州大学 平面结构中任意三角形单元的变形分解方法
CN112613211B (zh) * 2020-12-22 2022-10-21 郑州大学 平面结构中任意三角形单元的变形分解方法
CN114781087A (zh) * 2022-04-22 2022-07-22 郑州大学 基于板单元变形分解的空间结构性能量化分析方法

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