CN104408286A - 基于正交分解理论的平面构件变形分解与振型识别方法 - Google Patents

Abstract

基于正交分解理论的平面构件变形分解与振型识别方法，包括以下步骤：第1步，四节点正方形单元的平面变形是由x方向的刚体位移、y方向的刚体位移、x方向的拉压变形、y方向的拉压变形、x方向的弯曲变形、y方向的弯曲变形，以及剪切变形和刚体转动位移8种基本变形叠加组合而成；针对四节点正方形单元，采用正交分解法，分别构造由x方向的刚体位移、y方向的刚体位移、x方向的拉压变形、y方向的拉压变形、x方向的弯曲变形、y方向的弯曲变形，以及剪切变形和刚体转动位移8种基本变形的基本变形向量.可以在结构划分为大单元时同样适用，大大减少了计算工作量，且能够识别弯曲变形，剪切振型等，能更加准确完善地反映出构件内部的受力情况与振型类型。

Description

基于正交分解理论的平面构件变形分解与振型识别方法

技术领域

本发明涉及一种平面构件变形及振型的识别方法。

背景技术

构件是工程结构的基本组成部分，构件的变形分析是确保结构安全性和适用性的重要手段。目前，构件的变形分析方法包括有限元应力应变分析法和实验分析法等。在构件的有限元应力应变分析中，通过有限元计算，可得到单元节点的线位移值，进而可得到构件单元的应变值，包括正应变和切应变等；实验分析可通过安装位移计、粘贴应变片或埋设光纤光栅等方法得到构件上某点的线位移或应力、应变等。基于正交分解理论的平面构件变形分解方法则可直观及定量地给出构件上各个部位主要的基本变形类型和分布情况，以及拉压、弯曲、剪切等不同基本变形分量的比例。

构件的振型是构件变形的基向量。在结构振型的识别方面，现有的主要方法为质量参与系数法^[2]及其衍生的方法^[3]，通过对平面构件不同方向的参与系数进行比较，对平面构件的弯曲、拉压等振型类型进行判别，对振型定性描述。基于正交分解理论的振型识别法可直接将平面构件的振型分解成x方向拉压、剪切等基本振型，对各种振型的类型进行量化识别，特别是对平面构件的剪切振型、耦合振型等进行量化分析。

通过对构件主要变形的类型、分布和变形比例，以及构件振型类型的研究，可指导构件的验算设计和构造设计；如解决应以哪项验算设计(如：抗弯拟或抗剪)为主的问题；如解决应对构件哪些部位(如端部拟或中部)进行构造方面的强化设计等。另外，通过对主要变形的研究，尚可指导构件的实验设计；如解决应变片的粘贴位置与方向等问题；可指导构件的损伤识别；如确定裂缝的性质和预判裂缝的走向等；可指导构件的加固策略；如决定加固的部位和方向等。

Robert Cook^[1]指出，在小变形情况下，正方形单元的节点坐标变形向量是由x、y方向的刚体位移、拉压变形和弯曲变形，以及剪切变形和刚体转动等8种基本变形叠加组合而成。然而，Robert Cook所列举的8种基本变形并不完全满足正交关系。参考文献：

【1】Robert Cook.Concepts and Applications of Finite Element Analysis.1989.

【2】Fardis,M.N.and G.Tsionis,Eigenvalues and modes of distributed-mass symmetricmultispan bridges with restrained ends for seismic response analysis.Engineering Structures,2013.51:p.141-149.

【3】Wang,D.-W.and C.-Y.Han,A METHOD BASED ON MODAL ANALYSIS FORTHE RESEARCH OF IRREGULAR TORSION OF STRUCTURES.Proceedings of the EleventhInternational Symposium on Structural Engineering,Vol I and Ii,ed.J.Cui,etal.2010.763-768.

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于正交分解理论的平面构件变形分解与振型识别方法。可将平面构件的变形分解为完备的基本变形，特别是弯曲变形，能更加准确、完善地反映出构件内部的受力变形情况；且能够对平面构件的各种振型进行量化识别，特别是剪切振型和耦合振型。

本发明的技术方案是：

基于正交分解理论的平面构件变形分解与振型识别方法，包括以下步骤：

第1步，四节点正方形单元的平面变形是由x方向的刚体位移、y方向的刚体位移、x方向的拉压变形、y方向的拉压变形、x方向的弯曲变形、y方向的弯曲变形，以及剪切变形和刚体转动位移8种基本变形叠加组合而成；

针对四节点正方形单元，采用正交分解法，分别构造由x方向的刚体位移、y方向的刚体位移、x方向的拉压变形、y方向的拉压变形、x方向的弯曲变形、y方向的弯曲变形，以及剪切变形和刚体转动位移8种基本变形的基本变形向量，平面结构的8种基本变形中任一种可以用单元节点坐标位移来表示，对单元节点位移进行归一化处理，得到基本变形向量如下：

①、x方向刚体位移的基本变形向量：

P₁＝(0.5000，0，0.5000，0，0.5000，0，0.5000，0)^T

②、y方向刚体位移的基本变形向量：

P₂＝(0，0.5000，0，0.5000，0，0.5000，0，0.5000)^T

③、x方向拉压变形的基本变形向量：

P₃＝(0.5000，0，-0.5000，0，-0.5000，0，0.5000，0)^T

④、y方向拉压变形的基本变形向量：

P₄＝(0，0.5000，0，0.5000，0，-0.5000，0，-0.5000)^T

⑤、x方向弯曲变形的基本变形向量：

P₅＝(0.5000，0，-0.5000，0，0.5000，0，-0.5000，0)^T

⑥、y方向弯曲变形的基本变形向量：

P₆＝(0，0.5000，0，-0.5000，0，0.5000，0，-0.5000^T

⑦、剪切变形的基本变形向量：

P₇＝(0.3536，0.3536，0.3536，-0.3536，-0.3536，-0.3536，-0.3536，0.3536)^T

针对刚体转动基本变形向量的构造，考虑到刚体转动与单元尺寸的关系，利用已经得到的以上7种基本变形向量，采用Schmidt正交化方法得到单元刚体转动的基本变形向量：

P₈＝(-0.3536，0.3536，-0.3536，-0.3536，0.3536，-0.3536，0.3536，0.3536)^T

构造出8种基本变形向量组成的完备正交坐标基为

$B=\left[\begin{array}{cccccccc}0.5& 0& 0.5& 0& 0.5& 0& 0.3536& -0.3536\\ 0& 0.5& 0& 0.5& 0& 0.5& 0.3536& 0.3536\\ 0.5& 0& -0.5& 0& -0.5& 0& 0.3536& -0.3536\\ 0& 0.5& 0& 0.5& 0& -0.5& -0.3536& -0.3536\\ 0.5& 0& -0.5& 0& 0.5& 0& -0.3536& 0.3536\\ 0& 0.5& 0& -0.5& 0& 0.5& -0.3536& -0.3536\\ 0.5& 0& 0.5& 0& -0.5& 0& -0.3536& 0.3536\\ 0& 0.5& 0& -0.5& 0& -0.5& 0.3536& 0.3536\end{array}\right]$

其中，坐标基B的列向量所表示的基本变形向量依次为：x方向刚体位移的基本变形向量、y方向刚体位移的基本变形向量、x方向拉压变形的基本变形向量、y方向拉压变形的基本变形向量、x方向弯曲变形的基本变形向量、y方向弯曲变形的基本变形向量、剪切变形的基本变形向量、刚体转动的基本变形向量；

第2步，采用四节点正方形单元对平面构件划分，得到平面构件在相应荷载工况下的各单元节点坐标变形向量d_e，

d_e＝[x'₁-x₁,y'₁-y₁,x'₂-x₂,y'₂-y₂,x'₃-x₃,y'₃-y₃,x'₄-x₄,y'₄-y₄]^T；

第3步，任一四节点正方形单元的节点坐标变形向量可以表达为8种基本变形向量的线性组合，单元的节点坐标变形向量可以投影到完备正交坐标基B上，即d_e＝B·d  (1)

式(1)可以转化为

d＝B^-1d_e＝B^Td_e  (2)

其中，B^-1为B的逆矩阵，B^T为B的转置矩阵，d为8种基本变形的贡献系数向量，d＝(d₁ d₂ d₃ d₄ d₅ d₆ d₇ d₈)^T，式中表示任一四节点正方形单元的节点坐标变形向量可以表达为8种基本变形的线性组合，其中d_i表示相应i种基本变形对该单元变形的贡献，称为贡献系数，d_i的下角标i＝1,2,...,8；d₁为投影到单元x方向刚体位移上的贡献系数，d₂为投影到单元y方向刚体位移上的贡献系数，d₃为投影到单元x方向拉压变形上的贡献系数，d₄为投影到单元y方向拉压变形上的贡献系数，d₅为投影到单元x方向弯曲变形上的贡献系数，d₆为投影到单元y方向弯曲变形上的贡献系数，d₇为投影到单元剪切变形上的贡献系数，d₈为投影到单元刚体转动位移上的贡献系数；

第4步，将剪切变形、x方向的弯曲变形、y方向弯曲变形、x方向拉压变形、y方向拉压变形5种基本变形上的贡献系数绝对值大小进行比较，绝对值最大的基本变形为单元的主要变形，从而实现平面构件的变形分解与振型识别，其中：x、y方向拉压变形的贡献系数为正时表示变形为x、y方向受拉变形；x、y方向拉压变形的投影系数为负时表示变形为x、y方向受压变形。

第4步中，系数绝对值次大的变形为单元变形的次要变形，以此类推即得到单元的详细变形信息。

第4步中，8种变形中x方向的刚体位移、y方向刚体位移和刚体转动属于刚体位移，不产生应力应变，不需要考虑其贡献系数，只需要分析其他5种基本变形的贡献系数即可。

本发明的优点：

1)传统有限元应力应变分析方法会将适中梁跨中区域错误地识别为剪切变形为主，而基于正交分解理论的平面构件变形分解方法则可将适中梁的跨中区域正确地识别为x方向弯曲变形为主(数字3表示区域)，与实际情况相符合，说明了基于正交分解理论的平面构件变形分解方法的正确性和优越性。在采用大单元划分构件时，有限元应力应变分析方法不能正确地反应构件内部的真实变形情况，而基于正交分解理论的平面构件变形分解方法的分析结果则可不受单元划分大小的限制。

2)质量参与系数法仅能识别拉压等简单振型，且不能对弯剪耦合振型进行量化识别；基于正交分解理论的平面构件振型识别方法则可将平面构件的各种振型进行量化识别，如可将弯剪耦合振型识别为以弯曲为主，拟或以剪切为主。

由以上分析可知，基于正交分解理论的平面构件变形分解与振型识别方法相比于传统的有限元应力分析方法和质量参与系数法，可以在结构划分为大单元时同样适用，大大减少了计算工作量，且能够识别弯曲变形，剪切振型等，能更加准确完善地反映出构件内部的受力情况与振型类型。

附图说明

图1是四节点正方形单元图；

图2是单元受力后变形图；

图3是x方向刚体位移的示意图；

图4是y方向刚体位移的示意图；

图5是x方向拉压变形的示意图；

图6是y方向拉压变形的示意图；

图7是x方向弯曲变形的示意图；

图8是y方向弯曲变形的示意图；

图9是剪切变形的示意图；

图10是刚体转动的示意图；

图11是简支浅梁小单元变形分解结果图；

图12是简支浅梁小单元有限元应变结果图；

图13是不同单元尺寸下变形分解与应力应变相似度对比的示意图；

图14是后处理单元尺寸为35mm的变形分解图；

图15是后处理单元尺寸为63mm的变形分解图；

图16是后处理单元尺寸为105mm的变形分解图；

图17是剪切变形为主区域的收敛性的示意图；

图18是弯曲变形为主区域的收敛性的示意图；

图19是剪跨比为2.0的柱受力变形图；

图20是剪跨比为2.0的柱变形分解图；

图21(a)是剪跨比为2.0的柱σ_y应力图；

图21(b)是剪跨比为2.0的柱τ_xy应力图；

图22(a)是第一阶振型形状图；

图22(b)是第一阶振型正交分解图；

图23(a)是第二阶振型形状图；

图23(b)是第二阶振型正交分解示意图；

图24(a)是第三阶振型形状图；

图24(b)是第三阶振型正交分解示意图；

图25(a)是第四阶振型形状图；

图25(b)是第四阶振型正交分解示意图。

为了在图中准确显示，图11、12、14、15、16、20、22(b)、23(b)、24(b)、25(b)中，建立与8种基本变形一一对应的数组，数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别用来代表8种基本变形的一种，其中1代表单元以剪切变形为主、2代表单元以x方向的刚体位移为主，3代表单元以x方向的弯曲变形为主、4代表单元以y方向刚体位移为主，5代表单元以y方向弯曲变形为主，6代表单元以刚体转动为主，7代表单元以x方向受拉变形为主、8代表单元以x方向受压变形为主、9代表单元以y方向受拉为主、10代表单元以y方向受压为主。

具体实施方式

本发明的理论推导：Robert Cook^[14]指出，在小变形情况下，正方形单元的平面变形是由x、y方向的刚体位移、拉压变形和弯曲变形，以及剪切变形和刚体转动位移等8种基本变形叠加组合而成。然而，Robert Cook所列举的8种基本变形并不完全满足正交关系。本发明依照正交分解理论，构造出正方形单元8种基本变形对应的基本变形向量，从而可将单元的平面变形分解为8种基本变变形。

如图1、2所示，设有图1所示四节点正方形单元，其任意变形如图2所示。由变形后的坐标值减去变形前的坐标值，即可形成正方形单元的节点坐标变形向量：

d_e＝[x'₁-x₁,y'₁-y₁,x'₂-x₂,y'₂-y₂,x'₃-x₃,y'₃-y₃,x'₄-x₄,y'₄-y₄]^T

如图3～10所示，针对四节点正方形单元，分别构造x、y两个方向的刚体线位移、拉压变形和弯曲变形，以及剪切变形和刚体转动8个基本变形形式，平面结构的8种基本变形中任一种可以用单元节点位移来表示，对单元节点位移进行归一化处理，得到基本变形向量如下：

(1)x方向刚体位移的基本变形向量(如图3所示)：

P₁＝(0.5000，0，0.5000，0，0.5000，0，0.5000，0)^T

(2)y方向刚体位移的基本变形向量(如图4所示)：

P₂＝(0，0.5000，0，0.5000，0，0.5000，0，0.5000)^T

(3)x方向拉压变形的基本变形向量(如图5所示)：

P₃＝(0.5000，0，-0.5000，0，-0.5000，0，0.5000，0)^T

(4)y方向拉压变形的基本变形向量(如图6所示)：

P₄＝(0，0.5000，0，0.5000，0，-0.5000，0，-0.5000)^T

(5)x方向弯曲变形的基本变形向量(如图7所示)：

P₅＝(0.5000，0，-0.5000，0，0.5000，0，-0.5000，0)^T

(6)y方向弯曲变形的基本变形向量(如图8所示)：

P₆＝(0，0.5000，0，-0.5000，0，0.5000，0，-0.5000^T

(7)剪切变形的基本变形向量(如图9所示)：

P₇＝(0.3536，0.3536，0.3536，-0.3536，-0.3536，-0.3536，-0.3536，0.3536)^T

针对刚体转动基本向量的构造，考虑到刚体转动与单元尺寸的关系，利用已经得到的7种基本变形向量，采用Schmidt正交化方法得到单元刚体转动的基本变形向量：

P₈＝(-0.3536，0.3536，-0.3536，-0.3536，0.3536，-0.3536，0.3536，0.3536)^T

以上构造的基本变形向量满足

${P_i}^T{P}_j=\left\{\begin{array}{cc}1& i=j\\ 0& i\≠j\end{array}\right.(i,j=\mathrm{1,2},...,8)---\left(1\right)$

由式(1)知，基本变形向量为相互正交的单位向量，满足构造正交完备坐标基的充要条件。

在构造的正交完备坐标基中，x、y方向刚体位移的基本变形向量、x、y方向拉压变形的基本变形向量、x、y方向弯曲变形的基本变形向量，以及剪切变形的基本变形向量均是通过单元变形时节点位移求得的，而单元刚体转动的基本变形向量是根据其他7种基本变形向量正交化确定的，因此需要进一步验证单元刚体转动的基本变形向量的误差是否满足精度要求。

验证过程如下：

如图10所示，正方形的边长为2a，当四节点正方形单元逆时针旋转θ后，单元四个节点的坐标位移向量为：

$\begin{array}{cccc}(\sqrt{2}a\sin (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a& \sqrt{2}a\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a& a-\sqrt{2}a\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})& \sqrt{2}a\sin (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a\\ a-\sqrt{2}a\sin (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})& a-\sqrt{2}a\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})& \sqrt{2}a\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a& a-\sqrt{2}a\sin {\left(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})\right)}^T\end{array}$

将四节点正方形单元转动时的节点位移向量投影到已经构造得到的完备正交坐标基上，四节点正方形单元转动的节点位移向量除了投影在刚体转动的基本变形向量上外，还会投影在x方向拉压变形和y方向拉压变形的基本变形向量上，从而产生误差，因此需要分析四节点正方形单元转动时的节点坐标位移向量投影在x方向拉压和y方向拉压的基本变形向量上的贡献系数大小，进行误差分析。四节点正方形单元转动时的节点坐标位移向量可以由转动基本变形向量、x方向拉压和y方向拉压基本变形向量线性表出，从而得到8个约束方程，对8个约束方程进行分析得到3个独立的约束方程，如下所示：

$\left\{\begin{array}{c}-0.3536k_1+0.5k_2+0k_3=\sqrt{2}a\sin (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a\\ 0.3536k_1+0k_2+0.5k_3=\sqrt{2}a\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a\\ -0.3536k_1-0.5k_2+0k_3=a-\sqrt{2}a\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：k₁为单元刚体转动上的贡献系数，k₂为单元x方向拉压上的贡献系数，k₃为y方向拉压上的贡献系数。

对方程组(2)进行整理得：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_2=k_3\\ 2\×0.3536k_1=2a\sin \mathrm{\θ}\\ k_2+2a=2a\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(3\right)$

由方程组(3)得：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_1=2\sqrt{2}a\sin \mathrm{\θ}\\ k_2=k_3=2a(\cos \mathrm{\θ}-1)\end{array}\right.---\left(4\right)$

对式(4)中的sinθ和cosθ，通过泰勒级数展开，忽略高阶变量得到：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_1=2\sqrt{2}\mathrm{a\θ}\\ k_2=k_3\≈2a(1-\frac{{\mathrm{\θ}}^2}{2}-1)=-a{\mathrm{\θ}}^2\\ \frac{k_2}{k_1}=\frac{k_3}{k_1}=\frac{\mathrm{\θ}}{2\sqrt{2}}\end{array}\right.---\left(5\right)$

故在小变形情况下，若转动角度是10^-1弧度，则x方向拉压和y方向拉压的误差数量级为10^-2，由此可知，在小变形情况下，单元转动角度较小，误差可以接受。

综上所述，采用构造得到的正交坐标基对正方形单元的节点坐标变量进行分解时，单元转动时会对x方向拉压变形和y方向拉压变形上的贡献系数有一定的误差，但误差值相对于单元刚体转动上的贡献系数是更高阶的小量，可以忽略。

验证结束。

以正交分解为理论基础，构造出四节点正方形单元变形分解的完备正交坐标基为：

$B=\left[\begin{array}{cccccccc}0.5& 0& 0.5& 0& 0.5& 0& 0.3536& -0.3536\\ 0& 0.5& 0& 0.5& 0& 0.5& 0.3536& 0.3536\\ 0.5& 0& -0.5& 0& -0.5& 0& 0.3536& -0.3536\\ 0& 0.5& 0& 0.5& 0& -0.5& -0.3536& -0.3536\\ 0.5& 0& -0.5& 0& 0.5& 0& -0.3536& 0.3536\\ 0& 0.5& 0& -0.5& 0& 0.5& -0.3536& -0.3536\\ 0.5& 0& 0.5& 0& -0.5& 0& -0.3536& 0.3536\\ 0& 0.5& 0& -0.5& 0& -0.5& 0.3536& 0.3536\end{array}\right]$

其中，正交坐标基列向量所表示的基本变形向量依次为：x方向刚体位移的基本变形向量、y方向刚体位移的基本变形向量、x方向拉压变形的基本变形向量、y方向拉压变形的基本变形向量、x方向弯曲变形的基本变形向量、y方向弯曲变形的基本变形向量、剪切变形的基本变形向量，以及刚体转动位移的基本变形向量。

坐标基矩阵B为8×8的方阵，满足完备性，且满足BB^T＝E，可以作为变形分解的完备正交坐标基矩阵。

平面构件在相应荷载工况下的任一单元节点坐标变形向量d_e

d_e＝[x'₁-x₁,y'₁-y₁,x'₂-x₂,y'₂-y₂,x'₃-x₃,y'₃-y₃,x'₄-x₄,y'₄-y₄]^T

(6)

单元的节点位移可以投影到完备坐标基B上，可以表示为

d_e＝B·d  (7)

其中

d＝(d₁ d₂ d₃ d₄ d₅ d₆ d₇ d₈)^T  (8)

式(7)和(8)表示任一单元的节点位移可以表达为8种基本变形模式的线性组合，其中d_i表示相应i种变形模式对该单元变形的贡献(i＝1,2,...,8)，称为贡献系数。

式(7)可以转化为

d＝B^-1d_e＝B^Td_e  (9)

当一单元的节点位移已知时，则基本变形模式的贡献向量可由式(9)所确定。例如由梁弯曲的有限元分析中得到某单元节点位移为

d_e＝(0.7081 -2.6779 0.7309 -2.7766 0.8267 -2.7810 0.8063 -2.6820)^T

由式(9)可得

d＝(1.5360 -5.4588 -0.0216 0.0042 -0.0012 -0.0002 0.0013 0.1385)^T

将向量d进行归一化处理，由可以得到

d'＝(0.2145 0.7622 0.0030 0.0006 0.0002 0 0.0002 0.0193)^T

表1 平面简支梁某单元变形分解结果

由于单元x方向刚体位移、y方向刚体位移和刚体转动不产生应力应变，因此不考虑刚体位移即单元x方向刚体位移、单元y方向刚体位移和单元刚体转动位移，将单元其它基本变形上贡献系数的绝对值大小进行比较，系数绝对值最大的基本变形为单元的主要变形，系数绝对值次大的基本变形为单元变形的次要变形，以此类推即得到单元的详细变形信息。其中，x方向拉压变形和y方向拉压变形需要判定变形的拉压情况，如果贡献系数为正，则表示单元为受拉，反之表示单元受压。

本发明方法的验证

对于平面内有限元应力应变方法，以平面应力问题为例，通过有限元软件得到单元x方向的正应力、y方向的正应力和平面内切应力，由本构关系即可得到单元平面内的x方向正应变值、y方向正应变值和切应变值。将应变值的绝对值大小进行比较，绝对值最大的应变值表示单元以此种变形为主，例如切应变值最大表示单元以剪切变形为主。建立与3种应变一一对应的数组，图中的数字1、7、8、9、10分别用来代表3种应变的一种，例如1代表单元以剪切变形为主，7代表单元以x方向受压为主，8代表单元以x方向受拉为主，9代表单元以y方向受拉为主，10代表单元以y方向受压为主。

对于平面内有限元应力应变方法，以平面应力问题为例，通过有限元软件ANSYS得到单元x方向的正应力、y方向的正应力和平面内切应力，由公式(10)即可得到单元平面内的应变值。

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_x=\frac{1}{E}({\mathrm{\σ}}_x-v{\mathrm{\σ}}_y)\\ {\mathrm{\ϵ}}_y=\frac{1}{E}({\mathrm{\σ}}_y-v{\mathrm{\σ}}_x)\\ {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{xy}}=\frac{1}{G}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}}\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中：ε_x为x方向的线应变；ε_y为y方向的线应变；γ_xy为切向应变

σ_x为x方向的正应力；σ_y为y方向的正应力；τ_xy为切应力

E为弹性模量；v为泊松比；G为剪切模量，

对于简支梁，以中性轴为界，可将弯曲变形划分为拉伸变形区和压缩变形区，故当有限单元被划分的足够小时，弯曲变形的单元将退化为成对的拉伸变形单元和压缩变形单元。将变形分解结果与有限元应变分析结果进行比较，通过有限元应力应变分析，可用来验证基于正交分解的变形分解方法的正确性。

采用有限元网格精细划分方法，对自重荷载下简支浅梁1260mmX315mm，进行静力分析，划分的单元为边长21mm的正方形。对其进行基于正交分解理论的变形分解，结果如图11所示，对相同工况和尺寸参数下的简支浅梁采用有限元应力应变分析结果如图12所示。

对两种分析方法的结果进行对比分析，通过两种方法得到主要变形一致的单元，计算其个数S₁，结构划分的总单元个数为S，则基于正交理论的变形分解方法所得到的变形分解图和有限元应变分析图的相似度为

$\mathrm{\λ}=\frac{S_1}{S}---\left(11\right)$

通过对比计算得到划分单元为边长21mm的1260mmX315mm简支梁，由基于正交理论的变形分解方法所得到的变形图和有限元应力应变分析图的相似度达到91.44％。如图13所示，不同单元尺寸下变形分解结果和应力应变结果的相似度较高，从而验证了基于正交分解理论的变形分解法正确性。

基于正交分解理论的变形分解结果收敛性与稳定性

小变形假设是针对整个结构而言的，因此，理论上变形分解可运用于结构上任意大小的正方形之上。以1260mmX315mm简支梁为例，将其划分为边长为7mm的单元，通过有限元得到每个单元的节点位移。而变形分解的对象则可以是35mm、63mm、105mm的正方形(正方形的节点与有限元节点重合，以获取所需的节点位移信息)。变形分解结果如图14～16所示。

由图11、图14～16进行比较可得，在变形分解后处理中选择不同的单元尺寸时，变形分解图中各个变形区域的形状基本相同，具有较好的一致性。各变形区域所占比例随着单元尺寸的改变，其变化不大，其中x方向拉压变形为主区域所占比例如图17所示；如图18所示，弯曲变形为主区域随着单元尺寸增大所占比例也增大，而在随着单元尺寸的减小表现出良好的收敛性，从而间接证明了弯曲变形在单元划分较小时会退化为拉压变形，且说明了基于正交理论的变形分解法在划分大单元时可以有效识别结构的弯曲变形。

由此可证，基于正交分解理论的变形分解法具有良好的收敛性与稳定性。

对于本发明的变形分解方法，当前的应用方面

应用一：基于正交分解理论的变形分解方法与目前应力应变法的对比

由图11和图12可知，传统有限元应力应变分析方法会将适中梁的跨中区域错误地识别为剪切变形为主，而基于正交分解理论的平面构件变形分解方法则可将适中梁的跨中区域正确地识别为x方向弯曲变形为主(数字3表示区域)，与实际情况相符合，说明了基于正交分解理论的平面构件变形分解方法的正确性和优越性。在采用大单元划分构件时，有限元应力应变分析方法不能正确地反应构件内部的真实变形情况，而基于正交分解理论的平面构件变形分解方法的分析结果则可不受单元划分大小的限制。由上分析得出，基于正交分解理论的变形分解方法相比于传统的有限元应力分析方法，可以在结构划分为大单元时同样适用，大大减少了计算工作量，且能够识别弯曲变形，能更加准确完善地反映出构件内部的受力情况。

例题1：设有一端固结、一端自由的长400mm、高800mm悬臂柱A，柱顶端均施加一水平荷载，试通过传统有限元应力应变分析方法和基于正交分解理论的变形分解方法，分析A柱的力学性能。

解：通过有限元分析，可求得A柱的变形图(如图19所示)、应力云图(如图21所示)，根据有限元模拟得到的单元节点位移，通过基于正交分解理论的变形分解方法可得其变形分解图(如图20所示)。

由图21(a)可知，A柱左半部y方向受拉应力最大，右半部y方向受压应力最大；由图21(b)可知，A柱的中上部剪切应力最大。而由图20分析可知，A柱在水平荷载作用下，左半部的变形以y方向受拉为主，右半部以y方向受压为主，中上部以剪切变形为主，下端以弯曲变形为主。

由例题1分析可知，传统有限元应力应变分析方法易得到最大应力区域，基于正交分解理论的变形分解方法则更易得到变形为主的区域，而有限元处理分析需要用两张图，基于正交分解理论的变形分解方法只需要一张图。另外，通过两种不同剪跨比柱的比较，如表2所示，A柱以剪切变形为主的区域，大于B柱，更易产生剪切破坏。显然，基于正交分解理论的变形分解方法在A、B柱的对比分析中，能提取更多的信息，亦显得更为直观。

表2 A柱的变形分解结果

应用二：基于正交理论的振型识别方法与目前质量参与系数法的对比

在正交分解的理论基础上，通过已经构造的完备正交坐标基，可以对平面结构的各阶振型进行正交分解，从而对平面结构的振型进行识别，特别是对剪切振型、耦合振型、局部振型等进行量化分析。在振型识别中，人们常常根据有限元分析软件得出的动画来判断振型的类型，这种通过观察动画的方法，会受到视角和观察者主观因素的影响，从而产生判断的误差。为了克服这一缺点，威尔逊教授提出通过振型质量参与系数的方法来判断振型。但振型质量参与系数方法不能判断出结构的剪切振型；对于耦合振型，也不能判断出主要的振型形式。其实，振型的量化识别问题一直是结构动力分析中的相对薄弱的一环。基于正交分解理论的振型识别方法，可以明确识别出各种振型，并能计算出各种变形所占比例，特别是对剪切振型的量化识别，填补了研究空白。

基于正交分解理论的振型识别方法可以直接用于振型的量化识别。在正交分解的理论基础上，通过构造的完备正交坐标基B，可以方便地对平面结构的各阶振型图进行正交分解，从而对平面结构的振型进行量化识别，特别是可以方便地识别出以剪切变形为主的振型，对耦合振型也可以方便地进行量化分析。

例题2：设有长400mm、高1600mm的一端固结、一端自由的平面柱，试进行模态分析，进而采用基于正交分解理论的振型识别方法，对其进行振型识别。

解：通过有限元模态分析，可得其各阶振型，同时通过基于正交分解理论的振型识别方法，可得与各振型对应的变形分解图(如图22～25所示)。

表3 框架柱前八阶振型变形分解中剪切为主区域所占比例

由动画判断可知，如图22(a)～25(a)所示，柱的一阶振型为一阶横弯振型，柱的二阶振型为二阶横弯振型，柱的三阶振型为Y方向一阶拉压振型，柱的四阶振型为三阶横弯振型。

采用基于正交分解理论的振型识别法，由表3可知，柱的第一阶振型中，剪切为主区域面积占总面积的比例小于50％，剪切振型为主区域的两侧表现为一边是Y方向受拉为主区域，另一边是Y方向受压为主区域，从而得到柱的第一阶振型为一阶弯剪振型；柱的第二阶和第四阶振型，剪切为主区域面积占总面积的比例都大于50％，而柱中相邻剪切为主区域之间为弯曲振型为主区域，弯曲振型表现为一边是Y方向受拉为主区域，另一边是Y方向受压为主区域，且柱的弯曲振型为主区域位置与形状图中的横弯点相吻合，结合柱中弯曲振型为主区域的个数，从而得到柱的第二阶振型为二阶剪弯振型，第四阶振型为三阶剪弯振型；如图24(b)所示，柱的第三阶振型变形正交分解图中，以Y方向受拉为主的区域面积占总面积的100％，从而得到柱的第三阶振型为Y方向一阶拉压振型。可见，利用基于正交理论的振型识别方法，可以方便地识别出平面结构的剪切振型和耦合振型的类型。

本文对长400mm、高1600mm的两端固结平面柱的前八阶振型进行分析，将质量参与系数法^[13]和基于正交理论的振型识别方法进行对比，结果如表4所示。由表4可知，基于正交理论的振型识别方法得到的结果与质量参与系数法结果基本一致，从而进一步证明了基于正交理论的振型识别方法的正确性。

表4一端固结、一端自由柱的质量参与系数法和基于正交理论的振型识别方法结果对比

Claims (3)

1.基于正交分解理论的平面构件变形分解与振型识别方法，其特征在于：

包括以下步骤：

第1步，四节点正方形单元的平面变形是由x方向的刚体位移、y方向的刚体位移、x方向的拉压变形、y方向的拉压变形、x方向的弯曲变形、y方向的弯曲变形，以及剪切变形和刚体转动位移8种基本变形叠加组合而成；

针对四节点正方形单元，采用正交分解法，分别构造由x方向的刚体位移、y方向的刚体位移、x方向的拉压变形、y方向的拉压变形、x方向的弯曲变形、y方向的弯曲变形，以及剪切变形和刚体转动位移8种基本变形的基本变形向量，平面结构的8种基本变形中任一种可以用单元节点坐标位移来表示，对单元节点位移进行归一化处理，得到基本变形向量如下：

①、x方向刚体位移的基本变形向量：

P₁＝(0.5000，0，0.5000，0，0.5000，0，0.5000，0)^T

②、y方向刚体位移的基本变形向量：

P₂＝(0，0.5000，0，0.5000，0，0.5000，0，0.5000)^T

③、x方向拉压变形的基本变形向量：

P₃＝(0.5000，0，-0.5000，0，-0.5000，0，0.5000，0)^T

④、y方向拉压变形的基本变形向量：

P₄＝(0，0.5000，0，0.5000，0，-0.5000，0，-0.5000)^T

⑤、x方向弯曲变形的基本变形向量：

P₅＝(0.5000，0，-0.5000，0，0.5000，0，-0.5000，0)^T

⑥、y方向弯曲变形的基本变形向量：

P₆＝(0，0.5000，0，-0.5000，0，0.5000，0，-0.5000^T

⑦、剪切变形的基本变形向量：

P₇＝(0.3536，0.3536，0.3536，-0.3536，-0.3536，-0.3536，-0.3536，0.3536)^T

针对刚体转动基本变形向量的构造，考虑到刚体转动与单元尺寸的关系，利用已经得到的以上7种基本变形向量，采用Schmidt正交化方法得到单元刚体转动的基本变形向量：

P₈＝(-0.3536，0.3536，-0.3536，-0.3536，0.3536，-0.3536，0.3536，0.3536)^T

构造出8种基本变形向量组成的完备正交坐标基为

$B=\left[\begin{array}{cccccccc}0.5& 0& 0.5& 0& 0.5& 0& 0.3536& -0.3536\\ 0& 0.5& 0& 0.5& 0& 0.5& 0.3536& 0.3536\\ 0.5& 0& -0.5& 0& -0.5& 0& 0.3536& -0.3536\\ 0& 0.5& 0& 0.5& 0& -0.5& -0.3536& -0.3536\\ 0.5& 0& -0.5& 0& 0.5& 0& -0.3536& 0.3536\\ 0& 0.5& 0& -0.5& 0& 0.5& -0.3536& -0.3536\\ 0.5& 0& 0.5& 0& -0.5& 0& -0.3536& 0.3536\\ 0& 0.5& 0& -0.5& 5& -0.5& 0.3536& 0.3536\end{array}\right]$

其中，坐标基B的列向量所表示的基本变形向量依次为：x方向刚体位移的基本变形向量、y方向刚体位移的基本变形向量、x方向拉压变形的基本变形向量、y方向拉压变形的基本变形向量、x方向弯曲变形的基本变形向量、y方向弯曲变形的基本变形向量、剪切变形的基本变形向量、刚体转动的基本变形向量；

第2步，采用四节点正方形单元对平面构件划分，得到平面构件在相应荷载工况下的各单元节点坐标变形向量d_e，

d_e＝[x'₁-x₁,y'₁-y₁,x'₂-x₂,y'₂-y₂,x'₃-x₃,y'₃-y₃,x'₄-x₄,y'₄-y₄]^T；

第3步，任一四节点正方形单元的节点坐标变形向量可以表达为8种基本变形向量的线性组合，单元的节点坐标变形向量可以投影到完备正交坐标基B上，即d_e＝B·d   (1)

式(1)可以转化为

d＝B^-1d_e＝B^Td_e   (2)

其中，B^-1为B的逆矩阵，B^T为B的转置矩阵，d为8种基本变形的贡献系数向量，d＝(d₁ d₂ d₃ d₄ d₅ d₆ d₇ d₈)^T，式中表示任一四节点正方形单元的节点坐标变形向量可以表达为8种基本变形的线性组合，其中d_i表示相应i种基本变形对该单元变形的贡献，称为贡献系数，d_i的下角标i＝1,2,…,8；d₁为投影到单元x方向刚体位移上的贡献系数，d₂为投影到单元y方向刚体位移上的贡献系数，d₃为投影到单元x方向拉压变形上的贡献系数，d₄为投影到单元y方向拉压变形上的贡献系数，d₅为投影到单元x方向弯曲变形上的贡献系数，d₆为投影到单元y方向弯曲变形上的贡献系数，d₇为投影到单元剪切变形上的贡献系数，d₈为投影到单元刚体转动位移上的贡献系数；

第4步，将剪切变形、x方向的弯曲变形、y方向弯曲变形、x方向拉压变形、y方向拉压变形5种基本变形上的贡献系数绝对值大小进行比较，绝对值最大的基本变形为单元的主要变形，从而实现平面构件的变形分解与振型识别，其中：x、y方向拉压变形的贡献系数为正时表示变形为x、y方向受拉变形；x、y方向拉压变形的投影系数为负时表示变形为x、y方向受压变形。

2.根据权利要求1所述的基于正交分解理论的平面构件变形分解与振型识别方法，其特征在于：第4步中，系数绝对值次大的变形为单元变形的次要变形，以此类推即得到单元的详细变形信息。

3.根据权利要求1所述的基于正交分解理论的平面构件变形分解与振型识别方法，其特征在于：第4步中，8种变形中x方向的刚体位移、y方向刚体位移和刚体转动属于刚体位移，不产生应力应变，不需要考虑其贡献系数，只需要分析其他5种基本变形的贡献系数即可。