CN105677971A - 满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法 - Google Patents

Abstract

满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法，包括以下步骤：第1步，8节点正方体单元的空间变形是由X方向的刚体位移、Y方向的刚体位移、Z方向的刚体位移、X方向拉压变形、Y方向拉压变形、Z方向拉压变形、XOY平面中X轴弯曲变形、XOY平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Z轴弯曲变形、XOZ平面中X轴弯曲变形、XOZ平面中Z轴弯曲变形、XOY平面剪切变形、YOZ平面剪切变形、XOZ平面剪切变形、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移、XOZ平面刚体转动位移、X轴反向弯曲变形。基于该方法，工程设计人员可以根据有限元分析、实验室试验和现场检测资料，方便地分解出结构的延性变形（如拉压变形、弯曲变形等）和脆性变形（如剪切变形、扭转变形等）。

Description

满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法

技术领域

本发明涉及一种空间结构变形及振型的识别方法。

背景技术

目前，借助于商业有限元软件、实验室试验，拟或现场检测等手段，可对各种工程结构在环境作用下产生的变形，以及应力、应变等进行精确的分析；这里的变形是结构在外界作用下的综合反应，这里的应力和应变则是结构微元体上的反应值。

然而，一方面，结构设计人员更为关心的是在结构的变形中，延性变形与脆性变形的比例情况；因为，脆性变形是应在设计中尽量避免的。另一方面，微元体的反应值可能难以描述宏观结构的变形实质；如：轴对称微元体上的拉、压应变，在宏观结构上形成的可能是弯曲变形；面对称微元体上等值反向的剪应变，在宏观结构上形成的则可能是扭转变形。工程设计人员如何根据有限元分析、实验室试验和现场检测资料，方便地分解出结构的延性变形(如拉压变形、弯曲变形等)和脆性变形(如剪切变形、扭转变形等)是工程设计的重要研究方向。

在工程结构振型的识别分析方面，现有的质量参与系数法及其衍生方法，对弯剪振型、剪弯振型等各种耦合振型只能定性分析，不能做到量化识别。

因此，基于结构微元体反应值分析的宏观结构基本变形分解和振型识别具有重要的意义，而其关键在于提出一种满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法，目前该方法尚未发现。

发明内容

本发明的目的在于提供一种满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法，可将空间结构的变形分解为完备的基本变形，能更加准确、完善地反映出结构整体和局部的受力变形情况；且能够对结构的各种振型进行量化识别，能够准确识别出剪切振型、扭剪振型、耦合振型、局部振型等复杂振型。

本发明的技术方案是：

满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法，包括以下步骤：

第1步，8节点正方体单元的空间变形是由X方向的刚体位移、Y方向的刚体位移、Z方向的刚体位移、X方向拉压变形、Y方向拉压变形、Z方向拉压变形、XOY平面中X轴弯曲变形、XOY平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Z轴弯曲变形、XOZ平面中X轴弯曲变形、XOZ平面中Z轴弯曲变形、XOY平面剪切变形、YOZ平面剪切变形、XOZ平面剪切变形、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移、XOZ平面刚体转动位移、X轴反向弯曲变形、Y轴反向弯曲变形、Z轴反向弯曲变形、X轴扭剪变形、Y轴扭剪变形和Z轴扭剪变形等24种基本变形叠加组合而成；通过二次分解，可将扭剪变形进一步分解为扭转变形和反向剪切变形。

针对8节点正方体单元，采用正交分解法，用单元节点坐标位移向量分别构造由X方向的刚体位移、Y方向的刚体位移、Z方向的刚体位移、X方向拉压变形、Y方向拉压变形、Z方向拉压变形等24种基向量，并移进行归一化处理，得到基本变形向量如下：

①X方向刚体位移的基向量：

P₁＝(0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0)^T

②Y方向刚体位移的基向量：

P₂＝(0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0)^T

③Z方向刚体位移的基向量：

P₃＝(0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536)^T

④X方向拉压变形的基向量：

P₄＝(-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0)^T

⑤Y方向拉压变形的基向量：

P₅＝(0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0)^T

⑥Z方向拉压变形的基向量：

P₆＝(0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536)^T

⑦XOY平面中X轴弯曲变形的基向量：

P₇＝(0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0)^T

⑧XOY平面中Y轴弯曲变形的基向量：

P₈＝(0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0)^T

⑨YOZ平面中Y轴弯曲变形的基向量：

P₉＝(0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0)^T

⑩YOZ平面中Z轴弯曲变形的基向量：

P₁₀＝(0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536)^T

XOZ平面中X轴弯曲变形的基向量：

P₁₁＝(0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0)^T

XOZ平面中Z轴弯曲变形的基向量：

P₁₂＝(0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536)^T

XOY平面剪切变形的基向量：

P₁₃＝(0.25，0.25，0，0.25，-0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，-0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，0.25，0)^T

YOZ平面剪切变形的基向量：

P₁₄＝(0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，-0.25，0.25，0，-0.25，0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，-0.25)^T

XOZ平面剪切变形的基向量：

P₁₅＝(-0.25，0，-0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，-0.25，0.25，0，-0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，-0.25)^T

XOY平面刚体转动的基向量：

P₁₆＝(-0.25，0.25，0，-0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，0.25，0，-0.25，0.25，0，-0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，0.25，0)^T

YOZ平面刚体转动的基向量：

P₁₇＝(0，0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，0.25，0，-0.25，0.25)^T

XOZ平面刚体转动的基向量：

P₁₈＝(0.25，0，-0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，-0.25)^T

X轴反向弯曲变形的基向量：

P₁₉＝(0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0)^T

Y轴反向弯曲变形的基向量：

P₂₀＝(0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0)^T

Z轴反向弯曲变形的基向量：

P₂₁＝(0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536)^T

考虑到单元扭转变形与单元反向剪切变形的关系，利用已经得到的以上21种基向量，采用Schmidt正交化方法得到单元扭剪变形的基向量：

X轴扭剪变形的基向量：

P₂₂＝(0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0)^T

Y轴扭剪变形的基向量：

P₂₃＝(0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0)^T

Z轴扭剪变形的基向量：

P₂₄＝(0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536)^T

构造出24种基向量组成的完备正交坐标基矩阵为

B＝[P₁P₂P₃P₄P₅P₆…P₂₄]

第2步，采用8节点正方体单元对结构进行划分，得到结构在相应荷载工况下的各单元节点坐标的变形向量d_e，

d_e＝(x'₁-x₁,y'₁-y₁,z'₁-z₁,x'₂-x₂,y'₂-y₂,z'₂-z₂,x'₃-x₃,y'₃-y₃,z'₃-z₃,x'₄-x₄,y'₄-y₄,z'₄-z₄,x'₅-x₅,y'₅-y₅,z'₅-z₅,x'₆-x₆,y'₆-y₆,z'₆-z₆,x'₇-x₇,y'₇-y₇,z'₇-z₇,x'₈-x₈,y'₈-y₈,z'₈-z₈)^T

第3步，任一8节点正方体单元节点坐标的变形向量可以表达为24种基向量的线性组合，单元节点坐标的变形向量可以投影到完备正交坐标基矩阵B上，即d_e＝B·d(1)

式(1)可以转化为

d＝B^-1d_e＝B^Td_e(2)

其中，B^-1为B的逆矩阵，B^T为B的转置矩阵，d为24种基的贡献系数向量，d＝(d₁d₂d₃d₄d₅d₆…d_i…d₂₄)^T，式中表示任一四节点正方形单元的节点坐标位移向量可以表达为24种基的线性组合，其中d_i表示相应i种基对该单元变形的贡献，称为贡献系数，d_i的下角标i＝1,2,…,24；d₁为投影到单元X方向刚体位移上的贡献系数，d₂为投影到单元Y方向刚体位移上的贡献系数，d₃为投影到单元Z方向刚体位移上的贡献系数，d₄为投影到单元X方向拉压变形上的贡献系数，d₅为投影到单元Y方向拉压变形上的贡献系数，d₆为投影到单元Z方向拉压变形上的贡献系数，d₇为投影到单元XOY平面中X轴弯曲变形上的贡献系数，d₈为投影到单元XOY平面中Y轴弯曲变形上的贡献系数，d₉为投影到单元YOZ平面中Y轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₀为投影到单元YOZ平面中Z轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₁为投影到单元XOZ平面中X轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₂为投影到单元XOZ平面中Z轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₃为投影到单元XOY平面剪切变形上的贡献系数，d₁₄为投影到单元YOZ平面剪切变形上的贡献系数，d₁₅为投影到单元XOZ平面剪切变形上的贡献系数，d₁₆为投影到单元XOY平面刚体转动位移上的贡献系数，d₁₇为投影到单元YOZ平面刚体转动位移上的贡献系数，d₁₈为投影到单元XOZ平面刚体转动位移上的贡献系数，d₁₉为投影到单元X轴反向弯曲变形上的贡献系数，d₂₀为投影到单元Y轴反向弯曲变形上的贡献系数，d₂₁为投影到单元Z轴反向弯曲变形上的贡献系数，d₂₂为投影到单元X轴扭剪变形上的贡献系数，d₂₃为投影到单元Y轴扭剪变形上的贡献系数，d₂₄为投影到单元Z轴扭剪变形上的贡献系数；

第4步，将X方向拉压变形、Y方向拉压变形、Z方向拉压变形、XOY平面中X轴弯曲变形、XOY平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Z轴弯曲变形、XOZ平面中X轴弯曲变形、XOZ平面中Z轴弯曲变形、XOY平面剪切变形、YOZ平面剪切变形、XOZ平面剪切变形、X轴反向弯曲变形、Y轴反向弯曲变形、Z轴反向弯曲变形、X轴扭剪变形、Y轴扭剪变形、Z轴扭剪变形18种基上的贡献系数绝对值大小进行比较，绝对值最大的基为单元的主要变形，从而实现结构体系的变形分解与振型识别，其中：X、Y、Z方向拉压变形的贡献系数为正时表示变形为X、Y、Z方向受拉变形；X、Y、Z方向拉压变形的投影系数为负时表示变形为X、Y、Z方向受压变形；

第5步，在需要进一步分析扭转变形和反向剪切变形时，X轴扭剪变形、Y轴扭剪变形、Z轴扭剪变形进行二次分解，分解成为XOY平面扭转变形、YOZ平面扭转变形、XOZ平面扭转变形，和XOY平面反向剪切变形、YOZ平面反向剪切变形、XOZ平面反向剪切变形。

第4步中，24种基向量中X方向的刚体位移、Y方向刚体位移、Z方向刚体位移、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移和XOZ平面刚体转动位移属于刚体位移，不产生应力应变，不需要考虑其贡献系数，只需要分析其他18种基本变形的贡献系数即可。

第4步中，可对基本刚体位移(包括刚体线位移和刚体转动位移)和变形(包括拉压、弯曲、剪切、反弯、扭剪变形)进行刚柔分离，且在基本变形中系数绝对值次大的基本变形为单元的次要变形，以此类推，即得到单元的正交基本变形分量信息。

本发明的优点：

1)针对结构的受力性能分析，目前常用的方法为有限元应力分析法，该方法可准确计算出结构任意荷载作用下的应力分布图，为结构的设计提供依据。但有限元应力分析法无法识别出结构的弯曲变形、反向弯曲变形、扭剪变形等基，且在采用大单元划分结构时，有限元应力分析法不能正确地反应结构的真实变形情况，存在大单元划分失真情况。而本发明的方法，基于正交理论的空间结构变形分解法不受单元划分大小的限制，并且能够实现结构的整体变形量化识别。

2)针对结构的振型识别，目前常用的方法为质量参与系数法，该方法可以对结构的整体振型进行判别，但仅能识别拉压等简单振型。基于正交理论的空间结构振型识别法，在识别简单振型的基础上，可以将结构的各种振型进行量化识别，包括剪切振型、扭剪振型、耦合振型、局部振型等复杂振型的识别。同时，基于正交理论的空间结构振型识别法不仅可以对结构的整体振型进行识别，还可以对空间结构中任意局部部位的振型进行量化识别，实现了对空间结构中关键部位的振型识别。

由以上分析可知，基于正交分解理论的空间结构变形分解与振型识别方法相比于目前的有限元应力分析方法和质量参与系数法，可以不受有限元划分结构时单元大小的限制，且能分析出空间结构的各种变形，量化识别出各种复杂振型，从而更加准确完善地反映出空间结构的受力性能与振型类型。

本发明为一种基于结构微元体反应值分析的宏观结构基本变形分解法。基于该方法，工程设计人员可以根据有限元分析、实验室试验和现场检测资料，方便地分解出结构的延性变形(如拉压变形、弯曲变形等)和脆性变形(如剪切变形、扭转变形等)；并有针对性的进行延性结构设计，尽可能防止结构的脆性破坏。本发明还可用于工程结构振型的识别分析。相较于现有的质量参与系数法及其衍生的方法，本发明方法可识别出弯剪振型、剪弯振型，并可对各种耦合振型进行量化分析。

附图说明

图1是本发明的8节点正方形单元图；

图2是8节点正方形单元受力后变形图；

图3是X方向刚体位移的示意图；

图4是Y方向刚体位移的示意图；

图5是Z方向刚体位移的示意图；

图6是X方向拉压变形的示意图；

图7是Y方向拉压变形的示意图；

图8是Z方向拉压变形的示意图；

图9是XOY平面中X轴弯曲变形的示意图；

图10是XOY平面中Y轴弯曲变形的示意图；

图11是YOZ平面中Y轴弯曲变形的示意图；

图12是YOZ平面中Z轴弯曲变形的示意图；

图13是XOZ平面中X轴弯曲变形的示意图；

图14是XOZ平面中Z轴弯曲变形的示意图；

图15是XOY平面剪切变形的示意图；

图16是YOZ平面剪切变形的示意图；

图17是XOZ平面剪切变形的示意图；

图18是XOY平面刚体转动位移的示意图；

图19是YOZ平面刚体转动位移的示意图；

图20是XOZ平面刚体转动位移的示意图；

图21是X轴反向弯曲变形的示意图；

图22是Y轴反向弯曲变形的示意图；

图23是Z轴反向弯曲变形的示意图；

图24是XOY平面扭转变形的示意图；

图25是YOZ平面扭转变形的示意图；

图26是XOZ平面扭转变形的示意图；

图27是P₂₂对应的受力变形示意图；

图28是P₂₃对应的受力变形示意图；

图29是P₂₄对应的受力变形示意图；

图30是XOY平面反向剪切变形的示意图；

图31是YOZ平面反向剪切变形的示意图；

图32是XOZ平面反向剪切变形的示意图；

图33是板A的竖向受力变形图；

图34是板A在自重荷载作用下的变形分解图；

图35(a)是板A的上表面σ_x应力图；

图35(b)是板A的上表面σ_y应力图

图35(c)是板A的上表面τ_xy应力图；

图36是板B1在均布荷载作用下的变形分解示意图；

图37是板B2在均布荷载作用下的变形分解示意图；

图38是二层框架的有限元模型示意图；

图39是第一阶振型变形分解的示意图；

图40是第二阶振型变形分解的示意图；

图41是第三阶振型变形分解的示意图；

图42是第四阶振型变形分解的示意图；

图43是第五阶振型变形分解的示意图；

图44是第六阶振型变形分解的示意图；

图45是第七阶振型变形分解的示意图；

图46是第八阶振型变形分解的示意图；

图47是第九阶振型变形分解的示意图；

为了在图中准确显示，图34、36、37、39、40、41、42、43、44、45、46、47中，建立与24种基一一对应的标志，XL、XY、YL、YY、ZL、ZY、WQ、JQ、FW、NJ分别用来代表18种基，其中XL代表单元以X方向受拉变形为主，XY代表单元以X方向受压变形为主，YL代表单元以Y方向受拉变形为主，YY代表单元以Y方向受压变形为主，ZL代表单元以Z方向受拉变形为主，ZY代表单元以Z方向受压变形为主，WQ代表单元以弯曲变形为主、JQ代表单元以剪切变形为主、FW代表单元以反向弯曲变形为主、NJ代表单元以扭剪变形为主。

对于分析结构的弯曲性能，需要将弯曲变形类型进行区分，弯曲变形共有6种，建立弯曲变形新标志，WQ1代表单元以XOY平面中X轴弯曲变形为主、WQ2代表单元以XOY平面中Y轴弯曲变形为主、WQ3代表单元以YOZ平面中Y轴弯曲变形为主、WQ4代表单元以YOZ平面中Z轴弯曲变形为主、WQ5代表单元以XOZ平面中X轴弯曲变形为主、WQ6代表单元以XOZ平面中Z轴弯曲变形为主。

对于分析结构的剪切性能，需要将剪切变形类型进行区分，弯曲变形共有3种，建立剪切变形新标志，JQ1代表单元以XOY平面剪切变形为主、JQ2代表单元以YOZ平面剪切变形为主、JQ3代表单元以XOZ平面剪切变形为主。

对于分析结构的反向弯曲性能，需要将反向弯曲变形类型进行区分，反向弯曲变形共有3种，建立剪切变形新标志，FW1代表单元以X轴反向弯曲变形为主、FW2代表单元以Y轴反向弯曲变形为主、FW3代表单元以Z轴反向弯曲变形为主。

对于分析结构的扭剪性能，需要将扭剪变形类型进行区分，扭剪变形共有3种，建立剪切变形新标志，NJ1代表单元以X轴扭剪变形为主、NJ2代表单元以Y轴扭剪变形为主、NJ3代表单元以Z轴扭剪变形为主。

具体实施方式

本发明的理论推导：Williams^[1]等认为块体的运动和变形在某种条件下可以看成块体刚体运动和变形的叠加。张灿辉^[2]指出，在小变形情况下，八节点正方形单元的空间变形可分解为3个刚体线位移、3个刚体转动位移，以及3个拉压变形、6个弯曲变形和3个剪切变形、3个反向弯曲变形、3个扭剪变形这24种基形式。

参考文献：

[1]WilliamsJR,HockingG,MustoeGGW.Thetheoreticalbasisofthediscreteelementmethod[C].ProceedingoftheNumeta1985Conference,1985:897-906.

[2]CanhuiZhang,SuongV.Hoa.Asystematicandquantitativemethodtodeterminetheoptimalassumedstressfieldsforhybridstressfiniteelements[J].FiniteElementsinAnalysisandDesign,2014,80:41-62.

如图1、2所示，设由图1所示的8节点正方体单元，其任意变形如图2所示。由变形后的坐标值减去变形前的坐标值，即可形成正方体单元节点坐标的变形向量：

d_e＝(x'₁-x₁,y'₁-y₁,z'₁-z₁,x'₂-x₂,y'₂-y₂,z'₂-z₂,x'₃-x₃,y'₃-y₃,z'₃-z₃,x'₄-x₄,y'₄-y₄,z'₄-z₄,x'₅-x₅,y'₅-y₅,z'₅-z₅,x'₆-x₆,y'₆-y₆,z'₆-z₆,x'₇-x₇,y'₇-y₇,z'₇-z₇,x'₈-x₈,y'₈-y₈,z'₈-z₈)^T

如图3～23所示，针对8节点正方体单元，分别针对3个刚体线位移、3个刚体转动位移，以及3个拉压变形、6个弯曲变形和3个剪切变形等24种基的变形特征，进行基向量的构造。针对24种基，本文构造出每种基本刚体位移和变形的基向量如下：

(1)X方向刚体位移的基向量(如图3所示)：

P₁＝(0.3536,0,0,0.3536,0,0,0.3536,0,0,

0.3536,0,0,0.3536,0,0,0.3536,0,0,

0.3536,0,0,0.3536,0,0)^T

(2)Y方向刚体位移的基向量(如图4所示)：

P₂＝(0,0.3536,0,0,0.3536,0,0,0.3536,0,

0,0.3536,0,0,0.3536,0,0,0.3536,0,

0,0.3536,0,0,0.3536,0)^T

(3)Z方向刚体位移的基向量(如图5所示)：

P₃＝(0,0,0.3536,0,0,0.3536,0,0,0.3536,

0,0,0.3536,0,0,0.3536,0,0,0.3536,

0,0,0.3536,0,0,0.3536)^T

(4)X方向拉压变形的基向量(如图6所示)：

P₄＝(-0.3536,0,0,0.3536,0,0,0.3536,0,0,

-0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,0,

0.3536,0,0,-0.3536,0,0)^T

(5)Y方向拉压变形的基向量(如图7所示)：

P₅＝(0,-0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,

0,0.3536,0,0,-0.3536,0,0,-0.3536,0,

0,0.3536,0,0,0.3536,0)^T

(6)Z方向拉压变形的基向量(如图8所示)：

P₆＝(0,0,-0.3536,0,0,-0.3536,0,0,-0.3536,

0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,0,0.3536,

0,0,0.3536,0,0,0.3536)^T

(7)XOY平面中X轴弯曲变形的基向量(如图9所示)：

P₇＝(0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,0,

-0.3536,0,0,0.3536,0,0,-0.3536,0,0,

0.3536,0,0,-0.3536,0,0)^T

(8)XOY平面中Y轴弯曲变形的基向量(如图10所示)：

P₈＝(0,0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,

0,-0.3536,0,0,0.3536,0,0,-0.3536,0,

0,0.3536,0,0,-0.3536,0)^T

(9)YOZ平面中Y轴弯曲变形的基向量(如图11所示)：

P₉＝(0,0.3536,0,0,0.3536,0,0,-0.3536,0,

0,-0.3536,0,0,-0.3536,0,0,-0.3536,0,

0,0.3536,0,0,0.3536,0)^T

(10)YOZ平面中Z轴弯曲变形的基向量(如图12所示)：

P₁₀＝(0,0,-0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,

0,0,0.3536,0,0,0.3536,0,0,0.3536,

0,0,-0.3536,0,0,-0.3536)^T

(11)XOZ平面中X轴弯曲变形的基向量(如图13所示)：

P₁₁＝(0.3536,0,0,-0.3536,0,0,-0.3536,0,0,

0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,0,

0.3536,0,0,-0.3536,0,0)^T

(12)XOZ平面中Z轴弯曲变形的基向量(如图14所示)：

P₁₂＝(0,0,0.3536,0,0,-0.3536,0,0,-0.3536,

0,0,0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,

0,0,0.3536,0,0,-0.3536)^T

(13)XOY平面剪切变形的基向量(如图15所示)：

P₁₃＝(0.25,0.25,0,0.25,-0.25,0,-0.25,-0.25,0,

-0.25,0.25,0,0.25,0.25,0,0.25,-0.25,0,

-0.25,-0.25,0,-0.25,0.25,0)^T

(14)YOZ平面剪切变形的基向量(如图16所示)：

P₁₄＝(0,0.25,0.25,0,0.25,0.25,0,0.25,-0.25,

0,0.25,-0.25,0,-0.25,0.25,0,-0.25,0.25,

0,-0.25,-0.25,0,-0.25,-0.25)^T

(15)XOZ平面剪切变形的基向量(如图17所示)：

P₁₅＝(-0.25,0,-0.25,-0.25,0,0.25,-0.25,0,0.25,

-0.25,0,-0.25,0.25,0,-0.25,0.25,0,0.25,

0.25,0,0.25,0.25,0,-0.25)^T

(16)XOY平面刚体转动的基向量(如图18所示)：

P₁₆＝(-0.25,0.25,0,-0.25,-0.25,0,0.25,-0.25,0,

0.25,0.25,0,-0.25,0.25,0,-0.25,-0.25,0,

0.25,-0.25,0,0.25,0.25,0)^T

(17)YOZ平面刚体转动的基向量(如图19所示)：

P₁₇＝(0,0.25,-0.25,0,0.25,-0.25,0,0.25,0.25,

0,0.25,0.25,0,-0.25,-0.25,0,-0.25,-0.25,

0,-0.25,0.25,0,-0.25,0.25)^T

(18)XOZ平面刚体转动的基向量(如图20所示)：

P₁₈＝(0.25,0,-0.25,0.25,0,0.25,0.25,0,0.25,

0.25,0,-0.25,-0.25,0,-0.25,-0.25,0,0.25,

-0.25,0,0.25,-0.25,0,-0.25)^T

(19)X轴反向弯曲变形的基向量(如图21所示)：

P₁₉＝(0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,0,

-0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,0,

-0.3536,0,0,0.3536,0,0)^T

(20)Y轴反向弯曲变形的基向量(如图22所示)：

P₂₀＝(0,0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,

0,-0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,

0,-0.3536,0,0,0.3536,0)^T

(21)Z轴反向弯曲变形的基向量(如图23所示)：

P₂₁＝(0,0,0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,

0,0,-0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,

0,0,-0.3536,0,0,0.3536)^T

以上构造的基向量均满足

$\left\{\begin{array}{c}{P}_i{P_i}^T=1\\ P_i{P_i}^T=0(i\≠j)\end{array}\right.,(i,j=1,2,3,...,21)---\left(3\right)$

由式(3)可知，以上基向量均为相互正交的单位向量，且满足构造正交完备坐标基的必要条件。但为满足基的完备性仍需要构造出剩余的3个基向量。

考虑到已构造的21个基向量中的变形类型中无扭转变形，而扭转变形作为工程中常见的变形类型，且参考文献[2]中扭转变形为基类型，因此本文根据上文构造方法分别构建出XOY平面扭转的基向量、YOZ平面扭转变形的基向量和XOZ平面扭转变形的基向量，如下所示：

(22)XOY平面扭转变形的基向量(如图24所示)：

Q₁＝(-0.25,0.25,0,-0.25,-0.25,0,0.25,-0.25,0,

0.25,0.25,0,0.25,-0.25,0,0.25,0.25,0,

-0.25,0.25,0,-0.25,-0.25,0)^T

(23)YOZ平面扭转变形的基向量(如图25所示)：

Q₂＝(0,0.25,-0.25,0,-0.25,0.25,0,-0.25,-0.25,

0,0.25,0.25,0,-0.25,-0.25,0,0.25,0.25,

0,0.25,-0.25,0,-0.25,0.25)^T

(24)XOZ平面扭转变形的基向量(如图26所示)：

Q₃＝(0.25,0,-0.25,0.25,0,0.25,-0.25,0,-0.25,

-0.25,0,0.25,-0.25,0,-0.25,-0.25,0,0.25,

0.25,0,-0.25,0.25,0,0.25)^T

根据得到扭转变形的基向量，可知

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1^T{P}_i=0\\ Q_2^T{P}_i=0\\ Q_3^T{P}_i=0\end{array}\right.,(i=1,2,...,21)---\left(4\right)$

由式(4)可知，扭转变形向量与其他21个基向量均正交。而当进一步验证扭转变形向量之间的正交性时，却发现

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_1^T{Q}_2\≠0\\ Q_2^T{Q}_3\≠0\\ Q_1^T{Q}_3\≠0\end{array}\right.---\left(5\right)$

由式(5)可知，三个基本扭转变形向量之间存在耦合，即不满足正交性。因此，扭转变形不能作为独立的基向量出现。

根据构造正交坐标基的条件和轮换对称性原则，剩余的3个扭转变形的基向量P₂₂、P₂₃和P₂₄应当满足如下条件：

(1)与已经得到的21个基向量分别正交；

(2)P₂₂、P₂₃和P₂₄之间满足正交；

(3)|P₂₂|＝|P₂₃|＝|P₂₄|

从而得到联立方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{22}^T{P}_i=0\\ P_{23}^T{P}_i=0\\ P_{24}^T{P}_i=0\\ P_{22}^T{P}_{23}=0\\ P_{23}^T{P}_{24}=0\\ P_{22}^T{P}_{24}=0\\ \left|P_{22}\right|=\left|P_{23}\right|=\left|P_{24}\right|\end{array}\right.,(i=1,2,...,21)---\left(6\right)$

求解方程(6)，可得到：

P₂₂＝(0.3536,0,0,0.3536,0,0,-0.3536,0,0,

-0.3536,0,0,-0.3536,0,0,-0.3536,0,0,

0.3536,0,0,0.3536,0,0)^T

P₂₃＝(0,0.3536,0,0,-0.3536,0,0,-0.3536,0,

0,0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,

0,0.3536,0,0,-0.3536,0)^T

P₂₄＝(0,0,0.3536,0,0,-0.3536,0,0,0.3536,

0,0,-0.3536,0,0,0.3536,0,0,-0.3536,

0,0,0.3536,0,0,-0.3536)^T

根据P₂₂、P₂₃和P₂₄的基向量，即可得到P₂₂、P₂₃和P₂₄对应的受力变形，如图27、28和29所示。

根据一般力学常识，扭转变形是现实存在的，因此根据叠加原理，将最后3个基向量和前述扭转变形向量的受力工况进行叠加组合，得到如图30、31和32所示的3种反向剪切变形。由立方体单元的三种基本反向剪切变形，得到其变形向量如下：

(1)XOY平面反向剪切变形的基向量(如图30所示)：

Q₄＝(0.25,0.25,0,0.25,-0.25,0,-0.25,-0.25,0,

-0.25,0.25,0,-0.25,-0.25,0,-0.25,0.25,0,

0.25,0.25,0,0.25,-0.25,0)^T

(2)YOZ平面反向剪切变形的基向量(如图31所示)：

Q₅＝(0,0.25,0.25,0,-0.25,-0.25,0,-0.25,0.25,

0,0.25,-0.25,0,-0.25,0.25,0,0.25,-0.25,

0,0.25,0.25,0,-0.25,-0.25)^T

(3)XOZ平面反向剪切变形的基向量(如图32所示)：

Q₆＝(-0.25,0,-0.25,-0.25,0,0.25,0.25,0,-0.25,

0.25,0,0.25,0.25,0,-0.25,0.25,0,0.25,

-0.25,0,-0.25,-0.25,0,0.25)^T

根据叠加原理得到的反向剪切变形的基向量，可知

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_4^T{P}_i=0\\ Q_5^T{P}_i=0\\ Q_6^T{P}_i=0\end{array}\right.,(i=1,2,...,21)---\left(7\right)$

由式(7)可知，反向剪切变形的基向量与其他21个基向量都正交，但和扭转变形向量相似，有

$\left\{\begin{array}{c}{Q}_4^T{Q}_5\≠0\\ Q_5^T{Q}_6\≠0\\ Q_4^T{Q}_6\≠0\end{array}\right.---\left(8\right)$

即，三个反向剪切变形的基向量之间存在耦合。因此，反向剪切变形的基向量和扭转变形的基向量一样，都不是独立的基向量。另外，反向剪切和扭转变形之间也是存在耦合的，有

$\left\{\begin{array}{ccc}{Q}_1^T{Q}_4=0& Q_1^T{Q}_5\≠0& Q_1^T{Q}_6\≠0\\ Q_2^T{Q}_4\≠0& Q_2^T{Q}_5=0& Q_2^T{Q}_6\≠0\\ Q_3^T{Q}_4\≠0& Q_3^T{Q}_5\≠0& Q_3^T{Q}_6=0\end{array}\right.---\left(9\right)$

通过方程(6)解得的最后三个基向量P₂₂、P₂₃和P₂₄是由扭转变形的基向量和反向剪切变形的基向量叠加得到，其线性组合如式(10)所示，因此将其定义为扭剪基向量。

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{22}=-0.7072(Q_1-Q_4)\\ P_{23}=0.7072(Q_2+Q_5)\\ P_{24}=-0.7072(Q_3+Q_6)\end{array}\right.---\left(10\right)$

由上述分析可知，以正交分解为理论基础，即可构造出8节点正方体单元变形分解的完备正交坐标基矩阵：

B＝[P₁P₂P₃P₄P₅P₆…P₂₀P₂₁P₂₂P₂₃P₂₄]

坐标基矩阵B为24×24的方阵满足完备性，且满足BB^T＝E，可以作为变形分解的完备正交坐标基矩阵。根据完备正交坐标基矩阵，需要进一步验证单元刚体转动和扭转变形在基向量上的投影系数误差是否满足精度要求，以确保本方法可以识别刚体转动和扭转。

验证过程如下：

刚体转动位移的误差分析

正方体单元的棱长为2a，当正方体单元在XOY平面从Z轴正向观察，逆时针旋转θ后，单元8个节点坐标的变形向量为：

$(a-\sqrt{2}asin\left(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}\right),a-\sqrt{2}acos\left(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}\right),0,\sqrt{2}acos\left(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}\right)-a,a-\sqrt{2}asin\left(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}\right),0$

$\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,0,a-\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,0,$

$a-\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),a-\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),0,\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,a-\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),0,$

$\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,0,a-\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,0)$

将单元的转动坐标位移向量投影到已经构造得到的完备正交坐标基上，单元的转动坐标位移向量除了在刚体转动位移的基向量有投影系数外，还在X方向拉压变形和Y方向拉压变形的基向量上产生投影系数，因此需要分析单元转动坐标位移向量在X方向拉压变形和Y方向拉压变形的基向量上投影系数的大小，判断是否可以忽略，从而进行误差分析。单元刚体转动的坐标位移向量可以由刚体转动位移、X方向拉压变形和Y方向拉压变形的基向量线性表出，从而得到24个约束方程，对24个约束方程进行分析得到3个独立的约束方程，如下所示：

$\left\{\begin{array}{c}0.3536k_1+0k_2-0.25k_3=a-\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})\\ 0k_1-0.3536k_2+0.25k_3=a-\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})\\ -0.3536k_1+0k_2-0.25k_3=\sqrt{2}a\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中：k₁为X方向拉压变形的基向量上投影系数，k₂为Y方向拉压变形的基向量上投影系数，k₃为XOY平面刚体转动位移的基向量上投影系数。

对方程组(11)进行整理得：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_1=-k_2\\ -2\×0.25k_3=2a\sin \mathrm{\θ}\\ 0.3536k_1+a\cos \mathrm{\θ}=a\end{array}\right.---\left(12\right)$

由方程组(12)得：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_1=-k_2=2\sqrt{2}a(1-cos\mathrm{\θ})\\ k_3=-4a\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(13\right)$

对式(13)中的cosθ和sinθ，通过泰勒级数展开，忽略高阶变量得到：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_1=-k_2\≈2\sqrt{2}\[1-(1-\frac{{\mathrm{\θ}}^2}{2})\]=-\sqrt{2}{\mathrm{a\θ}}^2\\ k_3\≈-4a\mathrm{\θ}\\ \frac{k_1}{k_3}=\frac{\mathrm{\θ}}{2\sqrt{2}}\\ \frac{k_2}{k_3}=-\frac{\mathrm{\θ}}{2\sqrt{2}}\end{array}\right.---\left(14\right)$

由式(14)可得，在小变形情况下，若转动角度是10^-1弧度，则X方向拉压变形和Y方向拉压变形上投影系数的数量级为10^-2，由此可知，在小变形情况下，单元转动角度较小，X方向拉压变形和Y方向拉压变形上投影系数可以忽略，误差可以接受。

综上所述，采用构造得到的完备正交坐标基对8节点正方体单元的节点坐标位移向量进行投影时，在X方向拉压变形和Y方向拉压变形的基向量上产生误差，但误差值相对于单元刚体转动向量上的投影系数是更高阶小量，可以忽略，同理YOZ平面刚体转动和XOZ平面刚体转动产生的误差也可以忽略。

单元扭转变形的误差分析

24种基中没有扭转变形坐标基，本发明方法是采用扭剪变形的基向量来线性表出扭转变形的，因此需要分析正方体单元的扭转变形在变形分解后产生的误差。正方体的扭转变形分为自由扭转和约束扭转，自由扭转会产生翘曲变形，但正方体的翘曲变形相对较小，可以忽略，本发明方法仅对约束扭转变形的误差进行分析。这里，本文只分析正方体的约束扭转变形在变形分解后产生的误差。

对单元扭转变形产生的误差进行计算分析，当8节点正方体单元在XOY平面从Z轴正向观察，下平面沿Z轴逆时针旋转θ后，上平面沿Z轴顺时针旋转θ后单元八个节点坐标的变形向量为：

$(a-\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),a-\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),0,\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,a-\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),0$

$\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,0,a-\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,0,$

$a-\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),a-\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),0,\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,a-\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),0,$

$\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,0,a-\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ}),\sqrt{2}acos(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a,0)$

将单元的扭转变形坐标位移向量投影到已经构造得到的正交坐标基上，单元的转动坐标变量除了在X轴扭剪变形的基向量和Y轴扭剪变形的基向量上有投影系数外，还在X方向拉压变形和Y方向拉压变形的基向量上有投影系数，因此需要分析单元扭转变形坐标位移向量分解在X方向拉压和Y方向拉压单纯向量上的大小，从而进行误差分析。单元的扭转坐标变量可以由X轴扭剪变形基本向量、Y轴扭剪变形基本向量、X方向拉压和Y方向拉压变形的基向量线性表出，从而得到24个约束方程，对24个约束方程进行分析得到3个独立的约束方程，如下所示：

$\left\{\begin{array}{c}-0.3536{k_1}^{\′}+0{k_2}^{\′}-0.3536{k_3}^{\′}+0{k_4}^{\′}=a-\sqrt{2}asin(\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})\\ 0{k_1}^{\′}-0.3536{k_2}^{\′}+0{k_3}^{\′}+0.3536{k_4}^{\′}=a-\sqrt{2}a\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})\\ 0.3536{k_1}^{\′}+0{k_2}^{\′}+0.3536{k_3}^{\′}+0{k_4}^{\′}=\sqrt{2}a\cos (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})-a\\ 0{k_1}^{\′}-0.3536{k_2}^{\′}+0{k_3}^{\′}-0.3536{k_4}^{\′}=a-\sqrt{2}a\sin (\frac{\mathrm{\π}}{4}-\mathrm{\θ})\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中：k₁为X方向拉压变形的基向量上投影系数，k₂为Y方向拉压变形的基向量上投影系数，k₃为X轴扭剪变形的基向量上投影系数，k₄为Y轴扭剪变形的基向量上投影系数。

对方程组(15)进行整理得：

$\left\{\begin{array}{c}{k_1}^{\′}=-{k_2}^{\′}\\ {k_3}^{\′}=-{k_4}^{\′}\\ 2\×0.3536{k_3}^{\′}=2asin\mathrm{\θ}\\ 0.3536{k_1}^{\′}+a\cos \mathrm{\θ}=a\end{array}\right.---\left(16\right)$

由方程组(16)得：

$\left\{\begin{array}{c}{k_1}^{\′}={k_2}^{\′}=-2\sqrt{2}a(1-cos\mathrm{\θ})\\ {k_3}^{\′}=-{k_4}^{\′}=2\sqrt{2}a\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(17\right)$

对式(17)中的cosθ和sinθ，通过泰勒级数展开，忽略高阶变量得到：

$\left\{\begin{array}{c}{k_1}^{\′}={k_2}^{\′}\≈-2\sqrt{2}a\[1-(1-\frac{{\mathrm{\θ}}^2}{2})\]=-\sqrt{2}{\mathrm{a\θ}}^2\\ {k_3}^{\′}=-{k_4}^{\′}\≈2\sqrt{2}a\mathrm{\θ}\\ \left|\frac{{k_1}^{\′}}{{k_3}^{\′}}\right|=\left|\frac{{k_2}^{\′}}{{k_3}^{\′}}\right|=\left|\frac{{k_1}^{\′}}{{k_4}^{\′}}\right|=\left|\frac{{k_2}^{\′}}{{k_4}^{\′}}\right|=\frac{\mathrm{\θ}}{2}\end{array}\right.---\left(18\right)$

由式(18)可得，在小变形情况下，若转动角度是10^-1弧度，则X方向拉压变形和Y方向拉压变形上投影系数的数量级为10^-2。由此可知，在小变形情况下，单元转动角度较小，X方向拉压变形和Y方向拉压变形上投影系数可以忽略，误差可以接受。

综上所述，采用构造得到的正交坐标基对正方形单元的节点坐标变形向量进行投影时，在X方向拉压变形和Y方向拉压变形的基向量上产生误差，但误差值相对于单元刚体转动向量上的投影系数是更高阶小量，可以忽略，同理YOZ平面扭转和XOZ平面扭转产生的误差也可以忽略。

验证结束。

以正交分解为理论基础，构造出四节点正方形单元变形分解的完备正交坐标基矩阵为：

B＝[P₁P₂P₃P₄P₅P₆…P₂₀P₂₁P₂₂P₂₃P₂₄]

其中，正交坐标基列向量所表示的基向量依次为：X方向刚体位移的基向量、Y方向刚体位移的基向量、Z方向刚体位移的基向量、X方向拉压变形的基向量、Y方向拉压变形的基向量、Z方向拉压变形的基向量、XOY平面中X轴弯曲变形的基向量、XOY平面中Y轴弯曲变形的基向量、YOZ平面中Y轴弯曲变形的基向量、YOZ平面中Z轴弯曲变形的基向量、XOZ平面中X轴弯曲变形的基向量、XOZ平面中Z轴弯曲变形的基向量、XOY平面剪切变形的基向量、YOZ平面剪切变形的基向量、XOZ平面剪切变形的基向量、XOY平面刚体转动位移的基向量、YOZ平面刚体转动位移的基向量、XOZ平面刚体转动位移的基向量、X轴反向弯曲变形的基向量、Y轴反向弯曲变形的基向量、Z轴反向弯曲变形的基向量、X轴扭剪变形的基向量、Y轴扭剪变形的基向量、Z轴扭剪变形的基向量。

坐标基矩阵B为24×24的方阵，满足完备性，且满足BB^T＝E，可以作为变形分解的完备正交坐标基矩阵。

空间结构在相应荷载工况下的任一单元节点坐标的变形向量d_e

d_e＝(x'₁-x₁,y'₁-y₁,z'₁-z₁,x'₂-x₂,y'₂-y₂,z'₂-z₂,x'₃-x₃,y'₃-y₃,z'₃-z₃,

x'₄-x₄,y'₄-y₄,z'₄-z₄,x'₅-x₅,y'₅-y₅,z'₅-z₅,x'₆-x₆,y'₆-y₆,z'₆-z₆,(19)

x'₇-x₇,y'₇-y₇,z'₇-z₇,x'₈-x₈,y'₈-y₈,z'₈-z₈)^T

单元的节点位移向量可以投影到完备坐标基矩阵B上，可以表示为

d_e＝B·d(20)

其中

d＝(d₁d₂d₃…d₂₄)^T(21)

式(20)和(21)表示任一单元的节点位移可以表达为24种基模式的线性组合，其中d_i表示相应i种变形模式对该单元变形的贡献(i＝1,2,…,24)，称为贡献系数。

式(20)可以转化为

d＝B^-1d_e＝B^Td_e(22)

当一单元的节点位移已知时，则基模式的贡献向量可由式(22)所确定。例如由四边固定板进行有限元分析，得到某单元节点坐标的位移向量为

d_e＝(0,0,-0.0374,0.006,0,-0.0368,0.0006,0.0006,-0.0361,

0,0.0006,-0.0368,0,0,-0.0374,-0.0006,0,-0.0368,

-0.0006,-0.0006,-0.0361,0,-0.0006,-0.0368)^T

其中刚体X方向的刚体位移、Y方向刚体位移、Z方向刚体位移、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移和XOZ平面刚体转动位移，属于刚体位移，其贡献系数不予考虑，令其为0，则由式(22)可得：

d＝(00000000-0.8875×10^-30-0.8875×10^-300-0.009×10^-30.009×10^-3000-0.0082×10^-3-0.0082×10^-300.0082×10^-30.0082×10^-3-0.0078×10^-3)^T

将向量d进行归一化处理，由可以得到：

d'＝(000000000.484100.4841000.00490.00490000.00440.004400.00440.00440.0042)^T

表1空间四边固定薄板某单元的变形分解结果

由于单元X方向的刚体位移、Y方向刚体位移、Z方向刚体位移、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移和XOZ平面刚体转动位移都不产生应力应变，因此不考虑刚体位移，将单元其它基本变形上贡献系数的绝对值大小进行比较，系数绝对值最大的基本变形为单元的主要变形，系数绝对值次大的基本变形为单元变形的次要变形，以此类推即得到单元的详细变形信息。其中，X方向拉压变形、Y方向拉压变形和Z方向拉压变形需要判定变形的拉压情况，如果贡献系数为正，则表示单元为受拉，反之表示单元受压。

本发明方法的验证

以四边固定的板为例，对其在均布荷载作用下的变形进行变形分解，同时采用目前常用的有限元应力分析法进行分析，将两种方法得到的结果进行对比，从而证明本发明方法的正确性。

针对本发明方法的验证，采用目前常用的有限元应力分析法进行验证。以四边固定的板为例，

例题1：设有四边固定的长3200mm、宽3200mm、厚80mm的板A，试通过有限元应力应变分析和变形分解法，对比分析板A在自重荷载下的力学性能。

解：通过有限元分析，可求得板A的变形图如图33所示、应力云图如图35所示，进而可得其变形分解图如图34所示。

板A的厚度与板面最小特征长度(矩形板中长与宽中的较小者)比值为1/40，小于1/15，可以认为是薄板。根据薄板的受力特性，板A的应力σ_z、τ_xz和τ_yz为次要应力，可以不予考虑，只需分析板A的应力σ_x、σ_y和τ_xy变化情况。如图34所示，板A的中心区域和四端以弯曲变形为主，板A的四个角隅以扭剪变形为主。由图35(a)可知，板A的中心区域和x方向两端区域中σ_x正应力最大；由图35(b)可知，板A的中心区域和y方向两端区域中σ_y正应力最大；如图35(c)可知，板A的四个角隅中XOY平面剪切应力τ_xy最大。由图34和图35对比可知，由于弯曲变形中主要应力为正应力，扭剪变形中主要应力为剪切应力，因此板A的变形分解结果和有限元应力分析结果相一致，从而证明了基于正交理论的变形分解法的正确性。

由例题分析可知，有限元应力分析易得到最大应力区域，变形分解法则更易得到变形为主的区域，而有限元处理分析需要用多张图，变形分解只需要一张图。

对于本发明的变形分解方法，当前的应用方面：

应用一：基于正交理论的变形分解方法可对空间结构的受力性能进行分析

空间结构在受力工况下的变形分解

基于正交理论的变形分解方法，可以对空间结构在任意荷载工况下的变形进行量化，从而分析出结构的受力性能，进而指导结构设计。本发明以四边固定薄板中单向板和双向板的识别为例，进行空间结构在受力工况下的变形分解的说明。

例题2：设有四边固定的长3000mm、宽3000mm、厚150mm的板B1和四边固定的长7500mm、宽3000mm、厚150mm的板B2，试通过基于正交理论的变形分解方法，分析板B1和B2在均布荷载作用下的受力性能，从而判别其类型，判定其为单向板，或为双向板。

解：通过有限元得到板B1和板B2在均布荷载作用下的单元节点位移，进而得到B1的变形分解图如图36所示，B2的变形分解图如图37所示。由图36可知，板B1的跨中区域为以XOZ平面中X轴弯曲变形为主区域和以YOZ平面中Y轴弯曲变形为主区域，即板B1的跨中存在两个方向弯曲变形为主区域，因此荷载在板B1的跨中作用在两个跨度方向都不可忽略，结构设计需要考虑两个方向弯曲变形，板B1被判别为双向板。由图37可知，板B2的跨中区域为以YOZ平面中Y轴弯曲变形为主区域和剪切变形为主区域，即板B2的跨中区域主要为一个方向弯曲变形为主区域，因此荷载在板B2跨中的作用主要沿一个方向，板B2被判别为双向板。

对空间结构在整体受力工况下任意部位的整体变形分解

基于正交理论的变形分解方法，可以对空间结构在任意荷载工况下的局部部位整体变形进行量化，从而分析出结构关键部位的受力性能，进而指导结构设计。本发明以二层框架在自重荷载作用下的梁柱节点受力分析为例，在梁柱节点进行有限元精细划分后，提取节点8个顶点的位移值，进而实现梁柱节点的整体变形分解。

例题3：建立两层框架，每层高度为3m，其中梁构件截面尺寸为0.6m×0.6m、跨度为3m，柱构件截面尺寸为0.6m×0.6m、高度6m，模型如图38所示。

解：对框架第一层的十字节点进行分析，提取十字节点处的八个顶点位移值进行变形分解，即可得到其变形分解情况。依据本发明方法得到框架的梁柱节点变形分解结果如表2所示，可知梁柱节点的主要变形为Z方向拉压变形，次要变形为X方向拉压变形和Y方向拉压变形，其余基本变形所占比例可有表2直接得到，从而为框架节点的受力性能分析提供了直观的量化数据。

表2框架节点的整体变形分解结果

应用二：基于正交理论的振型识别方法与目前质量参与系数法的对比

空间结构的振型类型量化识别

在正交分解的理论基础上，通过已经构造的完备正交坐标基，可以对空间结构的各阶振型进行变形分解，从而对空间结构的振型进行识别，特别是对扭剪振型、剪切振型、耦合振型、局部振型等进行量化分析。在振型识别中，人们常常根据有限元分析软件得出的动画来判断振型的类型，这种通过观察动画的方法，会受到视角和观察者主观因素的影响，从而产生判断的误差。为了克服这一缺点，威尔逊教授提出通过振型质量参与系数的方法来判断振型。但振型质量参与系数方法不能判断出结构的剪切振型；对于耦合振型，也不能判断出主要的振型形式。其实，振型的量化识别问题一直是结构动力分析中的相对薄弱的一环。基于正交分解理论的振型识别方法，可以明确识别出各种振型，并能计算出各种变形所占比例，实现了振型的量化证明。

基于正交分解理论的振型识别方法可以直接用于振型的量化识别。在正交分解的理论基础上，通过构造的完备正交坐标基B，可以方便地对空间结构的各阶振型图进行变形分解，从而对空间结构的振型进行量化识别，本发明以两端固结的框架柱为例，进行振型量化识别的说明。

例题4：设有长400mm、宽400mm、高1600mm的两端固结柱，试进行模态分析，进而采用基于正交分解理论的振型识别方法，对其进行振型识别。

解：通过有限元模态分析，可得其各阶振型，同时通过基于正交分解理论的振型识别方法，可得与各振型对应的变形分解图(如图39～47所示)。

由动画判断可知，柱的一阶振型为X向一阶横弯振型，柱的二阶振型为Y向一阶横弯振型，柱的三阶振型为一阶扭转振型，柱的四阶振型为X向二阶横弯振型，柱的二阶振型为Y向二阶横弯振型，柱的六阶振型为Z向一阶拉压振型，柱的七阶振型为二阶扭转振型，柱的八阶振型为X向三阶横弯振型，柱的九阶振型为Y向三阶横弯振型。

采用基于正交分解理论的振型识别法，由表3可知，柱的第一阶振型和第二阶振型中，剪切变形为主区域面积占总面积的比例大于50％，剪切振型为主区域的两侧表现为一侧是Z方向受拉为主区域，另一侧是Z方向受压为主区域，从而得到柱的第一阶振型和第二阶振型都为一阶剪弯振型；柱的第三阶振型中，剪切变形为主区域面积占总面积的比例大于50％，且柱子竖向对称轴区域为以扭剪变形为主区域，水平对称轴出现以弯曲变形为主区域，从而得到柱的第三阶振型为一阶扭剪振型；柱的第四阶振型和第五阶振型中，剪切变形为主区域面积占总面积的比例大于50％，剪切振型为主区域的两侧表现为一侧是Z方向受拉为主区域，另一侧是Z方向受压为主区域，从而得到柱的第四阶振型和第五阶振型都为二阶剪弯振型；柱的第六阶振型中，Z向上半部以Z方向受拉变形为主，Z向下半部以Z方向受压变形为主，从而得到柱的第六阶振型为一阶拉压振型；柱的第七阶振型中，剪切变形为主区域面积占总面积的比例大于50％，且柱子竖向对称轴区域为以扭剪变形为主区域，1/4和3/4竖向高度处出现以弯曲变形为主区域，从而得到柱的第七阶振型为二阶扭剪振型；柱的第八阶振型和第九阶振型中，剪切变形为主区域面积占总面积的比例大于50％，剪切振型为主区域的两侧表现为一侧是Z方向受拉为主区域，另一侧是Z方向受压为主区域，从而得到柱的第八阶振型和第九阶振型都为三阶剪弯振型。可见，利用基于正交理论的振型识别方法，可以方便地识别出空间结构的扭剪振型、耦合振型等复杂振型的类型。

本文对长400mm、宽400mm、高1600mm的两端固结空间框架柱的前九阶振型进行分析，采用质量参与系数法，得到分析结果如表4所示。将表4和表3对比分析，基于正交理论的振型识别方法得到的结果与质量参与系数法的结果基本一致，从而进一步证明了基于正交理论的振型识别方法的正确性。

表3两端固结柱的基于正交理论的振型识别方法结果

表4两端固结柱的质量参与系数法结果

振型	X	Y	Z	RX	RY	RZ
							1	0.7620	0	0	0.0003	0.5224	0.2986
2	0.0004	0.7624	0	0.5224	0.0003	0.2732
							3	0	0	0	0	0	0.2074
4	0	0	0	0.0001	0.1405	0
							5	0	0	0	0.1405	0.0001	0
6	0	0	0.8415	0.0629	0.0629	0
							7	0	0	0	0	0	0
8	0.1448	0.0004	0	0.0003	0.0992	0.0489
							9	0.0004	0.1448	0	0.0992	0.0003	0.0599

空间结构任意部位的整体振型类型识别

基于正交理论的振型识别法不仅可以对空间结构的振型进行量化识别，还可以对空间结构中任意部位的整体振型进行量化分析，对结构的关键部位进行振型下的相对位移提取，利用变形分解即可得到该部位的整体振型详细信息，从而指导结构的关键部位设计。本发明以例题3中的二层框架模型为例，对框架在第三阶振型中梁柱节点的整体振型进行分析。

对框架第一层的梁柱节点进行有限元模态分析，得到第三阶振型中单元的相对位移值，提取梁柱节点处的八个顶点相对位移值进行变形分解，即可得到其整体振型详细信息。由动画观察可知，框架的第三阶振型为绕Z轴的扭转振型，而梁柱节点的整体振型分解结果如表5所示，根据上文分析即可判定梁柱节点振型分解后的主要变形为X轴扭剪变形和Y轴扭剪变形，判定为扭剪振型。

表5梁柱节点的变形分解结果

变形类型	X轴扭剪	Y轴扭剪	Z轴扭剪	其他15种基本变形
					投影系数	-0.0027	0.0027	0	0

Claims (3)

1.满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法，其特征在于：

包括以下几个步骤：

第1步，8节点正方体单元的空间变形是由X方向的刚体位移、Y方向的刚体位移、Z方向的刚体位移、X方向拉压变形、Y方向拉压变形、Z方向拉压变形、XOY平面中X轴弯曲变形、XOY平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Z轴弯曲变形、XOZ平面中X轴弯曲变形、XOZ平面中Z轴弯曲变形、XOY平面剪切变形、YOZ平面剪切变形、XOZ平面剪切变形、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移、XOZ平面刚体转动位移、X轴反向弯曲变形、Y轴反向弯曲变形、Z轴反向弯曲变形、X轴扭剪变形、Y轴扭剪变形和Z轴扭剪变形共24种基本变形叠加组合而成；通过二次分解，可将扭剪变形进一步分解为扭转变形和反向剪切变形；

针对8节点正方体单元，采用正交分解法，用单元节点坐标位移向量分别构造由X方向的刚体位移、Y方向的刚体位移、Z方向的刚体位移、X方向拉压变形、Y方向拉压变形、Z方向拉压变形、XOY平面中X轴弯曲变形、XOY平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Z轴弯曲变形、XOZ平面中X轴弯曲变形、XOZ平面中Z轴弯曲变形、XOY平面剪切变形、YOZ平面剪切变形、XOZ平面剪切变形、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移、XOZ平面刚体转动位移、X轴反向弯曲变形、Y轴反向弯曲变形、Z轴反向弯曲变形、X轴扭剪变形、Y轴扭剪变形和Z轴扭剪变形24种基向量，并移进行归一化处理，得到基本变形向量如下：

①X方向刚体位移基向量：

P₁＝(0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0)^T

②Y方向刚体位移基向量：

P₂＝(0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0)^T

③Z方向刚体位移基向量：

P₃＝(0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536)^T

④X方向拉压变形基向量：

P₄＝(-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0)^T

⑤Y方向拉压变形基向量：

P₅＝(0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0)^T

⑥Z方向拉压变形基向量：

P₆＝(0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536)^T

⑦XOY平面中X轴弯曲变形基向量：

P₇＝(0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0)^T

⑧XOY平面中Y轴弯曲变形基向量：

P₈＝(0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0)^T

⑨YOZ平面中Y轴弯曲变形基向量：

P₉＝(0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0)^T

⑩YOZ平面中Z轴弯曲变形基向量：

P₁₀＝(0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536)^T

XOZ平面中X轴弯曲变形基向量：

P₁₁＝(0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0)^T

XOZ平面中Z轴弯曲变形基向量：

P₁₂＝(0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536)^T

XOY平面剪切变形基向量：

P₁₃＝(0.25，0.25，0，0.25，-0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，-0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，0.25，0)^T

YOZ平面剪切变形基向量：

P₁₄＝(0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，-0.25，0.25，0，-0.25，0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，-0.25)^T

XOZ平面剪切变形基向量：

P₁₅＝(-0.25，0，-0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，-0.25，0.25，0，-0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，-0.25)^T

XOY平面刚体转动位移基向量：

P₁₆＝(-0.25，0.25，0，-0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，0.25，0，-0.25，0.25，0，-0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，0.25，0)^T

YOZ平面刚体转动位移基向量：

P₁₇＝(0，0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，0.25，0，-0.25，0.25)^T

XOZ平面刚体转动位移基向量：

P₁₈＝(0.25，0，-0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，0.25，0.25，0，-0.25，-0.25，0，-0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，0.25，-0.25，0，-0.25)^T

X轴反向弯曲变形基向量：

P₁₉＝(0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0)^T

Y轴反向弯曲变形基向量：

P₂₀＝(0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0)^T

Z轴反向弯曲变形基向量：

P₂₁＝(0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536)^T

考虑到单元扭转变形与单元反向剪切变形的关系，利用已经得到的以上21种基本变形向量，采用Schmidt正交化方法得到单元扭剪变形基向量：

X轴扭剪变形基向量：

P₂₂＝(0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0)^T

Y轴扭剪变形基向量：

P₂₃＝(0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0)^T

Z轴扭剪变形基向量：

P₂₄＝(0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536，0，0，0.3536，0，0，-0.3536)^T

构造出24种基向量组成的完备正交坐标基矩阵为

B＝[P₁P₂P₃P₄P₅P₆…P₂₄]

第2步，采用8节点正方体单元对结构进行划分，得到结构在相应荷载工况下的各单元节点坐标的变形向量d_e，

d_e＝(x′₁-x₁,y′₁-y₁,z′₁-z₁,x′₂-x₂,y′₂-y₂,z′₂-z₂,x′₃-x₃,y′₃-y₃,z′₃-z₃,x′₄-x₄,y′₄-y₄,z′₄-z₄,x′₅-x₅,y′₅-y₅,z′₅-z₅,x′₆-x₆,y′₆-y₆,z′₆-z₆,x′₇-x₇,y′₇-y₇,z′₇-z₇,x′₈-x₈,y′₈-y₈,z′₈-z₈)^T

第3步，任一8节点正方体单元节点坐标的变形向量可以表达为24种基本变形向量的线性组合，单元节点坐标的变形向量可以投影到完备正交坐标基矩阵B上，即d_e＝B·d(1)

式(1)可以转化为

d＝B^-1d_e＝B^Td_e(2)

其中，B^-1为B的逆矩阵，B^T为B的转置矩阵，d为24种基本刚体位移和变形的贡献系数向量，d＝(d₁d₂d₃d₄d₅d₆…d_i…d₂₄)^T，式中表示任一四节点正方形单元的节点坐标位移向量可以表达为24种基本刚体位移和变形的线性组合，其中d_i表示相应i种基本刚体位移或变形对该单元变形的贡献，称为贡献系数，d_i的下角标i＝1,2,…,24；d₁为投影到单元X方向刚体位移上的贡献系数，d₂为投影到单元Y方向刚体位移上的贡献系数，d₃为投影到单元Z方向刚体位移上的贡献系数，d₄为投影到单元X方向拉压变形上的贡献系数，d₅为投影到单元Y方向拉压变形上的贡献系数，d₆为投影到单元Z方向拉压变形上的贡献系数，d₇为投影到单元XOY平面中X轴弯曲变形上的贡献系数，d₈为投影到单元XOY平面中Y轴弯曲变形上的贡献系数，d₉为投影到单元YOZ平面中Y轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₀为投影到单元YOZ平面中Z轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₁为投影到单元XOZ平面中X轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₂为投影到单元XOZ平面中Z轴弯曲变形上的贡献系数，d₁₃为投影到单元XOY平面剪切变形上的贡献系数，d₁₄为投影到单元YOZ平面剪切变形上的贡献系数，d₁₅为投影到单元XOZ平面剪切变形上的贡献系数，d₁₆为投影到单元XOY平面刚体转动位移上的贡献系数，d₁₇为投影到单元YOZ平面刚体转动位移上的贡献系数，d₁₈为投影到单元XOZ平面刚体转动位移上的贡献系数，d₁₉为投影到单元X轴反向弯曲变形上的贡献系数，d₂₀为投影到单元Y轴反向弯曲变形上的贡献系数，d₂₁为投影到单元Z轴反向弯曲变形上的贡献系数，d₂₂为投影到单元X轴扭剪变形上的贡献系数，d₂₃为投影到单元Y轴扭剪变形上的贡献系数，d₂₄为投影到单元Z轴扭剪变形上的贡献系数；

第4步，将X方向拉压变形、Y方向拉压变形、Z方向拉压变形、XOY平面中X轴弯曲变形、XOY平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Y轴弯曲变形、YOZ平面中Z轴弯曲变形、XOZ平面中X轴弯曲变形、XOZ平面中Z轴弯曲变形、XOY平面剪切变形、YOZ平面剪切变形、XOZ平面剪切变形、X轴反向弯曲变形、Y轴反向弯曲变形、Z轴反向弯曲变形、X轴扭剪变形、Y轴扭剪变形、Z轴扭剪变形18种基本变形上的贡献系数绝对值大小进行比较，绝对值最大的基本变形为单元的主要变形，从而实现结构体系的变形分解与振型识别，其中：X、Y、Z方向拉压变形的贡献系数为正时表示变形为X、Y、Z方向受拉变形；X、Y、Z方向拉压变形的投影系数为负时表示变形为X、Y、Z方向受压变形；

第5步，在需要进一步分析扭转变形和反向剪切变形时，对X轴扭剪变形、Y轴扭剪变形、Z轴扭剪变形进行二次分解，分解成为XOY平面扭转变形、YOZ平面扭转变形、XOZ平面扭转变形，和XOY平面反向剪切变形、YOZ平面反向剪切变形、XOZ平面反向剪切变形。

2.根据权利要求1所述的满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法，其特征在于：第4步中，24种基向量中X方向的刚体位移、Y方向刚体位移、Z方向刚体位移、XOY平面刚体转动位移、YOZ平面刚体转动位移和XOZ平面刚体转动位移属于刚体位移，不产生应力应变，不需要考虑其贡献系数，只需要分析其他18种基本变形的贡献系数即可。

3.根据权利要求1所述的满足完备正交和力学平衡条件的正方体单元变形分解方法，其特征在于：

第4步中，可对基本刚体位移和变形进行刚柔分离，基本刚体位移包括刚体线位移和刚体转动位移，变形包括拉压、弯曲、剪切、反弯、扭剪变形，且在基本变形中系数绝对值次大的基本变形为单元的次要变形，以此类推，即得到单元的正交基本变形分量信息。