CN109588764B - 一种双倍长烟支切割时喇叭嘴与切刀运动干涉的规避方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种规避双倍长烟支切割运动干涉的喇叭嘴单侧调节方法，本发明对喇叭嘴机构和刀盘机构进行模拟仿真并且调整喇叭嘴的间隙至不发生干涉的最小值的方法，大大降低了对喇叭嘴和刀盘模拟的计算量，可以快速确定出切刀与喇叭嘴不发生干涉的最小间隙，从而在保证切割质量的情况下，保证了切刀与喇叭嘴不会发生干涉，保证切割过程中机器的稳定性及使用寿命。
Description
技术领域
本发明属于机械领域，尤其涉及一种双倍长烟支切割时喇叭嘴与切刀运动干涉的规避方法。
背景技术
双倍长烟支切割系统是卷接机组的重要组成部分，主要由喇叭嘴机构、刀盘机构、磨刀装置以及传动部分等组成，最高生产速度为 20000支/分钟。烟支切割时，刀盘机构作旋转运动且喇叭嘴机构作动态跟随支撑，将卷制成形后作直线运动的烟条切割成规定长度的双倍长烟支。切割出的双倍长烟支，要求长度相等、切口平齐光洁、切口与烟支轴线垂直等。其中喇叭嘴机构、刀盘机构的设置如图1所示：包括横向转动的喇叭嘴机构1和纵向转动的刀盘机构2；刀盘机构2 有上下两个切刀3；喇叭嘴机构1包括前转轮和后转轮，前转轮和后转轮之间铰接有喇叭嘴轴，每个喇叭嘴轴上轴接一组喇叭嘴结构，总共有四组喇叭嘴结构；每个喇叭嘴结构包括前后两对喇叭嘴4，每对喇叭嘴4之间形成有切刀3通过的间隙5；切割烟支时，烟条自喇叭嘴4的U形槽6处穿过，然后切刀3自间隙5处切过将烟支切断。由于涉及两种运动系统，且要求(1)烟条、切刀、喇叭嘴在烟条行进方向上速度相等；(2)切刀垂直烟条轴线，其中，切刀为了在烟条行进方向上的分速度速度与烟条相等，刀盘机构结构如图2所示，包括叉头一7和叉头二8；叉头一7和叉头二8分别轴接在十字轴9，叉头一7和叉头二8成一定角度，而切刀通过刀盘固定在十字轴上，这使得切刀进行圆周运动时，还会出现摆动运动，因此运动较为复杂。
在实际生产中发现，高速动态跟随切割过程中，切刀与喇叭嘴容易发生干涉，影响切割稳定性，由于切刀与喇叭嘴干涉碰撞，会导致机械产生振动，导致切割效果下降，而且切刀与喇叭嘴磨损严重，降低了其使用寿命，需要经常更换切刀和喇叭嘴，大大影响了烟支的生产。但是若是通过无限增加间隙5的宽度避免干涉，会导致喇叭嘴提供的支撑力不足，使得烟支切口处产生凹陷。
为了解决上述矛盾，很多人通过改进喇叭嘴机构和刀盘机构的运动进行解决，如段绍伟等认为引起烟支切割系统切刀与喇叭嘴干涉的主要原因为喇叭嘴机构与刀盘机构运动不同步。万晶晶等认为引起烟支切割系统切刀与喇叭嘴干涉的主要原因为切刀和喇叭嘴在烟支运动方向上存在速度差。由于切刀运动的复杂性，难以完全模拟，其中万晶晶等将切刀简化为切刀中心线，通过优化运动，将喇叭嘴之间的间隙降低到了0.2mm，但是模拟后发现实际是不可能达到的，因为切刀是具有宽度和厚度的，经过喇叭嘴时，切刀所需要的间隙明显大于等效为中心线所需的间隙，且切刀会与其旋转方向呈现一定的倾斜角度，以和烟支的行进速度一致从而切割整齐。所以上述研究并没有解决在间隙尽可能小的情况下避免切刀与喇叭嘴的干涉问题。刀盘机构的输入轴和输出轴通过单十字轴式万向节联轴器相连。而如果建立整个实物的模拟系统模拟调整，仅仅单个机型的实物模拟建立的工作量大，而且由于不同的机型其结构均有差异，因此每种机型均需要实物模拟，工作量过大，浪费人力物力。
发明内容
为解决上述问题，本发明提供了一种双倍长烟支切割时喇叭嘴与切刀运动干涉的规避方法，本发明公开对喇叭嘴机构和刀盘机构进行等效模拟仿真并且调整喇叭嘴的间隙至不发生干涉的最小值的方法，可以快速确定出切刀与喇叭嘴不发生干涉的最小间隙，从而在保证切割质量的情况下，保证了切刀与喇叭嘴不会发生干涉，保证切割过程中机器的稳定性及使用寿命，同时大大降低了对喇叭嘴和刀盘模拟的计算量，大大节省了时间和精力。
为达到上述技术效果，本发明的技术方案是：
一种双倍长烟支切割时喇叭嘴与切刀运动干涉的规避方法，包括如下步骤：
步骤一、喇叭嘴侧面等效建模与运动分析：等效出四个喇叭嘴的内侧面L1～L4；然后对喇叭嘴运动进行分析：
为研究喇叭嘴的运动规律，以转轮旋转中心为原点O1，以O1O2方向为z1轴；O2表示后转轮旋转中心的原点；以O1AL方向为y1轴， AL为后转轮与喇叭嘴轴的铰链节点；垂直O1O2AL所在面的方向为x1方向建立喇叭嘴局部坐标系；假设铰链节点AL点坐标为(x1,y1,z1)，喇叭嘴的内侧面上一点BL坐标为(x2,y2,z2),后转轮的输入角速度为ω3，根据空间坐标变换式(1-1)，t时刻时，AL点经过空间坐标函数作用下的坐标点AL′的坐标如式(1-2)所示，BL点经过空间坐标函数作用下的坐标点BL′坐标如式(1-3)所示；
表示喇叭嘴空间坐标变换函数；
步骤二、切刀侧面等效建模与运动分析：得到每个喇叭嘴在切刀侧面的投影区域；
为求得十字轴的运动特性，以十字轴的中心点O为坐标原点，以输入轴旋转轴线为x2轴，输入轴与十字轴的回转中心线C′-C为y2轴，切刀长度方向A′-A为z2轴，建立十字轴局部直角坐标系；A点为十字轴上顶点，A′点为十字轴下顶点，C点为A点绕输入轴顺时针旋转90°所得的点，C′点为A′点绕输入轴顺时针旋转90°所得的点；
叉头一为输入轴，叉头二为输出轴，十字轴由轴线A-A′与B-B′组成，B点为十字轴的左顶点，B′点为十字轴右顶点，切刀为OA；输入轴、输出轴的角速度分别为ω1、ω2，二者关系式为：
式中，
为输入轴的转角，其值为ω1·t；θ为输入轴与输出轴所夹的锐角；
十字轴轴线A-A′在平面ACA′C′内绕输入轴转动，十字轴轴线B-B′在平面ABA′B′内绕输出轴转动，切刀固定于十字轴；因此，切刀OA 的运动为绕输入轴的转动与绕自身轴线A-A′的转动组成；切刀绕输入轴的转角即为输入轴转角
切刀绕自身轴线A-A′的转角由B点绕轴线A-A′的转角β表示；
切刀绕自身轴线A-A′的瞬时转角由空间投影几何法进行求解；投影平面P为垂直于轴线A-A′的平面，Op、Bp分别为点O、点B在投影平面P的投影点，因此B点绕轴线A-A′的转角可等效为点Bp在投影平面上绕Op点的转角；初始位置轴线的转角为0，即在平面P上 Bp点位于起始点Bp1点；输入轴旋转一周，Bp点绕Op点由Bp1点运动至Bp2点，Bp2点为Bp点终点；
输入轴的转角为
时，A点的坐标为
假设B 点的坐标为(x,y,z)，则根据B点的位置为以O点为球心，半径为r 的球面上可得
x2+y2+z2＝r2 (1-2)
由十字轴的结构可知，OA⊥OB，因此
由万向节的结构可知，十字轴轴线B-B′垂直于输出轴轴线，因此
x-tanθ· y＝0 (1-4)
由式(1.2)、式(1.3)及式(1.4)可知，B点坐标的y值为
其中，
时，y取正号；
以及
时， y取负号；
设Bp3点为B点在平面x2Oy2的投影点，Bp点为B点在投影平面的投影点，将Bp3点与Bp点投影至x轴相交于D点，OBp3的长度为 r；因此
由B点坐标的y值即可求出BpD
BpD＝|y-0| (1-8)
即
因此，由式(1.6)、式(1.7)及式(1.9)可知
即
上式即为轴线A-A′的转角公式，
时，β取正号；
以及
β取负号；
为研究切刀的运动规律，以十字轴中心点O为原点，十字轴轴线B′-B为x轴，输出轴为y轴，切刀OA方向为z轴，建立烟支切割系统全局空间直角坐标系；根据空间坐标变换原理，建立切刀空间变换矩阵：其步骤为：根据十字轴轴线A-A′的转角规律，切刀绕Z 轴旋转相应角度，如式1-13所示：Rβ表示切刀绕Z轴旋转相应角度的空间坐标变换函数；
将输入轴绕Z轴逆时针旋转至YOZ平面与Y轴重合，如式1-14 所示：Rθ表示输入轴绕Z轴逆时针旋转至YOZ平面与Y轴重合的空间坐标变换函数；
根据输入轴转速，绕输入轴旋转相应角度，如式1-15所示：
表示根据输入轴转速，绕输入轴旋转相应角度的空间坐标变换函数；
完成相应时间的空间变换后，将输入轴顺时针旋转回初始位置，如式1-16所示：Rθ'表示将输入轴顺时针旋转回初始位置的空间坐标变换函数；
通过以上空间变换即可求得切刀的运动规律，如式1-17所示：R 表示切刀运动的空间坐标变换函数；
假设切刀上一点D(xD，yD，zD)，则在t时刻，D点经过坐标变换函数得到的D′(xD′，yD′，zD′)可用下列方程表示：
步骤三、以坐标系O-x-y-z为全局坐标系；在全局坐标系内确定投影区域和内侧面L1～L4在t时刻的位置；
步骤四、判断整个运动周期内切刀与喇叭嘴是否干涉：根据喇叭嘴与切刀的运动分析，对投影区域和内侧面L1～L4赋予运动；在每个切割时刻，判断内侧面L1～L4的点集与投影区域的点集是否有重合点，如存在重合点即喇叭嘴与切刀产生干涉；否则不发生干涉；
步骤五、喇叭嘴单侧间隙调节的最优切割参数求解：将间隙设置为切刀厚度；处于同侧的内侧面L1和L2作为一组同样调整，L3和L4 作为一组同样调整；整个运动周期内，当内侧面L1或L2的点集与投影区域的点集有重合点时，L1和L2向远离间隙中心方向偏移一个单位长度；当内侧面L3或L4的点集与投影区域的点集有重合点时， L3和L4向远离间隙中心方向偏移一个单位长度；
步骤六、循环步骤一至五，至内侧面L1-L4与投影区域均无重合点时的间隙即为不发生干涉的最小间隙。
进一步的改进，所述喇叭嘴侧面等效建模的方法如下：取每个喇叭嘴内侧面最小外接矩形外轮廓四角的A1、A2、A3、A4四点，在矩形A1A2A3A4区域中填充点集，通过喇叭嘴内侧面外轮廓线将轮廓线以外区域去除，生成喇叭嘴侧面等效模型。
进一步的改进，所述切刀侧面等效建模的方法如下：将每个喇叭嘴内侧面L1～L4最小外接矩形四个角的点A1、A2、A3、A4投影至切刀侧面，投影点为B1、B2、B3、B4，在B1B2B3B4四个投影点围成的区域中填充点集形成投影区域，生成相应的四个切刀侧面等效模型；
进一步的改进，所述步骤二中，将刀盘机构中切刀的切割过程分解为四个旋转运动耦合：
矩阵各元素如下：
附图说明
图1为喇叭嘴机构和刀盘机构的结构示意图；
图2为单十字轴万向节机构简图；
图3为刀盘机构原理图；
图4为刀盘机构投影原理图；
图5为十字轴轴线转角原理图；(图5我做了一点改动)
图6为烟支切割系统坐标系；
图7a为240mm处等间距选取7个点的分速度图；
图7b为240mm处等间距选取7个点的示意图；
图7c为切刀长度方向等距取七个点的分速度图；
图7d为切刀长度方向等距取七个点的示意图；
图8为实施例2的流程图；
图9为实施例3的流程图；
图10为喇叭嘴侧面等效模型。
图11为喇叭嘴机构原理图
图12为十字轴顶点分布图
具体实施方式
以下通过具体实施方式并且结合附图对本发明的技术方案作具体说明。
实施例1
一种双倍长烟支切割时喇叭嘴与切刀运动干涉的规避方法，包括如下步骤：
步骤一、喇叭嘴侧面等效建模与运动分析：等效出四个喇叭嘴的内侧面L1～L4；然后对喇叭嘴运动进行分析：
取每个喇叭嘴内侧面最小外接矩形外轮廓四角的A1、A2、A3、 A4四点，在矩形A1A2A3A4区域中填充点集，通过喇叭嘴内侧面外轮廓线将轮廓线以外区域去除，生成喇叭嘴侧面等效模型如图10所示；
为研究喇叭嘴的运动规律，以转轮旋转中心为原点O1，以O1O2方向为z1轴；O2表示后转轮旋转中心的原点；以O1AL方向为y1轴， AL为后转轮与喇叭嘴轴的铰链节点；垂直O1O2AL所在面的方向为x1方向建立喇叭嘴局部坐标系；假设铰链节点AL点坐标为(x1,y1,z1)，喇叭嘴的内侧面上一点BL坐标为(x2,y2,z2),后转轮的输入角速度为ω3，根据空间坐标变换式(1-1)，t时刻时，AL点所在的坐标点AL′的坐标如式(1-2)所示，BL点所在的坐标点BL′坐标如式(1-3)所示；
表示喇叭嘴空间坐标变换函数；
步骤二、切刀侧面等效建模与运动分析：将每个喇叭嘴内侧面L1～L4 最小外接矩形四个角的点A1、A2、A3、A4投影至切刀侧面，投影点为B1、B2、B3、B4，在B1B2B3B4四个投影点围成的区域中填充点集形成投影区域，并去除投影区域以外的切刀部分：
为求得十字轴的运动特性，以十字轴的中心点O为坐标原点，以输入轴旋转轴线为x2轴，输入轴与十字轴的回转中心线C′-C为y2轴，切刀长度方向A′-A为z2轴，建立十字轴局部直角坐标系；A点为十字轴上顶点，A′点为十字轴下顶点，C点为A点绕输入轴顺时针旋转90°所得的点，C′点为A′点绕输入轴顺时针旋转90°所得的点；
叉头一为输入轴，叉头二为输出轴，十字轴由轴线A-A′与B-B′组成，B点为十字轴的左顶点，B′点为十字轴右顶点，切刀为OA；输入轴、输出轴的角速度分别为ω1、ω2，二者关系式为：
式中，
为输入轴的转角，其值为ω1·t；θ为输入轴与输出轴所夹的锐角；
十字轴轴线A-A′在平面ACA′C′内绕输入轴转动，十字轴轴线B-B′在平面ABA′B′内绕输出轴转动，切刀固定于十字轴；因此，切刀OA 的运动为绕输入轴的转动与绕自身轴线A-A′的转动组成；切刀绕输入轴的转角即为输入轴转角
切刀绕自身轴线A-A′的转角由B点绕轴线A-A′的转角β表示；
切刀绕自身轴线A-A′的瞬时转角由空间投影几何法进行求解；投影平面P为垂直于轴线A-A′的平面，Op、Bp分别为点O、点B在投影平面P的投影点，因此B点绕轴线A-A′的转角可等效为点Bp在投影平面上绕Op的转角；初始位置轴线的转角为0，即在平面P上Bp位于起始点Bp1点；输入轴旋转一周，Bp绕Op由Bp1运动至Bp2，Bp2点为Bp点终点；
输入轴的转角为
时，A点的坐标为
假设B 点的坐标为(x,y,z)，则根据B点的位置为以O点为球心，半径为r 的球面上可得
x2+y2+z2＝r2 (1-2)
由十字轴的结构可知，OA⊥OB，因此
由万向节的结构可知，十字轴轴线B-B′垂直于输出轴轴线，因此
x-tanθ·y＝0 (1-4)
由式(1.2)、式(1.3)及式(1.4)可知，B点坐标的y值为
其中，
时，y取正号；
以及
时， y取负号；
设Bp3点为B点在平面x2Oy2的投影点，Bp点为B点在投影平面的投影点，将Bp3点与Bp点投影至x轴相交于D点，OBp3的长度为 r；因此
由B点坐标的y值即可求出BpD
BpD＝|y-0| (1-8)
即
因此，由式(1.6)、式(1.7)及式(1.9)可知
即
上式即为轴线A-A′的转角公式，
时，β取正号；
以及
β取负号；
为研究切刀的运动规律，以十字轴中心点O为原点，十字轴轴线B′-B为x轴，输出轴为y轴，切刀OA方向为z轴，建立烟支切割系统全局空间直角坐标系；根据空间坐标变换原理，建立切刀空间变换矩阵：其步骤为：根据十字轴轴线A-A′的转角规律，切刀绕Z 轴旋转相应角度，如式1-13所示：Rβ表示切刀绕Z轴旋转相应角度的空间坐标变换函数；
将输入轴绕Z轴逆时针旋转至YOZ平面与Y轴重合，如式1-14 所示：Rθ表示输入轴绕Z轴逆时针旋转至YOZ平面与Y轴重合的空间坐标变换函数；
根据输入轴转速，绕输入轴旋转相应角度，如式1-15所示：
表示根据输入轴转速，绕输入轴旋转相应角度的空间坐标变换函数；
完成相应时间的空间变换后，将输入轴顺时针旋转回初始位置，如式1-16所示：Rθ'表示将输入轴顺时针旋转回初始位置的空间坐标变换函数；
通过以上空间变换即可求得切刀的运动规律，如式1-17所示：R 表示切刀运动的空间坐标变换函数；
将刀盘机构中切刀的切割过程分解为四个旋转运动耦合，即可等效为四个3×3旋转矩阵相乘；
矩阵各元素如下：
假设切刀上一点D(xD，yD，zD)，则在t时刻，D点经过坐标变换函数得到的D′(xD′，yD′，zD′)可用下列方程表示：
步骤三、以坐标系O-x-y-z为全局坐标系；在全局坐标系内确定投影区域和内侧面L1～L4在t时刻的位置；
步骤四、判断整个运动周期内切刀与喇叭嘴是否干涉：根据喇叭嘴与切刀的运动分析，对投影区域和内侧面L1～L4赋予运动；在每个切割时刻，判断内侧面L1～L4的点集与投影区域的点集是否有重合点，如存在重合点即喇叭嘴与切刀产生干涉；否则不发生干涉；
步骤五、喇叭嘴单侧间隙调节的最优切割参数求解：将间隙设置为切刀厚度；处于同侧的内侧面L1和L2作为一组同样调整，L3和 L4作为一组同样调整；整个运动周期内，当内侧面L1或L2的点集与投影区域的点集有重合点时，L1和L2向远离间隙中心方向偏移一个单位长度；当内侧面L3或L4的点集与投影区域的点集有重合点时，L3和L4向远离间隙中心方向偏移一个单位长度；
步骤六、循环步骤一至五，至内侧面L1-L4与投影区域均无重合点时的间隙即为不发生干涉的最小间隙。
实施例2
设初始间隙5为0.3mm，此时发生“打刀”现象。此时，间隙5 的中轴为中心，两个的喇叭嘴相对间隙5的中轴对称向外侧移动，过程如图8所示，由切割运动仿真得到不“打刀”的切割参数如表4-1所示。
表4-1喇叭嘴双侧间隙调节的切割参数
由表4-1可知，喇叭嘴与切刀不发生“打刀”现象的最小间隙为 0.69mm。基于ADAMS建立的烟支切割系统仿真模型，将喇叭嘴间隙修改为0.69mm进行仿真。仿真结果为：喇叭嘴与切刀不产生干涉，如表4-2所示。
表4-2喇叭嘴与切刀间距
单位为mm。
喇叭嘴与切刀不发生“打刀”现象的最小间隙为0.69mm，该值下的喇叭嘴与切刀的间隙过大，影响烟支的切割质量。由仿真结果可知，切刀仅与单侧喇叭嘴发生“打刀”，即一次切割过程中仅与喇叭嘴L1、 L4或L2、L3发生干涉，具体的，切刀切入时与喇叭嘴L3干涉；切刀切出时与喇叭嘴L1干涉。因此，以单侧喇叭嘴为研究变量，即当切刀与喇叭嘴L1或L2干涉时，将喇叭嘴L1与L2同时向右偏移一个单位长度，与喇叭嘴L3或L4干涉则同时向左偏移一个单位长度。
实施例3
基于烟支切割系统数值模型，根据基本参数编写MATLAB仿真程序，进行喇叭嘴单侧间隙调节的切割运动仿真，仿真原理及流程图如图9所示。以喇叭嘴单侧左右调节为设计变量的切割运动仿真得到不“打刀”的切割参数，如表4-3所示。
表4-3喇叭嘴左右调节的切割参数
注：调整量正值表示喇叭嘴向右调整、负值表示喇叭嘴向左调整
由表4-3所示，最小喇叭嘴间距为0.57mm，相比喇叭嘴不调整条件下，喇叭嘴间距进一步缩小。其中，间隙大于0.69mm，喇叭嘴不需调整即达不“打刀”状况，与喇叭嘴双侧间隙调节情况相同。根据基于ADAMS建立的烟支切割系统仿真模型，将喇叭嘴间隙修改为0.57mm，调整量为0.06mm进行仿真。仿真结果为：喇叭嘴与切刀不产生干涉，如表4-4所示。
表4-4喇叭嘴与切刀间距
以喇叭嘴单侧左右调节为设计变量的切割运动仿真得到不“打刀”的切割参数，如表4-3所示。
表4-3喇叭嘴左右调节的切割参数
注：调整量正值表示喇叭嘴向右调整、负值表示喇叭嘴向左调整
由表4-3所示，最小喇叭嘴间距为0.57mm，相比喇叭嘴不调整条件下，喇叭嘴间距进一步缩小。其中，间隙大于0.69mm，喇叭嘴不需调整即达不“打刀”状况，与喇叭嘴双侧间隙调节情况相同。根据3.1 节基于ADAMS建立的烟支切割系统仿真模型，将喇叭嘴间隙修改为 0.57mm，调整量为0.06mm进行仿真。仿真结果为：喇叭嘴与切刀不产生干涉，如表4-4所示。
表4-4喇叭嘴与切刀间距
上述仅为本发明的一个具体导向实施方式，但本发明的设计构思并不局限于此，凡利用此构思对本发明进行非实质性的改动，均应属于侵犯本发明的保护范围的行为。
Claims (4)
1.一种双倍长烟支切割时喇叭嘴与切刀运动干涉的规避方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤一、喇叭嘴侧面等效建模与运动分析：等效出四个喇叭嘴的内侧面L1～L4；然后对喇叭嘴运动进行分析：
以转轮旋转中心为原点O1，以O1O2方向为z1轴；O2表示后转轮旋转中心的原点；以O1AL方向为y1轴，AL为后转轮与喇叭嘴轴的铰链节点；垂直O1O2AL所在面的方向为x1方向建立喇叭嘴局部坐标系；假设铰链节点AL点坐标为(x1,y1,z1)，喇叭嘴的内侧面上一点BL坐标为(x2,y2,z2),后转轮的输入角速度为ω3，根据空间坐标变换式(1-1)，t时刻时，AL点经过空间坐标函数作用下的坐标点AL′的坐标如式(1-2)所示，BL点经过空间坐标函数作用下的坐标点BL′坐标如式(1-3)所示；
表示喇叭嘴空间坐标变换函数；
步骤二、切刀侧面等效建模与运动分析：得到每个喇叭嘴在切刀侧面的投影区域；然后对投影区域运动进行分析：
为求得十字轴的运动特性，以十字轴的中心点O为坐标原点，以输入轴旋转轴线为x2轴，输入轴与十字轴的回转中心线C′-C为y2轴，切刀长度方向A′-A为z2轴，建立十字轴局部直角坐标系；A点为十字轴上顶点，A′点为十字轴下顶点，C点为A点绕输入轴顺时针旋转90°所得的点，C′点为A′点绕输入轴顺时针旋转90°所得的点；
叉头一为输入轴，叉头二为输出轴，十字轴由轴线A-A′与B-B′组成，B点为十字轴的左顶点，B′点为十字轴右顶点，切刀为OA；输入轴、输出轴的角速度分别为ω1、ω2，二者关系式为：
式中，
为输入轴的转角，其值为ω1·t；θ为输入轴与输出轴所夹的锐角；
十字轴轴线A-A′在平面ACA′C′内绕输入轴转动，十字轴轴线B-B′在平面ABA′B′内绕输出轴转动，切刀固定于十字轴；因此，切刀OA的运动为绕输入轴的转动与绕自身轴线A-A′的转动组成；切刀绕输入轴的转角即为输入轴的转角
切刀绕自身轴线A-A′的转角由B点绕轴线A-A′的转角β表示；
切刀绕自身轴线A-A′的瞬时转角由空间投影几何法进行求解；投影平面P为垂直于轴线A-A′的平面，Op、Bp分别为点O、点B在投影平面P的投影点，输入轴的转角为
时，A点的坐标为
假设B点的坐标为(x,y,z)，则根据B点的位置为以O点为球心，半径为r的球面上得
x2+y2+z2＝r2 (1.2)
由十字轴的结构知，OA⊥OB，因此
由万向节的结构知，十字轴轴线B-B′垂直于输出轴轴线，因此
x-tanθ·y＝0 (1.4)
由式(1.2)、式(1.3)及式(1.4)知，B点坐标的y值为
其中，
时，y取正号；
以及
时，y取负号；
设Bp3点为B点在平面x2Oy2的投影点，Bp点为B点在投影平面的投影点，将Bp3点与Bp点投影至x轴相交于D点，OBp3的长度为r；因此
由B点坐标的y值即求出BpD
BpD＝|y-0| (1.8)
即
因此，由式(1.6)、式(1.7)及式(1.9)知
即
上式即为轴线A-A′的转角公式，
时，β取正号；
以及
β取负号；
为研究切刀的运动规律，以十字轴中心点O为原点，十字轴轴线B′-B为x轴，输出轴为y轴，切刀OA方向为z轴，建立烟支切割系统全局空间直角坐标系；根据空间坐标变换原理，建立切刀空间变换矩阵：其步骤为：根据十字轴轴线A-A′的转角规律，切刀绕Z轴旋转相应角度，如式(1.13)所示：Rβ表示切刀绕Z轴旋转相应角度的空间坐标变换函数；
将输入轴绕Z轴逆时针旋转至YOZ平面与Y轴重合，如式(1.14)所示：Rθ表示输入轴绕Z轴逆时针旋转至YOZ平面与Y轴重合的空间坐标变换函数；
根据输入轴转速，绕输入轴旋转相应角度，如式(1.15)所示：
表示根据输入轴转速，绕输入轴旋转相应角度的空间坐标变换函数；
完成相应时间的空间变换后，将输入轴顺时针旋转回初始位置，如式(1.16)所示：Rθ'表示将输入轴顺时针旋转回初始位置的空间坐标变换函数；
通过以上空间变换即求得切刀的运动规律，如式(1.17)所示：R表示切刀运动的空间坐标变换函数；
假设切刀上一点D(xD，yD，zD)，则在t时刻，D点经过坐标变换函数得到的D′(xD′，yD′，zD′)用下列方程表示：
步骤三、以坐标系O-x-y-z为全局坐标系；在全局坐标系内确定投影区域和内侧面L1～L4在t时刻的位置；
步骤四、判断整个运动周期内切刀与喇叭嘴是否干涉：根据喇叭嘴与切刀的运动分析，对投影区域和内侧面L1～L4赋予运动；在每个切割时刻，判断内侧面L1～L4的点集与投影区域的点集是否有重合点，如存在重合点即喇叭嘴与切刀产生干涉；否则不发生干涉；
步骤五、喇叭嘴单侧间隙调节的最优切割参数求解：将间隙设置为切刀厚度；处于同侧的内侧面L1和L2作为一组同样调整，L3和L4作为一组同样调整；整个运动周期内，当内侧面L1或L2的点集与投影区域的点集有重合点时，L1和L2向远离间隙中心方向偏移一个单位长度；当内侧面L3或L4的点集与投影区域的点集有重合点时，L3和L4向远离间隙中心方向偏移一个单位长度；
步骤六、循环步骤一至五，至内侧面L1-L4与投影区域均无重合点时的间隙即为不发生干涉的最小间隙。
2.如权利要求1所述的双倍长烟支切割时喇叭嘴与切刀运动干涉的规避方法，其特征在于，所述喇叭嘴侧面等效建模的方法如下：取每个喇叭嘴内侧面最小外接矩形外轮廓四角的A1、A2、A3、A4四点，在矩形A1A2A3A4区域中填充点集，通过喇叭嘴内侧面外轮廓线将轮廓线以外区域去除，生成喇叭嘴侧面等效模型。
3.如权利要求2所述的双倍长烟支切割时喇叭嘴与切刀运动干涉的规避方法，其特征在于，所述切刀侧面等效建模的方法如下：将每个喇叭嘴内侧面L1～L4最小外接矩形四个角的点A1、A2、A3、A4投影至切刀侧面，投影点为B1、B2、B3、B4，在B1B2B3B4四个投影点围成的区域中填充点集形成投影区域，生成相应的四个切刀侧面等效模型；
4.如权利要求1所述的双倍长烟支切割时喇叭嘴与切刀运动干涉的规避方法，其特征在于，所述步骤二中，将刀盘机构中切刀的切割过程分解为四个旋转运动耦合：
矩阵各元素如下：
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