CN109495881B - 一种使用协同干扰的无线中继网络安全传输方法 - Google Patents

一种使用协同干扰的无线中继网络安全传输方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种使用协同干扰的无线中继网络安全传输方法。该方法为：首先源节点以广播形式向中继节点发送信号，协同干扰节点发送干扰信号；中继节点对接收矢量信号加权后转发给合法目标节点，同时发送人工噪声；然后构建安全传输优化问题模型；接着将复数域上的优化问题转换为实数域上的优化问题，通过引入变量进行优化问题重构，求解得出中继节点的波束成形矩阵和合法目标节点的线性接收滤波系数；最后中继节点将接收到的信号乘以相应的波束成形矩阵，转发给合法目标节点，合法目标节点利用线性接收滤波系数处理接收信号，实现网络传输的保密性和传输速率最大化的目标。本发明降低了中继节点的能量消耗，提升了网络传输的保密速率。

Description

一种使用协同干扰的无线中继网络安全传输方法
技术领域
本发明涉及无线通信网络技术领域，特别是一种使用协同干扰的无线中继网络安全传输方法。
背景技术
由于无线通信终端的小型化，低功耗要求越来越高，无线通信网络朝着多节点、分布式的方向发展，利用节点之间的协作不仅能够提高无线资源的利用效率，而且可以增强信息的传输安全。中继节点按照协作方式可以分为协同转发节点和协同干扰节点，协同转发节点是指中继节点将接收到的信号直接转发给目标节点；协同干扰节点是指节点并不接收源节点发送的信号，只是提供干扰信号来降低窃听节点的接收性能，也就是通过引入协同干扰节点来提高网络的保密传输性能。
在无线中继网络中，信号的传输过程由源节点向中继节点发送信号和中继节点将接收到的信号转发给合法目标节点两个阶段组成，信号在两个阶段的传输过程中都有可能遭到窃听，增加了信号传输的安全风险。现有研究多为考虑如何增强第二阶段信号传输的安全性，但在实际应用中，当窃听节点位于中继节点的附近时，它能侦听到源节点及中继节点发出的信号，这种情况下需要兼顾两个传输阶段的安全性能。因此，现有方法不适于无线中继网络中两个传输阶段都需要进行干扰，以抑制窃听节点接收性能的安全传输场景。
发明内容
本发明的目的在于提供一种能够降低中继节点的能量消耗、提升网络传输的保密性和传输速率的无线中继网络安全传输方法。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种使用协同干扰的无线中继网络安全传输方法，该方法基于的无线中继网络架构，包括1个配置有单根天线的源节点、1个配置有单根天线的合法目标节点、N个配置有单根天线的中继节点、1个配置有单根天线的协作干扰节点、1个配置有单根天线的窃听节点，其中N是1以上的自然数；设定在协同干扰的无线中继网络中，所有节点都采用半双工模式；源节点和合法目标节点之间没有直接通信链路，必须由中继节点转发信号，且中继节点采用放大转发协议；窃听节点能够侦听到源节点以及中继节点发出的信号；信号的传输过程由源节点向中继节点发送信号和中继节点将接收到的信号转发给合法目标节点两个阶段组成；
该方法包括以下步骤：
步骤1，源节点以广播形式向中继节点发送信号，协同干扰节点发送干扰信号，恶化窃听节点的接收性能；
步骤2，中继节点使用波束成形矩阵对接收矢量信号进行加权，然后进行转发，同时发送人工噪声，恶化窃听节点的接收性能；
步骤3，构建以中继节点发送有用信号的功率消耗最小化为目标函数、合法目标节点的最小均方误差约束及所有中继节点功率受限的约束条件下的安全传输问题模型；
步骤4，将复数域上的优化问题转换为实数域上的优化问题，通过引入变量进行优化问题重构，然后采用双层优化方法进行求解，并利用凸优化理论求解内外层优化问题，得出中继节点的波束成形矩阵和合法目标节点的线性接收滤波系数；
步骤5，中继节点将接收到的信号乘以相应的波束成形矩阵，转发给合法目标节点，合法目标节点利用线性接收滤波系数处理接收信号，实现网络传输的保密性和传输速率最大化的目标。
进一步地，步骤1中所述的源节点以广播形式向中继节点发送信号，协同干扰节点发送干扰信号，恶化窃听节点的接收性能，具体如下：
步骤1.1、中继节点接收的信号xr＝(xr,1,…,xr,N)T为：
Figure BDA0001900188680000021
式中，源节点发送信号s归一化为
Figure BDA0001900188680000022
Figure BDA0001900188680000023
表示数学期望，|·|表示绝对值符号；Ps为源节点信号的发送功率，Pj为协同干扰信号的发送功率，z为协作干扰节点发送的干扰信号，并归一化为
Figure BDA0001900188680000024
表示从源节点到所有中继节点的复信道增益，
Figure BDA0001900188680000025
表示从协同干扰节点到所有中继节点的复信道增益，hsr、hjr中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA0001900188680000026
表示中继节点接收噪声，是协方差矩阵为
Figure BDA0001900188680000027
的零均值高斯加性白噪声矢量；其中，
Figure BDA0001900188680000028
表示N×1维的复矩阵，IN为N×N的单位矩阵，(·)T为转置运算符；
步骤1.2、在源节点信号发送下，窃听节点的接收信号xe为：
Figure BDA0001900188680000031
式中，
Figure BDA0001900188680000032
表示从源节点到窃听节点的信道增益，
Figure BDA0001900188680000033
表示从协同干扰节点到窃听节点的信道增益，hse及hje中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA0001900188680000034
表示窃听节点接收噪声，是方差为
Figure BDA0001900188680000035
的零均值加性高斯白噪声。
进一步地，步骤2中所述中继节点使用波束成形矩阵对接收矢量信号进行加权，然后进行转发，同时发送人工噪声，恶化窃听节点的接收性能，具体如下：
步骤2.1、中继节点采用分布式波束成形技术，即在信号发送之前乘以波束成形矩阵
Figure BDA0001900188680000036
对接收到的信号矢量xr使用波束成形矩阵Wb进行加权，同时发送人工噪声
Figure BDA0001900188680000037
然后转发给合法的目标节点；
将中继节点发送的信号yr＝(yr，1，…，yr，N)T表示为：
yr＝Wbxr+nan
式中，每一个中继节点的功率约束为
Figure BDA0001900188680000038
Figure BDA0001900188680000039
表示人工噪声nan的发送功率，(·)H为共轭转置运算符；
设定每一个中继节点的最大发送功率为Pi,i＝1,…,N，中继节点发送有用信号的功率消耗Pt为：
Figure BDA00019001886800000310
式中，Rsr＝diag(|hsr,1|2,···,|hsr,N|2)，Rjr＝diag(|hjr,1|2,···,|hjr,N|2)；
加入人工噪声后，合法目标节点的接收信号yd变为：
Figure BDA00019001886800000311
其中，
Figure BDA00019001886800000312
表示从所有中继节点到合法目标节点的复信道增益，hrd中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA0001900188680000041
表示合法目标节点接收噪声，是方差为
Figure BDA0001900188680000042
的零均值加性高斯白噪声；
步骤2.2、合法目标节点采用一个线性接收滤波
Figure BDA0001900188680000043
来处理接收到的信号yd，从而得到期望信号的一个估计值，其中，β为一个正的标量；
则合法目标节点获得的估计信号
Figure BDA0001900188680000044
表示为：
Figure BDA0001900188680000045
步骤2.3、在人工噪声协同干扰下，窃听节点的接收信号ye为：
Figure BDA0001900188680000046
式中，
Figure BDA0001900188680000047
表示从所有中继节点到窃听节点的信道增益，he中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA0001900188680000048
表示窃听节点在协同干扰下的接收噪声，是方差为
Figure BDA0001900188680000049
的零均值加性高斯白噪声；
为了防止人工噪声干扰合法目标节点的接收性能，中继节点产生的人工噪声nan必须位于合法信道hrd的零空间上，即满足
Figure BDA00019001886800000410
因此得到：
nan＝Πva
式中，Π是hrd的零空间的一组正交基且满足ΠΠH＝IN，va是零均值方差为
Figure BDA00019001886800000411
的独立同分布的高斯随机矢量；
步骤2.4、根据nan＝Πva，合法目标节点的最小均方误差εd表示为：
Figure BDA00019001886800000412
式中，rh1＝(hsr,1hrd，1，···，hsr,nhrd,N)T，rh2＝(hjr,1hrd，1，···，hjr,nhrd,N)T，Rrd＝diag(|hrd,1|2,···,|hrd,N|2)，Re(·)表示复数的实部；
步骤2.5、综合步骤1.2和步骤2.3中的公式，窃听节点在两个阶段传输过程中的接收信号为：
ye＝Hex+ne
其中，ye＝(xe,ye)T，x＝(s,z)T，
Figure BDA0001900188680000051
Figure BDA0001900188680000052
步骤2.6、设定窃听节点已知中继节点的发送波束成形矩阵以及人工噪声协方差矩阵，则窃听节点的最小均方误差为：
Figure BDA0001900188680000053
式中，
Figure BDA0001900188680000054
Ge,1表示Ge中的第一行元素。
进一步地，步骤3中所述构建以中继节点发送有用信号的功率消耗最小化为目标函数、合法目标节点的最小均方误差约束及所有中继节点功率受限的约束条件下的安全传输问题模型，具体如下：
为了防止协同干扰节点发射的干扰信号干扰合法目标节点，由源节点设计中继权重w使其在
Figure BDA0001900188680000055
的零空间上，即
Figure BDA0001900188680000056
其中
Figure BDA0001900188680000057
是两个向量相乘后的数学表示式；
在满足合法目标节点的最小均方误差约束c及每个中继节点的功率约束Pi的条件下，以最小化中继节点发送有用信号的功率消耗为目标函数的优化问题模型为：
Figure BDA0001900188680000058
s.t.εd≤c
Figure BDA0001900188680000059
Figure BDA00019001886800000510
式中，
Figure BDA00019001886800000511
[·]i,i表示矩阵第i行第i列的元素。
进一步地，步骤4中所述将复数域上的优化问题转换为实数域上的优化问题，通过引入变量进行优化问题重构，然后采用双层优化方法进行求解，并利用凸优化理论求解内外层优化问题，得出中继节点的波束成形矩阵和合法目标节点的线性接收滤波系数，具体如下：
步骤4.1、复变量w在实数域中定义为wre＝(Re(w1),Im(w1),···,Re(wN),Im(wN))T，其中，Im(·)表示复数的虚部；
则wHAw在实数域中的表达式为：
Figure BDA0001900188680000061
步骤4.2、利用wHAw，将步骤3中的优化问题转换为实数域中的优化问题：
Figure BDA0001900188680000062
Figure BDA0001900188680000063
Figure BDA0001900188680000064
Figure BDA0001900188680000065
式中，
Figure BDA0001900188680000066
表示步骤3中的优化目标函数根据步骤4.1中的定义进行转化，gc＝(1,0)，
Figure BDA0001900188680000067
Gre是G在实数域的表示方式；Iw,i＝diag(0,···,1,1,···,0)，Iw,i表示第2i-1和2i个元素为1的对角矩阵；
Figure BDA0001900188680000068
在实数域表示为
Figure BDA0001900188680000069
步骤4.3、定义
Figure BDA00019001886800000610
的解为wre＝Γv，其中，Γ为
Figure BDA00019001886800000611
的零空间的投影矩阵，Γ的列构成了
Figure BDA00019001886800000612
的零空间的一个正交基，Γ是2N×2(N-1)的矩阵，v是2(N-1)×1的矢量；
将wre＝Γv代入步骤4.2中优化问题的目标函数及约束条件中，转换为：
Figure BDA0001900188680000071
步骤4.4、引进变量τ，将步骤4.3中的优化问题转换为：
Figure BDA0001900188680000072
G是一个对称的正定矩阵，因此，在实数域中，
Figure BDA0001900188680000073
也是对称正定的，所以存在正交矩阵U使得
Figure BDA0001900188680000074
其中，
Figure BDA0001900188680000075
是一个对角矩阵，对角上的元素均为正值，UTU＝I2(N-1)；T在实数域中表示为Tre，Tre是一个正定的对角阵；
步骤4.5、将U代入到步骤4.4的优化问题中，转换为：
Figure BDA0001900188680000076
s.t.(Uv)TUΓTTreΓUTUv≤τ
Figure BDA0001900188680000077
Figure BDA0001900188680000078
步骤4.6、利用
Figure BDA0001900188680000079
将步骤4.5中的优化问题重新转换为：
Figure BDA00019001886800000710
s.t.(Uv)TUΓTTreΓUTUv≤τ
Figure BDA00019001886800000711
Figure BDA00019001886800000712
步骤4.7、将步骤4.6中的最优化问题进一步等价转换为：
Figure BDA0001900188680000081
Figure BDA0001900188680000082
Figure BDA0001900188680000083
Figure BDA0001900188680000084
其中，
Figure BDA0001900188680000085
Figure BDA0001900188680000086
||·||F为Frobenius范数；
步骤4.8、合法目标节点最小均方误差的最小化问题为：
Figure BDA0001900188680000087
步骤4.9、求解步骤4.8中的优化问题的最优解：
Figure BDA0001900188680000088
步骤4.10、利用交替迭代优化算法求解步骤4.2中的双层优化问题，具体流程为：
①初始化求解精度η，Pt＝Pt 0，β＝β0；
②开始迭代，设置迭代初始次数k＝1；
固定βk-1，求解步骤4.7中的优化问题得到wk；
固定wk，求解步骤4.8中的优化问题得到βk；
③如果满足
Figure BDA0001900188680000089
则迭代终止并输出；
否则，设置k＝k+1，回到步骤②。
本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)在确保合法目标节点的最小均方误差及所有中继节点功率受限的同时，最小化了中继节点发送有用信号的功率消耗；(2)联合采用协同干扰与人工噪声干扰的安全传输方法，提高了网络传输的安全性；(3)降低了中继节点的能量消耗，提高了网络传输的保密性和传输速率。
附图说明
图1是本发明使用协同干扰的无线中继网络安全传输方法的流程示意图。
图2是本发明实施例中使用协同干扰的无线中继网络安全传输场景的示意图。
具体实施方式
结合图1，本发明使用协同干扰的无线中继网络安全传输方法，该方法基于的无线中继网络架构，包括1个配置有单根天线的源节点、1个配置有单根天线的合法目标节点、N个配置有单根天线的中继节点、1个配置有单根天线的协作干扰节点、1个配置有单根天线的窃听节点，其中N是1以上的自然数；设定在协同干扰的无线中继网络中，所有节点都采用半双工模式；源节点和合法目标节点之间没有直接通信链路，必须由中继节点转发信号，且中继节点采用放大转发协议；窃听节点可以侦听到源节点以及中继节点发出的信号；信号的传输过程由源节点向中继节点发送信号和中继节点将接收到的信号转发给合法目标节点两个阶段组成。
该方法包括以下步骤：
步骤1，源节点以广播形式向中继节点发送信号，由于源节点与合法目标节点之间没有直接链路，合法目标节点不能收到源节点发送信号，而窃听节点可以侦听到源节点发送信号；利用协同干扰节点发送干扰信号，恶化窃听节点的接收性能；具体如下：
步骤1.1、中继节点接收的信号xr＝(xr,1,…,xr,N)T为：
Figure BDA0001900188680000091
式中，源节点发送信号s归一化为
Figure BDA0001900188680000092
Figure BDA0001900188680000093
表示数学期望，|·|表示绝对值符号；Ps为源节点信号的发送功率，Pj为协同干扰信号的发送功率，z为协作干扰节点发送的干扰信号，并归一化为
Figure BDA0001900188680000094
表示从源节点到所有中继节点的复信道增益，
Figure BDA0001900188680000095
表示从协同干扰节点到所有中继节点的复信道增益，hsr，hjr中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA0001900188680000096
表示中继节点接收噪声，是协方差矩阵为
Figure BDA0001900188680000097
的零均值高斯加性白噪声矢量。其中，
Figure BDA0001900188680000101
表示N×1维的复矩阵，IN为N×N的单位矩阵，(·)T为转置运算符；
步骤1.2、在源节点信号发送下，窃听节点的接收信号xe为：
Figure BDA0001900188680000102
式中，
Figure BDA0001900188680000103
表示从源节点到窃听节点的信道增益，
Figure BDA0001900188680000104
表示从协同干扰节点到窃听节点的信道增益，hse及hje中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA0001900188680000105
表示窃听节点接收噪声，是方差
Figure BDA0001900188680000106
的零均值加性高斯白噪声。
步骤2，中继节点使用波束成形矩阵对接收矢量信号加权进行，然后进行转发，同时发送人工噪声，恶化窃听节点的接收性能，具体如下：
步骤2.1、N个中继节点对接收到的信号放大转发给合法的目标节点。在这一阶段，窃听节点也能够侦听到中继节点转发的信号。中继节点采用分布式波束成形技术，即在信号发送之前乘以发送波束成形矩阵
Figure BDA0001900188680000107
对接收到的信号矢量xr使用波束成形矩阵Wb进行加权，同时发送人工噪声
Figure BDA0001900188680000108
然后转发给合法的目标节点；
中继节点发送的信号yr＝(yr，1，…，yr，N)T表示为：
yr＝Wbxr+nan
式中，每一个中继节点的功率约束为
Figure BDA0001900188680000109
Figure BDA00019001886800001010
表示人工噪声nan的发送功率，(·)H为共轭转置运算符；
设定每一个中继节点的最大发送功率为Pi,i＝1,…,N，中继节点发送有用信号的功率消耗Pt为：
Figure BDA00019001886800001011
式中，Rsr＝diag(|hsr,1|2,···,|hsr,N|2)，Rjr＝diag(|hjr,1|2,···,|hjr,N|2)。
加入人工噪声后，合法目标节点的接收信号yd变为：
Figure BDA0001900188680000111
其中，
Figure BDA0001900188680000112
表示从所有中继节点到合法目标节点的复信道增益，hrd中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA0001900188680000113
表示合法目标节点接收噪声，是方差
Figure BDA0001900188680000114
的零均值加性高斯白噪声。
步骤2.2、合法目标节点采用一个线性接收滤波
Figure BDA0001900188680000115
来处理接收到的信号yd，从而得到期望信号的一个估计值，其中，β为一个正的标量；
则合法目标节点获得的估计信号
Figure BDA0001900188680000116
表示为：
Figure BDA0001900188680000117
步骤2.3、在人工噪声协同干扰下，窃听节点的接收信号ye为：
Figure BDA0001900188680000118
式中，
Figure BDA0001900188680000119
表示从所有中继节点到窃听节点的信道增益，he中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA00019001886800001110
表示窃听节点在协同干扰下的接收噪声，是方差
Figure BDA00019001886800001111
的零均值加性高斯白噪声。
由于人工噪声对合法目标节点的接收造成了干扰，因此必须进行相应处理。为了防止人工噪声干扰合法目标节点的接收性能，中继节点产生的人工噪声nan必须位于合法信道hrd的零空间上，即满足
Figure BDA00019001886800001112
因此得到：
nan＝Πva
式中，Π是hrd的零空间的一组正交基且满足ΠΠH＝IN，va是零均值方差为
Figure BDA00019001886800001113
的独立同分布的高斯随机矢量；
步骤2.4、根据nan＝Πva，合法目标节点的最小均方误差εd表示为：
Figure BDA0001900188680000121
式中，rh1＝(hsr,1hrd,1,···,hsr,nhrd,N)T，rh2＝(hjr,1hrd,1,···,hjr,nhrd,N)T，Rrd＝diag(|hrd,1|2,···,|hrd,N|2)，Re(·)表示复数的实部；
步骤2.5、综合步骤1.2和步骤2.3中的公式，窃听节点在两个阶段传输过程中的接收信号为：
ye＝Hex+ne
其中，ye＝(xe,ye)T，x＝(s,z)T，
Figure BDA0001900188680000122
Figure BDA0001900188680000123
步骤2.6、设定窃听节点已知中继节点的发送波束成形矩阵以及人工噪声协方差矩阵，则窃听节点的最小均方误差为：
Figure BDA0001900188680000124
式中，
Figure BDA0001900188680000125
Ge,1表示Ge中的第一行元素。
步骤3，构建以中继节点发送有用信号的功率消耗最小化为目标函数、合法目标节点的最小均方误差约束及所有中继节点功率受限的约束条件下的安全传输问题模型，具体如下：
中继节点消耗的总功率分为有用信号的发射功率和人工噪声的发射功率。在未知窃听者信道状态信息的情况下，为了最大程度的恶化窃听节点接收性能，在满足合法目标节点最小均方误差约束c和第i个中继节点功率约束Pi的条件下，最大化人工噪声的发射功率以达到干扰潜在窃听节点的目的，从而增强网络传输的安全性能。这个问题可以等价于在同样的约束条件下，最小化中继节点发射有用信号的功率。从合法目标节点的接收信号yd可以看到，协同干扰节点发送的干扰信号会干扰到合法目标节点，为了防止协同干扰节点发送的干扰信号干扰到合法目标节点，设计中继波束成形权重w，使其在
Figure BDA0001900188680000131
的零空间上，即
Figure BDA0001900188680000132
使得协同干扰节点发送的干扰信号经中继节点转发后，只会干扰窃听节点而不会干扰合法目标节点。
为了防止协同干扰节点发射的干扰信号干扰合法目标节点，由源节点设计中继权重w使其在
Figure BDA0001900188680000133
的零空间上，即
Figure BDA0001900188680000134
这使得协同干扰节点发送的干扰信号经中继节点转发后只会干扰潜在的窃听节点而不会干扰合法目标节点，然后通知合法目标节点，从而设计对应的最优接收滤波器。在满足合法目标节点的最小均方误差约束c及每个中继节点的功率约束Pi的条件下，以最小化中继节点发送有用信号的功率消耗为目标函数的优化问题模型为：
Figure BDA0001900188680000135
s.t.εd≤c
Figure BDA0001900188680000136
Figure BDA0001900188680000137
式中，
Figure BDA0001900188680000138
[·]i,i表示矩阵第i行第i列的元素。
由源节点设计w，β，然后通知合法目标节点，从而设计对应的最优接收滤波器。
步骤4，将复数域上的优化问题转换为实数域上的优化问题，通过引入变量进行优化问题重构，然后采用双层优化方法进行求解，并利用凸优化理论求解内外层优化问题，得出中继节点的波束成形矩阵和合法目标节点的线性接收滤波系数。具体如下：
步骤4.1、复变量w在实数域中定义为wre＝(Re(w1),Im(w1),···,Re(wN),Im(wN))T，其中，Im(·)表示复数的虚部；
wHAw在实数域中的表达式为：
Figure BDA0001900188680000139
步骤4.2、利用wHAw，将步骤3中的优化问题转换为实数域中的优化问题：
Figure BDA0001900188680000141
Figure BDA0001900188680000142
Figure BDA0001900188680000143
Figure BDA0001900188680000144
式中，
Figure BDA0001900188680000145
表示步骤3中的优化目标函数根据步骤4.1中的定义进行转化，gc＝(1,0)，
Figure BDA0001900188680000146
Gre是G在实数域的表示方式；Iw,i＝diag(0,···,1,1,···,0)，Iw,i表示第2i-1和2i个元素为1的对角矩阵；
Figure BDA0001900188680000147
在实数域表示为
Figure BDA0001900188680000148
步骤4.3、定义
Figure BDA0001900188680000149
的解为wre＝Γv，其中，Γ为
Figure BDA00019001886800001410
的零空间的投影矩阵，Γ的列构成了
Figure BDA00019001886800001411
的零空间的一个正交基，Γ是2N×2(N-1)的矩阵，v是2(N-1)×1的矢量；
将wre＝Γv代入步骤4.2中优化问题的目标函数及约束条件中，转换为：
Figure BDA00019001886800001412
步骤4.4、引进变量τ，将步骤4.3中的优化问题转换为：
Figure BDA00019001886800001413
G是一个对称的正定矩阵，因此，在实数域中，
Figure BDA00019001886800001414
也是对称正定的，所以存在正交矩阵U使得
Figure BDA0001900188680000151
其中，
Figure BDA0001900188680000152
是一个对角矩阵，对角上的元素均为正值，UTU＝I2(N-1)；T在实数域中表示为Tre，Tre是一个正定的对角阵；
步骤4.5、将U代入到步骤4.4的优化问题中，转换为：
Figure BDA0001900188680000153
s.t.(Uv)TUΓTTreΓUTUv≤τ
Figure BDA0001900188680000154
Figure BDA0001900188680000155
步骤4.6、利用
Figure BDA0001900188680000156
将步骤4.5中的优化问题重新转换为：
Figure BDA0001900188680000157
s.t.(Uv)TUΓTTreΓUTUv≤τ
Figure BDA0001900188680000158
Figure BDA0001900188680000159
步骤4.7、为了便于求解优化问题，将步骤4.6中的最优化问题进一步等价转换为：
Figure BDA00019001886800001510
Figure BDA00019001886800001511
Figure BDA00019001886800001512
Figure BDA00019001886800001513
其中，
Figure BDA00019001886800001514
Figure BDA00019001886800001515
||·||F为Frobenius范数；
由上述优化问题转换可以看出，步骤4.7中的优化问题等价于步骤4.2中的优化问题，这里采用双层优化方法求解步骤4.7中的优化问题，首先，在固定的β下，去求解最优的分布式波束成形权重w；然后，固定得到的w，求解最优的β，即固定其中一些变量同时对其它变量进行求解；
步骤4.8、从步骤4.7中的优化问题可以看出，在固定β时，步骤4.7中的优化问题变成一个二阶锥规划问题，归属于凸规划问题，使用内点法得到最优解；另外，当w固定时，通过最小化合法目标节点最小均方误差来获得β，合法目标节点最小均方误差的最小化问题为：
Figure BDA0001900188680000161
步骤4.9、步骤4.8中的优化问题是一个凸规划问题，可以直接求解其最优解为：
Figure BDA0001900188680000162
步骤4.10、利用交替迭代优化算法求解步骤4.2中的双层优化问题，具体流程为：
步骤4.10.1、初始化求解精度η，Pt＝Pt 0，β＝β0；
步骤4.10.2、开始迭代，设置迭代初始次数k＝1；
固定βk-1，求解步骤4.7中的优化问题得到wk；
固定wk，求解步骤4.8中的优化问题得到βk；
步骤4.10.3、如果满足
Figure BDA0001900188680000163
则迭代终止并输出；
否则，设置k＝k+1，回到步骤4.10.2。
步骤5，中继节点将接收到的信号乘以相应的波束成形矩阵，转发给合法目标节点，合法目标节点利用线性接收滤波系数处理接收信号，实现网络传输的保密性和传输速率最大化的目标。
下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。
实施例
结合图2所示的一种使用协同干扰的无线中继网络安全传输场景示意图，对本发明作进一步详细说明。该场景包括1个配置有单根天线的源节点S、1个配置有单根天线的合法目标节点D、N个配置有单根天线的中继节点{R1,…,RN}、1个配置有单根天线的协作干扰节点J、1个配置有单根天线的窃听节点E，其中N是1以上的自然数；设定在协同干扰的无线中继网络中，所有节点都采用半双工模式；源节点S和合法目标节点D之间没有直接通信链路，必须由中继节点转发信号，且中继节点采用放大转发协议；窃听节点E可以侦听到源节点S以及中继节点发出的信号；信号的传输过程由源节点向中继节点发送信号和中继节点将接收到的信号转发给合法目标节点两个阶段组成：第一传输节点，源节点S向中继节点发送信号，协同干扰节点J发送干扰信号以恶化窃听节点E的接收性能；第二传输阶段，N个中继节点采用分布式波束成形技术将接收信号转发给合法目标节点D，同时发送人工噪声干扰窃听节点E。
一种使用协同干扰的无线中继网络安全传输方法，包括以下步骤：
步骤1，源节点以广播形式向中继节点发送信号，协同干扰节点发送干扰信号，恶化窃听节点的接收性能，具体如下：
步骤1.1、第一传输阶段，源节点S以广播形式向中继节点发送信号，由于源节点S与合法目标节点D之间没有直接链路，合法目标节点D不能收到源节点S发送信号，而窃听节点E可以侦听到源节点S发送信号；利用协同干扰节点J发送干扰信号，恶化窃听节点E的接收性能；
中继节点接收的信号xr＝(xr,1,…,xr,N)T为：
Figure BDA0001900188680000171
式中，源节点发送信号s归一化为
Figure BDA0001900188680000172
Figure BDA0001900188680000173
表示数学期望，|·|表示绝对值符号；Ps为源节点信号的发送功率，Pj为协同干扰信号的发送功率，z为协作干扰节点J在第一传输阶段发送的干扰信号，并归一化为
Figure BDA0001900188680000174
表示从源节点S到所有中继节点的复信道增益，
Figure BDA0001900188680000175
表示从协同干扰节点J到所有中继节点的复信道增益，hsr，hjr中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA0001900188680000176
表示中继节点接收噪声，是协方差矩阵为
Figure BDA0001900188680000177
的零均值高斯加性白噪声矢量。其中，
Figure BDA0001900188680000181
表示N×1维的复矩阵，IN为N×N的单位矩阵，(·)T为转置运算符；
步骤1.2、在源节点信号发送下，窃听节点E的接收信号xe为：
Figure BDA0001900188680000182
式中，
Figure BDA0001900188680000183
表示从源节点S到窃听节点E的信道增益，
Figure BDA0001900188680000184
表示从协同干扰节点J到窃听节点E的信道增益，hse及hje中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA0001900188680000185
表示窃听节点接收噪声，是方差
Figure BDA0001900188680000186
的零均值加性高斯白噪声。
步骤2，第二传输阶段，中继节点使用波束成形矩阵对接收矢量信号进行加权，然后进行转发，同时发送人工噪声，恶化窃听节点的接收性能，具体如下：
步骤2.1、第二传输阶段，N个中继节点对接收到的信号放大转发给合法的目标节点；在这一阶段，窃听节点E也能够侦听到中继节点转发的信号；中继节点采用分布式波束成形技术，即在信号发送之前乘以波束成形矩阵
Figure BDA0001900188680000187
对接收到的信号矢量xr使用波束成形矩阵Wb进行加权，同时发送人工噪声
Figure BDA0001900188680000188
然后转发给合法的目标节点；
中继节点发送的信号yr＝(yr，1，…，yr，N)T表示为：
yr＝Wbxr+nan
式中，每一个中继节点的功率约束为
Figure BDA0001900188680000189
Figure BDA00019001886800001810
表示人工噪声nan的发送功率，(·)H为共轭转置运算符；
设定每一个中继节点的最大发送功率为Pi,i＝1,…,N，中继节点发送有用信号的功率消耗Pt为：
Figure BDA00019001886800001811
式中，Rsr＝diag(|hsr,1|2,···,|hsr,N|2)，Rjr＝diag(|hjr,1|2,···,|hjr,N|2)。
加入人工噪声后，合法目标节点D的接收信号yd变为：
Figure BDA0001900188680000191
其中，
Figure BDA0001900188680000192
表示从所有中继节点到合法目标节点D的复信道增益，hrd中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA0001900188680000193
表示合法目标节点接收噪声，是方差
Figure BDA0001900188680000194
的零均值加性高斯白噪声。
步骤2.2、合法目标节点采用一个线性接收滤波
Figure BDA0001900188680000195
来处理接收到的信号yd，从而得到期望信号的一个估计值，其中，β为一个正的标量；
则合法目标节点获得的估计信号
Figure BDA0001900188680000196
表示为：
Figure BDA0001900188680000197
步骤2.3、在人工噪声协同干扰下，窃听节点E的接收信号ye为：
Figure BDA0001900188680000198
式中，
Figure BDA0001900188680000199
表示从所有中继节点到窃听节点E的信道增益，he中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure BDA00019001886800001910
表示窃听节点在协同干扰下的接收噪声，是方差
Figure BDA00019001886800001911
的零均值加性高斯白噪声。
可以看出，人工噪声对合法目标节点D的接收造成了干扰，因此必须进行相应处理；为了防止人工噪声干扰合法目标节点D的接收性能，中继节点产生的人工噪声nan必须位于合法信道hrd的零空间上，即满足
Figure BDA00019001886800001912
因此得到：
nan＝Πva
式中，Π是hrd的零空间的一组正交基且满足ΠΠH＝IN，va是零均值方差为
Figure BDA00019001886800001913
的独立同分布的高斯随机矢量；
步骤2.4、根据nan＝Πva，合法目标节点的最小均方误差εd表示为：
Figure BDA0001900188680000201
式中，rh1＝(hsr,1hrd,1,···,hsr,nhrd,N)T，rh2＝(hjr,1hrd,1,···,hjr,nhrd,N)T，Rrd＝diag(|hrd,1|2,···,|hrd,N|2)，Re(·)表示复数的实部；
步骤2.5、窃听节点E在两个阶段传输过程中的接收信号为：
ye＝Hex+ne
其中，ye＝(xe,ye)T，x＝(s,z)T，
Figure BDA0001900188680000202
Figure BDA0001900188680000203
步骤2.6、设定窃听节点E已知中继节点的发送波束成形矩阵以及人工噪声协方差矩阵，则窃听节点E的最小均方误差为：
Figure BDA0001900188680000204
式中，
Figure BDA0001900188680000205
Ge,1表示Ge中的第一行元素。
步骤3，构建以中继节点发送有用信号的功率消耗最小化为目标函数、合法目标节点D的最小均方误差约束及所有中继节点功率受限的约束条件下的安全传输问题模型，具体如下：
中继节点消耗的总功率分为有用信号的发射功率和人工噪声的发射功率。在未知窃听者信道状态信息的情况下，为了最大程度的恶化窃听节点E接收性能，在满足合法目标节点D最小均方误差约束c和第i个中继节点功率约束Pi的条件下，最大化人工噪声的发射功率以达到干扰潜在窃听节点E的目的，从而增强网络传输的安全性能。这个问题可以等价于在同样的约束条件下，最小化中继节点发射有用信号的功率。从合法目标节点D的接收信号yd可以看到，协同干扰节点发送的干扰信号会干扰到合法目标节点，为了防止协同干扰节点J的发送的干扰信号干扰到合法目标节点D，设计中继波束成形权重w，使其在
Figure BDA0001900188680000211
的零空间上，即
Figure BDA0001900188680000212
使得协同干扰节点J发送的干扰信号经中继节点转发后只会干扰窃听节点E而不会干扰合法目标节点D。
为了防止协同干扰节点发射的干扰信号干扰合法目标节点，由源节点设计中继权重w使其在
Figure BDA0001900188680000213
的零空间上，即
Figure BDA0001900188680000214
这使得协同干扰节点发送的干扰信号经中继节点转发后只会干扰潜在的窃听节点而不会干扰合法目标节点，然后通知合法目标节点，从而设计对应的最优接收滤波器。在满足合法目标节点的最小均方误差约束c及每个中继节点的功率约束Pi的条件下，以最小化中继节点发送有用信号的功率消耗为目标函数的优化问题模型为：
Figure BDA0001900188680000215
s.t.εd≤c
Figure BDA0001900188680000216
Figure BDA0001900188680000217
式中，
Figure BDA0001900188680000218
[·]i,i表示矩阵第i行第i列的元素。
由源节点设计w，β，然后通知合法目标节点D，从而设计对应的最优接收滤波器。
步骤4，将复数域上的优化问题转换为实数域上的优化问题，通过引入变量进行优化问题重构，然后采用双层优化方法进行求解，并利用凸优化理论求解内外层优化问题，得出中继节点的波束成形矩阵和合法目标节点D的线性接收滤波系数，具体如下：
步骤4.1、复变量w在实数域中定义为wre＝(Re(w1),Im(w1),···,Re(wN),Im(wN))T，其中，Im(·)表示复数的虚部。wHAw在实数域中的表达式为：
Figure BDA0001900188680000219
步骤4.2、利用wHAw，将步骤3中的优化问题转换为实数域中的优化问题：
Figure BDA0001900188680000221
Figure BDA0001900188680000222
Figure BDA0001900188680000223
Figure BDA0001900188680000224
式中，
Figure BDA0001900188680000225
表示步骤3中的优化目标函数根据步骤4.1中的定义进行转化，gc＝(1,0)，
Figure BDA0001900188680000226
Gre是G在实数域的表示方式；Iw,i＝diag(0,···,1,1,···,0)，Iw,i表示第2i-1和2i个元素为1的对角矩阵；
Figure BDA0001900188680000227
在实数域表示为
Figure BDA0001900188680000228
步骤4.3、定义
Figure BDA0001900188680000229
的解为wre＝Γv，其中，Γ为
Figure BDA00019001886800002210
的零空间的投影矩阵，Γ的列构成了
Figure BDA00019001886800002211
的零空间的一个正交基，Γ是2N×2(N-1)的矩阵，v是2(N-1)×1的矢量；
将wre＝Γv代入步骤②中优化问题的目标函数及约束条件中，转换为：
Figure BDA00019001886800002212
步骤4.4、引进变量τ，将步骤4.3中的优化问题转换为：
Figure BDA00019001886800002213
G是一个对称的正定矩阵，因此，在实数域中，
Figure BDA00019001886800002214
也是对称正定的，所以存在正交矩阵U使得
Figure BDA0001900188680000231
其中，
Figure BDA0001900188680000232
是一个对角矩阵，对角上的元素均为正值，UTU＝I2(N-1)；T在实数域中表示为Tre，Tre是一个正定的对角阵；
步骤4.5、将U引入到步骤4.4的优化问题中，转换为：
Figure BDA0001900188680000233
s.t.(Uv)TUΓTTreΓUTUv≤τ
Figure BDA0001900188680000234
Figure BDA0001900188680000235
步骤4.6、利用
Figure BDA0001900188680000236
将步骤4.5中的优化问题重新转换为：
Figure BDA0001900188680000237
s.t.(Uv)TUΓTTreΓUTUv≤τ
Figure BDA0001900188680000238
Figure BDA0001900188680000239
步骤4.7、为了便于求解优化问题，将步骤4.6中的最优化问题进一步等价转换为：
Figure BDA00019001886800002310
Figure BDA00019001886800002311
Figure BDA00019001886800002312
Figure BDA00019001886800002313
其中，
Figure BDA00019001886800002314
Figure BDA00019001886800002315
||·||F为Frobenius范数；
由上述优化问题转换可以看出，步骤4.7中的优化问题等价于步骤4.2中的优化问题，这里采用双层优化方法求解步骤4.7中的优化问题，首先，在固定的β下，去求解最优的分布式波束成形权重w；然后，固定得到的w，求解最优的β，即固定其中一些变量同时对其它变量进行求解；
步骤4.8、从步骤4.7中的优化问题可以看出，在固定β时，步骤4.7中的优化问题变成一个二阶锥规划问题，归属于凸规划问题，使用内点法得到最优解。另外，当w固定时，通过最小化合法目标节点D最小均方误差来获得β，合法目标节点D最小均方误差的最小化问题为：
Figure BDA0001900188680000241
步骤4.9、步骤4.8中的优化问题是一个凸规划问题，可以直接求解其最优解为：
Figure BDA0001900188680000242
步骤4.10、利用交替迭代优化算法求解步骤4.2中的双层优化问题。
步骤5，中继节点将接收到的信号乘以相应的波束成形矩阵，转发给合法目标节点D，合法目标节点D利用线性接收滤波系数处理接收信号，实现网络传输的保密性和传输速率最大化的目标。
综上所述，本发明使用协同干扰的无线中继网络安全传输方法，在确保合法目标节点的最小均方误差及所有中继节点功率受限的同时，最小化了中继节点发送有用信号的功率消耗；联合采用协同干扰与人工噪声干扰的安全传输方法，提高了网络传输的安全性；降低了中继节点的能量消耗，提高了网络传输的保密性和传输速率。

Claims (1)

1.一种使用协同干扰的无线中继网络安全传输方法，其特征在于，该方法基于的无线中继网络架构，包括1个配置有单根天线的源节点、1个配置有单根天线的合法目标节点、N个配置有单根天线的中继节点、1个配置有单根天线的协作干扰节点、1个配置有单根天线的窃听节点，其中N是1以上的自然数；设定在协同干扰的无线中继网络中，所有节点都采用半双工模式；源节点和合法目标节点之间没有直接通信链路，必须由中继节点转发信号，且中继节点采用放大转发协议；窃听节点能够侦听到源节点以及中继节点发出的信号；信号的传输过程由源节点向中继节点发送信号和中继节点将接收到的信号转发给合法目标节点两个阶段组成；
该方法包括以下步骤：
步骤1，源节点以广播形式向中继节点发送信号，协同干扰节点发送干扰信号，恶化窃听节点的接收性能；
步骤2，中继节点使用波束成形矩阵对接收矢量信号进行加权，然后进行转发，同时发送人工噪声，恶化窃听节点的接收性能；
步骤3，构建以中继节点发送有用信号的功率消耗最小化为目标函数、合法目标节点的最小均方误差约束及所有中继节点功率受限的约束条件下的安全传输问题模型；
步骤4，将复数域上的优化问题转换为实数域上的优化问题，通过引入变量进行优化问题重构，然后采用双层优化方法进行求解，并利用凸优化理论求解内外层优化问题，得出中继节点的波束成形矩阵和合法目标节点的线性接收滤波系数；
步骤5，中继节点将接收到的信号乘以相应的波束成形矩阵，转发给合法目标节点，合法目标节点利用线性接收滤波系数处理接收信号，实现网络传输的保密性和传输速率最大化的目标；
步骤1中所述的源节点以广播形式向中继节点发送信号，协同干扰节点发送干扰信号，恶化窃听节点的接收性能，具体如下：
步骤1.1、中继节点接收的信号xr＝(xr,1,…,xr,N)T为：
Figure FDA0003483289460000011
式中，源节点发送信号s归一化为
Figure FDA0003483289460000012
Figure FDA0003483289460000013
表示数学期望，|·|表示绝对值符号；Ps为源节点信号的发送功率，Pj为协同干扰信号的发送功率，z为协作干扰节点发送的干扰信号，并归一化为
Figure FDA0003483289460000021
Figure FDA0003483289460000022
表示从源节点到所有中继节点的复信道增益，
Figure FDA0003483289460000023
表示从协同干扰节点到所有中继节点的复信道增益，hsr、hjr中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure FDA0003483289460000024
表示中继节点接收噪声，是协方差矩阵为
Figure FDA0003483289460000025
的零均值高斯加性白噪声矢量；其中，
Figure FDA0003483289460000026
表示N×1维的复矩阵，IN为N×N的单位矩阵，(·)T为转置运算符；
步骤1.2、在源节点信号发送下，窃听节点的接收信号xe为：
Figure FDA0003483289460000027
式中，
Figure FDA0003483289460000028
表示从源节点到窃听节点的信道增益，
Figure FDA0003483289460000029
表示从协同干扰节点到窃听节点的信道增益，hse及hje中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure FDA00034832894600000210
表示窃听节点接收噪声，是方差为
Figure FDA00034832894600000211
的零均值加性高斯白噪声；
步骤2中所述中继节点使用波束成形矩阵对接收矢量信号进行加权，然后进行转发，同时发送人工噪声，恶化窃听节点的接收性能，具体如下：
步骤2.1、中继节点采用分布式波束成形技术，即在信号发送之前乘以波束成形矩阵
Figure FDA00034832894600000212
对接收到的信号矢量xr使用波束成形矩阵Wb进行加权，同时发送人工噪声
Figure FDA00034832894600000213
然后转发给合法的目标节点；
将中继节点发送的信号yr＝(yr,1,…,yr,N)T表示为：
yr＝Wbxr+nan
式中，每一个中继节点的功率约束为
Figure FDA00034832894600000214
Figure FDA00034832894600000215
表示人工噪声nan的发送功率，(·)H为共轭转置运算符；
设定每一个中继节点的最大发送功率为Pi,i＝1,…,N，中继节点发送有用信号的功率消耗Pt为：
Figure FDA0003483289460000031
式中，Rsr＝diag(|hsr,1|2,…,|hsr,N|2)，Rjr＝diag(|hjr,1|2,…,|hjr,N|2)；
加入人工噪声后，合法目标节点的接收信号yd变为：
Figure FDA0003483289460000032
其中，
Figure FDA0003483289460000033
表示从所有中继节点到合法目标节点的复信道增益，hrd中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure FDA0003483289460000034
表示合法目标节点接收噪声，是方差为
Figure FDA0003483289460000035
的零均值加性高斯白噪声；
步骤2.2、合法目标节点采用一个线性接收滤波
Figure FDA0003483289460000036
来处理接收到的信号yd，从而得到期望信号的一个估计值，其中，β为一个正的标量；
则合法目标节点获得的估计信号
Figure FDA0003483289460000037
表示为：
Figure FDA0003483289460000038
步骤2.3、在人工噪声协同干扰下，窃听节点的接收信号ye为：
Figure FDA0003483289460000039
式中，
Figure FDA00034832894600000310
表示从所有中继节点到窃听节点的信道增益，he中的每一个元素均为服从独立同分布的复高斯随机变量；
Figure FDA00034832894600000311
表示窃听节点在协同干扰下的接收噪声，是方差为
Figure FDA00034832894600000312
的零均值加性高斯白噪声；
为了防止人工噪声干扰合法目标节点的接收性能，中继节点产生的人工噪声nan必须位于合法信道hrd的零空间上，即满足
Figure FDA00034832894600000313
因此得到：
nan＝Πva
式中，Π是hrd的零空间的一组正交基且满足ΠΠH＝IN，va是零均值方差为
Figure FDA0003483289460000041
的独立同分布的高斯随机矢量；
步骤2.4、根据nan＝Πva，合法目标节点的最小均方误差εd表示为：
Figure FDA0003483289460000042
式中，rh1＝(hsr,1hrd,1,…,hsr,nhrd,N)T，rh2＝(hjr,1hrd,1,…,hjr,nhrd,N)T，Rrd＝diag(|hrd,1|2,…,|hrd,N|2)，Re(·)表示复数的实部；
步骤2.5、综合步骤1.2和步骤2.3中的公式，窃听节点在两个阶段传输过程中的接收信号为：
ye＝Hex+ne
其中，ye＝(xe,ye)T，x＝(s,z)T，
Figure FDA0003483289460000043
Figure FDA0003483289460000044
步骤2.6、设定窃听节点已知中继节点的发送波束成形矩阵以及人工噪声协方差矩阵，则窃听节点的最小均方误差为：
Figure FDA0003483289460000045
式中，
Figure FDA0003483289460000046
Ge,1表示Ge中的第一行元素；
步骤3中所述构建以中继节点发送有用信号的功率消耗最小化为目标函数、合法目标节点的最小均方误差约束及所有中继节点功率受限的约束条件下的安全传输问题模型，具体如下：
为了防止协同干扰节点发射的干扰信号干扰合法目标节点，由源节点设计中继权重w使其在
Figure FDA0003483289460000047
的零空间上，即
Figure FDA0003483289460000048
其中
Figure FDA0003483289460000049
是两个向量相乘后的数学表示式；
在满足合法目标节点的最小均方误差约束c及每个中继节点的功率约束Pi的条件下，以最小化中继节点发送有用信号的功率消耗为目标函数的优化问题模型为：
Figure FDA0003483289460000051
s.t.εd≤c
Figure FDA0003483289460000052
Figure FDA0003483289460000053
式中，
Figure FDA0003483289460000054
[·]i,i表示矩阵第i行第i列的元素；
步骤4中所述将复数域上的优化问题转换为实数域上的优化问题，通过引入变量进行优化问题重构，然后采用双层优化方法进行求解，并利用凸优化理论求解内外层优化问题，得出中继节点的波束成形矩阵和合法目标节点的线性接收滤波系数，具体如下：
步骤4.1、复变量w在实数域中定义为wre＝(Re(w1),Im(w1),…,Re(wN),Im(wN))T，其中，Im(·)表示复数的虚部；
则wHAw在实数域中的表达式为：
Figure FDA0003483289460000055
步骤4.2、利用wHAw，将步骤3中的优化问题转换为实数域中的优化问题：
Figure FDA0003483289460000056
s.t.
Figure FDA0003483289460000057
Figure FDA0003483289460000058
Figure FDA0003483289460000059
式中，
Figure FDA00034832894600000510
表示步骤3中的优化目标函数根据步骤4.1中的定义进行转化，gc＝(1,0)，
Figure FDA00034832894600000511
Gre是G在实数域的表示方式；Iw,i＝diag(0,…,1,1,…,0)，Iw,i表示第2i-1和2i个元素为1的对角矩阵；
Figure FDA00034832894600000512
在实数域表示为
Figure FDA0003483289460000061
A表示一个中间变换矩阵，Are表示A在实数域的表达；
Figure FDA0003483289460000062
分别表示
Figure FDA0003483289460000063
在实数域的表达；
步骤4.3、定义
Figure FDA0003483289460000064
的解为wre＝Γv，其中，Γ为
Figure FDA0003483289460000065
的零空间的投影矩阵，Γ的列构成了
Figure FDA0003483289460000066
的零空间的一个正交基，Γ是2N×2(N-1)的矩阵，v是2(N-1)×1的矢量；
将wre＝Γv代入步骤4.2中优化问题的目标函数及约束条件中，转换为：
Figure FDA0003483289460000067
s.t.
Figure FDA0003483289460000068
Figure FDA0003483289460000069
步骤4.4、引进变量τ，将步骤4.3中的优化问题转换为：
Figure FDA00034832894600000610
s.t.vTΓTTreΓv≤τ
Figure FDA00034832894600000611
Figure FDA00034832894600000612
G是一个对称的正定矩阵，因此，在实数域中，
Figure FDA00034832894600000613
也是对称正定的，所以存在正交矩阵U使得
Figure FDA00034832894600000614
其中，
Figure FDA00034832894600000615
是一个对角矩阵，对角上的元素均为正值，UTU＝I2(N-1)；T在实数域中表示为Tre，Tre是一个正定的对角阵；
步骤4.5、将U代入到步骤4.4的优化问题中，转换为：
Figure FDA0003483289460000071
s.t.(Uv)TUΓTTreΓUTUv≤τ
Figure FDA0003483289460000072
Figure FDA0003483289460000073
步骤4.6、利用
Figure FDA0003483289460000074
将步骤4.5中的优化问题重新转换为：
Figure FDA0003483289460000075
s.t.(Uv)TUΓTTreΓUTUv≤τ
Figure FDA0003483289460000076
Figure FDA0003483289460000077
步骤4.7、将步骤4.6中的最优化问题进一步等价转换为：
Figure FDA0003483289460000078
s.t.
Figure FDA0003483289460000079
Figure FDA00034832894600000710
Figure FDA00034832894600000711
其中，
Figure FDA00034832894600000712
Figure FDA00034832894600000713
||·||F为Frobenius范数；
步骤4.8、合法目标节点最小均方误差的最小化问题为：
Figure FDA00034832894600000714
步骤4.9、求解步骤4.8中的优化问题的最优解：
Figure FDA0003483289460000081
步骤4.10、利用交替迭代优化算法求解步骤4.2中的双层优化问题，具体流程为：
①初始化求解精度η，Pt＝Pt 0，β＝β0；
②开始迭代，设置迭代初始次数k＝1；
固定βk-1，求解步骤4.7中的优化问题得到wk；
固定wk，求解步骤4.8中的优化问题得到βk；
wk、βk分别为第k次迭代的w、β值；
③如果满足|Pt k-Pt k-1|≤η，则迭代终止并输出；
Pt k、Pt k-1分别为第k次、第k-1次迭代的Pt值；
否则，设置k＝k+1，回到步骤②。
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