CN109310488A

CN109310488A - 用于估计牙齿修复体的形状、位置以及取向中的至少一个的方法

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Publication number: CN109310488A
Application number: CN201780036457.XA
Authority: CN
Inventors: 约翰内斯·科伊斯特尔曼斯; 彼得·范利普特; 维尔勒·沃特斯; 沃特·默勒曼
Original assignee: Nobel Biocare Services AG
Current assignee: Nobel Biocare Services AG
Priority date: 2016-06-21
Filing date: 2017-06-20
Publication date: 2019-02-05
Anticipated expiration: 2037-06-20
Also published as: CA3024372A1; KR102419552B1; JP2019518552A; BR112018075825B1; WO2017220619A1; AU2017281290B2; JP7110120B2; AU2017281290A1; US20190147666A1; EP3471657A1; KR20190020756A; CN109310488B; BR112018075825A2; ZA201807696B; US11443494B2

Abstract

本发明提供了一种用于获得患者的一个或多个现有牙齿或待被包括在旨在替代部分缺齿患者的一个或多个缺失牙齿的牙齿修复体中的一个或多个牙齿的形状、位置和/或取向的估计的方法。所述方法涉及使虚拟牙齿排列适应于所述患者的口内解剖情况，其中所述虚拟牙齿排列包括被定位在牙弓或其区段中的单个牙齿的分离的表面网格。所述虚拟牙齿排列是通过优化能量函数和使用统计模型来适应的，所述能量函数表示所述虚拟牙齿排列的质量测度，所述统计模型针对给定牙列或其区段描述了至少单个牙齿的形状、相邻牙齿的形状之间的关系和/或相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系的概率分布。随后使用所述由所述优化的能量函数产生的适应的虚拟牙齿排列来估计所述所寻求的形状、位置和/或取向。

Description

用于估计牙齿修复体的形状、位置以及取向中的至少一个的方法

技术领域

本发明总体上涉及用于确定用于假体驱动计划或正畸计划的虚拟牙齿排列的方法的领域。本发明还涉及用于分割口内表面扫描的方法的领域。

背景技术

牙齿缺失或受损的假体修复体极大地影响了生活质量，这是因为牙齿对社会交往和福祉有很大的影响。这归因于牙齿的重要功能，如消化食物、言语以及维持下脸的形状。用于牙齿的假体修复体的常规使用的、可靠的并且公认的技术基于牙种植体。基于牙种植体的治疗的目标在于功能性和美观性的结果，而对患者造成最低限度的不适和短的治疗时间。对牙种植体进行仔细而详细的计划以及将所述计划转移到手术室中的适当工具是整个治疗成功的关键因素。常常基于三维医学图像对患者的解剖结构进行准确评估是这样的计划的先决条件。存在用于该任务的各种软件系统。这些使得临床医生能够拟订牙种植体治疗的图像引导数字计划。

种植体计划程序中的基本概念是诊断性牙齿排列。牙齿排列是与患者的解剖学情况相比呈类似排列的一组牙齿，其通常放置在石膏模型上。诊断性牙齿排列含有待通过假体手段修复的牙齿的设计的牙冠。它是用于预测假体治疗的结果的重要工具，并且因而可以在达到所述结果的必要手段方面提供信息。此外，它使得能够识别假体治疗的现有可能性和局限性。待通过假体手段修复的牙齿以在功能要求以及美观要求这两方面都理想的方式被定位和成形。最重要的功能要求是牙齿的功能定位和适当的解剖学设计以及所引起的正确咬合。美观要求用于实现不能区分现有牙齿与通过假体手段修复的牙齿的目的。最重要的美观要求是逼真的定位和建模、与剩余的现有牙齿类似的类型和特征、看起来自然的外观轮廓以及看起来自然的乳头。这些美观要求可以通过面部组织的动态行为，例如微笑来增强。

随着计算机辅助设计/计算机辅助制造(CAD/CAM)进入牙科实验室，牙科技术人员的大量工作从手动转向数字处理。同样，在石膏模型上手动雕刻的诊断性牙齿排列的使用已经被使用表面扫描的石膏模型的数字设计的牙齿排列所取代。数字设计的牙齿排列从成本和时间这两个角度来看都是有利的。所得的设计可以作为三维表面模型输出并且被铣削或打印以用作试戴品或最终的修复体。

所关注的特定手动步骤是在石膏牙模中分离不同的牙齿。该步骤在数字环境中也是必要的。因此，牙科技术人员应当能够在患者的数字化口内表面中分离不同的牙齿。患者的口内数字表面的分离通常被称作分割。一般来说，表面分割的目的是将表面分成许多有意义的不相交的区域，从而界定所关注的解剖结构。由于手动分割方法是非常耗时的，可能遭受显著的操作人员间和操作人员内的变异性和用户疲劳，因此非常需要自动化或半自动化的表面分割算法。(半)自动化的表面分割算法因而可以为牙科技术人员提供有助于一大组应用的必不可少的工具。在文献中已经存在许多出版物，其呈现了用于数字牙齿表面的各种(半)自动化分割算法。一个实例是“A medial point cloud based algorithm fordental cast segmentation”(Kustra等，Proc.Int′l Conf.on Consumer Electronics(ICCE)，第331-334页，2014)。现有技术出版物中呈现的方法全部都直接利用患者的口内数字表面。

大部分的牙种植体计划软件系统使得临床医生能够将该诊断性牙齿排列导入所述计划软件中。在这种情况下，诊断性牙齿排列在治疗计划阶段期间为临床医生提供必要的信息，这是因为它允许真正双向(或患者驱动)计划。双向计划表示在种植体计划阶段中整合患者的详细假体和解剖学信息。

在本说明中，使用术语‘虚拟理想牙齿排列’代替术语数字诊断性牙齿排列。这允许区分所提供的算法的结果与由牙科技术人员建立的牙齿排列。此外，术语虚拟理想牙齿排列具有更广泛的含义，这是因为患者的剩余牙齿也被包括在所述解决方案内。

在文献中已经提出了一些相关方法。在论文“Bayes reconstruction of missingteeth”(J.Sporring等，J.Math.Imaging Vis.31(2-3)，第245-254页，2008)中，应用具有增加的灵活性的统计学形状模型。所述论文提出了一种使用预定义标志的集合和缺失数据问题方法基于受损牙冠的剩余形状或它的相邻牙冠的形状来重建它的表面的方法。然而，为了有效，这种方法需要用户在患者口内区域的表面表示上指示用于拟合所述模型的重要数量的解剖标志。

申请WO2008/128700描述了一种用于牙齿排列的自动化或半自动化计划的方法。这种方法利用待治疗的牙齿区域的数据以及对应患者的面部的数据。使用基于面部特性以及现有牙齿的规则的集合，可以修改初始的牙齿排列。在所提出的方法中需要至少一张面部照片。此外，所述预定义规则可以是主观的并且一般不适用(例如取决于患者的起源)。

在US2013/282351中，描述了一种用于基于扫描数据和模型数据库确定虚拟牙齿修复体的方法。所述模型数据库含有针对每一种牙齿类型的许多参数化的牙齿模型。通过以迭代方式将模型数据库与手头的具体病例拟合来获得虚拟牙齿修复体。对精心制成的模型数据库的需求使得所述方法从计算观点来看是更加苛刻的。

估计的假体牙冠修复体的形状和姿势不是最佳的并且需要用户的(显著的)进一步手动精修。因此，需要一种用于为用户提供一个或多个假体牙冠修复体的方法/算法，由此对进一步精修的需要减少，以使得这些假体修复体可以用于种植体计划和/或直接用作临时修复体。

发明内容

本发明的实施方案的一个目的是提供一种用于估计对至少部分缺齿的患者进行牙齿修复所需的一条或多条信息的方法。本发明的另一个目的是提供一种用于产生牙齿修复体的方法。本发明的另一个目的是提供一种用于放置牙齿修复体的方法。本发明的另一个目的是提供一种用于从至少部分缺齿的患者的数字化口内表面估计至少一个牙齿的形状、位置以及取向中的至少一个元素的方法。

上述目的是通过根据本发明的解决方案来实现的。

本发明涉及一种用于获得患者的一个或多个现有牙齿或待被包括在旨在替代部分缺齿患者的一个或多个缺失牙齿的牙齿修复体中的一个或多个牙齿的形状、位置和/或取向的估计的方法。所述方法优选地涉及使用被配备成接收和处理图像信息的计算单元，所述图像信息优选地包括三维图像信息，包括表面网格表示，以及数字医学图像信息，如X射线数据、CT扫描数据以及MRI数据等。进一步优选的是，所述计算单元与输入设备和显示器可操作地连接。通常，所述方法涉及使用用于接收所需的用户输入和用于呈现由所述方法使用或生成的任何信息(包括图像信息)的用户界面。

简而言之，本发明的方法涉及将虚拟牙齿排列与患者的口内区域的数字化表面网格拟合，其中所述虚拟牙齿排列包括被定位在牙弓或其区段中的单个牙齿的分离的表面网格。优选的是，所述虚拟牙齿排列是所谓的‘平均虚拟牙齿排列’，其是基于许多虚拟牙齿排列中牙齿的计算的平均形状、位置和/或取向，所述许多虚拟牙齿排列是通过将许多口内表面数字化并且从所述数字化表面分离单个牙齿的表面网格，同时维持它们在牙弓内对应的形状、位置以及取向而获得的。

在使用本发明的方法来估计待被包括在所述牙齿修复体中的一个或多个牙齿的形状、位置和/或取向的情况下，患者的所述数字化口内区域应当包括缺失牙齿的紧靠至少一个剩余牙齿的区域，这可以由本发明的拟合算法用于将所述虚拟牙齿排列与患者的口内情况拟合。所述拟合算法最终提供匹配患者的口内情况并且接近理想或‘自然的’牙齿排列的适应的虚拟牙齿排列。待被包括在牙齿修复体中的一个或多个牙齿的形状、位置和/或取向随后可以基于所述适应的虚拟牙齿排列中对应于患者的缺失牙齿的一个或多个牙齿的形状、位置和/或取向来估计。通常，本发明的方法涉及将所述适应的虚拟牙齿排列的牙齿显示在患者口内情况的表面表示上，从而允许医师目视检查如由本发明的方法所提出的估计值。这样的在患者口内情况的表面表示上视觉表示在使用图像引导的数字计划系统(如NobelClinician^TM)来虚拟计划牙种植体在患者颌骨中的位置和取向时是特别有用的。实际上，这种关于最终修复体的一个或多个牙齿的形状、位置以及取向的视觉信息允许医师在鉴于最佳的临床和美观结果计划种植体的位置和取向时考虑该信息。

在使用所述方法来估计一个或多个现有牙齿的形状、位置和/或取向的情况下，患者的所述数字化口内区域应当至少包括需要进行这样的估计的牙齿，然而，在所述区域中患者的另外的牙齿的存在也可以由拟合算法使用并且可以有助于估计的准确性。所述拟合算法最终提供匹配患者的一个或多个现有牙齿的适应的虚拟牙齿排列。所述一个或多个患者现有牙齿中的每一个的形状、位置和/或取向随后可以基于所述适应的虚拟牙齿排列中相应牙齿的对应形状、位置和/或取向来估计。有趣的是，所述适应的虚拟牙齿排列包括单个牙齿的分离表面网格。因此，所述虚拟牙齿排列还提供了患者口内情况的表示，其中所述牙齿被分割，这允许虚拟地操纵单个牙齿的位置和取向。因而，根据本发明的方法在正畸干预的计划中提供了一种有价值的工具。

在第一个主要方面，本发明提供了一种使用患者的口内表面的数字化表示来估计用于部分缺齿的患者的牙齿修复体的形状、位置以及取向中的至少一个元素的计算机辅助方法。通常，本发明的方法涉及估计所述牙齿修复体的至少一个牙齿的位置、取向和/或形状。这种方法一般包括以下步骤：

-指示需要牙齿修复体的一个或多个牙齿，需要针对所述牙齿修复体估计所述至少一个元素，并且指示可用于估计的一个剩余牙齿或多个剩余牙齿。通常，用户可以通过根据对应于患者的牙列的牙齿图输入牙齿的解剖学名称或牙齿位置来指示所述需要牙齿修复体的牙齿和所述剩余牙齿。在一个具体的实施方案中，提供用户界面，从而允许用户通过在牙齿图的表示中选择相应的牙齿来指示所述牙齿。

-提供虚拟牙齿排列，其包括对应于所述需要所述牙齿修复体的一个或多个牙齿的牙齿以及对应于所述所选择的一个或多个剩余牙齿的牙齿，其中所述虚拟牙齿排列包括被定位在牙弓或其区段中的单个牙齿的分离的表面网格。优选的是，所述虚拟牙齿排列对应于与所述患者的牙列相同的牙列。进一步优选的是，所述虚拟牙齿排列是所谓的平均虚拟牙齿排列，其是基于许多虚拟牙齿排列中所述牙齿的计算的平均形状、位置以及取向，所述许多虚拟牙齿排列是通过将许多口内表面数字化并且从所述数字化表面分离单个牙齿的表面网格，同时维持它们在牙弓内的形状、位置以及取向而获得的。优选的是，所述许多数字化的口内表面是从个体获得的，鉴于管理牙科学见解，其被认为具有接近理想的牙齿排列。

-提供所述患者的口内区域的数字化表面网格，其包括所述所选择的一个或多个剩余牙齿和需要所述牙齿修复体的一个或多个牙齿的区域。通常，所述患者的口内区域的这样的数字化表面网格是通过扫描患者的牙齿和软组织的牙印模或通过扫描这样的印模的模型来获得的。或者，所述数字化表面网格源自于医学图像数据，如患者的口腔内的CT扫描数据，或更优选地，使用口内扫描仪扫描所述口内区域。

-任选地，将所述患者的口内区域的所述数字化表面网格与所述虚拟牙齿排列对齐。将所述数字化的表面网格与所述虚拟牙齿排列对齐优选地涉及将所述数字化的表面网格的至少一个牙齿上，优选地至少两个牙齿上，更优选地至少3个牙齿上的一个或多个标志与虚拟牙齿排列的一个或多个相应牙齿上的一个或多个相应标志匹配。为了使得能够进行这样的标志匹配，优选的是，用户在所述数字化的表面网格的一个或多个牙齿上指示这样的一个或多个标志，其中所述标志对应于所述虚拟牙齿排列上的预定义标志。在一个具体的实施方案中，所述一个标志是上牙冠表面的中点。

-应用和优化表示所述虚拟牙齿排列的质量测度的能量函数以使所述虚拟牙齿排列适应于所述患者的口内解剖情况，所述适应包括鉴于统计模型，使所述虚拟牙齿排列适应于所述患者的口内区域的所述数字化表面网格中所述所选择的一个或多个剩余牙齿中的一个或多个，所述统计模型针对给定牙列或其区段描述了至少单个牙齿的形状、相邻牙齿的形状之间的关系和/或相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系的概率分布，所述能量函数包括指示所述患者的解剖结构与所述适应的虚拟牙齿排列之间的拟合的第一测度以及指示鉴于所述统计模型，所述适应的虚拟牙齿排列的概率的第二测度。通常，优化所述能量函数是一个迭代过程，其中将所述能量函数重复地应用于中间虚拟牙齿排列以获得由所述优化的能量函数产生的适应的虚拟牙齿排列，其接近于所述患者的理想牙齿排列。所述优化过程可以继续直到后续迭代之间的变化下降到低于给定阈值，优选地用户设定的阈值为止。或者，所述优化过程可以继续直到达到最大迭代次数为止，优选地，该次数由用户设定。在一个具体的实施方案中，所述优化继续直到后续迭代之间的变化下降到低于给定阈值(优选地是用户设定的阈值)为止或直到达到最大迭代次数(所述最大次数优选地由用户设定)为止，以先发生的为准。这种方法使得能够在大多数情况下获得接近理想的解决方案，同时控制算法的运行时间。

-使用由所述优化的能量函数产生的适应的虚拟牙齿排列估计所述牙齿修复体的所述形状、位置以及取向中的所述至少一个元素。通常，从所述适应的虚拟牙齿排列的一个或多个相应牙齿的位置、取向和/或形状估计需要估计的牙齿修复体的一个或多个牙齿的位置、取向和/或形状。

所提出的解决方案确实允许获得牙齿修复体的形状、位置或取向、或其组合的估计。更具体来说，本发明的方法允许提供对这样的修复体中单个牙齿中的每一个的形状、位置和/或取向的这样的估计。这些估计值通常是基于所述由所述优化的能量函数产生的适应的虚拟牙齿排列中一个或多个相应牙齿的对应形状、位置和/或取向。如上文在本发明的方法的第一步骤中所解释的那样，用户指示需要估计形状和/或位置和/或取向的一个或多个牙齿以及可以用于进行所述估计的一个或多个剩余牙齿。通常，所述需要估计形状和/或位置和/或取向的牙齿对应于待被所述修复体替代的患者的缺失牙齿中的一个或多个。本发明的方法采用了一种基于能量的方法，其中鉴于患者的口内情况制定能量函数，其用作给定的虚拟牙齿排列的质量测度，所述口内情况是通过所述患者的口内区域的数字化表面网格提供的，所述数字化表面网格包括所述所选择的一个或多个剩余牙齿和需要所述牙齿修复体的一个或多个牙齿的区域。应用和优化所述能量函数以使虚拟牙齿排列适应于手头的具体病例，即如在患者的口内情况的所述数字化表面网格中所提供的指示的一个或多个剩余牙齿。能量测度至少包括指示患者的解剖结构与虚拟牙齿排列之间的拟合的测度和说明鉴于如上所述的模型，所述虚拟牙齿排列的概率的测度。根据本发明的虚拟牙齿排列算法使得临床医生能够以半自动化方式设计牙齿修复体。所述牙齿修复体可以是假体牙冠、牙桥或义齿。

待被包括在牙齿修复体中的一个或多个牙齿的形状、位置和/或取向随后可以基于所述适应的虚拟牙齿排列中对应于患者的缺失牙齿的一个或多个牙齿的形状、位置和/或取向来估计。通常，本发明的方法涉及将所述适应的虚拟牙齿排列的牙齿显示在患者口内情况的表面表示上，从而允许医师目视检查如由本发明的方法所提出的估计值。在一个优选的实施方案中，虚拟牙齿排列的牙齿是由平移向量、旋转矩阵以及表示所述牙齿的形状的多边形表面网格中的至少一个来表示的，优选地与患者的口内情况的表面表示有关。有利的是，所有三个都用于表示中。这样做允许提高这样表示的牙齿的灵活性和适应性。实际上，在用户界面内使得用户能够改变所表示的牙齿的位置、取向或形状的牙齿的这样的表示使得临床医生能够鉴于例如与种植体相关的约束或由于患者的个人审美偏好而将微小修改引入所提出的解决方案中。这样的修改随后可以被存储以供随后用于上颌面干预的计划中或用于设计和/或产生最终的牙齿修复体。

能量函数的第一测度通常包括指示所述虚拟牙齿排列上与所述患者的口内区域的数字化表面网格上的相应标志之间的距离的标志项。或者，所述第一测度包括表面项，其指示所述虚拟牙齿排列的点到所述患者的口内区域的数字化表面网格的距离。在一个实施方案中，所述表面项是从诊断性牙齿排列导出的。有利的是，所述能量函数的所述第一测度包括标志项和表面项这两者。

所述能量函数的第二测度通常由三个单独项构成，其各自用于统计模型的三个可能的组成部分中的每一个，所述项分别考虑单个牙齿的形状、相邻牙齿的形状之间的关系和/或相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系的概率分布。

所述能量函数还可以包括接触点项，其提供相邻牙齿的接触点集之间的距离的测度。

在某些实施方案中，所述能量函数还包括对称姿势项，其给出了两个对侧牙齿的位置和/或取向的对称性测度。所述能量函数还可以包括对称形状项，其给出了两个对侧牙齿的形状的对称性测度。

有利的是，所述能量函数考虑了一个或多个启发式规则，其定义了所述虚拟牙齿排列，优选地，适应的虚拟牙齿排列的牙齿上预定义标志的位置之间的关系。有利的是，所述能量函数考虑了一个或多个启发式规则，其定义了所述虚拟牙齿排列，优选地，适应的虚拟牙齿排列的牙齿上预定义标志之间的距离之间的关系。

在设计牙齿修复体时要考虑的重要元素是修复体与对合牙之间的咬合，鉴于此，当能量函数还包括对合牙重叠项以惩罚牙齿与对合牙表面的重叠时是有利的。

在另一个实施方案中，所述方法包括第一后处理步骤以通过迭代检测最大重叠点并且修改所述重叠牙齿的形状以去除所述重叠来防止相邻牙齿彼此重叠。

在另一个实施方案中，所述方法包括第二后处理步骤以将所述适应的虚拟牙齿排列中牙齿的对合牙牙冠的形状考虑在内，这是通过定义咬合接触点并且使所述牙齿的形状变形来在所述定义的接触点处获得所期望的咬合接触而实现的。

在另一个实施方案中，所述方法包括将来自文库的一个或多个相应的牙冠与适应的虚拟牙齿排列的一个或多个牙齿拟合。将这样的文库牙齿与适应的虚拟牙齿排列的牙齿(其对应于待被包括在牙齿修复体中的牙齿)进行拟合具有以下优势：它允许重新获得某些解剖学牙齿细节，这些细节可能在它们还没有被描述单个牙齿的形状的统计模型捕获时已经在优化程序中丢失。

在一个实施方案中，所述用于估计的方法包括以下步骤：基于所获得的对形状、位置以及取向中的至少一个元素的估计，计划基于牙种植体的治疗。

有利的是，所述方法包括输出所估计的牙齿修复体的至少一个元素。所述方法然后优选地包括以下步骤：基于所输出的估计的牙齿修复体的至少一个元素，产生牙齿修复体或其部分。

在另一个方面，本发明涉及一种用于进行牙齿修复的方法，其中使用对形状、位置以及取向中的至少一个元素的估计，其是由如先前所述的方法获得的。

在另一个方面，本发明涉及一种程序，所述程序可在含有指令的可编程设备上执行，所述指令在执行时执行如先前所述的方法。

在另一个方面，本发明涉及一种用于产生牙齿修复体的方法，所述方法包括使用如上文所述的方法估计所述牙齿修复体的形状、位置以及取向中的至少一个元素；以及使用估计的至少一个元素产生所述牙齿修复体。在另一个方面，本发明涉及一种牙齿修复体，其是使用这种方法产生的。

在另一个方面，本发明涉及一种用于放置牙齿修复体的方法，所述方法包括使用如所述的方法估计所述牙齿修复体的形状、位置以及取向中的至少一个元素；以及使用估计的至少一个元素放置所述牙齿修复体。

在第二个主要方面，本发明提供了一种用于从患者的数字化口内表面估计一个或多个牙齿的形状、位置以及取向中的至少一个元素的基于计算机的方法。这种方法包括以下步骤：

-接收用户输入，其指示需要所述估计的一个或多个牙齿。通常，用户可以通过根据对应于患者的牙列的牙齿图输入牙齿的解剖学名称或牙齿位置来指示所述牙齿。在一个具体的实施方案中，提供用户界面，从而允许用户通过在牙齿图的表示中选择相应的牙齿来指示所述牙齿。

-提供虚拟牙齿排列，其包括对应于所述需要所述估计的一个或多个牙齿的牙齿，其中所述虚拟牙齿排列包括被定位在牙弓或其区段中的单个牙齿的分离的表面网格。优选的是，所述虚拟牙齿排列对应于与所述患者的牙列相同的牙列。进一步优选的是，所述虚拟牙齿排列是所谓的平均虚拟牙齿排列，其是基于许多虚拟牙齿排列中所述牙齿的计算的平均形状、位置以及取向，所述许多虚拟牙齿排列是通过将许多口内表面数字化并且从所述数字化表面分离单个牙齿的表面网格，同时维持它们在牙弓内的形状、位置以及取向而获得的。优选的是，所述许多数字化的口内表面是从个体获得的，鉴于管理牙科学见解，其被认为具有接近理想的牙齿排列。

-提供所述患者的口内区域的数字化表面网格，其包括所述需要所述估计的一个或多个指示的牙齿。通常，所述患者的口内区域的这样的数字化表面网格是通过扫描患者的牙齿和软组织的牙印模或通过扫描这样的印模的模型来获得的。或者，所述数字化表面网格源自于医学图像数据，如患者的口腔内的CT扫描数据，或更优选地，使用口内扫描仪扫描所述口内区域。

-应用和优化表示所述虚拟牙齿排列的质量测度的能量函数以使所述虚拟牙齿排列适应于所述患者的口内解剖情况，所述适应包括鉴于统计模型，使所述虚拟牙齿排列适应于所述患者的口内区域的所述数字化表面网格中的所述一个或多个指示的牙齿，所述统计模型针对给定牙列或其区段描述了至少单个牙齿的形状、相邻牙齿的形状之间的关系和/或相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系的概率分布，所述能量函数包括指示所述患者的解剖结构与所述虚拟牙齿排列之间的拟合的第一测度以及指示鉴于所述统计模型，所述适应的虚拟牙齿排列的概率的第二测度。通常，优化所述能量函数是一个迭代过程，其中将所述能量函数重复地应用于中间虚拟牙齿排列以获得由所述优化的能量函数产生的适应的虚拟牙齿排列，其接近于所述患者的理想牙齿排列。所述优化过程可以继续直到后续迭代之间的变化下降到低于给定阈值，优选地用户设定的阈值为止。或者，所述优化过程可以继续直到达到最大迭代次数为止，优选地，该次数由用户设定。在一个具体的实施方案中，所述优化继续直到后续迭代之间的变化下降到低于给定阈值(优选地是用户设定的阈值)为止或直到达到最大迭代次数(所述最大次数优选地由用户设定)为止，以先发生的为准。这种方法使得能够在大多数情况下获得接近理想的解决方案，同时允许控制算法的运行时间。

-使用根据所述优化的能量函数的所述适应的虚拟牙齿排列估计所述至少一个牙齿的所述形状、位置以及取向中的所述至少一个元素。通常，从所述适应的虚拟牙齿排列的一个或多个相应牙齿的位置、取向和/或形状估计所述需要估计的一个或多个牙齿的位置、取向和/或形状。

所提出的方法利用具有单个牙齿的模板牙弓，其也被称作虚拟牙齿排列，与所述患者的数字化口内情况拟合。因此，所获得的适应的虚拟牙齿排列提供了表示患者的口内区域的数字化表面网格，其中所述一个或多个牙齿是可作为单个牙齿的分离或分割的表面网格使用的。这具有许多优势。首先，全牙冠信息是可获得的，而通过现有技术方法获得的分割结果缺乏间隙水平上的信息。这些现有技术方法中的一些试图在单独的步骤中估计间隙处牙冠的形状。然而，根据本发明的方法能够在单个步骤中估计间隙处的形状。此外，由于所提出的技术的性质，因此该估计是基于从牙冠的广泛训练数据集获得的知识。其次，本发明对于由数字化技术产生的数字口内表面扫描中存在的假象，例如洞、交叉等是稳健的。第三，这种方法可以在所述适应的虚拟牙齿排列中为每一个牙齿提供形状、位置以及取向，这对于另外的应用，例如正畸可能是非常有用的。所述虚拟牙齿排列提供了患者的口内情况或其部分的表示，其中所述牙齿被分割，这允许虚拟地操纵单个牙齿的位置和取向。因而，这种方法在正畸干预的计划中提供了一种有价值的工具。

用于根据该第二个主要方面的方法中的能量函数的第一测度通常包括标志项，其指示了虚拟牙齿排列上与所述患者的口内区域的数字化表面网格上的相应标志之间的距离。或者，所述第一测度包括表面项，其指示所述虚拟牙齿排列的点到所述患者的口内区域的数字化表面网格的距离。在一个实施方案中，所述表面项是从诊断性牙齿排列导出的。有利的是，所述能量函数的所述第一测度包括标志项和表面项这两者。

用于根据该第二个主要方面的方法中的能量函数的第二测度通常由三个单独项构成，其各自用于统计模型的三个可能的组成部分中的每一个，所述项分别考虑单个牙齿的形状、相邻牙齿的形状之间的关系和/或相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系的概率分布。

在根据该第二个主要方面的方法的某些实施方案中，所述能量函数还包括对称姿势项，其给出了两个对侧牙齿的位置和/或取向的对称性测度。所述能量函数还可以包括对称形状项，其给出了两个对侧牙齿的形状的对称性测度。

有利的是，用于根据该第二个主要方面的方法中的能量函数考虑了一个或多个启发式规则，其定义了所述虚拟牙齿排列，优选地，适应的虚拟牙齿排列的牙齿上预定义标志的位置之间的关系。有利的是，所述能量函数考虑了一个或多个启发式规则，其定义了所述虚拟牙齿排列，优选地，适应的虚拟牙齿排列的牙齿上预定义标志之间的距离之间的关系。

在另一个实施方案中，根据该第二个主要方面的方法包括第一后处理步骤以通过迭代检测最大重叠点并且修改所述重叠牙齿的形状以去除所述重叠来防止相邻牙齿彼此重叠。

用于本发明的第一个方面和第二个方面的方法中的统计模型通常是通过执行训练阶段来构建的。所述训练阶段优选地包括以下步骤：

-提供对应于从不同个体获得的牙齿排列的数字表面网格的集合的许多虚拟牙齿排列，所述个体各自优选地具有接近理想的牙齿排列。进一步优选的是，在所述虚拟牙齿排列中，单个牙齿是可作为分离的表面网格使用的；

-从所述许多虚拟牙齿排列计算平均虚拟牙齿排列。优选的是，在计算所述平均排列之前，将所述虚拟牙齿排列与同一参考系对齐。

-从所述许多虚拟牙齿排列计算至少单个牙齿的形状、相邻牙齿的形状之间的关系和/或相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系的概率分布。

所述用于训练阶段中的许多虚拟牙齿排列通常是在第一步骤中通过扫描共有相同牙列的不同个体的牙齿和软组织的牙印模或通过扫描这样的印模的模型来获得的。或者，所述许多虚拟牙齿排列源自于医学图像数据，如不同个体的口腔内的CT扫描数据或更优选地，使用口内扫描仪扫描牙弓。优选的是，根据管理牙科见解，所述个体被认为具有接近理想的牙齿排列。之后，从所获得的表面表示中分割出单个牙齿表面以获得所述许多不同的、优选地接近理想的牙齿排列的数字表面网格，并且其中单个牙齿是可作为分离的表面网格使用的。优选的是，在最终步骤中，检查所述数字表面网格中的间隙并且如果需要的话，在所述间隙水平上完成。

进一步优选的是，所述根据本发明的第一个主要方面和第二个主要方面的方法包括使用线搜索方法优化能量函数。

本发明的另外的方面涉及以下项目。

A.用于估计用于至少部分缺齿的患者的牙齿修复体的形状、位置以及取向中的至少一个元素的方法，所述方法包括：

-选择需要估计所述牙齿修复体的所述至少一个元素的一个或多个牙齿并且选择可用于估计的一个或多个剩余牙齿；

-应用能量函数，所述能量函数表示包括所述一个或多个剩余牙齿和需要所述牙齿修复体的至少一个牙齿的虚拟牙齿排列的质量测度，以鉴于统计模型，使所述虚拟牙齿排列适应于所述患者的所述所选择的一个或多个剩余牙齿中的一个或多个，所述统计模型描述所述虚拟牙齿排列的单个牙齿的形状、所述虚拟牙齿排列的相邻牙齿的形状之间的关系、和/或所述虚拟牙齿排列的相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系中的至少一个，所述能量函数包括指示所述患者的解剖结构与所述虚拟牙齿排列之间的拟合的第一测度以及指示鉴于所述统计模型，所述虚拟牙齿排列的概率的第二测度；

-估计由所述能量函数产生的所述牙齿修复体的所述形状、位置以及取向中的所述至少一个元素。

具体来说，本发明的该项目A涉及一种用于估计用于部分缺齿的患者的牙齿修复体的形状、位置以及取向中的至少一个元素的计算机辅助方法，所述方法包括

-指示需要牙齿修复体的一个或多个牙齿，需要针对所述牙齿修复体估计所述至少一个元素，并且指示可用于估计的一个剩余牙齿或多个剩余牙齿；

-提供虚拟牙齿排列，其包括对应于所述需要所述牙齿修复体的一个或多个牙齿的牙齿以及对应于所述所选择的一个或多个剩余牙齿的牙齿，其中所述虚拟牙齿排列包括被定位在牙弓或其区段中的单个牙齿的分离的表面网格；

-提供所述患者的口内区域的数字化表面网格，其包括所述所选择的一个或多个剩余牙齿和所述需要所述牙齿修复体的一个或多个牙齿的区域；

-应用和优化能量函数，其表示所述虚拟牙齿排列的质量测度，以使所述虚拟牙齿排列适应于所述患者的口内解剖情况，所述适应包括鉴于统计模型，使所述虚拟牙齿排列适应于所述患者的口内区域的所述数字化表面网格中所述所选择的一个或多个剩余牙齿中的一个或多个，所述统计模型针对给定牙列或其区段描述了至少单个牙齿的形状、相邻牙齿的形状之间的关系和/或相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系的概率分布，所述能量函数包括指示所述患者的解剖结构与所述适应的虚拟牙齿排列之间的拟合的第一测度、以及指示鉴于所述统计模型，所述适应的虚拟牙齿排列的概率的第二测度；

-使用所述由所述优化的能量函数产生的适应的虚拟牙齿排列估计所述牙齿修复体的所述形状、位置以及取向中的所述至少一个元素。

B.如A中的用于估计的方法，其中所述能量函数的所述第二测度由三个单独项构成，所述三个单独项分别对应于所述单个牙齿的所述形状、所述相邻牙齿的所述形状之间的所述关系以及所述相邻牙齿的所述位置和/或取向之间的所述关系。

C.如A或B中的用于估计的方法，其中将状态分配给所述虚拟牙齿排列中的每一个，所述状态是活动、被动或空闲。

D.如前述项目中的任一个的用于估计的方法，所述方法包括后处理步骤以通过迭代地检测最大重叠点并且修改所述牙齿形状以去除所述重叠来防止相邻牙齿彼此重叠。

E.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，所述方法包括后处理步骤以将对合牙牙冠的形状考虑在内，这是通过定义咬合接触点并且使所述牙齿的所述形状变形以在所述定义的接触点处获得理想的咬合接触来实现的。

F.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，所述方法包括拟合来自文库的牙冠。

G.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，所述方法包括以下步骤：基于所述所获得的对所述形状、位置以及取向中的至少一个元素的估计，计划基于牙种植体的治疗。

H.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，所述方法包括以下步骤：输出所述估计的所述牙齿修复体的至少一个元素。任选地，这包括以下步骤：基于所述输出的估计的所述牙齿修复体的至少一个元素，产生所述牙齿修复体。

I.用于进行牙齿修复的方法，其中使用对所述形状、位置以及取向中的至少一个元素的估计，所述估计是由如项目A至H中的任一个中的方法获得的。

J.用于产生牙齿修复体的方法，所述方法包括

-使用如项目A至H中的任一个中的方法估计所述牙齿修复体的形状、位置以及取向中的至少一个元素；

-使用所述估计的至少一个元素产生所述牙齿修复体。

K.用于放置牙齿修复体的方法，所述方法包括

-使用所述估计的至少一个元素放置所述牙齿修复体。

L.用于从至少部分缺齿的患者的数字化口内表面估计至少一个牙齿的形状、位置以及取向中的至少一个元素的方法，所述方法包括

-选择需要估计所述至少一个牙齿的所述至少一个元素的一个或多个牙齿；

-应用能量函数，所述能量函数表示包括所述至少一个牙齿的虚拟牙齿排列的质量测度，以鉴于统计模型，使所述虚拟牙齿排列适应，所述统计模型描述所述虚拟牙齿排列的单个牙齿的形状、所述虚拟牙齿排列的相邻牙齿的形状之间的关系、和/或所述虚拟牙齿排列的相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系中的至少一个，所述能量函数包括指示所述数字化口内表面与所述虚拟牙齿排列之间的拟合的第一测度以及指示鉴于所述统计模型，所述虚拟牙齿排列的概率的第二测度；

-估计由所述能量函数产生的所述至少一个牙齿的所述形状、位置以及取向中的至少一个元素。

具体来说，本发明的该项目L涉及一种用于从患者的数字化口内表面估计一个或多个牙齿的形状、位置以及取向中的至少一个元素的基于计算机的方法，所述方法包括

-指示所述需要所述估计的一个或多个牙齿；

-提供虚拟牙齿排列，其包括对应于所述需要所述估计的一个或多个牙齿的牙齿，其中所述虚拟牙齿排列包括被定位在牙弓或其区段中的单个牙齿的分离的表面网格；

-提供所述患者的口内区域的数字化表面网格，其包括所述需要所述估计的一个或多个指示的牙齿；

-应用和优化能量函数，其表示所述虚拟牙齿排列的质量测度，以使所述虚拟牙齿排列适应于所述患者的口内解剖情况，所述适应包括鉴于统计模型，使所述虚拟牙齿排列适应于所述患者的口内区域的所述数字化表面网格中的所述一个或多个指示的牙齿，所述统计模型针对给定牙列或其区段描述了至少单个牙齿的形状、相邻牙齿的形状之间的关系和/或相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系的概率分布，所述能量函数包括指示所述患者的解剖结构与所述虚拟牙齿排列之间的拟合的第一测度、以及指示鉴于所述统计模型，所述适应的虚拟牙齿排列的概率的第二测度；

-使用所述由所述优化的能量函数产生的适应的虚拟牙齿排列估计所述至少一个牙齿的所述形状、位置以及取向中的所述至少一个元素。

M.根据项目L的方法，其中所述适应的虚拟牙齿排列提供表示所述患者的口内区域的数字化表面网格，其中所述一个或多个牙齿是可作为单个牙齿的分离的表面网格使用的。

N.如项目M中的用于估计的方法，所述方法包括以下步骤：基于所述所获得的对所述位置和取向中的至少一个元素的估计，计划正畸治疗。

O.如项目M或N中的用于估计的方法，所述方法包括以下步骤：输出所述正畸治疗的所述估计的至少一个元素。

P.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中所述虚拟牙齿排列的牙齿是由平移向量、旋转矩阵以及表示所述牙齿的形状的多边形表面网格中的至少一个来表示的。

Q.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中所述第一测度包括标志项，其指示所述虚拟牙齿排列上与所述患者的解剖结构上的相应标志之间的距离。

R.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中所述第一测度包括表面项，其指示所述虚拟牙齿排列的点与表示所述患者的口内情况的解剖表面网格的距离。

S.如技术方案R中的用于估计的方法，其中所述表面项是从诊断性牙齿排列导出的。

T.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中所述能量函数包括接触点项，其提供相邻牙齿的接触点集之间的距离的测度。

U.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中所述能量函数包括对称姿势项，其给出两个对侧牙齿的位置和/或取向的对称性测度。

V.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中所述能量函数包括对称形状项，其给出两个对侧牙齿的形状的对称性测度。

W.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中所述能量函数考虑一个或多个启发式规则，其定义所述虚拟牙齿排列的牙齿上预定义标志的位置的关系。

X.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中所述能量函数考虑一个或多个启发式规则，其定义所述虚拟牙齿排列的牙齿上预定义标志之间的距离的关系。

Y.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中所述能量函数包括对合牙重叠项以惩罚牙齿与对合牙表面的重叠。

Z.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中执行训练阶段以构建所述统计模型。

AA.如项目Z中的用于估计的方法，其中使用表面扫描执行所述训练阶段。

BB.如技术方案Z或AA中的用于估计的方法，其中使用从解剖标志导出的镜面来映射由所述训练阶段产生的数据。

CC.如技术方案AA或BB中的用于估计的方法，其中从所述牙模的表面网格，提取单个牙齿表面。

DD.如项目CC中的用于估计的方法，其中所述所提取的牙齿表面是在间隙水平上完成的。

EE.如技术方案Z至DD中的任一个中的用于估计的方法，其中将所述由所述训练阶段产生的数据定位在同一参考系中。

FF.如项目EE中的用于估计的方法，其中所述定位涉及计算平均虚拟牙齿排列和将所述平均虚拟牙齿排列定位。

GG.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，所述方法还包括使用线搜索方法优化所述能量函数。

HH.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中应用所述能量函数包括对所述第一测度和所述第二测度的所述一个或多个剩余牙齿的形状、位置以及取向中的至少一个元素进行优化。

II.如前述项目中的任一个中的用于估计的方法，其中应用所述能量函数包括对所述第二测度的所述牙齿修复体的所述至少一个元素进行优化。

JJ程序，其可在含有指令的可编程设备上执行，所述指令在执行时执行如前述项目中的任一个中的方法。

KK.牙齿修复体，其是使用如项目J中的方法产生的。

为了总结本发明和相对于现有技术所实现的优势，本文已经在上文描述了本发明的某些目的和优势。当然，应当了解的是，未必所有这些目的或优势都可以根据本发明的任何具体实施方案来实现。因此，例如，本领域技术人员将认识到的是，本发明可以这样的方式实施或执行，所述方式实现或优化如本文所教导的一个优势或一组优势而不一定实现如本文可能教导或提出的其它目的或优势。

本发明的上述方面和其它方面将因下文所述的一个或多个实施方案而变得显而易见并且参考所述实施方案来阐明。

附图说明

现在将参考附图以举例方式进一步描述本发明，其中在各个附图中，相同的附图标记指代相同的元件。

图1图示了用于估计牙齿修复体的形状、位置以及取向中的至少一个的所提出的算法的一个实施方案的主要步骤。

图2图示了用于从数字化口内表面估计至少一个牙齿的形状、位置以及取向中的至少一个元素的所提出的算法的一个实施方案的主要步骤。

图3图示了在牙齿上定义的标志。

图4图示了图凯稳健损失函数(Tukey robust loss function)，其有利地用于表面项中。

图5图示了如模型先验项中所用的图形模型。

图6图示了特定的图形模型，其中节点对应于边缘是双向的不同牙齿。

图7图示了用于能量函数中的接触点项中的接触点集。

图8图示了姿势对称项。

图9图示了正则化的亥维赛阶跃函数(Heaviside step function)，其中ε等于1.0、0.1、0.01以及0.001。

图10图示了来自虚拟牙齿排列的牙冠与文库牙冠之间的对应点的计算。

图11图示了牙冠表面上咬合接触点的检测。

图12图示了在具有挑战性的病例中所述算法的结果。

具体实施方式

将关于具体的实施方案并且参考某些附图来描述本发明，但是本发明不受其限制，而仅受权利要求的限制。

此外，在本说明书和权利要求书中，术语第一、第二等用于区分相似的元件并且不一定用于在时间上、空间上、按照排序或以任何其它方式描述序列。应当了解的是，如此使用的术语在适当情况下是可互换的并且本文所述的本发明的实施方案能够按照除本文所述或所示的序列以外的其它序列进行操作。

应当注意的是，权利要求中所用的术语“包含”不应当被解释为限于之后所列的装置；它不排除其它元件或步骤。它因此被解释为指定如所提到的所述特征、整数、步骤、或部件的存在，但是不排除一个或多个其它特征、整数、步骤或部件、或其组的存在或添加。因此，表述“包括装置A和装置B的设备”的范围不应当限于仅由部件A和部件B组成的设备。这意味着，对于本发明，所述设备的仅有相关部件是A和B。

在整个本说明书中，提到“一个实施方案(one embodiment)”或“一个实施方案(anembodiment)”时，意指关于所述实施方案所述的具体特征、结构或特性被包括在本发明的至少一个实施方案中。因此，在整个本说明书中各处出现短语“在一个实施方案中(in oneembodiment)”或“在一个实施方案中(in an embodiment)”时，不一定都是指同一个实施方案，但是可以指同一个实施方案。此外，在一个或多个实施方案中，具体的特征、结构或特性可以任何合适的方式组合，如本领域普通技术人员从本公开中显而易见的那样。

类似地，应当了解的是，在本发明的示例性实施方案的说明中，本发明的各个特征有时在单个实施方案、附图或其说明中被组合在一起以用于简化本公开并且有助于理解各个发明方面中的一个或多个。然而，本公开的方法不应当被解释为反映要求保护的发明需要比每个权利要求中明确叙述的特征更多的特征的意图。相反，如以下权利要求所反映的那样，发明方面在于单个以上公开的实施方案的少于所有特征。因此，在具体实施方式之后的权利要求在此被明确地并入该具体实施方式中，其中每个权利要求自身作为本发明的一个单独实施方案。

此外，虽然本文所述的一些实施方案包括其它实施方案中所包括的一些特征而非其它特征，但是不同实施方案的特征的组合意图落入本发明的范围内并且形成不同的实施方案，如本领域技术人员所将了解的那样。举例来说，在以下权利要求中，要求保护的实施方案中的任一个可以任何组合使用。

应当指出的是，在描述本发明的某些特征或方面时特定术语的使用不应当被认为暗示所述术语在本文被重新定义以限于包括与该术语相关的本发明的特征或方面的任何特定特性。

在本文提供的说明中，阐述了许多具体细节。然而，应当了解的是，本发明的实施方案可以在没有这些具体细节的情况下被实施。在其它情况下，没有详细示出公知的方法、结构以及技术以免模糊对本说明书的理解。

本公开提供了一种用于确定虚拟理想牙齿排列的技术，所述虚拟理想牙齿排列对应于由优化的能量函数产生的适应的虚拟牙齿排列。所提出的算法考虑了功能要求和美观要求这两者以及患者的现有解剖结构。更确切地说，鉴于至少部分缺齿的患者的足够的解剖信息和最少量的用户交互，所提出的方法估计了一个或多个假体牙冠修复体或其它牙齿修复体的最佳形状和姿势(位置和取向)。该用户输入涉及指定需要估计假体修复体的牙齿以及可以由所述算法使用的剩余牙齿。这是图1的流程图中所示的第一步骤。优选的是，用户还在患者的口内区域的数字表面上指示一些点，其通常对应于预定义的解剖点，这些点可以用作本发明的方法中的标志。所述算法所需的解剖信息是通过将口内区域数字化获得的，这通常提供所述患者的所述口内区域的数字化表面网格。通常，获得牙模的表面扫描，尽管存在其它技术(例如口内扫描仪)。这产生了患者的口内区域的表面，其含有所需的解剖信息。作为所提出的方法的输出而获得的所得信息(即估计)在计划基于牙种植体的治疗期间对于用户来说是令人关注的。它可能取代由牙科技术人员手动建立的诊断性牙齿排列。

本公开还提供了一种用于获得口内数字表面扫描的分割的技术，所述分割将各个牙齿彼此分离以及与牙龈分离。所述方法是基于将具有单个牙齿的模板牙弓与患者的数字化口内表面拟合。该模板牙弓被称作虚拟牙齿排列。所述方法是半自动化的，这是因为需要最少量的用户交互。该用户输入涉及指定需要通过所述方法分割的牙齿。优选的是，用户还需要在患者的口内区域的数字表面上指示一些点，其通常对应于预定义的解剖点，这些点可以用作本发明的方法中的标志。所述算法所需的解剖信息是通过将口内区域数字化获得的，这通常提供所述患者的所述口内区域的数字化表面网格。通常，获得牙模的表面扫描，尽管存在其它技术(例如口内扫描仪)。这产生了患者的口内区域的数字表面，其含有所需的解剖信息。

所述算法使用统计模型，所述统计模型将牙冠或牙齿的形状和姿势与它相邻的牙冠或牙齿相关联。更具体来说，所述统计模型描述了虚拟牙齿排列的单个牙齿的形状、虚拟牙齿排列的相邻牙齿的形状之间的关系和/或虚拟牙齿排列的相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系中的至少一个。所述统计模型已经通过观测接近理想的口内情况的广泛数据集而获得。从该数据集，提取相邻牙冠或牙齿的形状和姿势之间的关系。鉴于所述统计模型，所述算法使虚拟牙齿排列适应于如由用户所指定的患者的剩余牙齿并且估计牙齿修复体的形状和姿势。应用和优化所谓的能量函数，其包括指示患者的解剖结构，即所述患者的所述口内区域的数字化表面网格与虚拟牙齿排列之间的拟合的第一测度、以及指示鉴于所述统计模型，所述虚拟牙齿排列的概率的第二测度。优选的是，在应用和优化能量函数之前，将所述患者的所述口内区域的数字化表面网格与初始虚拟牙齿排列对齐，优选地使用所述数字化的患者口内表面上的所述标志和所述虚拟牙齿排列上的相应标志进行所述对齐。这是图1的流程图中所示的第二步骤。此外，在能量函数中可以包括许多驱动力以将算法引向理想的解决方案。这些驱动力有利于对称性、相邻牙冠之间的接触以及许多美观上的改进。

任选地，所述算法的输出可以通过去除相邻牙冠之间可能的重叠、通过确保上颌与下颌之间正确的咬合、和/或通过使来自现有文库的假体牙冠的形状和姿势适应于解决方案来进一步改进。所述算法还可以含有许多驱动力，所述驱动力将解决方案引向用于一个或多个牙冠的接近最佳的假体修复体。用户可以通过赋予反映某些驱动力的重要性的权重来使算法适应于特定患者病例。

下文在更多的技术细节上详细阐述了所提出的方法的以上概述。

根据本发明的算法采用了一种方法，由此制定能量函数。图1的流程图示出了所提出的算法的该基本概念。能量函数值是虚拟牙齿排列的质量或理想度的测度。更高的能量值对应于更低质量或不太理想的虚拟牙齿排列，并且类似地，更低的能量值对应于更高质量或更理想的虚拟牙齿排列。对于每一个病例，从初始估计值开始，虚拟牙齿排列朝向更低能量值演变，从而产生理想的解决方案。虚拟牙齿排列本身含有患者的现有牙齿中的一些或全部以及待通过假体手段替代的牙齿。所呈现的方法可以被看作通过算法覆盖到现有解剖情况上的模板(即虚拟牙齿排列)。因此，所述排列中的牙齿修复体，例如假牙以这样的一种方式设计以符合要求(即具有低能量值)。使解决方案朝向更低能量值演变的过程被称作优化。所提出的方法是通用的和灵活的，这是因为所述能量函数可以容易地根据具体需要扩展或定制。

对于分割，本发明的算法采用了一种方法，由此制定能量函数，所述能量函数值是患者的数字口内表面与虚拟牙齿排列之间的拟合质量的测度。高能量值对应于低质量拟合，并且类似地，低能量值对应于高质量拟合。对于每一个病例，从初始估计值开始，虚拟牙齿排列朝向更低能量值演变，从而产生理想的解决方案。虚拟牙齿排列本身含有由用户指定的牙齿。所呈现的方法可以被看作通过算法覆盖到现有解剖情况上的模板(即虚拟牙齿排列)。使解决方案朝向更低能量值演变的过程被称作优化。所提出的方法是通用的和灵活的，这是因为所述能量函数可以容易地根据具体需要扩展或定制。用于这种情况的所提出的算法的主要步骤的概述提供于图2中。在第一步骤中，用户需要指示要从患者的数字口内表面分割的一个或多个牙齿。随后，鉴于统计模型，应用能量函数，所述统计模型描述了所述虚拟牙齿排列的单个牙齿的形状、所述虚拟牙齿排列的相邻牙齿的形状之间的关系、和/或所述虚拟牙齿排列的相邻牙齿的位置和/或取向之间的关系中的至少一个。最终，从能量函数，可以导出所关注的一个或多个牙齿的估计的形状、位置和/或取向。

所述算法的一个重要方面涉及适当的能量函数的制定。如已经指出的那样，所述能量函数提供了虚拟牙齿排列在功能要求和美观要求方面的质量的测度。

在详细描述所提出的算法之前，呈现了在以下详细解释中使用的一些符号和定义。虚拟牙齿T＝(t，R，M)由以下表示：平移向量t∈R³；旋转矩阵R∈SO(3)(即旋转矩阵的空间)；以及由多边形表面网格M＝(V，ε，P)表示的形状，其由点或顶点的有序集V＝{vi∈R³}(1≤i≤|V|])组成，所述点或顶点由边连接，从而形成简单多边形P＝[p₁，...p_|P|]，如三角形或四边形，覆盖表面，以使得其中i≠j。平移、旋转以及形状之间的区别提供了提高的灵活性和适应性。虚拟牙齿排列由表示，其中是虚拟牙齿并且D定义了特定的牙列。牙列是如由医学知识所规定的颌骨中所含的一组牙齿。实例是恒牙和乳牙。通常，使用恒牙的牙列。该牙列由以下左侧/右侧对称牙齿组成：第三磨牙、第二磨牙、第一磨牙、第二前磨牙、第一前磨牙、犬牙、侧切牙、中切牙。可作为表面网格获得的解剖信息由A给出。该表面网格再次包括顶点、边以及多边形。

所述能量函数提供了关于功能要求和美观要求所测量的虚拟牙齿排列的质量的测度。对于分割，能量函数提供了数字口内表面与虚拟牙齿排列之间的拟合质量的测度。观测了在更大的群体中牙齿的定位和形状。统计模型非常适用于将来自群体的可用信息转移到手头的具体病例，这是因为它们以可理解的方式捕获该信息。此外，它们定义了虚拟牙齿排列中牙齿的定位和形状的理想度的(概率)测度。词语‘理想’指的是在观测大群体时常见或自然的事物。因而，统计模型捕获虚拟牙齿排列中牙齿之间的关系并且在待通过假体手段修复的牙齿上实施似乎合理的位置、取向、以及形状。这产生了一种通用的和客观的方法。本发明中的统计模型一方面侧重于牙齿的形状(无论是单个牙齿还是相对于彼此)并且另一方面，侧重于牙齿相对于彼此的姿势(位置和取向)。

能量函数是经由概率方法制定的。已知患者A的可用解剖信息、形状模型θ以及姿势模型Φ，虚拟牙齿排列S的条件概率由p(S|A，θ，Φ)给出。使用贝叶斯演算(Bayesiancalculus)，这可以表示为：

其中p(A|S)是数据似然并且p(S|θ，Φ)是模型先验。虚拟理想牙齿排列是通过对于虚拟牙齿排列S将该概率最大化来获得的。由于分母中的项p(A)是常数，因此它对于使所述概率最大化来说并不重要。不是直接将该概率最大化，而是将它的负对数最小化为

因而，能量函数可以表示为

其中E_DL(A；S)对应于数据似然项并且E_MP(S；θ，Φ)对应于模型先验项。

来自方程式3的能量函数可以任选地用其它能量项补充。原则上，这些能量项也可以在概率框架中编码。然而，这些项主要是基于实验结果添加的以进一步精修结果。因而，这些项在性质上反而是启发式的。因此，在概率框架中对它们进行编码仅仅是人工的。因而，完整的能量函数可以被制定为

其中另外的能量项被分组在E_ADD(S)项中。所有项在本说明书中进一步详述。

数据似然项度量了在已知虚拟牙齿排列S的情况下，观测到给定解剖信息A的似然性。因而，它是患者的解剖结构与虚拟牙齿排列之间的拟合优度的测度。如之前所述，患者的解剖信息是可作为表面网格使用的。相应能量项E_DL(A；S)被定义为两个单独项，即表面项E_s(A；S)和标志项E_L(A；S)。标志项主要侧重于良好的初始化并且需要在解剖表面网格上指示一组标志。相应的标志应当在虚拟牙齿排列上指示。另一方面，表面项迫使解决方案朝向虚拟牙齿排列与患者的解剖结构之间的完全拟合。

标志项基于在患者的解剖结构和虚拟牙齿排列这两者上指示的一组相应的标志提供了所述患者的解剖结构与所述虚拟牙齿排列之间的距离的测度。在患者的解剖结构和虚拟牙齿排列上指示的这组标志分别由(其中i＝1、......、N)和(其中i＝1、......、N)给出，其中N是标志的数量。标志点由以下给出：

其中T是具有由R_T和t_T所定义的姿势的对应牙齿，并且v_i ^*∈V_T是牙齿表面上的标志点。图3图示了定义的标志。基于标志的距离由以下给出：

表面项度量了虚拟牙齿排列的每一个点到解剖表面网格的距离。如果患者的解剖结构与虚拟牙齿排列之间的拟合接近完全，那么该距离应当是非常小的。基本表面项由以下给出：

其中D_A是可获得解剖信息的现有牙齿的集合，V_T是牙齿T的顶点的集合，R_T是牙齿T的旋转矩阵并且t_T是牙齿T的平移向量。函数d(A，x)度量了表面网格A与点x之间的距离。令人遗憾的是，这种方法出现了三个主要问题。第一，在间隙的水平上，没有信息可用。然而，在虚拟牙齿排列中，存在该信息。在这些点处测量距离因此是不正确的。第二，解剖表面网格含有牙齿和牙龈这两者。由于牙龈覆盖牙齿达到一定的水平而在虚拟牙齿排列中不存在，因此在此也出现了问题。第三，假象可能存在于由数字化技术产生的解剖表面网格中。可能的解决方案将是检测到其中出现这些问题的点并且将它们从表达式中去除。另一种方法是将这些问题视为异常值并且降低表面项对这些异常值的敏感度。降低对异常值的敏感度的既定技术使用稳健的m-估计量。稳健的m-估计量用对异常值不太敏感的更稳健的函数代替平方损失函数。因而，表面项由以下给出：

其中ρ是稳健的损失函数。存在各种稳健的损失函数。一种选择是使用图凯估计量，其由以下给出：

其中c是问题特异性常数。图凯损失函数示于图4中。如可以从图4中看到的那样，对于小的x值，图凯损失函数紧随平方损失函数。对于增加x的值，图凯损失函数增加得更慢并且在x的值大于c时稳定到恒定值。因而，异常值对表面项的值的影响减小，从而产生对异常值稳健的能量项。

模型先验项给出了在已知模型θ和模型Φ的情况下，虚拟牙齿排列S的概率。统计模型θ描述了单个牙齿的形状以及相邻牙齿的形状之间的成对关系。这种类型的模型可以被称为图形模型。图形模型通常由图形G表示，所述图形G由一组节点N和连接所述节点的一组边E组成。节点和边这两者都含有统计模型。图5提供了说明。对于该特定情况，节点对应于虚拟牙齿排列中的牙齿并且相关模型描述了对应牙齿的形状。与边相关的模型描述了由对应边连接的牙齿形状之间的关系，如图6中所示。统计姿势模型Φ描述了相邻牙齿的姿势之间的关系。因此，它也可以由图形模型表示。然而，在这种情况下，只有边含有统计模型。与每一条边相关的统计模型描述了由对应边连接的牙齿的姿势之间的关系。因而，统计形状模型和姿势模型可以由以下给出：

其中G_θ是形状模型的图形结构，{θ_T}是所有单个形状模型的集合，{θ_TT}是所有后验形状模型的集合，G_φ是姿势模型的图形结构，并且{φ_TT}是所有后验姿势模型的集合。

描述虚拟牙齿排列的不同统计子模型可以被分为三类：描述单个形状的统计模型、描述两个形状之间的关系的统计模型、以及描述两个姿势之间的关系的统计模型。由于需要对这三类进行不同的评价，因此模型先验能量项被分为三个部分。在下文解释了这些项中的每一个。

形状模型项含有在θ中所有统计形状模型的贡献。这些统计模型描述了单个牙齿的形状。使用标准主成分分析(PCA)形状模型。PCA计算一组正交方向(主成分)，其描述了训练数据集中存在的最大变异模式。它是一种线性技术，因此所有允许的形状都是由主成分的平均形状和线性组合给出的。由于执行PCA需要从训练数据集计算平均值和协方差矩阵，因此它施加高斯分布(Gaussian distribution)。条件分布p(S|{θ_T})由以下给出：

其中T是虚拟牙齿排列S的牙齿，θ_T是描述牙齿T的形状的模型，M_T是牙齿T的形状，x_T是该形状的向量表示，是平均形状，并且∑_T是协方差矩阵。相关的能量函数项由以下给出：

随后，后验形状模型项包括在θ中所有后验统计形状模型的贡献。这些统计模型描述了两个相邻牙齿的形状之间的关系。为了设计后验形状模型，可以使用“PosteriorShape Models”(Albrecht等，Medical Image Analysis，17(8)，第959-973页，2013)中所采用的方法。这种后验形状模型由在已知第二形状(预测值)的情况下第一形状(响应)上的条件高斯分布组成。这种类型的模型与基于PCA的标准形状模型密切相关。所得的条件分布p(S|{θ_TT})由以下给出：

其中ε_θ是θ中所有边的集合，P和R表示由边连接的两个牙齿，并且θ_PR是相关模型。每一条边的概率由以下给出：

关于该表达式的另外的细节，请参考Albrecht等的论文。相关的能量函数项由以下给出：

最后，后验姿势模型项含有在Φ中所有后验统计姿势模型的贡献。本发明中应用的统计模型的这些子模型描述了两个相邻牙齿的姿势之间的关系。牙齿的姿势包括旋转矩阵R∈SO(3)和平移向量t∈R³。因此，姿势可以由刚性变换矩阵T∈SE(3)(即刚性变换的空间)表示为：

已知由边连接的第二相邻牙齿的姿势，后验姿势模型给出了第一牙齿的姿势的估计值。该估计值包括高斯概率分布。因而，后验姿势模型与后验形状模型密切相关。所得的条件分布p(S|{φ_TT})由以下给出：

其中TP和TR分别是牙齿P和R的变换矩阵。每一条边的概率的达式与后验形状模型情况非常相似。相关的能量函数由以下给出：

现在，存在另外的能量函数项。可以添加这些项以基于实验进一步精修和改进算法的结果。根据手头的具体病例，可能更好的是，启用或禁用这些额外项中的一些。对于这些项中的每一个，下文更详细地解释基本原理。

在一些情况下，相邻假体牙冠不彼此接触。这引起理想牙齿排列看起来不自然，这是因为在不同的牙齿之间存在间隙。接触点项试图弥补该缺点。对于每一个牙齿，确定接触点的两个集合(对于最后面的牙齿，只有一个集合)，即近中取向集合和远中取向集合。对于两个相邻牙齿，近中牙齿的远中接触点集应当与远中牙齿的近中接触点集接触。接触点项提供了相关接触点集之间的距离的测度。作为副效应，该项还防止相邻牙齿彼此重叠。接触点的集合的实例示于图7中。接触点结构可以被存储在图形G_CP中，该图形G_CP由对应于牙齿的节点N_CP的集合和有向边E_CP的集合组成。所述边是在近中方向和远中方向上相邻牙齿之间定义的。每一条有向边含有接触点的集合。还有待定义的是接触点的两个集合之间的距离的测度。当该距离较小并且这两个集合的点彼此接触时，所述测度应当较低。另一方面，当这两个集合的点彼此相距很远定位时，所述测度应当较高。可以设计出各种测度。一个实例是负核相关(Kernel Correlation，KC)测度。核相关测度源于概率核密度估计(KDE)表示的L2范数的逼近。具有高斯核的点集P＝{x_i∈R³}(i＝1......N)的KDE表示由以下给出：

因而，它为每一个点x∈R³分配该点属于所述点集的概率。两个点集P和Q的KDE表示的平方L2范数由以下给出：

后一项是核相关项。当通过寻找这两个点集P和Q之间的刚性对齐来将L2范数最小化时，所述核相关是唯一的相关项。前面的项知在这种情况下是恒定的。为了对齐接触点的两个集合，变形不是刚性的，因此逼近无效。尽管如此，负核相关项给出了这两个点集之间的距离的有效测度。核相关项可以进一步表示为

使用核相关，接触点能量项可以表示为

其中M和D是由两条有向边连接的两个相邻牙齿，并且P^G _MD和P^G _DM由以下给出：

其中P_MD是与有向边(M，D)相关的接触点的集合，P_DM是与逆向边(D，M)相关的接触点的集合，并且V_M和V_D分别是牙齿M和V的点的集合。

从审美的观点来看，至关重要的要求是对称性。由于在姿势与形状之间存在区别，因此可以对这两者定义对称性。在下文中，首先呈现了度量两个对侧牙齿的姿势之间的对称性的能量函数项，随后呈现了用于形状对称的能量函数项。

第一个要求是估计患者的解剖平面对称变换。存在许多可能的解决方案来估计该变换。最直接的解决方案是基于在解剖表面网格上指示的对应点的两个集合。平面对称变换矩阵T_G可以基于对应点集来计算。该变换矩阵可以被分解为

其中H是豪斯霍尔德变换矩阵(Householder transformation matrix)并且t是平移向量。

第二个要求是单独地估计每一个牙齿的局部平面对称变换。假定在对侧牙齿之间存在对应点，可以通过强制旋转分量的行列式等于-1来计算镜像刚性变换。所得的镜像刚性变换矩阵T′可以被分解为

其中H′是旋转和镜像操作的组合并且t′是平移分量。

为了阐明姿势对称能量函数项的以下推导，特定情况的图示示于图8中。该图示出了左犬牙和右犬牙，其具有相应的局部坐标系(x_L，y_L，z_L)和(x_R，y_R，z_R)、整体坐标系(x，y，z)、以及由T定义的镜面。变换T′没有示出，但是将点v_R从右犬牙映射到左犬牙的对应点v_L上

v_L＝H′v_R+t′(24)

逆变换由以下给出：

v_R＝H′^Tv_L-H′^Tt′(25)

点v_L从局部坐标系(x_L，y_L，z_L)到整体坐标系(x，y，z)的变换由以下给出：

x_L＝R_Lv_L+t_L(26)

其中R_L和t_L定义了左牙的姿势。类似地，点v_R从局部坐标系(x_R，y_R，z_R)到整体坐标系(x，y，z)的变换由以下给出：

x_R＝R_Rv_R+t_R(27)

其中R_R和t_R定义了右牙的姿势。平面对称变换T将对应点x_L和x_R映射到彼此上

x_L＝Hx_R+t(28)

x_R＝Hx_L+t(29)

将表达式26、27、28以及29组合，得到以下两个表达式：

R_Lv_L+t_L＝HR_Rv_R+Ht_R+t(30)

R_Rv_R+t_R＝HR_Lv_L+Ht_L+t(31)

目的在于已知R_R和t_R，导出R_L和t_L的表达式，并且类似地，已知R_L和t_L，导出R_R和t_R的表达式。这可以通过将上述两个表达式与表达式24和25组合来实现

R_Lv_L+t_L＝HR_RH′^Tv_L-HR_RH′^Tt′+Ht_R+t(32)

R_Rv_R+t_R＝HR_LH′v_R+HR_Lt′+Ht_L+t(33)

因而，已知T和T′，左牙的姿势可以根据右牙的姿势表示为：

类似地，右牙的姿势可以根据左牙的姿势表示为：

这两个表达式定义了左牙与右牙的姿势之间的关系。如果左牙和右牙的姿势相对于T和T′是完全对称的，那么以下关系将成立：

基于此，左牙与右牙的姿势之间的对称性的测度可以被制定为真实姿势(R_L，t_L)和(R_R，t_R)与预测姿势和之间的距离。测量刚性变换矩阵之间的距离需要考虑李群(Lie group)SE(3)的潜在流形结构。所述距离可以在相应的李代数(Lie algebra)se(3)中被测量为

其中log是对数映射。因而，对称姿势项由以下给出：

其中X是S中存在的所有左牙-右牙对的集合，

和

现在，呈现有利于对称形状的能量函数项。已知对于每一个左右牙齿对所定义的镜像刚性变换T′，该能量函数项可以由以下给出：

其中v^L _i∈V_L并且v^R _i∈V_R。

为了进一步精修前牙的解决方案，可以添加基于牙齿上的预定义点或标志的一组启发式规则。这些启发式规则约束了标志相对于彼此的相对定位。当前使用的启发式规则的集合可以被分成两类。第一类包括定义标志的位置的关系的启发式规则并且第二类包括定义标志之间的距离的关系的启发式规则。前者的实例是对在上下方向上定义的两个或更多个标志施加相等高度的启发式规则。后者的实例是在两对或更多对标志之间施加相等距离的启发式规则。第一类的启发式规则的集合由表1给出。第二类的启发式规则的集合由表2给出。

表1

表2

这些启发式规则有效的先决条件是虚拟牙齿排列的正确定位。z轴应当垂直于咬合面并且指向上颌的下方。y轴应当垂直于冠状平面并且指向腹侧方向。由此，x轴平行于中侧轴并且从患者的右侧指向左侧。

表1的第一个启发式规则的能量函数项可以被制定为

其中R₁₁和t₁₁定义了右中切牙的姿势，R₂₁和t₂₁定义了左中切牙的姿势，v¹¹ _IE∈V₁₁是在右中切牙的切缘上定义的标志，v²¹ _IE∈V₂₁是在左中切牙的切缘上定义的标志，W是含有定义相关方向的权重的对角矩阵并且c₁₁∈R³和c₂₁∈R^r是根据所述规则的理想位置。在这种情况下，对角矩阵W由diag(0，0，1)给出。对于表1中的其它启发式规则，可以导出类似的表达式。表2的第一个启发式规则的能量函数项可以被制定为

其中d₂₁和d₁₁分别是左中切牙和右中切牙的宽度，v¹¹ _L∈V₁₁是右中切牙的侧面标志，v¹¹ _M∈V₁₁是右中切牙的正中面标志，v²¹ _L∈V₂₁是左中切牙的侧面标志，v²¹ _M∈V₂₁是左中切牙的正中面标志，并且W是含有定义相关方向的权重的对角矩阵。在这种情况下，矩阵W由diag(1，0，0)给出。对于表2中的其它启发式规则，可以导出类似的表达式。

算法的一个重要要求是抑制牙齿被它的相邻牙齿穿透。对这种要求的需求是显而易见的，这是因为其中相邻牙齿彼此重叠的解决方案在物理上是不可能的。包括惩罚牙齿与对合牙表面重叠的能量函数项。在后处理步骤中，可以考虑咬合。然而，如果在牙齿与它的对合牙之间存在强烈重叠，那么后处理步骤不能产生良好的解决方案。因此，对合牙重叠能量函数项减轻了可能的重叠并且因而，确保了来自后处理步骤的正确解决方案。该能量函数项的先决条件是以正确咬合关系含有对合牙的对侧颌骨的表面网格的可用性。

对合牙重叠能量函数项可以由以下给出：

其中B是对侧颌骨的表面网格，R_T和t_T定义了牙齿T的姿势，v_i∈V_T，d(B，·)是与表面网格B的带符号距离，并且H：R→{0，1}是亥维赛阶跃函数，其由以下给出：

上文提出的重叠能量函数项带来了一些问题。首先，对于优化算法，应当计算能量函数项的梯度。然而，计算亥维赛阶跃函数的导数是狄拉克δ函数(Dirac deltafunction)。其次，亥维赛阶跃函数在没有重叠时使重叠能量函数项的值是零，并且当发生重叠时，所述值大于零。因而，重叠能量函数项在重叠点附近不平滑，其中存在扭结(导数不连续)。这给优化算法带来了问题。公知的解决方案是用正则化型式代替标准亥维赛阶跃函数。常用的正则化亥维赛阶跃函数由以下给出：

其中ε控制平滑度。该函数逼近标准亥维赛阶跃函数，但是在任何地方都是连续的。图9图示了该函数。正则化对合牙重叠能量函数项由以下给出：

如果由牙科技术人员建立的诊断性牙齿排列是可作为表面网格使用的，那么该信息也可以由所述算法使用。在这种情况下，可以使用表面项来确保相关牙齿将朝向诊断性牙齿排列拟合。因此，所述算法的解决方案被引向由牙科技术人员建立的诊断性牙齿排列。

作为大多数机器学习算法，本发明的算法包括两个阶段，即训练阶段和测试阶段。从用户的角度来看，测试阶段是最令人关注的，这是因为生成了有用输出。另一方面，在训练阶段期间，算法获得必要的知识以在测试阶段期间生成输出。训练阶段利用精心设计的示例数据集，其通常被称为训练数据。从训练数据集中提取必要知识的公认技术使用统计模型。在这种情况下，训练数据集含有表面扫描的石膏模型。从该训练数据集中提取的知识主要涉及牙齿的姿势和形状。在测试阶段期间生成的输出是虚拟理想牙齿排列。

到目前为止，只论述了测试阶段。现在，将呈现训练阶段。在训练阶段期间，构建统计模型，定义标志，计算接触点集等。在下文中，首先详述了训练数据集和其处理。随后，呈现了用于将处理过的训练数据在共同参考系中对齐的程序。随后，基于对齐的训练数据，构建描述形状和姿势的统计模型。之后，计算对称变换和接触点集。最终，为每一个牙齿定义标志。

训练数据集由表面扫描的牙模构成。对于上颌和下颌使用单独的训练数据集，这是因为对于这两者构建不同的模型。然而，在此论述的程序适用于这两者。对所有牙模进行激光扫描，从而产生含有牙齿和牙龈的牙模的详细表面网格。在这些表面网格上，手动指示解剖标志。训练样本的数量可以通过使用左/右镜面映射每一个训练样本来加倍。该平面可以从手动指示的标志来估计。因而，所得的训练数据集含有每一个训练样本两次，一次作为原始样本并且一次作为它的镜像版本。这种方法的直接益处是它提高了计算的统计模型中的对称性。

可用的表面网格不直接适用于训练，主要是因为两个原因。首先，在不同牙齿之间或在牙齿与牙龈之间不存在分离。其次，在牙齿之间的间隙处没有信息可用。因此，需要进一步处理表面网格以解决这些问题。这两个问题都是在两个单独的和后续步骤中解决的。在第一步骤中，从表面网格中提取单个牙齿表面。随后，在间隙的水平上完成所提取的牙齿表面。

作为第一步骤，从牙模的表面网格中提取所有牙齿。因此，牙齿需要彼此分离以及与牙龈分离。这可以手动完成。然而，在文献中，提出了许多(半)自动化算法用于该目的。

理想的是，牙齿提取步骤的结果是单个牙齿的表面网格的集合。最经常，这些表面网格在近中面和远中面处是开放的，其中牙齿与它的相邻牙齿接触。如上文所指出的那样，这为训练阶段带来了问题，这是因为需要全牙冠。可能的解决方案将是使用基于水平集的表面重建技术。另一个解决方案是使用非刚性表面配准使模板形状朝向训练样本中的每一个变形。如果模板形状是全牙冠并且非刚性配准算法对于异常值是稳健的，那么该方法解决了表面完成问题。这种方法的益处是可以纠正小的分割错误。此外，模板形状的分辨率可以根据具体需要调整。这种方法的缺点是分割的表面网格中存在的一些细节在变形的模板形状中可能无法观测到。每一种类型的牙冠的模板形状可从现有文库中获得。

完全配准流水线包括三个步骤。在第一步骤中，使用输入表面网格上手动指示的标志和模板形状来计算初始刚性对齐。随后，经由刚性配准算法进一步精修刚性对齐。最终，使用非刚性配准算法来使刚性对齐的模板形状朝向提取的牙冠变形。对于刚性配准和非刚性配准这两者都使用公认的迭代最近点(ICP)算法的变体。ICP以迭代方式将没有对应关系的两个点集对齐。每一次迭代含有两个步骤。首先，估计对应点。随后，基于对应点，更新对齐。使用最近点策略计算对应点。执行迭代直到两次连续迭代之间的差异变得最小为止。

如果在左牙与右牙之间存在对应点，那么对称形状能量函数项的评价可以大大简化。因此，映射右模板牙冠以生成左模板牙冠。

该程序产生虚拟牙齿排列的训练数据集。每一个虚拟牙齿排列包括具有从基础牙模中提取的形状和姿势的牙冠的集合。在可以使用训练数据集来构建统计模型之前，应当将所有训练数据定位在同一参考系中。因此，首先，计算平均虚拟牙齿排列。随后，将平均虚拟牙齿排列正确定位。最终，将所有虚拟牙齿排列都与平均值对齐。下文进一步详述这些步骤中的每一个。首先论述两个虚拟牙齿排列的对齐，这是因为这是计算平均虚拟牙齿排列所需的。

表面网格上手动指示的标志用作对齐的指导。这些标志可以容易地转移到虚拟牙齿排列中的不同牙齿上。由于在所述标志之间存在对应关系，因此可以计算对齐这两个虚拟牙齿排列的刚性变换。当变换虚拟牙齿排列时，出现了特别之处，这是因为在姿势与形状之间进行了区分。因此，对虚拟牙齿排列应用刚性变换仅影响牙齿的姿势。在数学公式中，它可以被表示为

其中是变换算符。如果局部参考系中牙齿T_i的点由v∈V_Ti给出，那么在整体参考系中所述点由以下给出：

其中R_Ti和t_Ti描述了牙齿的姿势。变换牙齿T_i归结为在牙齿的所有点上应用变换这可以被制定为

如果变换是由旋转矩阵R∈SO(3)和平移向量t∈R³组成的刚性变换，那么上述表达式可以简化为

其中R′_Ti＝RR_Ti并且t′_Ti＝Rt_Ti+t。因而，刚性变换仅影响牙齿的姿势。

平均虚拟牙齿排列的计算是迭代程序。该程序从平均值的初始估计值(训练样本之一)开始。在每一次迭代中，将所有虚拟牙齿排列都与平均值的当前估计值对齐，继而更新平均值。执行迭代直到在两次连续迭代之间不存在相关变化为止。上文已经解释了虚拟牙齿排列的对齐。现在解决从对齐的虚拟牙齿排列更新平均值。

平均虚拟牙齿排列含有具有平均形状和平均姿势的牙齿。因此，对于每一个牙齿，需要计算平均形状和平均姿势。从形状集合计算平均形状需要将所有形状与共同参考系对齐。由于在不同的形状之间存在对应关系，因此将所有形状与当前平均形状对齐是直接了当的。应当指出的是，将形状对齐而不是牙齿本身。因此，对牙齿的形状应用刚性变换也会影响牙齿的姿势。这可以从以下事实来证实：在整体参考系中牙齿的点x不应当因它的形状的刚性变换而改变，如由以下所给出：

其中R∈SO(3)和t∈R³是刚性变换，并且R_T和t_T定义了牙齿T的姿势。由此，可以为更新的姿势导出以下表达式：

一旦形状被对齐，就可以计算平均形状。

在计算牙齿的平均姿势之前，应当使用在此论述的方法将所有形状都与平均形状对齐。计算平均姿势，即平均刚性变换矩阵，并不是直接了当的，这是因为刚性变换矩阵不形成向量空间。相反，它们形成李群。因此，应当在该李群中计算平均姿势。存在用于该任务的算法。

先前论述的美观标志能量函数项对平均虚拟牙齿排列的定位施加了一些约束。为了使不同的测度有效，平均虚拟牙齿排列必须被如下定位。z轴应当垂直于咬合面并且指向上颌的下方。y轴应当垂直于冠状平面并且指向腹侧方向。由此，x轴平行于中侧轴并且从患者的右侧指向左侧。

将平均虚拟牙齿排列正确定位是在四个后续步骤中实现的。现在进一步详述这些步骤中的每一个。

1.将z方向确定为垂直于咬合面的向量。咬合面本身被计算为通过相关标志的集合{m_i}(i＝1、......、N)拟合的平面。这些标志是在解剖表面网格上手动指示的标志的子集。

2.x方向被计算为对称平面上从右侧指向左侧的法向向量。所述对称平面可以从平面对称变换确定，其中对称性将左侧和右侧映射到彼此上。从所述标志，也可以计算出从右到左的方向。因而，法向向量应当指向同一方向。如果情况不是这样，那么翻转x方向。然而，为了纠正x和z不保证相对于彼此正交的事实，遵循以下程序。x向量被表示为z和n的线性组合，如由以下所给出：

x＝αz+βn(54)

其中α和β是线性系数。因而，x被约束到由z和n确定的平面。由于x应当与z正交并且具有单位长度，因此可以使用以下方程式来确定系数α和β：

x·z＝0(55)

||x||＝1(56)

将方程式54和55组合，得到以下α的表达式：

α＝-βn·z(57)

将方程式54和56组合，得到以下推导：

||x||＝α²+β²+2αβn·z

＝β²(n·z)²+β²-2β²(n·z)²

＝β²(1-(n·z)²)＝1.(58)

从该推导，β可以表示为

如可以从先前的β表达式看出的是，存在两个解。挑选使x方向从右侧指向左侧的解。

3.y方向被计算为x方向与z方向之间的叉积。y方向应当从后牙指向前牙。再次从所述标志，可以计算出从后到前的方向。如果需要的话，翻转z方向以使y方向与从后到前的方向对齐。

4.原点被计算为咬合面中所选的标志{mi}(i＝1、......、N)的中心点。

已知x方向、y方向、z方向以及原点，刚性变换矩阵可以被构成为：

其中c＝[c_x，c_y，c_z]^T是新的原点。这将平均虚拟牙齿排列从它的当前位置变换到所需的位置。

这组统计模型包括三种类型的模型：单个形状模型(θT)、后验形状模型(θTT)以及后验姿势模型通过将所有虚拟牙齿排列与平均虚拟牙齿排列对齐并且提取相关的一个或多个形状或姿势来生成必要的训练数据。对于后验模型，存在额外的自由度。这些模型描述了两个牙齿的姿势或形状之间的关系。然而，应当对该关系进行建模的牙齿对是不确定的。实际上，这些对定义了整体后验模型的结构。可能的解决方案将是使用每一对可能的牙齿。另一个解决方案基于对应模型的质量以自动化方式定义了要使用的牙齿对。然而，该解决方案在很大程度上取决于训练样本的质量和数量。此外，需要施加质量阈值，这很难定义。因而，尽管它对于后验模型很重要，但是不存在既定的解决方案。因此，手动定义要使用的牙齿对。这允许将一些知识和假设结合到后验模型中。对被定义为所有的近中-远中相邻牙齿以及左/右对应牙齿。由于后验模型是定向的，因此对于每一对，构建两个模型。有关定义对的说明，参见图6。

这两个基于对称的能量函数项都需要对每一对相应的左牙和右牙进行局部镜像变换。该局部镜像变换涉及刚性变换和镜像操作，其被组合成单个矩阵，即镜像刚性变换矩阵。已知对应点的集合，该镜像刚性变换矩阵可以通过类似于标准刚性变换矩阵的方式来确定。然而，对旋转矩阵的行列式的约束det(R)＝1应当由约束det(R)＝-1代替。

在此提出的用于估计一对相应的左牙和右牙的镜像刚性变换矩阵的方法使用类似于ICP的表面对齐程序。ICP是一种用于对齐两个点集的迭代方法。在每一次迭代时，估计对应点，继而更新变换。在这种情况下，变换的类型是镜像刚性变换。对应关系被估计为目标表面网格上的最近点。执行迭代直到两次连续迭代之间的变化变得最小为止。这种方法快速收敛到稳态解。

在牙齿的形状上定义的接触点定义了在近中和远中方向上相邻牙齿之间的接触区。这些是为接触点能量函数项所需的，所述接触点能量函数项强制近中和远中相邻牙齿彼此接触。因而，避免了牙齿之间的间隙。接触点被存储在有向图形状结构中，其中节点对应于不同的牙齿，并且边对应于牙齿之间的近中和远中关系。每一条有向边含有在源牙齿上定义的与目标牙齿接触的接触点的集合。使用以下方法从训练数据集确定每一个近中-远中连接的接触点。已知近中牙齿T_M和远中牙齿T_D，其各自具有由R_M和t_M以及R_D和t_D给出的姿势并且各自具有由点集V_M和V_D给出的形状，接触点被定义为与另一个牙齿相距公差距离τ内的点

其中d(·，)是点与牙齿之间的最小距离。对于含有牙齿T_M和T_D的每一个训练样本，可以计算集合C_MD和C_DM。计算集合C_DM中点v_i∈V_D的出现次数n^D。由此，接触点集P_MD和P_DM分别被定义为出现多于最大出现点max({nMi})和max({nDi})的分数ρ的点。

美观标志能量函数项利用预定义的美观标志的集合。对于这些标志的概述，参见表1和表2。这些标志被定义为平均虚拟牙齿排列上在某个方向上的极值点。作为先决条件，应当如上文所概述，将平均虚拟牙齿排列正确定位。切缘和牙尖上的标志被定义为z方向上的极值点。正中面标志被定义为在x方向上最靠近中线的点。侧面标志被定义为x方向上最外侧的点。

所提出的算法的关键方面涉及能量函数的优化。优化方法的有效性对结果的质量有直接影响。鉴于能量函数项的性质，需要使用数值优化算法。数值优化是一个公认的研究领域，有大量的出版物和算法。因此，存在许多高效的数值优化算法，它们已经被证实对于广泛的应用是有效的。

在此适用的数值优化算法都从由S₀表示的起点开始，所述起点通常由用户设定。在这种情况下，可以使用平均虚拟牙齿排列作为起点。从S₀开始，优化算法生成迭代序列{Sk}，k＝1、......、∞。当不再能够取得进展时或当迭代S_k足够接近解时，该过程终止。从一次迭代移动到下一次迭代是基于当前迭代S_k以及可能更早的迭代S₀、......、S_k-1中的能量函数的信息。因此，存在两个策略：线搜索方法和信赖域方法。线搜索方法选择方向pk并且沿着该方向搜索具有足够低能量的新迭代S_k+1。因而，这些方法可以由以下给出：

其中求和应当被解释为将步骤αp_k应用于S_k。另一方面，信赖域方法基于从先前迭代收集的信息构建模型函数M_k，其局部逼近能量函数。在预定义区域(即信赖域)内，计算模型函数的最小值。因而，这些方法可以表示为

其中S_k+p处于信赖域中。通常，模型函数是二次的。总之，线搜索方法首先固定搜索方向，然后寻找步长，而信赖域方法首先固定最大步长，然后寻找方向和步长。

这两个策略仅保证找到局部解，这取决于能量函数和起点S₀。因此，选择好的起点是至关重要的。

在根据本发明的算法中，仅使用基于线搜索的优化方法，这是因为它们更适合于该应用。在继续处理手头问题的具体细节之前，需要解决两个重要问题。首先，需要设计用于找到搜索方向p_k的策略。其次，需要用于找到合适步长α的方法。

用于找到搜索方向的直接方法是使用能量函数的负梯度作为搜索方向。

这产生能量函数的局部最速下降方向。然而，尽管所需的计算时间有限，但是由于仅需要计算梯度，因此该方法可能非常缓慢。

另一个重要的搜索方向是牛顿方向(Newton direction)。该方向是从E(S_k+p)的二阶泰勒级数展开式(Taylor series expansion)获得的：

将该表达式的导数设置等于零会产生最佳搜索方向的以下表达式。

当能量函数可以局部地由二次函数表示时，该搜索方向是更可靠的。搜索方向有效的先决条件是黑塞矩阵(Hessian matrix)应当是正定的。与最速下降方法相比，该策略产生更快的收敛速率。然而，在每一次迭代中，需要计算黑塞矩阵，这在计算上是昂贵的并且对于大规模问题可能是不可能的。

拟牛顿法(Quasi-Newton method)通过用另一个矩阵B_k逼近黑塞矩阵来克服该缺点。因而，它们不需要计算黑塞矩阵而仍具有快速的收敛速率。在每一个步骤之后用在所述步骤期间获得的额外知识更新矩阵B_k。该额外知识是基于以下事实：梯度的变化提供了沿搜索方向的二阶导数的信息，如由以下所给出：

选择黑塞矩阵的逼近式来模拟上述表达式。因此，它应当满足割线方程式

B_k+1s_k＝y_k

其中s_k＝S_k+1-S_k并且鉴于该表达式和一些额外条件，用于更新矩阵B_k的表达式可以被制定。广泛使用的表达式是由以下给出的BFGS公式：

拟牛顿搜索方向是通过在牛顿方向上将黑塞矩阵用它的逼近式代替来获得

一些拟牛顿法通过直接更新B_k的逆而非B_k本身来避免计算逆矩阵Bk-1。

最后一组方法是非线性共轭梯度法。在此，搜索方向被计算为

其中β_k是确保p_k和p_k-1共轭的标量。存在用于计算标量β_k的不同方法，其各自产生共轭梯度法的变体。一般来说，这些方法与最速下降法相比有效得多，并且几乎同样易于计算。它们没有牛顿法或拟牛顿法那么快，但是具有不需要存储矩阵的优势。

已知搜索方向p_k，线搜索算法计算出有效将能量函数最小化的合适步长α_k。在此，在能量函数的充分减小与选择步长所需的时间之间存在折衷。理想步长是由以下定义的函数的全局最小值

φ(α)＝E(S_k+αp_k) α＞0(62)

然而，一般来说，计算该全局最小值需要过多的时间。因此，实际的线搜索算法仅对步长α执行不精确的搜索，这在最少的计算时间内提供能量函数的充分减小。典型的线搜索算法生成步长的序列并且当这些值之一满足某些条件时停止。搜索本身分两个阶段进行。首先，交叉算法找到含有所期望的步长的合适区间。其次，分半算法在该区间中找到良好的步长。一般适用的一组条件是沃尔夫条件(Wolfe condition)。第一个沃尔夫条件也被称为Armijo条件，规定步长应当确保能量函数的充分减小，并且由以下给出：

φ(α)≤φ(0)+μαφ′(0)

其中μ∈(0，1)并且是由以下给出的导数：

然而，该条件不保证收敛，这是因为它是针对足够小的步长而被满足的。因此，第二个沃尔夫条件确保线搜索算法取得足够的进展。该条件由以下给出：

φ′(α)≥ηφ′(0)

其中η∈(μ，1)。该条件确保的斜率大于初始斜率的η倍。该条件也被称为曲率条件，这是因为它意味着

φ′(α)-φ′(0)≥(η-1)φ′(0)

φ′(α)-φ′(0)≥(1-η)|φ′(0)|

因而，(0，α)上的平均曲率是正的。对沃尔夫条件略微修改产生强沃尔夫条件，其由以下给出：

φ(α)≤φ(0)+μαφ′(0)

|φ′(α)|≤η|φ′(0)|。

唯一的区别是导数不再被允许过正。因而，排除了远离解的点。

强大的线搜索算法是Moré-Thuente算法。已知区间[αmin，αmax]，该线搜索算法生成区间套I_k的序列和迭代α_k∈I_k∩[αmin，αmax]的序列，直到满足强沃尔夫条件为止。

步长α_k的初始估计值可以通过应用步长学习来生成。基于前一次线搜索的所选择的步长α_k-1，可以生成当前线搜索的步长的估计值。该估计值由以下给出：

将步长学习与Moré-Thuente算法组合应用产生非常有效的线搜索算法。实际上，该算法通常在一次或两次迭代内收敛。

各种优化算法可用于优化能量函数。梯度下降是基于线搜索的优化算法。因而，从起点S0开始，生成迭代的序列{S_k}，k＝1、......、∞直到收敛为止。通过沿着在前一次迭代S_k时计算的方向p_k执行线搜索来生成每一次迭代S_k+1。遵循最速下降策略计算搜索方向p_k。可以使用各种线搜索算法，从固定步长到Mor′e-Thuente算法不等。梯度下降算法由于它的简单性而被广泛使用。

更复杂的优化算法是非线性共轭梯度算法。类似于梯度下降算法，该算法也是基于线搜索的优化算法。最初，共轭梯度算法被提出用于求解大规模线性方程组，该大规模线性方程组由以下给出：

Ax＝b (64)

其中A是n×n对称正定的。该问题也可以被表述为以下函数的最小化问题：

所述线性共轭梯度法能够沿着相对于矩阵A共轭的搜索方向p_i在n步中将该函数最小化。

沿着每一个方向的步长可以被计算为

其中共轭梯度法的特定特性在于在生成共轭方向的集合时，可以仅使用前一个方向p_k-1计算新的方向pk。不需要有关方向p₀、......、p_k-2的信息。方向p_k的表达式由以下给出：

p_k＝-r_k+β_kp_k-1(68)

其中β_k被确定以确保p_k和p_k-1相对于A共轭，并且由以下给出：

作为β_k的表达式的步长α_k的两个表达式都可以进一步简化。所得的表达式由以下给出：

和

因而，共轭梯度算法的每一次迭代含有以下步骤。首先，已知当前的x_k和p_k，使用表达式70计算步长α_k并且将x_k+1计算为x_k+1＝x_k+α_kp_k。随后，将残差向量r_k+1更新为r_k+1＝r_k+α_kAp_k。最终，由表达式71计算值β_k+1并且由表达式68计算新的搜索方向。

线性共轭梯度算法也可以被扩展到一般非线性能量函数，例如E(S)。在此，需要对线性算法进行两个重要的改变。首先，需要将表达式70替换为一般线搜索算法。实验观测表明执行更准确的线搜索是有利的。其次，残差r_k必须由能量函数的梯度代替。一些作者已经提出了β_k的不同表达式，从而产生了非线性共轭梯度算法的变体。此外，大多数实现方式使得能够在多次迭代之后重新启动非线性共轭梯度算法。重新启动通过设置β_k＝0来丢弃来自前一个搜索方向的信息，因此采取最速下降步骤。一些实现方式包括用于重新启动的不同策略。流行的策略是如果两个连续梯度完全不正交，那么强制重新启动，如由以下所测量：

其中v的典型值是0.1。

LBFGS(限定记忆Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)优化算法是限定记忆拟牛顿法。这些方法可用于解决大规模优化问题，其中从计算的观点来看，计算逼近黑塞矩阵是困难的。因此，不是存储完全逼近黑塞矩阵，而是存储一些向量，所述向量隐含地定义了逼近黑塞矩阵。在此呈现的特定优化算法是从BFGS优化算法导出的。在进一步详细描述限定记忆型式之前，首先呈现BFGS算法本身。

如上所述，拟牛顿法利用逼近黑塞矩阵来计算搜索方向。为了导出逼近黑塞矩阵的表达式，通过二次函数M_k局部逼近能量函数，该二次函数M_k由以下给出：

其中p是搜索方向并且B_k是在S_k时的逼近黑塞矩阵。矩阵B_k应当是对称的和正定的。施加约床得到以下表达式

其也可以被制定为

B_ks_k-1＝y_k-1(75)

其中s_k-1＝α_k-1p_k-1并且求解该表达式的必要条件由以下给出

这是因为B_k应当是正定的。该条件对线搜索算法施加约束，并且在沃尔夫条件或强沃尔夫条件被满足时有效。鉴于对称性和正定约束，从表达式75估计B_k仍然导致不确定的问题。因此，施加额外约束。可能的约束使用适当的矩阵范数强制矩阵B_k接近来自前一次迭代的矩阵B_k-1。然而，BFGS方法对逼近黑塞矩阵的逆H_k强制执行这些约束。因而，矩阵H_k+1是以下问题的解

min||H-H_k-1||受约束于H＝H^T和H_yk＝s_k。

这产生用于更新矩阵H_k的以下表达式：

其中已知矩阵H_k，新的搜索方向可以被计算为

因而，BFGS算法的每一次迭代由以下步骤构成。首先，如由表达式78所给出，计算新的搜索方向p_k。随后，使用线搜索算法来选择适当的步长α_k并且相应地计算解S_k+1。最终，计算s_k和y_k并且更新矩阵H_k+1，如由表达式77所给出。如上所述，LBFGS算法是BFGS算法的限定记忆型式。LBFGS算法通过存储许多向量对{(s_i，y_i)}(i＝k-m、......、k)隐含地存储矩阵H_k的修改型式，其中m表示对的数量。由此，乘积可以被计算为内积和向量求和的序列。如果计算新的迭代，那么将最老的对(s_k-m-1，y_k-m-1)用最新的对(s_k，y_k)替换。已知初始矩阵H⁰ _k(其在每一次迭代时可以不同)，矩阵H_k可以被计算为

用于选择的方法是设置其中

存在计算的递归算法。LBFGS算法非常类似于BFGS算法。然而，在每一次迭代中，已知的估计值，使用的递归算法计算搜索方向。此外，更新要保留的向量对集。实验观测表明执行相当不准确的线搜索是有利的。

现在呈现上述基于线搜索的数值优化算法的实际实现方式。目的在于详述鉴于必要的输入、模型等，虚拟牙齿排列算法的优化程序。

牙齿的形状可以直接由属于该形状的点的坐标来表示。另一种选择是直接使用所采用的统计形状模型，即主成分分析(PCA)模型。PCA能够实现所述模型允许的每一个形状x的线性公式，如由以下所给出：

其中是平均形状，{e_i}(i＝1、......、s)是主成分并且{b_i}(i＝1、......、s)是变形系数。从该表达式可以得出，所述模型允许的形状可以由变形系数集表示，从而直接使用PCA的降维能力。该方法的优势在于它引起更低的维度优化问题，这在内存要求和计算时间方面是有益的。另一方面，只能呈现所述模型允许的形状，这降低了灵活性。这对可用的训练样本的量提出了一些要求。在此呈现的虚拟牙齿排列算法利用基于变形系数的表示。

如上文所指出，良好的起始位置(或初始虚拟牙齿排列)是为数值优化算法成功进行所需的。在起始位置的质量与来自用户的必要输入之间的折衷是提供平均虚拟牙齿排列作为起始位置。

不同的统计模型、平面对称变换等都在与平均虚拟牙齿排列相同的参考系中定义。另一方面，作为用户的输入提供的解剖表面网格定位在不同的参考系中。因此，应当将解剖表面网格与平均虚拟牙齿排列对齐。可靠和有效的方法是利用在平均虚拟牙齿排列上定义的解剖标志。这需要用户在解剖表面网格上提供这些标志作为额外的输入。

数值优化算法都利用能量函数的梯度。所述梯度是含有关于不同虚拟牙齿排列参数的偏导数的向量。这些参数包括虚拟牙齿排列的每一个牙齿的姿势和变形系数。姿势参数包括平移分量t_x、t_y和t_z以及旋转分量ω_x、ω_y和ω_z。变形系数是方程式80中的参数b_m。

可以重点关注姿势依赖性能量函数项。由于姿势在本质上是刚性变换矩阵，因此不可能对梯度进行标准计算。所有梯度计算都需要在李群SE(3)(所有刚性变换矩阵的群)的李代数se(3)中执行。这也牵涉到线搜索算法。如先前所解释的那样，已知搜索方向p_k，线搜索算法寻找合适的步长α_k。在标准数值优化问题中，步长将优化算法的下一次迭代定义为

S_k+1＝S_k+α_kp_k(81)

然而，在这种情况下，该运算出于两个原因不直接适用，这是因为没有定义虚拟牙齿排列与向量之间的求和。此外，该求和对于姿势无效。为了克服前一个问题，定义了将虚拟牙齿排列向量化的运算符。该运算符由给出，略微滥用符号S作为所有虚拟牙齿排列的空间。该向量化的表示含有虚拟牙齿排列中所有牙齿的变形系数和姿势。为了克服后一个问题，定义了将步骤α_kp_k应用于向量化的虚拟牙齿排列S_k的第二运算符。该运算符由ζ给出：Rⁿ×Rⁿ→Rⁿ。因而，表达式81可以正确地由以下给出：

S_k+1＝v^-1(ζ(v(S_k)，α_kp_k))(82)

对于变形系数，运算符ζ对应于简单的求和。然而，对于姿势，运算略微更加复杂，这是因为梯度是在李代数se(3)中计算的。因此，运算含有三个步骤：(1)将姿势映射到李代数；(2)在李代数中应用梯度；以及(3)将结果再次映射到原始李群。

基于来自实验的观测结果，优化程序被分为两个后续步骤。在第一优化步骤中，将虚拟牙齿排列的相关牙齿与当前解剖信息拟合，而在第二优化步骤中，设计待修复的牙齿。第一优化步骤的结果用作第二优化步骤的起点。所述分割是通过将三种可能状态之一分配给虚拟牙齿排列中的每一个牙齿来完成的。这些状态确定了牙齿是否参与优化程序中。这三种可能的状态是活动、空闲以及被动。具有活动状态的牙齿参与优化程序。存在空闲与被动之间的区别，这是因为后验模型利用牙齿对。具有空闲状态的牙齿不直接参与优化程序，然而，它可以经由后验模型间接参与。具有被动状态的牙齿不能被后验模型使用，并且因此不参与优化程序。在第一优化步骤中，待修复的牙齿被分配为被动状态，并且剩余牙齿被分配为活动状态。在第二优化步骤中，待修复的牙齿变成活动的，并且剩余牙齿变成空闲的。此外，这两个步骤使用略微不同的能量函数。第一优化步骤的能量函数由以下能量函数项组成：标志项、表面项、形状模型项、后验形状模型项、以及后验姿势模型项。添加基于模型的项以将优化正则化(或稳健化)。第二优化步骤含有以下能量函数项：形状模型项、后验形状模型项、后验姿势模型项、姿势对称项、形状对称项、接触点项、美观标志项、以及(可能)对合牙重叠项。当计算能量函数项的梯度时，只有具有活动状态的牙齿是令人关注的。

为了停止优化程序，使用两个标准。第一，当两次后续迭代S_k+1与S_k之间的变化下降到低于用户控制的阈值时，停止优化。第二，限制最大迭代次数。这允许用户控制算法的最大运行时间。

能量函数不能编码施加于算法的所有要求。这些要求中的一些可以通过后处理步骤来满足。在此，在后处理步骤中修改第二优化步骤的结果以满足一个或多个要求。可以通过后处理步骤解决的两个最重要的要求是与重叠和咬合相关的要求。另一种类型的后处理是将来自各种可用文库的牙冠与最终结果拟合。

通过算法估计的牙齿上存在的解剖细节的水平取决于许多因素。单个最重要的因素是训练样本的质量。然而，即使可获得高质量的精心设计的训练数据集，所使用的统计形状模型也会由于解剖细节的个体差异而抹去细粒度细节中的一些。影响细节水平的另一个因素是用于非刚性配准的模板牙冠的分辨率。主要出于计算原因，该分辨率应当相当粗糙，这不可避免地导致一些解剖细节的丢失。克服该问题的可能的解决方案是将可从文库中获得的牙冠与由第二优化步骤产生的牙齿拟合。存在多种这样的文库，其各自具有不同形状的牙冠。用户可以基于经验或偏好指定使用哪个文库。另一个选择是尝试所有可用的文库并且选择最佳拟合文库。

将文库牙冠C与由第二优化步骤产生的牙齿T拟合是通过定义这两个形状之间的对应点来实现的。基于所述对应点，生成非刚性变形场，其使文库牙冠C朝向牙齿T变形。所述对应点是在离线程序中生成的并且保存到文件中，因而它们不需要每次重新计算。首先，呈现用于生成所述对应点的程序。随后，论述非刚性变形场的计算。

通过将牙齿T的基础统计形状模型θT与文库牙冠C拟合而生成对应点。因此，采用基于配准的方法，其中变形由统计形状模型控制。这种方法需要对源自于不重叠区域的可能异常值具有稳健性。该配准产生牙齿T′。随后，对于T′的每一个点，计算到C的基于表面的距离。将所述距离通过用户指定的阈值进行阈值化并且使用最远点聚类算法将所有剩余点聚类到用户指定数量的聚类。这些聚类的中心定义了统计形状模型θT上的对应点并且因此定义了由该模型生成的所有形状。牙冠C上最靠近聚类中心的对应点定义了C上的对应点。该程序图示于图10中。仅需要对所有牙冠和所有文库重复相同的程序一次，结果可以被保存到文件中并且在拟合程序期间重复使用。

已知对应点，可以计算各种非刚性变形场。在此，使用薄板样条(TPS)变形场。实际上，TPS拟合映射函数{s_i}(i＝1、......、N)和{ti}(i＝1、......、N)，其中前者是牙齿T上的对应点并且后者是牙冠C上的对应点。可以使用任何可用的非刚性配准算法对文库牙冠的所得变形进行进一步精修。然而，这将导致计算时间增加。

施加于虚拟牙齿排列算法上的重要要求是防止相邻牙齿彼此重叠。如先前所述，该要求实际上是约束并且应当这样处理。然而，能量函数关于该约束的数值优化在计算上是不可行的。因此，包括另外的后处理步骤以满足该约束。此外，应当指出的是，接触点项部分地将该约束考虑在内。因此，一般来说，只需要对牙齿形状略作修改。

去除重叠的后处理步骤由迭代过程组成。每一次迭代具有两个步骤。首先，检测最大重叠点。其次，修改牙齿形状以去除检测点中的重叠。只要存在重叠，就执行迭代。因而，该程序类似于用于对齐两个点集的一般配准算法。该处理步骤是以单向方式应用的，其中鉴于相邻牙齿的形状，仅对一个牙齿进行修改。通过计算牙齿T的每一个点x_T到牙齿R的表面的带符号距离来检测最大重叠点。随后，非最小值抑制仅保留局部最小值。最终，选择重叠局部最小值作为最大重叠点。非最小值抑制将每一个点中的距离相对于相邻点中的距离进行比较。如果该点中的距离与相邻点中的距离相比更小，那么保留该点。相邻是沿着表面网格的边定义的。有可能，使用小的误差阈值T来对数值不准确性更具稳健性。

在检测到重叠点之后，使牙齿T的形状变形以去除所检测到的重叠。可以有效地通过非刚性变换对变形进行建模。已知重叠点集{s_i∈R³}，需要目标点集{t_i∈R³}以使得能够定义该非刚性变换。目标点被定义为相邻牙齿R的表面上最靠近重叠点s_i的那些点t_i。还有可能定义相邻牙齿R的表面的一定偏移处的目标点。已知这两个点集{s_i}和{t_i}，可以生成非刚性变换。该变换可以是薄壳变换或薄板样条变换，这取决于不同后处理步骤的顺序。

对于接受虚拟牙齿排列算法来说最重要的要求是将咬合信息考虑在内。如之前所指出的那样，建立完美的咬合关系是非常复杂的。需要有关对合牙牙冠的信息以及对自然颌骨运动的模拟。然而，将该信息结合到虚拟牙齿排列算法中在当前设置中是不可行的。因此，引入另外的后处理步骤以将对合牙牙冠的形状考虑在内。该后处理步骤产生良好的初始估计值，该初始估计值应当由牙科技术人员进一步精修。

用于建立初始咬合关系的程序与前一部分中所呈现的重叠去除步骤密切相关。类似于先前的后处理步骤，该后处理步骤也由迭代程序组成，其中每一次迭代由两个步骤组成。在第一步骤中，定义咬合接触点。在第二步骤中，使牙齿的形状变形以在所定义的接触点处获得完美的咬合接触。执行迭代直到在两次连续迭代之间发生相关变化为止。

以如下方式定义接触点。首先，对于牙齿T的每一个点x_T，计算到对合牙表面B的带符号距离。随后，使用非最小值抑制，确定候选咬合接触点的集合。随后，过滤该候选咬合接触点集以获得实际的咬合接触点{s_i∈R³}。最终，基于所述咬合接触点，使牙齿T的形状变形以在所检测到的接触点处获得良好的咬合接触。过滤候选咬合接触点将接触点的数量限制为用户定义的数量。此外，具有最小距离与最大距离的接触点之间的比率应当接近1。尽管在此没有使用，但是另一种可能性是确保接触点足够地遍布在牙冠的咬合面上。这些步骤图示于图11中。

类似于重叠后处理步骤，通过非刚性变换对形状变形进行建模。该非刚性变换需要另一个目标点集{t_i∈R³}。这些被定义为对合牙表面上最靠近咬合接触点的点。有可能，考虑对合牙表面的偏移。此外，也有可能确保这两个表面的法线之间的适当对齐。因此，应当将对合牙表面的负法线与牙齿形状的法线对齐。这可以通过旋转和平移来实现。旋转是由旋转轴ω和旋转角θ定义的，其由以下给出：

其中×是向量叉积并且

其中·是向量点积。使用李群SO(3)的指数映射，这可以被转换成旋转矩阵R。平移向量由以下给出：

t＝ti-Rsi (83)

将此施加于非刚性变换的优选方式是不仅定义接触点的变形，而且还定义它们相邻点的变形。

此外，仅希望在牙齿的咬合区处发生变形。将其余的牙齿通过所述算法在最佳意义上定位和设计。因此，对于每一个牙齿定义固定点集{f_i∈R³}。如果使用开放模板牙冠，那么将沿边界的点定义为固定的。此外，如果使用封闭的模板牙冠，那么将种植体侧面的牙冠侧面定义为固定的。

已知咬合接触点集{s_i}、目标点集{t_i}以及固定点集{f_i}，可以生成非刚性变换。该变换可以是薄壳变换或薄板样条变换，这取决于不同后处理步骤的顺序。

该后处理步骤的先决条件是对合牙表面的可用性。该表面应当含有作为单个表面网格的对侧颌骨的相关牙冠。此外，它应当以正确的咬合关系定位以模拟患者的真实解剖结构。用于牙科应用的大部分的表面扫描仪使得能够扫描对侧颌骨并且记录正确的咬合关系。

上文概述的当前程序限于单向建立正确的咬合关系。因此，不可能使上颌和下颌中的牙冠都变形来确保它们之间正确的咬合。

这种方法非常类似于去除重叠的后处理步骤。因此，这两个后处理步骤可以组合成去除重叠并且建立良好的咬合关系的单个后处理步骤。

关于具有多个前牙缺失的患者病例说明了本发明。更确切地说，从右侧切牙到左犬牙的牙齿缺失。对于该患者病例，没有对合牙信息可用。因此，不能使用咬合后处理步骤以及对合牙重叠项。本发明的算法使用所有剩余的牙齿来估计缺失的牙齿。将文库牙冠与来自所述算法的第二优化步骤的解决方案拟合。结果从正面、咬合、左侧以及右侧观察点示于图12中。如可以从该图中看到的是，估计的牙齿完全拟合到患者的牙弓上。

虽然已经在附图和以上描述中说明和详细描述了本发明，但是这样的说明和描述应当被认为是说明性的或示例性的而不是限制性的。以上描述详述了本发明的某些实施方案。然而，应当了解的是，无论前述内容在文本中有多详细，本发明都可以通过许多方式实施。本发明不限于所公开的实施方案。

通过研究附图、公开内容以及所附权利要求，本领域技术人员在实施要求保护的发明时可以了解和实现所公开的实施方案的其它变化方案。在权利要求书中，词语“包含”不排除其它元件或步骤，并且不定冠词“一个/种(a/an)”不排除复数。单个处理器或其它单元可以实现权利要求书中所述的若干项的功能。仅仅是在相互不同的从属权利要求中叙述某些措施的这个事实并不表示这些措施的组合不能用于获益。计算机程序可以存储/分布在与其它硬件一起或作为其它硬件的一部分提供的合适的介质上，如光学存储介质或固态介质，但是也可以其它形式分发，如经由互联网或其它有线或无线电信系统。权利要求中的任何附图标记不应当被视为限制范围。

Claims

1.一种用于估计用于部分缺齿的患者的牙齿修复体的形状、位置以及取向中的至少一个元素的计算机辅助方法，所述方法包括

2.如权利要求1所述的用于估计的方法，所述方法包括后处理步骤以将所述适应的虚拟牙齿排列中的牙齿的对合牙牙冠的形状考虑在内，这是通过定义咬合接触点并且使所述适应的虚拟牙齿排列的所述牙齿的形状变形以在所述定义的接触点处获得所期望的咬合接触而实现的。

3.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，所述方法包括将来自文库的牙冠与所述适应的虚拟牙齿排列的牙齿拟合。

4.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，所述方法包括以下步骤：输出所述牙齿修复体的所述估计的至少一个元素。

5.一种用于从患者的数字化口内表面估计一个或多个牙齿的形状、位置以及取向中的至少一个元素的基于计算机的方法，所述方法包括

-指示所述需要所述估计的一个或多个牙齿；

6.如权利要求5所述的方法，其中所述适应的虚拟牙齿排列提供表示所述患者的口内区域的数字化表面网格，其中所述一个或多个牙齿是能够作为单个牙齿的分离的表面网格使用的。

7.如权利要求5或6所述的方法，其中所述方法是数字正畸计划方法的一部分。

8.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，所述方法包括后处理步骤以防止所述适应的虚拟牙齿排列中的相邻牙齿彼此重叠，这是通过迭代地检测最大重叠点并且修改所述牙齿形状来去除所述重叠而实现的。

9.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，其中所述第一测度包括标志项，所述标志项指示所述虚拟牙齿排列上与所述患者的口内区域的所述数字化表面网格上的相应标志之间的距离。

10.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，其中所述第一测度包括表面项，所述表面项指示所述虚拟牙齿排列的点到所述患者的口内区域的所述数字化表面网格的距离。

11.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，其中所述能量函数包括接触点项，所述接触点项提供相邻牙齿的接触点集之间的距离的测度。

12.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，其中所述能量函数包括对称形状、位置和/或取向项，所述对称形状、位置和/或取向项给出两个对侧牙齿的形状、位置和/或取向的对称性测度。

13.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，其中所述能量函数考虑一个或多个启发式规则，所述启发式规则定义所述适应的虚拟牙齿排列的牙齿上预定义标志的位置之间的关系。

14.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，其中所述能量函数考虑一个或多个启发式规则，所述启发式规则定义所述适应的虚拟牙齿排列的牙齿上预定义标志之间的距离之间的关系。

15.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，其中使用训练阶段获得所述统计模型，所述训练阶段涉及

-提供许多虚拟牙齿排列，所述许多虚拟牙齿排列包括不同的接近理想的牙齿排列的数字表面网格，并且其中所述单个牙齿是能够作为分离的表面网格使用的；

-从所述许多虚拟牙齿排列计算平均虚拟牙齿排列；

16.如权利要求15所述的用于估计的方法，其中所述虚拟牙齿排列是通过从获自具有接近理想的牙齿排列的个体的牙模或牙印模的扫描或口内扫描的表面网格中提取所述单个牙齿表面而获得的。

17.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，其中所述能量函数的所述第二测度由三个单独项构成，所述三个单独项分别对应于所述单个牙齿的所述形状、所述相邻牙齿的所述形状之间的所述关系以及所述相邻牙齿的所述位置和/或取向之间的所述关系。

18.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，其中应用所述能量函数包括对所述第一测度和所述第二测度的所述一个或多个剩余牙齿的形状、位置以及取向中的至少一个元素进行优化。

19.如前述权利要求中任一项所述的用于估计的方法，其中应用所述能量函数包括对所述第二测度的所述牙齿修复体的所述至少一个元素进行优化。