CN109249428B - 绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法，包括：计算机械臂联动绳索整体的关节等效刚度

根据驱动绳索与机械臂关节的速度级运动学关系，计算得到关节空间到驱动空间的雅克比矩阵G_q，并根据虚功原理和变分原理，得到机械臂驱动绳索整体的关节等效刚度

根据

和

计算机械臂关节等效刚度K_q；根据机械臂关节变量与末端位姿的速度级运动学关系，计算得到关节空间到末端笛卡尔空间的雅克比矩阵J_q，并根据虚功原理和变分原理，得到所述机械臂关节等效刚度K_q等效到末端笛卡尔空间的刚度K_e。本发明能实现绳驱动联动式机械臂的刚度分析与控制；且可用于绳驱动联动式机械臂的刚度分析、静力学分析、力控制等方面。

Description

绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法

技术领域

本发明涉及机械臂技术领域，具体涉及绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法。

背景技术

传统的离散型关节机械臂由于自身结构特性限制，无法在非结构化的狭小环境中应用。采用刚性连杆通过十字轴串联的超冗余机械臂具有很好的运动灵活性，且刚度较好，但全驱动式超冗余机械臂由于每个连杆相连处均配置驱动绳索，导致整体驱动电机数目较多，为了降低驱动电机数量，并保证臂长和自由度要求，可采用多关节联动的方式，通过相邻关节内部联动绳索，将几个邻近关节的同一转轴方向的自由度实现同步转动，这种联动式柔性机械臂具有驱动电机数量少、末端精度高、负载能力强的特点。

刚度特性是机械臂的一项非常重要的特性。联动式柔性机械臂的刚度建模对于联动式机械臂的特性研究和控制具有非常重要的意义。联动式柔性机械臂属于串并混联式机械臂，其中每一臂段通过三根驱动绳索驱动，属于并联机构；多个臂段之间属于串联机构。因此，联动式柔性机械臂的刚度影响因素较多，与联动绳索刚度、驱动绳索刚度、驱动绳索张力和机械臂关节角都有关系。但目前仍未有针对绳驱动联动式机械臂的刚度建模的方案。

以上背景技术内容的公开仅用于辅助理解本发明的发明构思及技术方案，其并不必然属于本专利申请的现有技术，在没有明确的证据表明上述内容在本专利申请的申请日前已经公开的情况下，上述背景技术不应当用于评价本申请的新颖性和创造性。

发明内容

本发明的主要目的在于针对绳驱动联动式机械臂，提出其末端笛卡尔空间刚度建模的方法，通过建立联动绳索和驱动绳索的关节等效刚度模型来建立末端笛卡尔空间刚度模型，以为联动式柔性机械臂的力学特性分析和控制提供研究基础。

本发明为达上述目的提出以下技术方案：

一种绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法，包括：

计算机械臂联动绳索整体的关节等效刚度

根据驱动绳索与机械臂关节的速度级运动学关系，计算得到关节空间到驱动空间的雅克比矩阵G_q，并根据虚功原理和变分原理，得到机械臂驱动绳索整体的关节等效刚度

根据

和

计算机械臂关节等效刚度K_q；

根据机械臂关节变量与末端位姿的速度级运动学关系，计算得到关节空间到末端笛卡尔空间的雅克比矩阵J_q，并根据虚功原理和变分原理，得到所述机械臂关节等效刚度K_q等效到末端笛卡尔空间的刚度K_e。

本发明上述技术方案所提出的建模方法，能够实现绳驱动联动式机械臂的刚度分析与控制；且可用于绳驱动联动式机械臂的刚度分析、静力学分析、力控制等方面，对于绳驱动联动式机械臂的研究具有重大的意义。

附图说明

图1是一种示例性的绳驱动联动式机械臂模型；

图2是如图1所示的机械臂中的一个臂段的示意图；

图3是如图2所示的臂段中的相邻两个万向节之间的小“8”缠绕联动绳索的示意图；

图4是本发明具体实施例中的机械臂构型图；

图5是图4所示机械臂在XY平面的末端笛卡尔空间等效刚度变化图；

图6是图4所示机械臂在XZ平面的末端笛卡尔空间等效刚度变化图；

图7是图4所示机械臂在YZ平面的末端笛卡尔空间等效刚度变化图；

图8是本发明具体实施方式提供的一种绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体的实施方式对本发明作进一步说明。

本发明的具体实施方式提出了一种绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法，旨在解决绳驱动联动式机械臂关节等效刚度和末端笛卡尔空间等效刚度的数学模型表达与求解问题，以实现该类机械臂的刚度分析、静力学分析、力控制等。图1给出了绳驱动联动式机械臂模型，包括三部分：驱动箱1、机械臂主体2和末端执行器3，驱动箱1通过电机带动绳索牵引机械臂主体进行运动。该类机械臂的绳索包括驱动绳索和联动绳索，其关节等效刚度由驱动绳索和联动绳索共同产生，通过计算驱动绳索的关节等效刚度和联动绳索的关节等效刚度，来计算该机械臂的综合关节等效刚度等效到末端笛卡尔空间的刚度，从而实现建模。参考图8，本发明提供的绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法，包括：

计算机械臂联动绳索整体的关节等效刚度

根据驱动绳索与机械臂关节的速度级运动学关系，计算得到关节空间到驱动空间的雅克比矩阵G_q，并根据虚功原理和变分原理，得到机械臂驱动绳索整体的关节等效刚度

根据

和

计算机械臂关节等效刚度K_q；

根据机械臂关节变量与末端位姿的速度级运动学关系，计算得到关节空间到末端笛卡尔空间的雅克比矩阵J_q，并根据虚功原理和变分原理，得到所述机械臂关节等效刚度K_q等效到末端笛卡尔空间的刚度K_e。

定义机械臂由S个臂段组成，每个臂段包含n节臂杆和n个万向节，每个万向节含两个正交旋转自由度，每个臂段的n个万向节采用w个驱动电机驱动，对应w根驱动绳索，相邻两个关节(万向节)之间具有两段小“8”缠绕联动绳索和两段大“8”缠绕联动绳索。例如图2所示的臂段，包含5节臂杆和5个万向节(例如万向节31、32)，该臂段采用3个驱动电机，具有3根驱动绳索10，相邻两个关节之间具有两段小“8”缠绕联动绳索21(图2中只标示了一段，图3中示出了两段)和两段大“8”缠绕联动绳索22。记相邻两个关节之间的一段小“8”缠绕联动绳索的长度为l_c1、横截面积为A_c1、杨氏模量为E_c1，相邻两个关节之间的一段大“8”缠绕联动绳索的长度为l_c2、横截面积为A_c2、杨氏模量为E_c2，小“8”缠绕联动绳索的关节旋转半径为r_θ，大“8”缠绕联动绳索的关节旋转半径为

则：

当相邻两个关节之间具有不为零的相对转角时，相邻两个关节之间的两段小“8”缠绕联动绳索的应变的差值为

Δε＝2r_c1Δθ/l_c1 (1)

这两段绳索应变的不一致会在相应的关节上产生不为零的合力矩

ΔZ＝r_θE_c1A_c1Δε (2)

由式(1)和式(2)可以求得相邻两个关节间的两段小“8”缠绕联动绳索在相应关节处的等效刚度为：

同理得到相邻两个关节间的两段大“8”缠绕联动绳索在相应关节处的等效刚度为：

k_c1、k_c2分别表示小“8”缠绕联动绳索、大“8”缠绕联动绳索的抗拉刚度。

从而，对于机械臂的任意臂段m，其联动绳索对应的关节等效刚度矩阵

为：

其中，

则整个机械臂由联动绳索产生的整体的关节等效刚度

为：

其中，

分别表示机械臂的第1个、第2个、…、第S个臂段的联动绳索对应的关节等效刚度矩阵。

驱动绳索与机械臂关节的速度级运动学关系为：

上式中

为关节空间到驱动空间的雅克比矩阵，^mG_q(m＝1,2,…,S)为机械臂的臂段m的所有关节角速度到臂段m所有绳索绳长变化的映射矩阵；

为机械臂所有关节的关节变量构成的矩阵，

表示臂段m内所有关节的关节变量构成的矩阵；

表示机械臂所有驱动绳索的绳长速度变量构成的矩阵，

表示驱动臂段m的w根驱动绳索的运动速度矩阵。

根据虚功原理，驱动绳索拉力所做的功与关节力矩所做的功相等，即：

上式中F_l∈R^wS×1表示驱动绳索拉力，τ∈R^(2n×S)×1为机械臂关节对应的关节力矩由式(7)和式(8)得到：

即

根据变分原理，对式(9)两边进行变分，得到

仍然根据变分原理，对于驱动绳索：

δF_l＝K_lδl (11)

式(11)中，l表示驱动绳索长度构成的矩阵；

为驱动绳索抗拉刚度组成的矩阵，k_y(y＝1,2,…,wS)为第y根驱动绳索的抗拉刚度；

根据变分原理，当机械臂关节力矩发生微小变化δτ时，导致关节产生一组相应的微小运动δq，则机械臂的驱动绳索整体产生的关节等效刚度

为：

式(12)中，

为关节空间到驱动空间的力雅克比矩阵相对于关节变量的偏导数，被定义为三维Hessian矩阵。

机械臂整体的关节等效刚度由联动绳索和驱动绳索共同产生，因此，机械臂关节等效刚度K_q由下式计算：

上式(13)给出的最终关节等效刚度由两部分组成，第一部分HF_l与驱动绳索拉力F_l相关，被称为关节主动刚度；第二部分

与驱动绳索和联动绳索自身的抗拉刚度相关，被称为关节被动刚度。

机械臂关节变量与末端位姿的速度级运动学关系为：

其中，P_e∈R^6×1代表机械臂末端位姿；J_q∈R^6×(2n×S)为关节空间到末端笛卡尔空间的雅克比矩阵，根据式

计算得到关节空间到末端笛卡尔空间的雅克比矩阵J_q。

根据虚功原理，关节力矩所做的功与末端受外力所做的功相等，即：

其中，F_e∈R^6×1为机械臂末端所受外力；根据式(14)和式(15)，有：

根据变分原理，对式

进行变分，得到：

根据变分原理，当机械臂末端受力发生微小变化δF_e时，导致末端产生一组相应的微小运动δP_e，则所述机械臂关节等效刚度K_q等效到末端笛卡尔空间的刚度K_e∈R^6×6为：

即：

与关节空间等效刚度类似，机械臂末端笛卡尔空间等效刚度同样由两部分组成，第一部分

与驱动绳索拉力F_l相关，被称为末端主动刚度；第二部分

与驱动绳索和联动绳索自身的抗拉刚度相关，被称为末端被动刚度。

下面通过一个仿真示例来对本发明的建模方法及其应用进行说明。

用于仿真实例的绳驱动联动式机械臂构型如图4所示，包含5个臂段，每个臂段包含6节臂杆，相邻臂杆之间采用十字铰关节连接，6节臂杆通过联动绳索实现两个正交方向的联动，每个臂段通过3根驱动绳索驱动，因此该机械臂构型总共包含15根驱动绳索。

图4所示构型的机械臂的关节角如下：

q＝[-6.5 -7.8 -13.5 -2.0 15.0 9.6 15 8.0 -12.2 0.7]rad (20)

上式中的10个关节角由5个臂段两个方向的自由度组成。每个臂段内的十字铰关节的旋转角度为式中数值除以6(联动设计所以每个十字轴的转角相同)。

用于刚度计算的驱动绳索张力大小

F_l＝[3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5]×10²N (21)

联动绳索参数如下：

联动绳索弹性模量E＝2.06e11Pa，绳索的横截面积为A＝5.03e-7m²。小“8”缠绕联动绳索长度为l_c1＝0.085m、关节旋转半径为r_θ＝6.5mm，大“8”缠绕联动绳索长度为l_c2＝0.1m、关节旋转半径为

驱动绳索参数如下：

驱动绳索弹性模量E＝2.06e11Pa，绳索的横截面积为A＝1.13e-6m²。

根据前述内容，计算得到该机械臂的末端笛卡尔空间等效刚度

图5至图7是利用MATLAB对图4所示机械臂模型进行仿真得到的末端笛卡尔空间刚度大小分布图，图5为投影到XY平面的末端笛卡尔空间刚度大小分布图，图6为投影到XZ平面的末端笛卡尔空间刚度大小分布图，图7为投影到YZ平面的末端笛卡尔空间刚度大小分布图。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干等同替代或明显变型，而且性能或用途相同，都应当视为属于本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法，其特征在于，包括：

计算机械臂联动绳索整体的关节等效刚度

根据驱动绳索与机械臂关节的速度级运动学关系，计算得到关节空间到驱动空间的雅克比矩阵G_q，并根据虚功原理和变分原理，得到机械臂驱动绳索整体的关节等效刚度

根据

和

计算机械臂关节等效刚度K_q；

根据机械臂关节变量与末端位姿的速度级运动学关系，计算得到关节空间到末端笛卡尔空间的雅克比矩阵J_q，并根据虚功原理和变分原理，得到所述机械臂关节等效刚度K_q等效到末端笛卡尔空间的刚度K_e；

根据驱动绳索与机械臂关节的速度级运动学关系，计算得到关节空间到驱动空间的雅克比矩阵G_q包括：

所述驱动绳索与机械臂关节的速度级运动学关系为：

其中，

为关节空间到驱动空间的雅克比矩阵，^mG_q(m＝1,2,…,S)为机械臂的臂段m的所有关节角速度到臂段m所有绳索绳长变化的映射矩阵；

为机械臂所有关节的关节变量构成的矩阵，

表示臂段m内所有关节的关节变量构成的矩阵；

表示机械臂所有驱动绳索的绳长速度变量构成的矩阵，^mi∈R^w×1(m＝1,2,…,S)表示驱动臂段m的w根驱动绳索的运动速度矩阵；

机械臂关节变量与末端位姿的速度级运动学关系为：

其中，P_e∈R^6×1代表机械臂末端位姿；J_q∈R^6×(2n×S)为关节空间到末端笛卡尔空间的雅克比矩阵，根据式

计算得到关节空间到末端笛卡尔空间的雅克比矩阵J_q；

S表示机械臂含有S个臂段，而每个臂段包含n节臂杆和n个万向节，每个臂段的n个万向节采用w个驱动电机驱动，对应w根驱动绳索。

2.如权利要求1所述的绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法，其特征在于，计算机械臂联动绳索整体的关节等效刚度

包括：

定义机械臂由S个臂段组成，每个臂段包含n节臂杆和n个万向节，每个万向节含两个正交旋转自由度，每个臂段的n个万向节采用w个驱动电机驱动，对应w根驱动绳索；相邻两个关节之间具有两段小“8”缠绕联动绳索和两段大“8”缠绕联动绳索，记相邻两个关节之间的一段小“8”缠绕联动绳索的长度为l_c1、横截面积为A_c1、杨氏模量为E_c1，相邻两个关节之间的一段大“8”缠绕联动绳索的长度为l_c2、横截面积为A_c2、杨氏模量为E_c2，小“8”缠绕联动绳索的关节旋转半径为r_θ，大“8”缠绕联动绳索的关节旋转半径为

当相邻两个关节之间具有不为零的相对转角时，相邻两个关节之间的两段小“8”缠绕联动绳索在相应关节处的等效刚度

相邻两个关节之间的两段大“8”缠绕联动绳索在相应关节处的等效刚度

k_c1、k_c2分别表示小“8”缠绕联动绳索、大“8”缠绕联动绳索的抗拉刚度；

则机械臂的任意臂段m的联动绳索对应的关节等效刚度矩阵

为：

其中，

从而，机械臂联动绳索整体的关节等效刚度

为：

其中，

分别表示机械臂的第1个、第2个、…、第S个臂段的联动绳索对应的关节等效刚度矩阵。

3.如权利要求1所述的绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法，其特征在于，根据虚功原理，驱动绳索拉力所做的功与关节力矩所做的功相等，即：

其中，F_l∈R^wS×1表示驱动绳索拉力，τ∈R^(2n×S)×1为机械臂关节对应的关节力矩；

再根据所述驱动绳索与机械臂关节的速度级运动学关系

有

即

根据变分原理，对式

两边进行变分，得

根据变分原理，对于驱动绳索，有δF_l＝K_lδl，l表示驱动绳索长度构成的矩阵；其中，

为驱动绳索抗拉刚度组成的矩阵，k_y(y＝1,2,…,wS)为第y根驱动绳索的抗拉刚度；

根据变分原理，当机械臂关节力矩发生微小变化δτ时，导致关节产生一组相应的微小运动δq，则机械臂的驱动绳索整体产生的关节等效刚度

为：

其中，

为关节空间到驱动空间的力雅克比矩阵相对于关节变量的偏导数。

4.如权利要求3所述的绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法，其特征在于，所述机械臂关节等效刚度K_q由联动绳索和驱动绳索共同产生，因此

5.如权利要求4所述的绳驱动联动式机械臂的末端笛卡尔空间刚度建模方法，其特征在于，根据虚功原理，关节力矩所做的功与末端受外力所做的功相等，即：

其中，F_e∈R^6×1为机械臂末端所受外力；由于

因此：

根据变分原理，对式

进行变分得到

根据变分原理，当机械臂末端受力发生微小变化δF_e时，导致末端产生一组相应的微小运动δP_e，则所述机械臂关节等效刚度K_q等效到末端笛卡尔空间的刚度K_e∈R^6×6为：

即

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