CN110909438B - 一种基于动力学模型的轻载关节型并联机器人控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于动力学模型的轻载关节型并联机器人控制方法，包括步骤：1)结合轻载关节型并联机器人的整体结构特点、运动特性、受力特性及惯量属性，选择被简化的运动部件，通过简化其动力学模型将机器人的动力学分析简化为分别对机器人两部分运动部件的动力学分析；2)获取第一部分、第二部分中各个运动部件的动力学特性，并确定二者之间的动力学关联；3)对第一部分、第二部分分别建立动力学模型；4)根据两部分之间的动力学耦合关系，求得机器人整体动力学模型。与现有技术相比，本发明适用于与本并联机器结构相似，动力学分布特点相似的并联机器人的动力学建模，建模思路清晰，计算量适中，实施容易，使用便利。

Description

一种基于动力学模型的轻载关节型并联机器人控制方法

技术领域

本发明涉及轻载关节型并联机器人建模技术领域，尤其是涉及一种基于动力学模型的轻载关节型并联机器人控制方法。

背景技术

机器人技术涉及广泛，其中动力学建模是关键技术之一，在机器人开发的不同阶段都得到了深入的应用。在机械本体设计阶段，基于动力学模型的分析，有助于优化机器人各杆件的质量分布；对于电气选型，例如关节驱动电机扭矩的定型，伺服驱动器功率的定型，动力学分析的结果都具备重要的指导意义；在基于动力学模型的高级控制算法的设计阶段，动力学模型的建立更是该阶段所有工作的前提和基础，是围绕提升机器人运动性能工作的关键步骤。

机器人系统是一个复杂的系统，完整精确的动力学模型的建立是一个几乎不可能的任务。不同的控制策略对模型准确度的依赖程度不同，有些控制策略要求动力学模型具有极高的准确度，有些控制策略本身已经考虑了模型的不准确性，即理论模型与实际被控对象的差异性，在对被控对象的控制任务中可以表现出满意的控制效果。这一类控制策略对模型的非完全准确性已经具备了包容性。另外在机械设计阶段，尽管动力学模型不是完全准确，然而基于它的分析结果仍具有重要的指导意义。

从上述方面来说，动力学建模可以基于适当的假设做简化，然后对结果进行验证，以证明所做的假设和简化是合理的，对结果产生的影响足够小。不同的机械结构，简化的思路有所差别，有对不同的机器人结构，尤其对于轻载关节型并联机构，提供一种合理且实用的简化动力学模型具有十分重要的研究价值和提高应用的可行性。

发明内容

本发明的目的是提供一种结构简便、实施方便的基于动力学模型的轻载关节型并联机器人控制方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种基于动力学模型的轻载关节型并联机器人控制方法，包括以下步骤：

S1：结合轻载关节型并联机器人的整体结构特点、运动特性、受力特性及惯量属性，选择被简化的运动部件，通过简化其动力学模型将机器人的动力学分析简化为分别对机器人两部分运动部件的动力学分析。

优选地，将轻载关节型并联机器人的从动臂选为简化的运动部件，即基于从动臂轻质的特性，将其中一根从动臂的质量计算到第一部分中，将另一根从动臂的质量计算到第二部分中。通过简化从动臂的动力学分析，将机器人整体的动力学分析按照部件分割为两个部分，假设轻载关节型并联机器人的从动臂为不可拉伸、伸缩的轻质杆件，以从动臂的几何尺寸作为空间几何约束，将从动臂一端的电机、减速器、主动臂作为轻载关节型并联机器人的第一部分，将另一端的动平台、TCP末端作为轻载关节型并联机器人的第二部分，并利用从动臂的运动和空间位置关系约束两个部分之间的运动学和动力学关系。

S2：获取第一部分、第二部分中各个运动部件的动力学特性，并确定两部分之间的动力学关联。

优选地，第一部分中各个运动部件的动力学特性包括电机输出扭矩、电机和减速器的转动惯量、主动臂质量、主动臂关于关节轴线的转动惯量、关节处摩擦、简化到主动臂末端的从动臂组件的一半质量以及来自从动臂对主动臂施加的力。

优选地，第二部分中各个运动部件的动力学特性包括动平台的各杆件质量和转动惯量，动平台负载质量和转动惯量，简化到动平台的从动臂组件的另一半质量，以及从动臂对动平台施加的力从动臂施加的力及动平台的等效惯量矩阵。

S3：根据第一部分中各个运动部件的动力学特性及受力特性，建立第一部分的动力学模型。

优选地，采用牛顿运动定律结合哥伦布摩擦模型和黏性摩擦模型的方法建立第一部分的动力学模型。第一部分的动力学模型的表达式为：

式中：I_a为主动臂关节处的等效惯量，包括主动臂关于关节轴线的转动惯量和简化到主动臂末端的一半从动臂组件的质量关于关节轴线的转动惯量，

为关节摩擦，G(q)为抵消重力所需的扭矩消耗，F为从动臂施加的力，

为雅克比矩阵，τ为关节输出矩阵，q为主动臂转动关节的位置，

为主动臂转动关节的速度，

为主动臂转动关节的加速度。

假设轻载关节型并联机器人包括四个主动臂，将关节摩擦简化为哥伦布摩擦和黏性摩擦，则有：

式中，q₁、q₂、q₃、q₄分别为四个主动臂的位置，f_c为关节处哥伦布摩擦系数，f_v为关节处黏性摩擦系数，F_c为四个关节处哥伦布摩擦力的向量形式，F_v为四个关节处黏性摩擦力的矩阵形式；

抵消重力所需的扭矩消耗G(q)的表达式为：

式中，m₁为单个主动臂的质量，L_c为主动臂质心到关节转动轴线的距离，m₂为从动臂组件中单件的质量，即从动臂组件的一半质量，L为主动臂的长度尺寸，g为地表重力加速度。

S4：根据第二部分中各个运动部件的动力学特性及受力特性，建立第二部分的动力学模型。

优选地，采用牛顿欧拉法对第二部分进行动力学建模，并根据拉格朗日方法求解动平台作为第二部分整体的等效质量和等效惯量。第二部分的动力学模型的表达式为：

式中，

为雅克比矩阵，F为从动臂施加的力，M_n为动平台的等效惯量矩阵，a_E为TCP在机器人笛卡尔坐标系{O，x，y，z}中的加速度。

动平台的等效惯量矩阵M_n的表达式为：

meq＝mpp+4×m₂

其中，m_pp为动平台和负载的等效质量，I_pp为动平台和负载的等效转动惯量。

S5：获得第一部分与第二部分的动力学模型后，通过二者的运动学和动力学耦合关系，求得机器人整体的动力学模型为：：

S6：根据机器人整体动力学模型对轻载关节型并联机器人的动作进行控制。

与现有技术相比，本发明基于运动与受力分析基础上对轻载关节型并联机器人的动力学进行简化，并利用了牛顿欧拉法和拉格朗日法的动力学等效质量与等效惯量进行动力学建模，本发明方法思路清晰，结构简练，直观明确，计算量适中，实施容易，使用便利。

附图说明

图1为某轻载关节型并联机器人的机械本体结构示意图；

图2为本发明中动力学求解过程的流程示意图；

图3为本发明实施例中机器人的某支链从动臂运动和受力分析示意图；

图4为本发明实施例中单支链动力学建模简化方法的过程示意图；

图5为本发明实施例中的动平台机构结构示意图；

图6为本发明实施例中的动平台杆件惯性参数表示及运动分析图；

图7为本发明实施例中用于动力学仿真和基于动力学模型计算所采用的TCP轨迹图；

图8为本发明实施例中轻载关节型并联机器人的动力学解算正确性验证结果图；

图1中标号所示：

1、静平台，2、主动臂，3、从动臂组件，4、动平台。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。

实施例

本发明涉及一种基于动力学模型的轻载关节型并联机器人控制方法，包括以下步骤：

步骤一、获取并分析并联机器人整体结构特点、整体的运动和受力特性、各个部件的运动特性以及其惯性参数相对大小，选择被简化的运动部件，通过简化其动力学模型将机器人的动力学分析简化为分别对机器人两部分运动部件的动力学分析；获取第一部分、第二部分中各个运动部件的动力学特性，并确定两部分之间的动力学关联。

本实施例四支链并联机器人的结构如图1所示，包括静平台1、主动臂2、，从动臂组件3和动平台4。从动臂组件3包括四个运动支链，即四组不同支撑方向的杆件。四支链并联机器人的惯性参数如表1所示：

表1四支链并联机器人质量惯性参数表

该轻载类关节并联机器人的从动臂采用碳纤维杆，质量较轻，惯量可以忽略不计。相对其他零部件运动所消耗的能量可以忽略不计，则将表2中的数值量级作为参考：

表2参考数值(单位：质量kg/惯量kgm²)

参数	Ieq_arm	Meq-arm	Ilarm	mlarm	Ieq_tp	Meq_tp
							数值	0.0768	1.36	0.0012	0.4	0.008	2.8

根据实际机器人本体的各部件质量惯性参数，可选择简化从动臂的质量和惯量参数。现对该轻载关节型并联机器人中的一个运动支链进行受力分析。图3为机器人的某一运动支链示意图，图中P_iA_i为主动臂，长度为L，质量为m₁；A_iB_i为从动臂，长度为1，质量为m₂；其中i＝1，2，3，4分别是该机器人的四个运动支链的编号。P_i为关节转动轴线与主动臂纵切平分面的交点；A_i点为对应主动臂末端两球头球心连线的中点；B_i点为动平台上对应两球头球心连线的中点。坐标系{P_i，u_i，v_i，z_i}建立在第i个关节处，P_i点为坐标系的原点；u_i轴如图水平指向运动支链的外侧，z_i轴如图垂直于u_i轴向上，u_i垂直于直面向外。t_i轴始终与P_iA_i同向；w_i轴始终与t_i轴垂直。v_Ai为主动臂上A_i点速度，方向垂直于t_i轴；v_Bi为主动臂上B_i点速度，方向与动平台上对应球头的运动方向一致；s_i等于A_iB_i，即沿着从动臂的方向；f_i为从动臂受力，方向沿着从动臂杆件，可能与s_i同向，也可能反向。

从动臂质量较轻，它的受力可以看成是二力杆受力情形，力f_i沿着从动臂杆件的长度尺寸方向，传递来自主动臂的主动力，驱动动平台运动，即从动臂一端A_i与另一端B_i的受力大小相等，方向相反，这是主动臂运动与动平台运动的动力学约束。从动臂两端的速度一般大小和方向都不相同，然而沿着杆子的方向速度的大小相同这个事实是主动臂运动与动平台运动的一个运动学约束。将从动臂组件的总质量的一半简化到主动臂末端，另一半简化到动平台一侧，如图4所示，以上是建立简化动力学模型的重要假定和关键步骤。

利用运动学约束关系和动力学约束关系，利用对主动臂和动平台动力学的分别建模的方式获得对整个机器人的动力学建模。

以上的动力学建模的简化基于这样一个事实：从动臂的质量和惯量相对机器人的其他运动非常小，可以合理地简化。这样的假设对于使用轻质材料的从动臂，如碳纤维，基本成立。即通过简化其动力学模型将机器人的动力学分析简化为分别对机器人两部分运动部件的动力学分析。基于简化的模型的合理性将会在后面被验证。

步骤二、对分解得到的第一部分进行动力学建模。

这部分的动力学包含参数：(1)电机的输出扭矩；(2)电机和减速器的转动惯量；(3)主动臂质量，包括主动臂自身及球头和来自简化的从动臂的质量；(4)主动臂关于转动轴线的惯量；(5)来自从动臂的力f_i；(6)系统哥伦布摩擦和黏性摩擦。考虑以上动力学来源，可以得出以下的动力学动态平衡方程：

式中：

I_a：等效惯量，∈R^4×4；

关节摩擦，∈R⁴；

G(q)：抵消重力所需的扭矩消耗，∈R⁴；

F：从动臂施加的力，∈R⁴；

准克比矩阵；

τ：关节输出扭矩，∈R⁴。

q，

分别为主动臂转动关节的位置，速度和加速度。其中，

因主动臂的质量相同，运动过程中位置是不同的。上式中q的下标号表示四个主动臂的编号，如q₁表示第一主动臂的位置，

为第一主动臂的速度，

为第一主动臂的加速度，其它依次类推。

第一部分的惯量来自电机，减速器，主动臂，以及简化自从动臂的质量关于关节轴线的转动惯量。可用下式表示：

式中：

I_mot：电机的转动惯量；

r_gb：减速机的传动比；

I_gb：减速机输出轴侧转动惯量；

I_am：主动臂关于关节轴的转动惯量；

m₂：单个从动臂的杆件质量；

L：主动臂的长度尺寸，即末端球头球心到关节转动轴线的距离。

在本实施例中，考虑仿真软件只对关节所驱动的运动部件进行动力学仿真，并不仿真电机和减速器，所以在本计算中I_mot＝0.0；I_gb＝0.0，则：

I_eq＝0.0+0.0+0.0487+0.2×0.375²

关节处的摩擦动力学，简化为哥伦布摩擦和黏性摩擦，定义如下：

式中：

f_c为关节处哥伦布摩擦系数；

f_v为关节处黏性摩擦系数；

F_c为四个关节处哥伦布摩擦力的向量形式；

F_v为四个关节处黏性摩擦力的矩阵形式；

第一部分部分的相关的重量的影响来自主动臂及简化自从动臂的质量，可由下式表示：

式中：

m₁为单个主动臂的质量；

L_c为主动臂质心到关节转动轴线的距离；

g为地表重力加速度。

在本实施例中，由于可以让仿真模型中所设置的机器人关节摩擦模型与本发明中的摩擦模型相同，故从仿真数据比较的角度，可以在仿真与本模型计算中忽略摩擦，所以：

从动臂被简化为二力杆，受力沿着杆件方向，将来自主动臂的力传递到动平台。它对主动臂所施加的力可如下表示：

F＝[f₁ f₂ f₃ f₄]^T (6)

f₁、f₂、f₃、f₄分别为来自从动臂的力。

至此，第一部分的动力学模型建立完成。

步骤三、对分解得到的第二部分进行动力学建模。

这部分的动力学包括一个平行四边形结构的动平台，其结构示意图如图5所示。图5的左侧图为动平台的平面图，是由四根杆件铰接形成的平行四边形机构，左右两侧杆件对称相同，为“固定杆件”，质量为m₃，只有平动运动，无旋转运动；下方杆件为“小杆件”，质量为m₄，绕其质心处垂直轴线的转动惯量为I₄；上方杆件为“大杆件”，质量为m₅，绕其质心处垂直轴线的转动惯量为I₅，其质心处下方法兰负载质量标记为m_p，转动惯量标记为I_p。右侧的简化图中，B₁，B₂，B₃，B₄分别为四对球头的球心连线中点；C₁，C₂，C₃，C₄分别对应平行四边形机构四个转动关节；E₁为C₂C₃的中点；E₂为C₁C₄的中点。d为平行四边形的边长，即C₂到C₃距离，h为平行四边形的边宽，即C₁到C₂距离；d₁和h₁分别表示C₂到B₂或C₃到B₃平面上的水平与垂直距离；d₂和h₂分别表示C₁到B₁或C₄到B₄平面上的水平与垂直距离；θ为法兰上负载的旋转角度；r_n为动平台大杆件旋转到法兰旋转的减速比。

在实际运动过程中，平行四边形中一组对边的两个杆件只做纯粹的平动运动，另一组对边的两个杆件可能既做平动运动也做旋转运动。各杆件的运动分析如图6所示。图中E₃为C₃C₄的中点；E₄为C₁C₂的中点。v为动平台法兰处负载的平动速度。w为动平台法兰处负载的旋转速度。小杆件C₁C₄和大杆件C₂C₃的平动速度为v，旋转速度为w/r_n；固定杆件C₃C₄如上所述只有平动运动没有旋转运动，其平动速度等于C₃点的速度，即等于v+w×E₁C₃；固定杆件C₁C₂如上所述只有平动运动没有旋转运动，其平动速度等于C₂点的速度，即等于v+w×E₁C₂。

采用牛顿欧拉法分别对4根杆件进行动力学建模，借鉴拉格朗日方法的思路，求解动平台作为整体的等效质量和等效惯量。这样方便建立动平台动力学与TCP末端运动的直接关系。

该部分的动力学包含参数：(1)来自各从动臂的力f_i；(2)大杆件的质量和转动惯量，以及所挂负载的质量和转动惯量；(3)小杆件的质量和转动惯量；(4)左侧固定杆的质量；(5)右侧固定杆的质量。即使该四支链并联机器人在空间中做带旋转的运动，左右两侧固定杆也只是平动而无旋转，所以转动惯量可以不考虑。

考虑以上动力学来源，可以得出以下的动力学动态平衡方程：

其中：

雅克比矩阵；

F：从动臂施加的力，∈R⁴；

M_n：动平台等效惯量矩阵；

a_E：TCP在机器人笛卡尔坐标系{O，x，y，z}中的加速度，∈R⁴。

其中：

TCP速度；

g：重力加速度；

TCP转动速度；

m_eq＝m_pp+4×m₂

其中：

m_pp：动平台和负载的等效质量；

I_pp：动平台和负载的等效转动惯量。

计算出m_pp、I_pp两个量，可通过计算动平台的总动能达到。如图6所示，动平台及负载的总动能K_pp可表示为：

K_pp＝K_{pp_M}+K_{pp_I}

其中：

式中：

K_{pp_M}为动平台质量所表达的动能；

K_{pp_I}为动平台转动惯量所表达的动能；

m₃为动平台固定杆件C₁C₂的质量，同为固定杆件C₃C₄的质量，如图6所示；

m₄为小杆件C₁C₄的质量，如图6所示；

m₅为大杆件C₂C₃的质量，如图6所示；

I₄为动平台小杆件的转动惯量，如图6所示；

I₅为动平台大杆件的转动惯量，如图6所示；

m_p为动平台法兰处(图6中E₁处)负载质量；

I_p为负载的转动惯量；

r_n为动平台旋转放大比；

v为动平台法兰中心点的平动速度；

θ为动平台法兰的旋转角度；

v_E3为动平台固定杆件C₃C₄中心的E₃处的平动速度；

v_E4为动平台固定杆件C₁C₂中心的E₄处的平动速度。

令：

则有：

v_E4＝v+w×n (12)

v_E3＝v-w×n (13)

将其带入式(10)、(11)可得：

由此可得：

m_pp＝2m₃+m₄+m₅+m_p

由此求得动平台及负载的动力学。

m_pp＝2m₃+m₄+m₅+m_p＝2×0.437+0.264+0.9+1.0

步骤四、通过两者之间的关联力，求解动力学模型。

以上步骤完成了两个部分动力学的建模并且在步骤二中确立了两部分之间的耦合力。该步骤里，以耦合力作为桥梁，建立两部分动力学的关系，经过整理可以得出动力学模型。

综合第一部分和第二部分的动力学可得：

则推导可得：

此式即为本实施例中四支链并联机器人动力学逆解模型。

步骤五、根据步骤四获取的四支链并联机器人动力学逆解模型设计机器人的高级控制算法，进一步对轻载关节型并联机器人的动作进行控制。

本实施例将以上得出的结果与利用动力学仿真软件仿真的结果做比对，以验证动力学建模的准确性。误差不高于2％作为判断模型正确性的标准。

本实施例将器人本体模型导入动力学仿真软件中进行仿真，然后将仿真的结果导出，与基于本简化方法所建模型的计算结果进行比对。仿真与计算基于相同的机器人TCP运动轨迹。误差百分比的计算方法如下：

a)设轨迹的时间序列为：

T＝[t₁，t₁，t₁，...t_n]

b)与轨迹时间序列对应的仿真结果为：

τ_s＝[τ_s1，τ_s2，τ_s3，...τ_sn]

c)与轨迹时间序列对应的模型计算结果为：

τ_c＝[τ_c1，τ_c2，τ_c3，...τ_cn]

d)误差百分比为：

如果上式成立，则判定基于本方法的简化动力学建模方法是有效的。

设计TCP运动轨迹，如图7所示，基于TCP的轨迹，使用机器人运动学逆解函数和雅克比矩阵函数计算机器人各关节的位置，速度和加速度。将关节运动数据导入动力学仿真软件进行仿真，记录并保存机器人各关节的扭矩数据。然后将关节运动数据带入动力学模型公式中，即可获得基于模型的计算结果。机器人从原点P₀(各个关节角度为0，主动臂水平)，P₀＝[-0.0445，0，-0.6983，0，0，0]运动至点P₁＝[-0.25，0，-0.8，0，0，0]，然后运动至P₂＝[0.2，0，-0.8，0，0，0]。

运动参数包括运动总时TS、最大速度V_max、最大加速度A_max、加加速度Jc，具体数据如表3所示：

表3轨迹运动参数

获取仿真和计算的数据，一共445组数据，绘制后的结果如图8所示，图中实线为利用Adams软件获取的仿真结果，虚线为基于本发明所述的动力学模型的计算结果。对所有的数据组中采用误差百分比的公式进行计算，结果为1.8％，满足评价要求，所以可以推断，经过简化的动力学模型建立方法是有效的。通过本发明方法获取的简化后的动力学模型，可设计机器人的高级控制算法，进一步可实现对四支链并联机器人运动的有效控制。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的工作人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到各种等效的修改或替换，这些修改或替换都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以权利要求的保护范围为准。

Claims (1)

1.一种基于动力学模型的轻载关节型并联机器人控制方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)结合轻载关节型并联机器人的整体结构特点、运动特性、受力特性及惯量属性，选择简化的运动部件，通过简化其动力学模型将机器人的动力学分析简化为分别对机器人两部分运动部件的动力学分析；

2)获取第一部分、第二部分中各个运动部件的动力学特性，并确定两部分之间的动力学关联；

3)根据第一部分中各个运动部件的动力学特性及受力特性，建立第一部分的动力学模型；

4)根据第二部分中各个运动部件的动力学特性及受力特性，建立第二部分的动力学模型；

5)根据两部分之间的动力学耦合关系，获取机器人整体动力学模型；

6)根据机器人整体动力学模型对轻载关节型并联机器人的动作进行控制；

选择轻载关节型并联机器人的从动臂作为简化的运动部件，即基于从动臂轻质的特性，将其中一根从动臂的质量规划至第一部分的一部分进行计算，将另一根从动臂的质量规划至第二部分的一部分进行计算；

将机器人的动力学分析简化为分别对机器人两部分运动部件的动力学分析的具体内容为：

通过简化从动臂的动力学分析，将机器人整体的动力学分析按照部件分割为两个部分，假设轻载关节型并联机器人的从动臂为不可拉伸、伸缩的轻质杆件，以从动臂的几何尺寸作为空间几何约束，将从动臂一端的电机、减速器、主动臂作为轻载关节型并联机器人的第一部分，将另一端的动平台、TCP末端作为轻载关节型并联机器人的第二部分，并利用从动臂的运动和空间位置关系约束两个部分之间的运动学和动力学关系；

第一部分中各个运动部件的动力学特性包括电机输出扭矩、电机和减速器的转动惯量、主动臂质量、主动臂关于关节轴线的转动惯量、关节处摩擦、简化到主动臂末端的从动臂组件的一半质量以及来自从动臂对主动臂施加的力；

第二部分中各个运动部件的动力学特性包括动平台的各杆件质量和转动惯量，动平台负载质量和转动惯量，简化到动平台的从动臂组件的另一半质量，以及从动臂对动平台施加的力从动臂施加的力及动平台的等效惯量矩阵；

采用牛顿运动定律结合哥伦布摩擦模型和黏性摩擦模型的方法建立第一部分的动力学模型；

采用牛顿欧拉法对第二部分进行动力学建模，并根据拉格朗日方法求解动平台作为第二部分整体的等效质量和等效惯量；

第一部分的动力学模型的表达式为：

式中：I_a为主动臂关节处的等效惯量，包括主动臂关于关节轴线的转动惯量和简化到主动臂末端的一半从动臂组件的质量关于关节轴线的转动惯量，

为关节摩擦，G(q)为抵消重力所需的扭矩消耗，F为从动臂施加的力，

为雅克比矩阵，τ为关节输出矩阵，q为主动臂转动关节的位置，

为主动臂转动关节的速度，

为主动臂转动关节的加速度；

假设轻载关节型并联机器人包括四个主动臂，将关节摩擦简化为哥伦布摩擦和黏性摩擦，则有：

式中，q₁、q₂、q₃、q₄分别为四个主动臂的位置，f_c为关节处哥伦布摩擦系数，f_v为关节处黏性摩擦系数，F_c为四个关节处哥伦布摩擦力的向量形式，F_v为四个关节处黏性摩擦力的矩阵形式；

抵消重力所需的扭矩消耗G(q)的表达式为：

式中，m₁为单个主动臂的质量，L_c为主动臂质心到关节转动轴线的距离，m₂为从动臂组件中单件的质量，即从动臂组件的一半质量，L为主动臂的长度尺寸，g为地表重力加速度；

第二部分的动力学模型的表达式为：

式中，

为雅克比矩阵，F为从动臂施加的力，M_n为动平台的等效惯量矩阵，a_E为TCP在机器人笛卡尔坐标系{O,x,y,z}中的加速度；

动平台的等效惯量矩阵M_n的表达式为：

m_eq＝m_pp+4m₂

其中，m_pp为动平台和负载的等效质量，I_pp为动平台和负载的等效转动惯量；

获得第一部分与第二部分的动力学模型后，通过二者的运动学和动力学耦合关系，求得机器人整体的动力学模型为：

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