CN112949103A - 一种协作机器人非线性刚度建模方法 - Google Patents

一种协作机器人非线性刚度建模方法 Download PDF

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CN112949103A CN201911169637.2A CN201911169637A CN112949103A CN 112949103 A CN112949103 A CN 112949103A CN 201911169637 A CN201911169637 A CN 201911169637A CN 112949103 A CN112949103 A CN 112949103A
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Abstract

本发明涉及协作机器人领域，具体地说是一种协作机器人非线性刚度建模方法，包括：步骤一、机器人模块综合刚度建模，将机器人拆分成多个模块，获得各模块的结构刚度矩阵
Figure DDA0002288359390000011
然后进行机器人传动系统非线性建模，获得机器人传动系统非线性刚度
Figure DDA0002288359390000012
机器人整体综合刚度为各个模块综合刚度之和，其中连杆模块综合刚度矩阵为结构刚度矩阵
Figure DDA0002288359390000013
关节模块刚度矩阵为结构刚度矩阵
Figure DDA0002288359390000014
和机器人传动系统非线性刚度
Figure DDA0002288359390000015
合成；步骤二、机器人静力平衡建模，通过添加虚拟关节表示各模块柔性变形，建立负载和自重条件下的机器人静力平衡模型；步骤三、机械人非线性刚度建模。本发明将有限元和虚拟关节刚度建模方法相结合，能够改善机器人的整机刚度和定位精度。

Description

一种协作机器人非线性刚度建模方法
技术领域
本发明涉及协作机器人领域，具体地说是一种协作机器人非线性刚度建模方法。
背景技术
协作机器人是指能够在协作区域内与人协作生产的机器人，由于其高灵活性、轻质、高负载自重比、高安全性等优点已成为目前研究的热点。协作机器人轻质、高负载自重比的优点能够适应灵活多变的作业任务，易于移动与集成，降低了重新部署成本，但同时也对机器人的刚度和定位精度的提高带来了困难。协作机器人在高负载自重比、轻质以及安全性的约束下，无法像传统工业机器人一样，通过选用高强度材料、增加结构件尺寸以及选用高刚度传动元件来提高机器人的系统刚度，而在结构设计方面，也无法通过增加结构件尺寸来提高刚度，导致协作机器人结构件刚度对整机刚度的影响不可忽略。在传动系统设计方面，协作机器人为获得高能量密度的一体化关节均集成了谐波减速器，该元件的刚度是非线性的，但现有技术中还没有关于谐波减速器非线性刚度对协作机器人整体刚度影响的研究。因此，协作机器人如何在轻质、高负载自重比以及安全性的前提下提高机器人的系统刚度，进而提高定位精度以及动态性能成为协作机器人本体设计的难点。
目前有效可行的方法之一就是刚度建模，通过刚度模型进行误差补偿，从而达到提高使用刚度和定位精度的目的。现有技术中的机器人刚度建模方法主要包括三种：
1、有限元法(Finite Element Analysis)，应用有限元软件建立机器人整机的有限元模型,计算机器人在特定位姿和负载下的变形。该方法具有直观、可靠、精度高的优点,但缺点是建模工作量大,且每一次建模的计算结果只对所计算的位姿和负载有效,一旦位姿或负载改变,则需要重新建模计算。
2、结构矩阵法(Matrix Structural Analysis，MSA)，该方法结合有限元法，将机器人结构件等效为3D柔性梁，通过材料力学建立各部件的解析刚度模型,通过各部件的运动关系获得整机的刚度模型，但该方法在降低计算量的同时也降低了精度。
3、虚拟关节法(Virtual Joint Method，VJM)，该方法是目前传统工业机器人最常用的建模方法，其主要思想是在机器人刚性模型中添加虚拟关节，用于描述连杆、关节的弹性变形，该方法平衡了精度和计算量，且易于后期的参数辨识，但该方法无法全面考虑机器人各部件的柔性。
针对目前协作机器人刚度建模中存在的问题，很有必要分析非线性因素对协作机器人刚度模型的影响，以便为机器人的刚度补偿和定位精度的提高提供依据。目前基于小变形假设，现有的机器人线性刚度模型方法能够较全面的考虑机器人各部件的刚度以及对机器人整机刚度的影响，但非线性因素对于机器人整机刚度的影响研究较少，目前仅针对负载、静力平衡对整机刚度非线性的影响进行研究，自重、刚度非线性传动元件对协作机器人整机刚度非线性的影响未见研究。
发明内容
本发明的目的在于提供一种协作机器人非线性刚度建模方法，将有限元和虚拟关节刚度建模方法相结合，能够实现协作机器人离线或在线刚度补偿，改善机器人的整机刚度和定位精度。
本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：
一种协作机器人非线性刚度建模方法，包括如下步骤：
步骤一：机器人模块综合刚度建模，将机器人拆分成多个独立的连杆模块和关节模块，采用有限元子结构法获得各模块的结构刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000021
然后进行机器人传动系统非线性建模，获得机器人传动系统非线性刚度
Figure BDA0002288359370000022
机器人整体综合刚度为各个模块综合刚度之和，其中连杆模块综合刚度矩阵为结构刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000023
关节模块刚度矩阵为结构刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000024
和机器人传动系统非线性刚度
Figure BDA0002288359370000025
在输出端的合成；
步骤二：机器人静力平衡建模，通过在连杆模块及关节模块末端添加虚拟关节表示连杆模块及关节模块的柔性变形，获得机械臂末端位姿矩阵，并建立负载和自重条件下的机器人静力平衡模型；
步骤三：机械人非线性刚度建模，为机器人刚度补偿和定位精度改善提供依据。
步骤一中，将机器人拆分成多个独立的连杆模块和关节模块，并将各个模块等效为超单元，对模块模型简化，然后采用有限元子结构法获得各个超单元的结构刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000026
步骤一中，对机器人传动系统非线性建模时，首先建立电机的刚度模型和谐波减速器的刚度模型，然后将机器人传动系统各个环节的刚度折算到关节的输出端再进行合成，求得机器人传动系统总扭转刚度kT，最后将kT扩充为六个自由度的刚度模型，获得机器人传动系统非线性刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000031
步骤一中，对机器人传动系统非线性建模时，电机等效为一个机械扭转系统，其扭转刚度为：
Figure BDA0002288359370000032
上式(2)中，kM为电机的扭转刚度(Nm/rad)；JM为电机转子的转动惯量；TM为电机的机械时间常数；
谐波减速器采取分段刚度等效谐波减速器的非线性刚度，则谐波减速器的刚度表示为：
Figure BDA0002288359370000033
上式(3)中，φ是谐波减速器输入端固定在末端施加载荷时末端的扭转角，k1,k2,k3表示谐波减速器的分段刚度，T1,T2,T3表示谐波减速器分段刚度扭矩临界值，T表示谐波减速器所受扭矩，λ为谐波减速器刚度影响系数；
然后将机器人传动系统各个环节的刚度折算到关节的输出端再进行合成，求得机器人传动系统总扭转刚度kT，其中电机的扭转刚度折算到输出端的等效刚度k'M为：
Figure BDA0002288359370000034
谐波减速器的扭转刚度折算到输出端的等效刚度k'H为：
k'H＝kH (5)；
上式(5)中，kH根据静力学分析获得的关节扭转力矩；
则关节传动系统的总扭转刚度kT为：
Figure BDA0002288359370000035
最后将kT扩充为六个自由度的刚度模型，获得机器人传动系统非线性刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000036
Figure BDA0002288359370000041
步骤一中，机器人整体综合刚度建模时，关节模块刚度矩阵为结构刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000042
和机器人传动系统非线性刚度
Figure BDA0002288359370000043
在输出端的合成，合成时需考虑关节模块运动引起的刚度变化：
当关节模块处于零位时，关节模块综合刚度
Figure BDA0002288359370000044
为结构刚度
Figure BDA0002288359370000045
和传动系统非线性刚度
Figure BDA0002288359370000046
的串联，其表达为：
Figure BDA0002288359370000047
上式(8)中，
Figure BDA0002288359370000048
均为6×6刚度矩阵,括号中的“0”表示关节处于零位；
当关节变量qi不为零时,将关节模块综合刚度
Figure BDA0002288359370000049
由零位坐标系变换到运动坐标系，其表达为：
Figure BDA00022883593700000410
上式(9)中，Tqi为力旋量变换矩阵，其表达为：
Figure BDA00022883593700000411
步骤二中，将协作机器人运动模型等效为虚拟关节模型，机械臂末端位姿通过机器人各模块和虚拟关节的齐次矩阵串联构成，机械臂末端位姿矩阵表示为：
T＝TL1·TVJ(θL1)·TJ(q1)·TVJ(θJ1)…TLn·TVJ(θLn) (11)；
上式(11)中，TLi表示刚性连杆，TVJ(θLi)表示连杆模块的柔性旋转和位移，TJ(qi)表示关节模块的柔性旋转和位移，qi表示关节位移角，θi＝[xi,yi,zi,αi,βi,γi]T表示虚拟关节位移和旋转，αi,βi,γi表示欧拉角；
上式(11)的机械臂末端位姿齐次矩阵表示为广义矩阵：
t＝g(θ,q) (12)；
上式(12)中，q＝[q1，q2…qn]T表示关节位移角，θ＝[θ1，θ2…θm]T表示是虚拟关节位移。
步骤二中，获得机械臂末端位姿广义矩阵后构建数值迭代算法解决机械臂在自重和负载工况下的静力平衡问题，数值迭代算法具体如下：
Figure BDA0002288359370000051
Figure BDA0002288359370000052
ti+1＝g(θi+1，q0) (12)；
收敛条件为||ti+1-ti||<ρ；
上式(16)表示机械臂在位姿(θi,q0)下，虚拟关节所受外力；上式(17)表示虚拟关节变形；上式(12)为机械臂末端位姿广义矩阵；
采用数学软件通过上述构建的数值迭代算法对机器人静力平衡进行数值计算，经过多次迭代后达到收敛。
步骤三中，机器人非线性刚度建模过程如下：
假设机械臂从状态(FLoad,q,θ,t)变换到状态(FLoad+δFLoad,q,θ+δθ,t+δt)两种状态均能满足静力平衡，获得等式为：
fLoad＝J(q，θ)T·FLoad (15)；
fLoad+δfLoad＝(J(q，θ)+δJ(q，θ))T·(FLoad+δFLoad) (19)；
根据运动模型，微分运动可以表示为：
δt＝J(q，θ)·δθ (20)；
δfLoad＝k(fLoad，q)·δθ (21)；
上式(20)和(21)中，δ和δθ分别表示机器人末端和关节空间的微分位移，k(fLoad,q)表示在(fLoad,q)工况下虚拟关节空间下的机器人整体综合刚度矩阵，机器人整体综合刚度矩阵由步骤一获得；
对式(15)进行微分变换，并且忽略相关高次项，得到：
J(q，θ)T·δFLoad+H(q，θ)·δθ＝k(fLoad，q)·δθ (22)；
J(q，θ)T·δFLoad＝(k(fLoad，q)-H(q，θ))·δθ (23)；
上式(22)和(23)中，H(q,θ)是函数g(q,θ)T·FLoad的海森(Hessian)矩阵，而g(q，θ)为步骤二中获得的机械臂末端位姿广义矩阵；
将式(20)代入式(23)可得：
Figure BDA0002288359370000061
上式(24)中，kΘ＝k(fLoad，q)-H(q，θ)；
于是机器人在静力平衡位置的柔度矩阵可以表示为：
Figure BDA0002288359370000062
刚度和柔度互为倒数的关系，于是机器人非线性刚度为上式(25)求逆：
K＝C-1 (26)。
本发明的优点与积极效果为：
本发明针对协作机器人引入大量弹性因素特点，在大变形假设下，将有限元和虚拟关节刚度建模方法相结合，提出一种协作机器人非线性建模方法，仅包含机器人传动系统刚度非线性因素，并考虑负载和自重引起的机器人位姿和雅可比矩阵变化对机器人刚度的影响，从而为机器人的刚度补偿和定位精度的提高提供了依据，能够实现协作机器人离线或在线刚度补偿，改善机器人的整机刚度和定位精度。
附图说明
图1为本发明的流程示意图，
图2为本发明涉及的协作机器人简化模型示意图，
图3为本发明涉及的机器人关节模块示意图，
图4为本发明涉及的机器人连杆模块示意图，
图5为模块等效模型示意图，
图6为超单元模型示意图，
图7为提取结构刚度矩阵的关节模块有限元模型示意图，
图8为本发明涉及的机器人传动系统刚度模型示意图，
图9为本发明涉及的机器人运动学模型示意图，
图10为图9中的机器人虚拟关节模型示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步详述。
如图1所示，本发明具体步骤如下：
步骤一：机器人模块综合刚度建模，将机器人拆分成多个独立的连杆模块和关节模块，采用有限元子结构法获得各模块的结构刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000071
然后进行机器人传动系统非线性建模，获得机器人传动系统非线性刚度
Figure BDA0002288359370000072
机器人整体综合刚度为各个模块综合刚度之和，其中连杆模块综合刚度矩阵为结构刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000073
关节模块刚度矩阵为在结构刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000074
和机器人传动系统非线性刚度
Figure BDA0002288359370000075
输出端的合成。
本步骤具体为：
步骤1.1、基于模块化设计理念的协作机器人，由于各关节和连杆模块的功能、机械接口、电气接口等相互独立，所以机器人模型可以看作由若干相互独立的连杆模块和关节模块串联连接而成。在Solidworks三维建模软件中，机器人整机三维模型可以拆分为若干相互独立的如图3所示的关节模块模型以及如图4所示的连杆模块模型，每个模块都可以看作一个超单元，并如图5所示，每个模块都可以采用结构质量点单元来模拟模块之间的约束关系，质量点单元分别位于模块的输入端和输出端中心，并和端面上的节点通过多点约束(MPC)连接。将结构质量点单元定义为主节点，所以如图6所示，每一个模块都可以简化成具有两个主节点的超单元，其中位于输入端的主节点编号为1，位于输出端的主节点编号为2，主节点自由度对应于超单元自由度。诸多模块对应的超单元依次串联即可组成如图2所示的机械臂等效有限元模型，该机械臂为七自由度机械臂，其可以等效为由15个超单元、16个主节点串联组成的有限元模型，其中E1～E15表示超单元，n1～n16表示整机有限元模型中的主节点。ki,mi分别表示单个超单元的刚度矩阵和质量矩阵，i表示超单元编号。
步骤1.2、采用Solidworks三维建模软件对模块三维几何模型进行简化，对模块刚度影响可以忽略的结构如倒角、圆角、螺钉孔等进行简化，并使用ANSYS有限元分析软件完成各模块建模、参数设定及单元矩阵提取，获得各个超单元(包括连杆模块和关节模块)的结构刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000076
使用ANSYS有限元分析软件完成各模块有限元的建模、参数设定以及单元矩阵的提取时，采用四面体单元划分有限元模型，结构件之间的机械接口简化为刚性连接，其中：对模块刚度影响可以忽略的元器件及结构件均简化为结构质量点，如制动器、电机、编码器等元件，与结构件刚性连接；支撑元件如电机轴承、十字交叉滚珠轴承等简化为具有质量的六维弹簧单元；传动元器件如谐波减速器等简化为刚体；模块的输入端面均作固定处理，在输出端面使用多点约束(MPC)将端面上的各节点与结构质量点单元刚性连接，定义该结构质量点定义为超单元主节点。以关节模型为例，如图7所示为ANSYS有限元分析软件用于提取结构刚度矩阵的关节模块有限元模型。
获得的各个超单元(包括连杆模块和关节模块)结构刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000081
为：
Figure BDA0002288359370000082
上式(1)中，
Figure BDA0002288359370000083
是对称正定矩阵，即对任意的0≠X∈Rn，都有
Figure BDA0002288359370000084
且
Figure BDA0002288359370000085
步骤1.3、机器人传动系统非线性建模，获得机器人传动系统非线性刚度
Figure BDA0002288359370000086
本步骤建模可通过MATLAB软件实现。
机器人传动系统刚度模型如图8所示，包括电机和谐波减速器，首先建立电机的刚度模型和谐波减速器的刚度模型。
电机等效为一个机械扭转系统，其扭转刚度为：
Figure BDA0002288359370000087
上式(2)中，kM为电机的扭转刚度(Nm/rad)；JM为电机转子的转动惯量；TM为电机的机械时间常数。上式(2)依据电机设计手册。
谐波减速器采取分段刚度等效谐波减速器的非线性刚度，则谐波减速器的刚度表示为：
Figure BDA0002288359370000088
上式(3)中，φ是谐波减速器输入端固定在末端施加载荷时末端的扭转角，k1,k2,k3表示谐波减速器的分段刚度，T1,T2,T3表示谐波减速器分段刚度扭矩临界值，T表示谐波减速器所受扭矩，λ为谐波减速器刚度影响系数。上式(3)依据谐波减速器设计手册。
然后将机器人传动系统各个环节的刚度折算到关节的输出端再进行合成，求得机器人传动系统总扭转刚度kT，其中：
电机的扭转刚度折算到输出端的等效刚度k'M为：
Figure BDA0002288359370000091
谐波减速器的扭转刚度折算到输出端的等效刚度k'H为：
k'H＝kH (5)；
上式(5)中，kH根据静力学分析获得的关节扭转力矩。
则关节传动系统的总扭转刚度kT为：
Figure BDA0002288359370000092
上式(6)依据参考文献“潘新安，一种模块化可重构机器人的设计理论与实验研究[D],北京：中国科学院大学,2013.”。
最后由于机器人传动系统刚度模型仅包含一个自由度即扭转刚度，为方便模块综合刚度建模，将其扩充为六个自由度的刚度模型，获得机器人传动系统非线性刚度
Figure BDA0002288359370000093
Figure BDA0002288359370000094
步骤1.4、进行机器人整体综合刚度建模，获得机器人整体综合刚度。本步骤建模可通过MATLAB软件实现。
机器人综合刚度包括结构刚度和传动系统刚度，对于连杆模块来说，其综合刚度即为步骤1.2中有限元子结构法提取的结构刚度
Figure BDA0002288359370000095
对于关节模块来说，其综合刚度
Figure BDA0002288359370000096
为步骤1.2中获得的结构刚度
Figure BDA0002288359370000097
和步骤1.3中获得的机器人传动系统非线性刚度
Figure BDA0002288359370000098
在输出端的合成，同时关节模块运动引起的刚度变化也需要考虑。
当关节模块处于零位时，其综合刚度
Figure BDA0002288359370000099
模型可看作是结构刚度
Figure BDA00022883593700000910
和传动系统非线性刚度
Figure BDA00022883593700000911
的串联，其表达为：
Figure BDA00022883593700000912
上式(8)中，
Figure BDA0002288359370000101
均为6×6刚度矩阵,括号中的“0”表示关节处于零位。
当关节变量qi不为零时,即关节的零位输出坐标系与运动输出坐标系不重合，需要将综合刚度矩阵
Figure BDA0002288359370000102
由零位坐标系变换到运动坐标系，其表达为：
Figure BDA0002288359370000103
上式(9)中，Tqi为力旋量变换矩阵，其表达为：
Figure BDA0002288359370000104
上式(10)依据参考文献“John J.Craig.Introduction to Robotics mechanicsand control,fourth edition[M],Pearson Education,lnc.,2018”获得，其中t表示零位坐标系原点在运动坐标系中的位置，R表示零位坐标系到运动坐标系的旋转矩阵，
Figure BDA0002288359370000105
表示叉乘。
机器人整体综合刚度＝各个连杆模块综合刚度之和+各个关节模块综合刚度之和。
步骤二：机器人静力平衡建模，通过在连杆模块及关节模块末端添加虚拟关节表示连杆模块及关节模块的柔性变形，获得机械臂末端位姿矩阵，并建立负载和自重条件下的机器人静力平衡模型。
传统虚拟关节法是通过在机器人刚性模型中添加虚拟关节表示关节扭转变形来建立刚度模型，本发明则将传统虚拟关节法扩展为六维，并如图9～10所示，通过在连杆或关节模块末端添加六维虚拟关节的方法来表示连杆或关节模块的柔性变形。
具体过程如下：
步骤2.1、如图9～10所示，将协作机器人运动模型等效为虚拟关节模型，机械臂末端位姿通过机器人各模块和虚拟关节的齐次矩阵串联构成，本步骤建模可通过MATLAB软件实现，其中机械臂末端位姿矩阵表示为：
T＝TL1·TVJ(θL1)·TJ(q1)·TVJ(θJ1)…TLn·TVJ(θLn) (11)；
上式(11)中，TLi表示刚性连杆，TVJ(θLi)表示连杆模块的柔性旋转和位移，TJ(qi)表示关节模块的柔性旋转和位移，qi表示关节位移角，θi＝[xi,yi,zi,αi,βi,γi]T表示虚拟关节位移和旋转，αi,βi,γi表示欧拉角。上式(11)根据参考文献“A.Pashkevich,A.Klimchik,and D.Chablat,"Nonlinear Effects in Stiffness Modeling of RoboticManipulators,"Proceedings of World Academy of Science Engineering&Technology,pp.168-173,2009.”获得。
上式(11)的机械臂末端位姿齐次矩阵可表示为广义矩阵：
t＝g(θ,q) (12)；
上式(12)中，q＝[q1，q2…qn]T表示关节位移角，θ＝[θ1，θ2…θm]T表示是虚拟关节位移。
步骤2.2、构建数值迭代算法，目的在于解决机械臂在自重和负载工况下的静力平衡问题，本步骤建模可通过MATLAB软件实现，其过程如下：
机械臂在位姿(θi,q0)下，其各模块自重向虚拟关节空间映射表示为：
fGi＝JGi(q0,θi)T·FGi (13)；
上式(13)中，FGi为模块自重在自身输入坐标系的表示，JGi(q0,θi)为雅克比矩阵在模块输入端坐标系中的表示，θi表示机器人的第i个虚拟关节位移，q0表示机器人的零位关节位移角。
上式(13)根据参考文献“John J.Craig.Introduction to Robotics mechanicsand control,fourth edition[M],Pearson Education,lnc.,2018”获得。
而机器人自重向虚拟关节空间映射表示为：
Figure BDA0002288359370000111
机械臂在位姿(θi,q0)下，其负载向虚拟关节空间映射表示为
fLoad＝J(q0,θi)T·FLoad (15)；
机械臂在位姿(θi,q0)下，虚拟关节所受外力表示为
Figure BDA0002288359370000112
由于机器人关节模块刚度为非线性，所以虚拟关节的变形可以表示为
Figure BDA0002288359370000121
上式(17)中，C(q0,f)表示为各模块非线性柔度矩阵，θi+1表示虚拟关节受力后的柔性变形。上式(17)根据参考文献“A.Pashkevich,A.Klimchik,and D.Chablat,"Nonlinear Effects in Stiffness Modeling of Robotic Manipulators,"Proceedingsof World Academy of Science Engineering&Technology,pp.168-173,2009.”获得。
综上述，可得机械臂在自重和负载工况下的静力平衡问题具体算法：
Figure BDA0002288359370000122
即上式(16)；
Figure BDA0002288359370000123
即上式(17)；
ti+1＝g(θi+1，q0)，即上式(12)；
其收敛条件为||ti+1-ti||<ρ。
计算时式(16)结果代入式(17)，式(17)结果代入式(12)。
步骤2.3、采用商业数学软件MATLAB通过步骤2.2中构建的数值迭代算法对机器人静力平衡进行数值计算，经过2～3次迭代后可达到收敛。
步骤三：机器人非线性刚度建模，获得机器人非线性刚度矩阵，为机器人刚度补偿和定位精度改善提供依据。本步骤建模可通过MATLAB软件实现。
假设机械臂从状态(FLoad,q,θ,t)变换到状态(FLoad+δFLoad,q,θ+δθ,t+δt)两种状态均能满足静力平衡，获得等式为：
fLoad＝J(q，θ)T·FLoad，即上式(15)；
fLoad+δfLoad＝(J(q，θ)+δJ(q，θ))T·(FLoad+δFLoad)(19)；
根据运动模型，微分运动可以表示为：
δt＝J(q，θ)·δθ (20)；
δfLoad＝k(fLoad，q)·δθ (21)；
上式(20)和(21)中，δ和δθ分别表示机器人末端和关节空间的微分位移，k(fLoad,q)表示在(fLoad,q)工况下虚拟关节空间下的机器人整体综合刚度矩阵，机器人整体综合刚度矩阵由步骤一获得。
对式(15)进行微分变换，并且忽略相关高次项，可以得到：
J(q，θ)T·δFLoad+H(q，θ)·δθ＝k(fLoad，q)·δθ (22)；
J(q，θ)T·δFLoad＝(k(fLoad，q)-H(q，θ))·δθ (23)；
上式(22)和(23)中，H(q,θ)是函数g(q,θ)T·FLoad的海森(Hessian)矩阵，而g(q，θ)为步骤二中的获得的式(12)机械臂末端位姿广义矩阵。
将式(20)代入式(23)可得：
Figure BDA0002288359370000131
上式(24)中，kΘ＝k(fLoad，q)-H(q，θ)；
于是机器人在静力平衡位置的柔度矩阵可以表示为：
Figure BDA0002288359370000132
上式(25)依据参考文献【潘新安，一种模块化可重构机器人的设计理论与实验研究[D],北京：中国科学院大学,2013.】获得，表示为上式的原因为方便于计算，无需对机器人雅克比矩阵进行求逆。
刚度和柔度本身互为倒数的关系，于是机器人非线性刚度为上式(25)求逆：
K＝C-1 (26)。
机器人的刚度是指机器人抵抗外力变形的能力，在小变形假设下，表现为机器人末端的弹性位移，但由于传统工业机器人采用高刚度的机构和结构设计方法，外力、自重等因素对于其刚度模型的非线性影响可以忽略。但对于协作机器人而言，大量弹性因素的引入使基于小变形假设的机器人刚度模型不再合理。因此在大变形假设下，本发明提出了一种协作机器人非线性建模方法，将有限元和虚拟关节刚度建模方法相结合，上式(26)仅包含机器人传动系统刚度非线性因素，并考虑负载和自重引起的机器人位姿和雅可比矩阵变化对机器人刚度的影响，从而为机器人的刚度补偿和定位精度的提高提供了依据，能够实现协作机器人离线或在线刚度补偿，改善机器人的整机刚度和定位精度。

Claims (8)

1.一种协作机器人非线性刚度建模方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤一：机器人模块综合刚度建模，将机器人拆分成多个独立的连杆模块和关节模块，采用有限元子结构法获得各模块的结构刚度矩阵
Figure FDA0002288359360000012
然后进行机器人传动系统非线性建模，获得机器人传动系统非线性刚度
Figure FDA0002288359360000013
机器人整体综合刚度为各个模块综合刚度之和，其中连杆模块综合刚度矩阵为结构刚度矩阵
Figure FDA0002288359360000014
关节模块刚度矩阵为结构刚度矩阵
Figure FDA0002288359360000016
和机器人传动系统非线性刚度
Figure FDA0002288359360000015
在输出端的合成；
步骤二：机器人静力平衡建模，通过在连杆模块及关节模块末端添加虚拟关节表示连杆模块及关节模块的柔性变形，获得机械臂末端位姿矩阵，并建立负载和自重条件下的机器人静力平衡模型；
步骤三：机械人非线性刚度建模，为机器人刚度补偿和定位精度改善提供依据。
2.根据权利要求1所述的协作机器人非线性刚度建模方法，其特征在于：步骤一中，将机器人拆分成多个独立的连杆模块和关节模块，并将各个模块等效为超单元，对模块模型简化，然后采用有限元子结构法获得各个超单元的结构刚度矩阵
Figure FDA0002288359360000017
3.根据权利要求1所述的协作机器人非线性刚度建模方法，其特征在于：步骤一中，对机器人传动系统非线性建模时，首先建立电机的刚度模型和谐波减速器的刚度模型，然后将机器人传动系统各个环节的刚度折算到关节的输出端再进行合成，求得机器人传动系统总扭转刚度kT，最后将kT扩充为六个自由度的刚度模型，获得机器人传动系统非线性刚度矩阵
Figure FDA0002288359360000018
4.根据权利要求3所述的协作机器人非线性刚度建模方法，其特征在于：对机器人传动系统非线性建模时，电机等效为一个机械扭转系统，其扭转刚度为：
Figure FDA0002288359360000011
上式(2)中，kM为电机的扭转刚度(Nm/rad)；JM为电机转子的转动惯量；TM为电机的机械时间常数；
谐波减速器采取分段刚度等效谐波减速器的非线性刚度，则谐波减速器的刚度表示为：
Figure FDA0002288359360000021
上式(3)中，φ是谐波减速器输入端固定在末端施加载荷时末端的扭转角，k1,k2,k3表示谐波减速器的分段刚度，T1,T2,T3表示谐波减速器分段刚度扭矩临界值，T表示谐波减速器所受扭矩，λ为谐波减速器刚度影响系数；
然后将机器人传动系统各个环节的刚度折算到关节的输出端再进行合成，求得机器人传动系统总扭转刚度kT，其中电机的扭转刚度折算到输出端的等效刚度k'M为：
Figure FDA0002288359360000022
谐波减速器的扭转刚度折算到输出端的等效刚度k'H为：
k'H＝kH (5)；
上式(5)中，kH根据静力学分析获得的关节扭转力矩；
则关节传动系统的总扭转刚度kT为：
Figure FDA0002288359360000023
最后将kT扩充为六个自由度的刚度模型，获得机器人传动系统非线性刚度矩阵
Figure FDA0002288359360000025
Figure FDA0002288359360000024
5.根据权利要求1所述的协作机器人非线性刚度建模方法，其特征在于：步骤一中，机器人整体综合刚度建模时，关节模块刚度矩阵为结构刚度矩阵
Figure FDA0002288359360000026
和机器人传动系统非线性刚度
Figure FDA0002288359360000027
在输出端的合成，合成时需考虑关节模块运动引起的刚度变化：
当关节模块处于零位时，关节模块综合刚度
Figure FDA0002288359360000028
为结构刚度
Figure FDA0002288359360000029
和传动系统非线性刚度
Figure FDA00022883593600000210
的串联，其表达为：
Figure FDA0002288359360000031
上式(8)中，
Figure FDA0002288359360000032
均为6×6刚度矩阵,括号中的“0”表示关节处于零位；
当关节变量qi不为零时,将关节模块综合刚度
Figure FDA0002288359360000037
由零位坐标系变换到运动坐标系，其表达为：
Figure FDA0002288359360000033
上式(9)中，Tqi为力旋量变换矩阵，其表达为：
Figure FDA0002288359360000034
6.根据权利要求1所述的协作机器人非线性刚度建模方法，其特征在于：步骤二中，将协作机器人运动模型等效为虚拟关节模型，机械臂末端位姿通过机器人各模块和虚拟关节的齐次矩阵串联构成，机械臂末端位姿矩阵表示为：
T＝TL1·TVJ(θL1)·TJ(q1)·TVJ(θJ1)…TLn·TVJ(θLn) (11)；
上式(11)中，TLi表示刚性连杆，TVJ(θLi)表示连杆模块的柔性旋转和位移，TJ(qi)表示关节模块的柔性旋转和位移，qi表示关节位移角，θi＝[xi,yi,zi,αi,βi,γi]T表示虚拟关节位移和旋转，αi,βi,γi表示欧拉角；
上式(11)的机械臂末端位姿齐次矩阵表示为广义矩阵：
t＝g(θ,q) (12)；
上式(12)中，q＝[q1，q2…qn]T表示关节位移角，θ＝[θ1，θ2…θm]T表示是虚拟关节位移。
7.根据权利要求6所述的协作机器人非线性刚度建模方法，其特征在于：步骤二中，获得机械臂末端位姿广义矩阵后构建数值迭代算法解决机械臂在自重和负载工况下的静力平衡问题，数值迭代算法具体如下：
Figure FDA0002288359360000035
Figure FDA0002288359360000036
ti+1＝g(θi+1，q0) (12)；
收敛条件为||ti+1-ti||<ρ；
上式(16)表示机械臂在位姿(θi,q0)下，虚拟关节所受外力；上式(17)表示虚拟关节变形；上式(12)为机械臂末端位姿广义矩阵；
采用数学软件通过上述构建的数值迭代算法对机器人静力平衡进行数值计算，经过多次迭代后达到收敛。
8.根据权利要求1所述的协作机器人非线性刚度建模方法，其特征在于：步骤三中，机器人非线性刚度建模过程如下：
假设机械臂从状态(FLoad,q,θ,t)变换到状态(FLoad+δFLoad,q,θ+δθ,t+δt)两种状态均能满足静力平衡，获得等式为：
fLoad＝J(q，θ)T·FLoad (15)；
fLoad+δfLoad＝(J(q，θ)+δJ(q，θ))T·(FLoad+δFLoad) (19)；
根据运动模型，微分运动可以表示为：
δt＝J(q，θ)·δθ (20)；
δfLoad＝k(fLoad，q)·δθ (21)；
上式(20)和(21)中，δ和δθ分别表示机器人末端和关节空间的微分位移，k(fLoad,q)表示在(fLoad,q)工况下虚拟关节空间下的机器人整体综合刚度矩阵，机器人整体综合刚度矩阵由步骤一获得；
对式(15)进行微分变换，并且忽略相关高次项，得到：
J(q，θ)T·δFLoad+H(q，θ)·δθ＝k(fLoad，q)·δθ (22)；
J(q，θ)T·δFLoad＝(k(fLoad，q)-H(q，θ))·δθ (23)；
上式(22)和(23)中，H(q,θ)是函数g(q,θ)T·FLoad的海森(Hessian)矩阵，而g(q，θ)为步骤二中获得的机械臂末端位姿广义矩阵；
将式(20)代入式(23)可得：
Figure FDA0002288359360000041
上式(24)中，kΘ＝k(fLoad，q)-H(q，θ)；
于是机器人在静力平衡位置的柔度矩阵可以表示为：
Figure FDA0002288359360000042
刚度和柔度互为倒数的关系，于是机器人非线性刚度为上式(25)求逆：
K＝C-1 (26)。
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