CN109165425B - 一种齿轮接触疲劳可靠性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种齿轮接触疲劳可靠性分析方法。该方法首先建立了齿轮的接触应力模型，并基于疲劳S‑N曲线获取了一定周期后的疲劳剩余强度，进而构建了齿轮接触疲劳失效的功能函数。然后，根据随机参数的分布特性，运用蒙特卡洛方法产生点集，并从中随机选出N个点作为实验设计点构建了初始Kriging模型，再通过主动学习策略，获得了最接近极限状态面或误差最大的样本点，并将其作为最佳样本点增加到原有实验设计点中，更新了Kriging模型，直至收敛。根据收敛的Kriging模型，获取了所有样本点集对应的功能函数近似值，并采用蒙特卡洛方法计算了其失效概率。最后，通过一具体算例验证了该方法的可行性。该发明的齿轮接触疲劳可靠性分析方法更具高效性和实用性。

Description

一种齿轮接触疲劳可靠性分析方法

技术领域

本发明涉及一种可靠性分析方法，尤其涉及基于主动学习策略的齿轮接触疲劳可靠性分析方法。

背景技术

齿轮往往作为装备的动力传输的主要载体，而齿面的接触疲劳引起的损伤破坏是最普遍的一种疲劳失效模式，约占报废齿轮的70％，针对齿轮进行齿面接触疲劳分析对装备的安全运行非常必要。

传统的齿轮接触强度设计通常采用安全系数作为衡量标准。由于该安全系数的确定过程涉及人为主观因素，经常会造成结构粗笨，甚至存在安全性不足的隐患，已逐渐不能满足现代工程设计的需要。由于可以精确度量和跟踪结构服役过程中的不确定性因素，基于可靠性的结构强度分析和设计方法可保证结构具有足够的安全性，并且满足经济性需求。因此，实际工程中，非常有必要对齿轮结构进行接触疲劳可靠性分析，进而为齿轮疲劳强的设计提供更加科学而合理的依据。传统的齿轮接触可靠性分析方法通常依赖于试验，其成本高且周期长，当齿轮材料、模数及齿数等参数发生变化时，试验必须重新开展，需花费大量的成本和时间。为了有效避免试验、提高开发周期、节省研发成本，研究者们开始对齿轮结构进行有限元建模，发展基于物理模型的齿轮接触疲劳可靠性分析方法。目前，在基于物理模型的接触疲劳可靠性分析方法中，蒙特卡洛仿真方法(MCS)是最常见的方法，但该方法需调用大量的有限元分析模型，因计算成本过高而难以应用于实际工程。虽然，后续发展的最可能失效点(MPP)方法和矩方法等，在一定程度上解决了可靠性分析的效率问题，但其针对参数不确定性和非线性问题依然存在挑战。事实上，齿轮接触疲劳问题中不确定性参数的分散性通常较大，且随着疲劳循环次数的增加，疲劳寿命与参数之间的关系也变得极端非线性。因此，针对齿轮结构，迫切需要发展一种高效而稳健的接触疲劳可靠性分析方法。

发明内容

本发明提出了一种基于主动学习策略的齿轮疲劳接触可靠性分析方法，通过少量调用齿轮接触模型即可得到精确的可靠度，这对有效保障齿轮结构在服役过程中的可靠性、稳定性和经济性具有重要的工程意义。

附图说明

图1是齿轮接触疲劳疲劳可靠性分析流程图；

图2是齿轮传动模型；

图3是20CrMnTi的接触疲劳S-N曲线；

图4是基于主动学习策略的实验设计图；

图5是疲劳失效概率随循环周次的变化趋势。

具体实施方式

由于齿面接触力的循环作用，齿轮结构将发生接触疲劳破坏。因制造误差和环境因素等的影响，齿轮结构在几何特性、材料属性和载荷等方面均存在参数不确定性。本发明专利可考虑这些不确定性参数的影响，对齿轮结构进行高效的疲劳可靠性分析。

实际工程中，影响齿面接触应力的因素众多，对不同的工况、系统效应、齿轮精度等而言，齿面接触应力往往相差较大。为了方面，本发明以渐开线直齿轮为例进行说明。根据美国ANSI/AGMA2001-D04标准，其齿面接触应力σ_H可计算如下：

式中：Z_E为弹性系数；F_t为传递的切向载荷；K_o为超载系数；K_v为动载系数；K_s为尺寸系数；K_H为载荷分配系数；d为主动轮的工作节圆直径；b为齿宽；Z_R为抗点蚀的表面状况系数；Z_I为抗点蚀的几何系数。切向载荷F_t齿轮啮合时所承受的切向载荷取决于齿轮所传递的力矩或功率，该作用力作用于齿轮端面上并与分度圆相切，其计算公式如下：

式中：T为力矩。对于任意复杂的齿轮结构，可利用有限元方法对齿轮结构进行分析，获取其齿面接触应力。

由于不确定性因素的存在，齿面的接触应力不再为一确定性值，而是依赖于不确定性参数的变量。因此，针对齿轮的失效分析需考虑这些不确定性参数对接触应力的影响。齿轮结构接触疲劳可靠性表示在给定时间周期内结构不会因齿面循环接触和磨损而发生失效的概率，其可表示为：

P_f＝P(g(x)＜0)\*MERGEFORMAT(3)

式中：x为一q维向量，代表齿轮结构的几何尺寸、材料特征和载荷等不确定性因素。例如，若动载系数K_v和载荷分配系数K_H为不确定性变量，则x＝[K_v,K_H]；g(x)为功能函数：

g(x)＝σ_f-σ_H(x)\*MERGEFORMAT(4)

式中：σ_f表示齿轮运行一段时间后的疲劳剩余强度，σ_H为公式(1)中的齿面接触应力。

为了获取式中的失效概率，下面将首先建立功能函数g(x)的Kriging模型，然后根据主动学习策略选择样本更新点，最终对齿轮结构进行接触疲劳可靠性分析。

基于Kriging模型，齿轮疲劳失效的功能函数式(4)可近似表示为：

式中：h(x)表示回归模型的基函数，代表了模型的趋势；β为趋势系数向量。对于通常情况下，h(x)可取为单位向量，β可简单取为当前训练样本点集处功能函数的均值向量。另外，Z(x)为一零均值的平稳高斯随机过程，表示偏离趋势的程度，其任意两点a和b之间的协方差函数可表示为：

式中：

为高斯过程的方差，R(a,b)为相关系数函数：

式中：q代表变量的维数，θ_i为尺度参数，a_i和b_i分别表示a和b的第i个坐标。Kriging模型的均值和方差可被估计为：

式中：R表示训练样本点之间的协方差函数；r表示x与训练样本点之间的协方差函数；g表示对应于训练样本点集的功能函数向量，F表示n×1的单位向量，n为训练样本点数。最终，通过以下最大似然估计可得到参数θ_i和σ_Z：

式中：

获得参数θ_i和σ_Z后，将其带入式(6-7)得到高斯随机过程Z(x)，进一步可建立如式(5)所示的齿轮接触疲劳失效Kriging模型，同时根据式(8)和(9)可继续得到Kriging模型在任意点处的均值和方差。

主动学习策略

首先运用蒙特卡洛方法产生点集S，并从S中随机选出N个点作为实验设计点构建初始Kriging模型。由于构建Kriging模型时，仅调用了少量齿轮接触疲劳功能函数，其精度不能得到保证。因此，如何从S中确定最好的下一个点来更新模型，进而构建精确的Kriging模型非常重要。下面本发明将引入一种主动学习策略来选取最佳样本点。该学习策略认为最影响失效概率的点应该被重点考虑，这些点包括极限状态面附近的点、模型中不确定度最大的点及两种情况都存在的点。基于此，该策略定义如下主动学习函数：

式中，

和

分别为Kriging模型的均值和方差。根据公式和，可得到所有S中样本点对应的U值。然后，选取集合中对应U最小值的样本点作为新实验样本点，更新的实验设计点并计算新的Kriging模型。当U≥2时，Kriging模型被认为是足够准确的，停止学习。

可靠性计算及其收敛准则

当学习满足停止条件后，根据公式(5)中建立的齿轮接触疲劳Kriging模型预测点集S中所有样本点对应的功能函数

并通过点集S中具有负的

的数目与S的样本点总数之比来获得齿轮失效的概率的：

上述失效概率P_f可根据下面的收敛准则判断是否收敛。根据MCS原理，P_f的变异系数可计算如下：

通常，当变异系数低于5％时，P_f的结果精度是可以接受的。若变异系数过高，则需进行蒙特卡洛模拟新的点集合，将其加到原集合S中去，并重新进行上述分析。如果方差系数在允许的范围内，则结束，最后一次失效概率的计算作为最终的齿轮接触疲劳失效概率。

如图1所示，本发明方法的流程可概括如下：

(1)根据实际工况，确定齿轮接触疲劳模型中的不确定性参数及其分布信息，基于疲劳S-N曲线获取一定周期后的疲劳剩余强度，建立接触疲劳可靠性分析的功能函数；

(2)根据齿轮接触疲劳模型中的不确定性参数分布特性，随机产生1e6个MCS样本集，并从中选出n个样本点作为初始实验设计点，建立齿轮接触疲劳失效功能函数的Kriging模型；

(3)根据构建的Kriging模型，获取所有样本点集对应的功能函数近似值，计算其失效概率；

(4)根据主动学习策略评估S中的最佳点，将该样本点增加到原有实验设计点中，更新齿轮接触疲劳失效的Kriging模型。判断是否满足停止学习条件：若不满足停止条件，继续学习，返回步骤3；若满足停止条件，停止学习，跳到步骤5；

(5)根据收敛准则判断齿轮失效概率是否收敛。若不收敛，在初始实验设计点中增加一个新的MCS样本点，返回步骤2；若收敛，获得最终的齿轮疲劳接触失效概率，结束。

基于上述流程，无需在所有MCS样本点上计算原始的齿轮接触疲劳模型，仅需根据主动学习策略对少数样本点进行评估即可保证可靠性结果足够准确。

本文以某渐开线齿轮作为研究对象，采用本专利方法对其进行接触疲劳可靠性预测。如图2所示，该齿轮主动轮的工作节圆直径d为72mm，齿宽b为20mm，主动轮的齿数为16，从动轮的齿数为24，两齿轮模数均为4.5，齿轮副的中心距为90mm。齿轮材料为20CrMnTi，具有较高抗冲击及摩擦能力。根据机械工程材料性能数据手册查找20CrMnTi相关疲劳性能如图3所示，其失效概率为0.01的接触疲劳S-N曲线如下：

S^28.5714N＝1.0322×10¹⁰²\*MERGEFORMAT(15)

根据该曲线可确定一定疲劳循环周次下的疲劳剩余强度。该算例中，超载系数K₀取为1；动载系数K_v主要考虑齿轮制造精度等级和主动轮节圆线速度所带来的影响，其为均值等于1.225、标准差等于0.1225的正态随机变量。尺寸系数K_s用来描述因尺寸效应所造成对齿面接触应力的影响，其取值为1.0。载荷分布系数K_H是描述因沿齿轮端面和齿轮齿宽部分载荷分布不均勾所造成对齿面接触应力影响的系数，其为均值等于1.1、标准差等于0.11的正态随机变量。抗点烛的表面状况系数Z_R受到的主要影响因素为切齿、刹齿、研齿、磨齿、喷丸强化等的表面加工质量，当表面状况恰当时，取其值为1.0。抗点蚀的几何系数Z_I的取值范围为0.1。最终，获得的齿轮接触模型参数信息如表1所示。

表1齿轮接触模型参数信息

采用本专利方法对上述齿轮模型进行接触疲劳可靠性分析。假设齿轮已经运行了5e6次疲劳循环，根据S-N曲线可获得其对应的疲劳剩余强度为2168MPa。虽然本专利方法可考虑多个不确定性因素的影响，但为了方便论述，本算例中仅考虑了动载系数K_V和载荷分配系数K_H两个随机变量。如图4所示，首先基于这两个随机变量的分布特性，随机产生10个初始训练样本点“o”，然后采用主动学习策略选取的最佳样本点"*"。可发现根据主动学习函数选取的样本点"*"基本落在真实极限状态面上，从而导致Kriging模型的极限状态面与真实极限状态面具有较好的一致性，表明了构建的齿轮接触疲劳Kriging模型的准确性。为了进一步验证本专利的准确性，采用1e6个样本进行MCS验算。最后，通过本专利方法和MCS方法获得的失效概率均为2.75％，两者结果相同，表明了本专利方法的有效性。另外，如图5所示，给出了齿轮接触疲劳可靠性随疲劳循环周次的变化情况。可发现，当疲劳循环周次从1e5周次增加到1e7周次时，齿轮接触疲劳可靠性从0.002％上升到6.38％。实际工程中，若要保证齿轮在该接触力下仍然具有99％的高接触疲劳可靠性，则需控制在循环周次在3.7e6以内。另一方面，若要在一定循环周次后齿轮仍然具有相当的可靠度，则需对齿轮的外部载荷进行控制。总之，通过本专利可有效实现齿轮接触疲劳可靠性分析，保证齿轮的安全和稳定服役。

Claims (6)

1.一种齿轮接触疲劳可靠性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)根据实际工况，确定齿轮接触疲劳模型中的不确定性参数及其分布信息，基于疲劳S-N曲线获取一定周期后的疲劳剩余强度，建立基于齿面接触应力的齿轮接触疲劳失效功能函数；

(2)根据齿轮接触疲劳模型中的不确定性参数分布特性，随机产生1e6个MCS样本集，并从中选出n个样本点作为初始实验设计点，建立所述齿轮接触疲劳失效功能函数的Kriging模型；

(3)根据构建的Kriging模型，获取所有样本点集对应的功能函数近似值，计算其失效概率；

(4)根据主动学习策略评估S中的最佳点，将该样本点增加到原有实验设计点中，更新齿轮接触疲劳失效的Kriging模型，判断是否满足停止学习条件：若不满足停止条件，继续学习，返回步骤3；若满足停止条件，停止学习，跳到步骤5；所述主动学习策略定义如下主动学习函数：

式中：

和

分别为Kriging模型的均值和方差；

(5)根据收敛准则判断齿轮失效概率是否收敛；若不收敛，在初始实验设计点中增加一个新的MCS样本点，返回步骤2；若收敛，获得最终的齿轮疲劳接触失效概率，结束。

2.如权利要求1所述的一种齿轮接触疲劳可靠性分析方法，其特征在于，基于Kriging模型，齿轮疲劳失效的功能函数表示为：

式中：x为一q维向量，代表齿轮结构的不确定性因素，不确定性因素包括几何尺寸、材料特征和载荷；动载系数K_v和载荷分配系数K_H为不确定性变量，则x＝[K_v,K_H]；h(x)表示回归模型的基函数，代表了齿轮疲劳失效模型的趋势；β为趋势系数向量；h(x)取为单位向量，β取为当前训练样本点集处齿轮失效功能函数的均值向量。

3.如权利要求2所述的一种齿轮接触疲劳可靠性分析方法，其特征在于，Z(x)为一零均值的平稳高斯随机过程，表示因随机因素而引起的模型偏离趋势程度，随机因素包括动载系数、载荷分配系数；Z(x)任意两点a和b之间的协方差函数表示为：

式中：

为高斯过程的方差，R(a,b)为相关系数函数：

式中：q代表变量的维数，θ_i为尺度参数，a_i和b_i分别表示a和b的第i个坐标。

4.如权利要求3所述的一种齿轮接触疲劳可靠性分析方法，其特征在于，所述Kriging模型的均值和方差被估计为：

式中：R表示训练样本点之间的协方差函数；r表示x与训练样本点之间的协方差函数；g表示对应于训练样本点集的齿轮失效功能函数向量，F表示n×1的单位向量，n为训练样本点数。

5.如权利要求1所述的一种齿轮接触疲劳可靠性分析方法，其特征在于，所述Kriging模型预测点集S中所有样本点对应的齿轮失效功能函数

并通过点集S中具有负的

的数目与S的样本点总数之比来获得失效的概率。

6.如权利要求1所述的一种齿轮接触疲劳可靠性分析方法，其特征在于，所述收敛准则判断齿轮失效概率P_f是否收敛如下：根据MCS原理，根据如下公式计算其变异系数：

当变异系数低于5％时，接受P_f的结果精度；若变异系数过高，则需进行蒙特卡洛模拟新的点集合，将其加到原集合S中去，并重新进行上述分析；如果方差系数在允许的范围内，则结束，最后一次失效概率的计算作为最终的齿轮接触疲劳失效概率。

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