CN109063338A - 基于完全正交化算法识别预应力桥梁现存预应力的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于完全正交化算法的识别预应力桥梁现存预应力的方法，包括以下步骤：1)、在桥梁底面从左端依次向右布置有m个位移传感器；2)、测量在固定荷载P(t)作用下位移传感器测得的桥梁竖向位移3)、由测得的桥梁竖向位移计算预应力桥梁的振幅{q}_N×1；4)、建立识别桥梁现存预应力值的系统方程T＝({S}^T{S})^‑1{S}^T{b}；5)、利用基于完全正交化算法求得桥梁现存预应力值T。本发明通过建立预应力桥梁现存预应力与桥梁竖向动态位移响应之间的力学映射关系，实现由桥梁位移响应识别桥梁现存预应力值，具有识别速度快且精度较高等优点，具有良好的工程应用价值。

Description

基于完全正交化算法识别预应力桥梁现存预应力的方法

技术领域

本发明属于预应力桥梁现存预应力的识别技术领域，尤其涉及一种基于完全正交化算法的识别预应力桥梁现存预应力的方法。

背景技术

随着我国经济的迅猛发展，公路铁路交通量均日益增加，且在今后较长的一段时间内我国交通运输需求将继续保持快速增长趋势。货物运输中大宗货物车辆荷载重型化、车速高速化的发展虽然创造了良好的经济效益，但也对我国桥梁等交通基础设施造成了潜在的危害，因此对桥梁结构的安全性、适用性与耐久性提出更高要求。如何精确评估现役桥梁的结构安全状况，避免由于桥梁结构破坏导致的人员伤害和财产损失是桥梁工程人员迫切需要解决的工程难点。预应力桥梁现存预应力的大小是评估桥梁抗裂性能和承载能力的重要指标，采用无损检测技术快速识别预应力桥梁现存预应力具有良好的工程可行性。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于完全正交化算法由桥梁位移实时识别预应力桥梁现存预应力的方法，识别速度快且精度较高。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案是：一种基于完全正交化算法的识别预应力桥梁现存预应力的方法，包括以下步骤：

1)、在桥梁底面从左端依次向右布置有m个位移传感器；

2)、测量在固定荷载P(t)作用下位移传感器测得的桥梁竖向位移

3)、由测得的桥梁竖向位移计算预应力桥梁的振幅{q}_N×1；

4)、建立识别桥梁现存预应力值的系统方程T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b}；

5)、利用基于完全正交化算法，由系统方程初始解得到残差，由残差构造得到w维Krylov子空间，求得桥梁现存预应力值T。

所述步骤2)中具体包括以下步骤：

21)、建立桥梁的振动微分方程：

将桥梁考虑为一单跨简支梁，假设固定荷载P(t)位于单跨简支梁上，其距离桥梁左端距离为x_p，通过在桥梁底面粘贴的位移传感器可测得距桥梁左端x位置处t时刻的动态位移为y(x,t)，则其振动微分方程：

其中单跨简支梁的跨长为L，密度为ρ，截面面积为A，粘性比例阻尼为c；桥梁抗弯刚度为EI，E是材料的弹性模量，I＝bh₀ ³/12是梁截面的惯性矩，其中b是桥梁横截面宽度，h₀是桥梁横截面高度；δ(x-x_p)是狄拉克函数；

22)、得到简支梁的模态振型函数的矩阵形式：

基于模态叠加原理，假设梁的第i阶模态振型函数为Y_i，梁的第i阶振幅为q_i(t)，则动态位移y(x,t)的模态形式表示为：

把方程(2)带入方程(1)并对方程两端的每一项均乘以Y_i(x)，考虑模态正交条件并对方程中x值从0到L进行积分，得到新方程：

其中，ξ_i和分别是第i阶模态的阻尼比和模态质量，f_i(t)＝P(t)Y_i(x_p)是位于单跨简支梁上的模态荷载；为q_i(t)的二阶导数，为q_i(t)的一阶导数；

简支预应力梁的模态振型函数标准化形式表示为：

在时域内通过Newmark积分将方程(3)用矩阵形式表示为：

其中，[I]是单位矩阵，{Q(t)}＝{q₁(t),q₂(t),…,q_n(t)}^T， {F(t)}＝{f₁(t),f₂(t),…,f_n(t)}^T，和分别为Q(t)的一阶导数和二阶导数；

23)、得到桥梁竖向位移向量

假定在简支桥梁底面从左端支座依次向右布置有m个位移传感器，则在模态坐标下距简支梁左端支座x_m处的第m个位移传感器实测竖向位移y(x_m,t)表示为：

其中，Y_i为梁的第i阶模态振型函数，q_i(t)为梁的第i阶振幅，方程(6)用矩阵形式表示为：

式中，是第N_m个位移传感器测得的位移向量，N是测量位移向量中包含的振型数量；

则广义坐标下基于最小二乘法的振幅伪逆解表示为：

式中，为矩阵的逆，[Y]^T为矩阵[Y]的转置；

布置在桥梁底面的第j个位移传感器在t时刻测得的竖向位移向量y(x_j,t)由广义正交多项式拟合为：

其中，N_f为正交多项式函数的阶数，G_i为第i阶正交多项式，a_i为第i阶正交多项式的系数；

将方程(9)带入方程(7)并写成矩阵形式得：

式中，[A],[G]分别为正交多项式的系数矩阵和正交多项式矩阵；正交多项式的系数矩阵[A]可通过方程(10)由最小二乘法得到：

将方程(11)带入方程(10)即可得到竖向位移向量

所述的步骤3)具体为：将竖向位移向量代入方程(8)即可求得预应力桥梁的振幅{q}_N×1。

所述的步骤4)具体为：

所述的方程(5)重写为：

式中，矩阵[K′]包含待识别的桥梁预应力值T，矩阵[C]包含桥梁模态阻尼ξ_i和模态频率ω_i，矩阵[K]包含预应力桥梁的系统参数；

在时域内求解方程(12)即可得到桥梁现存预应力值T，方程(12)在时域内可表示为：

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

式中，矩阵{B}^T为矩阵{B}的转置，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量；

由方程(14)即可求得在t时刻预应力桥梁现存预应力值T(t)，当取固定荷载P(t)在t₁,t₂,…,t_w时刻的荷载值分别为P(t₁),P(t₂),…,P(t_w)，则方程(12)在时域内可重写为：

{S}_N×wT_w×1＝{b}_N×1 (15)

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b} (16)

式中，矩阵{S}^T为矩阵{S}的转置，向量{b}_N×1与类似，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量，可由桥梁动态参数和测量位移响应推求。

所述的步骤5)具体包括以下步骤：

取基于桥梁动力响应识别现存预应力值系统矩阵为{S}^T{S}，由系统方程初始解T₀得到的残差为：

r₀＝{S}^T{b}-{S}^T{S}T₀ (17)

取由r₀构造得到的w维Krylov子空间为：

记β＝‖r₀‖₂，则经过w步Arnoldi算法可构造一组标准正交基V_w＝[v₁,v₂,…v_w]和一个(w+1)×w的Hessenberg矩阵H_w+1，将Hessenberg矩阵H_w的最后一行元素删除即可得到大小为w×w的Hessenberg矩阵H_w，识别现存预应力值系统矩阵和标准正交基V_w以及Hessenberg矩阵H_w有下面的关系：

完全正交化算法采用正交投影理论，由标准正交基V_w和Hessenberg矩阵H_w即可在Krylov子空间解得预应力桥梁现存预应力值T_w，其表达式为：

其中，β＝‖r₀‖₂，e₁为第一个元素为1的w维单位向量，由公式(20)即可求得待识别的桥梁现存预应力值即为T_w。

本发明具有的优点是：本发明提出一种基于完全正交化算法由桥梁位移实时识别预应力桥梁现存预应力的方法，通过建立预应力桥梁现存预应力与桥梁竖向动态位移响应之间的力学映射关系，实现由桥梁位移响应识别桥梁现存预应力值。为提高识别方法的迭代效率，采用完全正交化算法以节约识别时间，最终实现实时识别桥梁现存预应力值，具有迭代收敛速度快、识别时间短等优点，具有良好的工程应用价值。

附图说明

图1是本发明的方法流程图。

具体实施方式

如图1所示，本发明公开了一种基于完全正交化算法的识别预应力桥梁现存预应力的方法，包括以下步骤：

(1)、在桥梁底面从左端依次向右布置有m个位移传感器；

(2)、测量在固定荷载P(t)作用下位移传感器测得的桥梁竖向位移

21)、建立桥梁的振动微分方程：

将桥梁考虑为一单跨简支梁，假设固定荷载P(t)位于单跨简支梁上，其距离桥梁左端距离为x_p，通过在桥梁底面粘贴的位移传感器可测得距桥梁左端x位置处t时刻的动态位移为y(x,t)，则其振动微分方程：

其中单跨简支梁的跨长为L，密度为ρ，截面面积为A，粘性比例阻尼为c；桥梁抗弯刚度为EI，E是材料的弹性模量，I＝bh₀ ³/12是梁截面的惯性矩，其中b是桥梁横截面宽度，h₀是桥梁横截面高度；δ(x-x_p)是狄拉克函数；预应力钢筋为后张无粘结，不考虑预应力钢筋偏心影响。

22)、得到简支梁的模态振型函数的矩阵形式：

基于模态叠加原理，假设梁的第i阶模态振型函数为Y_i，梁的第i阶振幅为q_i(t)，则动态位移y(x,t)的模态形式表示为：

把方程(2)带入方程(1)并对方程两端的每一项均乘以Y_i(x)，考虑模态正交条件并对方程中x值从0到L进行积分，得到新方程：

其中，ξ_i和分别是第i阶模态的阻尼比和模态质量，f_i(t)＝P(t)Y_i(x_p)是位于单跨简支梁上的模态荷载；为q_i(t)的二阶导数，为q_i(t)的一阶导数；

简支预应力梁的模态振型函数标准化形式表示为：

在时域内通过Newmark积分将方程(3)用矩阵形式表示为：

其中，[I]是单位矩阵，{Q(t)}＝{q₁(t),q₂(t),…,q_n(t)}^T，[C]＝diag(2ξ_iω_i)，{F(t)}＝{f₁(t),f₂(t),…,f_n(t)}^T，和分别为Q(t)的一阶导数和二阶导数。

23)、得到桥梁竖向位移向量

假定在简支桥梁底面从左端支座依次向右布置有m个位移传感器，则在模态坐标下距简支梁左端支座x_m处的第m个位移传感器实测竖向位移y(x_m,t)表示为：

其中，Y_i为梁的第i阶模态振型函数，q_i(t)为梁的第i阶振幅，方程(6)用矩阵形式表示为：

式中，是第N_m个位移传感器测得的位移向量，N是测量位移向量中包含的振型数量；

则广义坐标下基于最小二乘法的振幅伪逆解表示为：

式中，为矩阵的逆，[Y]^T为矩阵[Y]的转置；

布置在桥梁底面的第j个位移传感器在t时刻测得的竖向位移向量y(x_j,t)由广义正交多项式拟合为：

其中，N_f为正交多项式函数的阶数，G_i为第i阶正交多项式，a_i为第i阶正交多项式的系数；

将方程(9)带入方程(7)并写成矩阵形式得：

式中，[A],[G]分别为正交多项式的系数矩阵和正交多项式矩阵；正交多项式的系数矩阵[A]可通过方程(10)由最小二乘法得到：

将方程(11)带入方程(10)即可得到竖向位移向量

(3)、将竖向位移向量代入方程(8)即可求得预应力桥梁的振幅{q}_N×1。

(4)、建立识别桥梁现存预应力值的系统方程T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b}。上述的方程(5)重写为：

式中，矩阵[K′]包含待识别的桥梁预应力值T，矩阵[C]包含桥梁模态阻尼ξ_i和模态频率ω_i，矩阵[K]包含预应力桥梁的系统参数；

在时域内求解方程(12)即可得到桥梁现存预应力值T，方程(12)在时域内可表示为：

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

式中，矩阵{B}^T为矩阵{B}的转置，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量。

由方程(14)即可求得在t时刻预应力桥梁现存预应力值T(t)，当取固定荷载P(t)在t₁,t₂,…,t_w时刻的荷载值分别为P(t₁),P(t₂),…,P(t_w)，则方程(12)在时域内可重写为：

{S}_N×wT_w×1＝{b}_N×1 (15)

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b} (16)

式中，矩阵{S}^T为矩阵{S}的转置，向量{b}_N×1与类似，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量，可由桥梁动态参数和测量位移响应推求。

5)、利用基于完全正交化算法求得桥梁现存预应力值T。

桥梁在固定荷载P(t)作用下，通过在桥梁底面安装位移传感器即可测得桥梁x₁,x₂,…x_m处的竖向位移由方程(8)即可求得预应力桥梁的振幅{q}_N×1，进而由方程(16)即可求得预应力桥梁在t₁,t₂,…,t_w时刻的现存预应力值T(t₁),T(t₂),…,T(t_w)，实现由桥梁底面粘贴位移传感器识别预应力桥梁现存预应力值。在对方程(16)进行求解过程中，为避免对大型方阵求逆导致识别时间过长，识别精度过低，利用基于完全正交化算法实现高效率的识别桥梁现存预应力值。

对基于桥梁动力响应识别现存预应力值系统方程{S}^T{S}T＝{S}^T{b}进行求解，通过在Krylov子空间构造一组正交基实现完全正交化算法，最终得到计算效率更快的识别方法。

取基于桥梁动力响应识别现存预应力值系统矩阵为{S}^T{S}，由系统方程初始解T₀得到的残差为：

r₀＝{S}^T{b}-{S}^T{S}T₀ (17)

取由r₀构造得到的w维Krylov子空间为：

记β＝‖r₀‖₂，则经过w步Arnoldi算法可构造一组标准正交基V_w＝[v₁,v₂,…v_w]和一个(w+1)×w的Hessenberg矩阵H_w+1，将Hessenberg矩阵H_w的最后一行元素删除即可得到大小为w×w的Hessenberg矩阵H_w，识别现存预应力值系统矩阵和标准正交基V_w以及Hessenberg矩阵H_w有下面的关系：

完全正交化算法采用正交投影理论，由标准正交基V_w和Hessenberg矩阵H_w即可在Krylov子空间解得预应力桥梁现存预应力值T_w，其表达式为：

其中，β＝‖r₀‖₂，e₁为第一个元素为1的w维单位向量，由公式(20)即可求得待识别的桥梁现存预应力值即为T_w。

Claims (5)

1.一种基于完全正交化算法识别预应力桥梁现存预应力的方法，其特征在于：包括以下步骤：

1)、在桥梁底面从左端依次向右布置有m个位移传感器；

2)、测量在固定荷载P(t)作用下位移传感器测得的桥梁竖向位移

3)、由测得的桥梁竖向位移计算预应力桥梁的振幅{q}_N×1；

4)、建立识别桥梁现存预应力值的系统方程T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b}；

5)、利用基于完全正交化算法，由系统方程初始解得到残差，由残差构造得到w维Krylov子空间，求得桥梁现存预应力值T。

2.如权利要求1所述的基于完全正交化算法识别预应力桥梁现存预应力的方法，其特征在于：所述步骤2)中具体包括以下步骤：

21)、建立桥梁的振动微分方程：

将桥梁考虑为一单跨简支梁，假设固定荷载P(t)位于单跨简支梁上，其距离桥梁左端距离为x_p，通过在桥梁底面粘贴的位移传感器可测得距桥梁左端x位置处t时刻的动态位移为y(x，t)，则其振动微分方程：

其中单跨简支梁的跨长为L，密度为ρ，截面面积为A，粘性比例阻尼为c；桥梁抗弯刚度为EI，E是材料的弹性模量，I＝bh₀ ³/12是梁截面的惯性矩，其中b是桥梁横截面宽度，h₀是桥梁横截面高度；δ(x-x_p)是狄拉克函数；

22)、得到简支梁的模态振型函数的矩阵形式：

基于模态叠加原理，假设梁的第i阶模态振型函数为Y_i，梁的第i阶振幅为q_i(t)，则动态位移y(x，t)的模态形式表示为：

把方程(2)带入方程(1)并对方程两端的每一项均乘以Y_i(x)，考虑模态正交条件并对方程中x值从0到L进行积分，得到新方程：

其中，ξ_i和分别是第i阶模态的阻尼比和模态质量，f_i(t)＝P(t)Y_i(x_p)是位于单跨简支梁上的模态荷载；为q_i(t)的二阶导数，为q_i(t)的一阶导数；

简支预应力梁的模态振型函数标准化形式表示为：

在时域内通过Newmark积分将方程(3)用矩阵形式表示为：

其中，[I]是单位矩阵，{Q(t)}＝{q₁(t)，q₂(t)，...，q_n(t)}^T，[C]＝diag(2ξ_iω_i)，{F(t)}＝{f₁(t)，f₂(t)，...，f_n(t)}^T，和分别为Q(t)的一阶导数和二阶导数；

23)、得到桥梁竖向位移向量

假定在简支桥梁底面从左端支座依次向右布置有m个位移传感器，则在模态坐标下距简支梁左端支座x_m处的第m个位移传感器实测竖向位移y(x_m，t)表示为：

其中，Y_i为梁的第i阶模态振型函数，q_i(t)为梁的第i阶振幅，方程(6)用矩阵形式表示为：

式中，是第N_m个位移传感器测得的位移向量，N是测量位移向量中包含的振型数量；

则广义坐标下基于最小二乘法的振幅伪逆解表示为：

式中，为矩阵的逆，[Y]^T为矩阵[Y]的转置；

布置在桥梁底面的第j个位移传感器在t时刻测得的竖向位移向量y(x_j，t)由广义正交多项式拟合为：

其中，N_f为正交多项式函数的阶数，G_i为第i阶正交多项式，a_i为第i阶正交多项式的系数；

将方程(9)带入方程(7)并写成矩阵形式得：

式中，[A]，[G]分别为正交多项式的系数矩阵和正交多项式矩阵；正交多项式的系数矩阵[A]可通过方程(10)由最小二乘法得到：

将方程(11)带入方程(10)即可得到竖向位移向量

3.如权利要求2所述的基于完全正交化算法识别预应力桥梁现存预应力的方法，其特征在于：所述的步骤3)具体为：

将竖向位移向量代入方程(8)即可求得预应力桥梁的振幅{q}_N×1。

4.如权利要求3所述的基于完全正交化算法识别预应力桥梁现存预应力的方法，其特征在于：所述的步骤4)具体为：

所述的方程(5)重写为：

式中，矩阵[K′]包含待识别的桥梁预应力值T，矩阵[C]包含桥梁模态阻尼ξ_i和模态频率ω_i，矩阵[K]包含预应力桥梁的系统参数；

在时域内求解方程(12)即可得到桥梁现存预应力值T，方程(12)在时域内可表示为：

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

式中，矩阵{B}^T为矩阵{B}的转置，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量；

由方程(14)即可求得在t时刻预应力桥梁现存预应力值T(t)，当取固定荷载P(t)在t₁，t₂，…，t_w时刻的荷载值分别为P(t₁)，P(t₂)，…，P(t_w)，则方程(12)在时域内可重写为：

{S}_N×wT_w×1＝{b}_N×1 (15)

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b} (16)

式中，矩阵{S}^T为矩阵{S}的转置，向量{b}_N×1与类似，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量，可由桥梁动态参数和测量位移响应推求。

5.如权利要求4所述的基于完全正交化算法识别预应力桥梁现存预应力的方法，其特征在于：所述的步骤5)具体包括以下步骤：

取基于桥梁动力响应识别现存预应力值系统矩阵为{S}^T{S}，由系统方程初始解T₀得到的残差为：

r₀＝{S}^T{b}-{S}^T{S}T₀ (17)

取由r₀构造得到的w维Krylov子空间为：

记β＝||r₀||₂，则经过w步Amoldi算法可构造一组标准正交基V_w＝[v₁，v₂，…v_w]和一个(w+1)×w的Hessenberg矩阵H_w+1，将Hessenberg矩阵H_w的最后一行元素删除即可得到大小为w×w的Hessenberg矩阵H_w，识别现存预应力值系统矩阵和标准正交基V_w以及Hessenberg矩阵H_w有下面的关系：

完全正交化算法采用正交投影理论，由标准正交基V_w和Hessenberg矩阵H_w即可在Krylov子空间解得预应力桥梁现存预应力值T_w，其表达式为：

其中，β＝||r₀||₂，e₁为第一个元素为1的w维单位向量，由公式(20)即可求得待识别的桥梁现存预应力值即为T_w。