CN109033657A - 基于截断奇异值分解法识别预应力桥梁现存预应力的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于截断奇异值分解法的识别预应力桥梁现存预应力的方法，包括以下步骤：1)、在桥梁底面从左端依次向右布置有m个位移传感器；2)、测量在固定荷载P(t)作用下位移传感器测得的桥梁竖向位移3)、由测得的桥梁竖向位移计算预应力桥梁的振幅{q}_N×1；4)、建立识别桥梁现存预应力值的系统方程T＝({S}^T{S})^‑1{S}^T{b}；5)、利用基于截断奇异值分解法求得桥梁现存预应力值T。本发明通过建立预应力桥梁现存预应力与桥梁竖向动态位移响应之间的力学映射关系，实现由桥梁位移响应识别桥梁现存预应力值，具有识别速度快且精度较高等优点，具有良好的工程应用价值。

Description

基于截断奇异值分解法识别预应力桥梁现存预应力的方法

技术领域

本发明属于预应力桥梁现存预应力的识别技术领域，尤其涉及一种基于截断奇异值分解法的识别预应力桥梁现存预应力的方法。

背景技术

车辆荷载会引起路面和桥梁的附加应力，引起桥梁的累积损伤和疲劳破坏，甚至诱发桥梁结构恶性事故。随着桥梁轻型化而车辆荷载重型化、车速高速化的发展，桥梁结构的健康监测和动态性能识别引起越来越多桥梁工程研究人员的关注。预应力桥梁现存预应力的大小是评估桥梁抗裂性能和承载能力的重要指标，精确地识别桥梁现存预应力是桥梁结构健康监测的重要组成部分，通过测量桥梁动力响应识别预应力桥梁现存预应力值可以降低监测数据的提取难度，节约预应力监测的成本并节省监测时间，在实际桥梁工程中具有广泛的应用前景。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于截断奇异值分解法由桥梁位移实时识别预应力桥梁现存预应力的方法，识别速度快且精度较高。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案是：一种基于截断奇异值分解法的识别预应力桥梁现存预应力的方法，包括以下步骤：

1)、在桥梁底面从左端依次向右布置有m个位移传感器；

2)、测量在固定荷载P(t)作用下位移传感器测得的桥梁竖向位移

3)、由测得的桥梁竖向位移计算预应力桥梁的振幅{q}_N×1；

4)、建立识别桥梁现存预应力值的系统方程T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b}；

5)、利用基于截断奇异值分解法，先进行分解，然后引入滤波因子和修改截断参数得到改进的截断奇异值分解法，求得桥梁现存预应力值T。

所述步骤2)中具体包括以下步骤：

21)、建立桥梁的振动微分方程：

将桥梁考虑为一单跨简支梁，假设固定荷载P(t)位于单跨简支梁上，其距离桥梁左端距离为x_p，通过在桥梁底面粘贴的位移传感器可测得距桥梁左端x位置处t时刻的动态位移为y(x，t)，则其振动微分方程：

其中单跨简支梁的跨长为L，密度为ρ，截面面积为A，粘性比例阻尼为c；桥梁抗弯刚度为EI，E是材料的弹性模量，I＝bh₀ ³/12是梁截面的惯性矩，其中b是桥梁横截面宽度，h₀是桥梁横截面高度；δ(x-x_p)是狄拉克函数；

22)、得到简支梁的模态振型函数的矩阵形式：

基于模态叠加原理，假设梁的第i阶模态振型函数为Y_i，梁的第i阶振幅为q_i(t)，则动态位移y(x，t)的模态形式表示为：

把方程(2)带入方程(1)并对方程两端的每一项均乘以Y_i(x)，考虑模态正交条件并对方程中x值从0到L进行积分，得到新方程：

其中，ξ_i和分别是第i阶模态的阻尼比和模态质量，f_i(t)＝P(t)Y_i(xp)是位于单跨简支梁上的模态荷载；为q_i(t)的二阶导数，为q_i(t)的一阶导数；

简支预应力梁的模态振型函数标准化形式表示为：

在时域内通过Newmark积分将方程(3)用矩阵形式表示为：

其中，[I]是单位矩阵，{Q(t)}＝{q₁(t)，q₂(t)，...，q_n(t)}^T，[C]＝diag(2ξ_iω_i)，{F(t)}＝{f₁(t)，f₂(t)，...，f_n(t)}^T，和分别为Q(t)的一阶导数和二阶导数；

23)、得到桥梁竖向位移向量

假定在简支桥梁底面从左端支座依次向右布置有m个位移传感器，则在模态坐标下距简支梁左端支座x_m处的第m个位移传感器实测竖向位移y(x_m，t)表示为：

其中，Y_i为梁的第i阶模态振型函数，q_i(t)为梁的第i阶振幅，方程(6)用矩阵形式表示为：

式中，是第N_m个位移传感器测得的位移向量，N是测量位移向量中包含的振型数量；

则广义坐标下基于最小二乘法的振幅伪逆解表示为：

式中，为矩阵的逆，[Y]^T为矩阵[Y]的转置；

布置在桥梁底面的第j个位移传感器在t时刻测得的竖向位移向量y(x_j，t)由广义正交多项式拟合为：

其中，N_f为正交多项式函数的阶数，G_i为第i阶正交多项式，a_i为第i阶正交多项式的系数；

将方程(9)带入方程(7)并写成矩阵形式得：

式中，[A]，[G]分别为正交多项式的系数矩阵和正交多项式矩阵；正交多项式的系数矩阵[A]可通过方程(10)由最小二乘法得到：

将方程(11)带入方程(10)即可得到竖向位移向量

所述的步骤3)具体为：将竖向位移向量代入方程(8)即可求得预应力桥梁的振幅{q}_N×1。

所述的步骤4)具体为：

所述的方程(5)重写为：

式中，矩阵[K′]包含待识别的桥梁预应力值T，矩阵[C]包含桥梁模态阻尼ξ_i和模态频率ω_i，矩阵[K]包含预应力桥梁的系统参数；

在时域内求解方程(12)即可得到桥梁现存预应力值T，方程(12)在时域内可表示为：

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

式中，矩阵{B}^T为矩阵{B}的转置，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量；

由方程(14)即可求得在t时刻预应力桥梁现存预应力值T(t)，当取固定荷载P(t)在t₁，t₂，…，t_w时刻的荷载值分别为P(t₁)，P(t₂)，…，P(t_w)，则方程(12)在时域内可重写为：

{S}_N×wT_w×1＝{b}_N×1 (15)

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b} (16)

式中，矩阵{S}^T为矩阵{S}的转置，向量{b}_N×1与类似，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量，可由桥梁动态参数和测量位移响应推求。

所述的步骤5)具体包括以下步骤：

将基于桥梁动力响应识别现存预应力值系统矩阵{S}的奇异值分解形式为

{S}＝U∑V^T (17)

其中，都是正交矩阵，的对角元素σ_i都是系统矩阵{S}的奇异值，矩阵{S}的秩为l，{S}的奇异值排列顺序如下：

σ₁≥σ₂≥…≥σ_l＞σ_l+1＝…＝σ_w＝0 (18)

由公式(18)可知，当奇异值为σ_l+1时系统矩阵的奇异值接近为0，此时可通过截断小奇异值提高现存预应力值的识别精度，取截断值k≤l，则截断奇异值分解法的分解形式为：

S_k＝U∑_kV^T (19)

引入滤波因子φ和修改截断参数k得到改进的截断奇异值分解法，定义改进的截断奇异值分解法的分解形式为：

其中，为修改后的截断参数，可由下列不等式确定

且

公式(20)中U和V与公式(17)中的正交矩阵相同，为：

则基于改进的截断奇异值分解法识别预应力桥梁现存预应力值的解可表示为：

其中，为奇异值分解后的U矩阵第j个向量的转置，v是n×n阶酉矩阵；为改进的截断奇异值分解法中引入的滤波因子，其表达形式为：

由公式(23)可知，则待识别的桥梁现存预应力值即为T_M，可实现由桥梁动态位移响应实时识别现存预应力值。

本发明具有的优点是：本发明提出一种基于截断奇异值分解法由桥梁位移实时识别预应力桥梁现存预应力的方法，通过建立预应力桥梁现存预应力与桥梁竖向动态位移响应之间的力学映射关系，实现由桥梁位移响应识别桥梁现存预应力值。为提高识别方法的迭代效率，采用改进的截断奇异值分解法以节约识别时间，最终实现实时识别桥梁现存预应力值，具有迭代收敛速度快、识别时间短等优点，具有良好的工程应用价值。

附图说明

图1是本发明的方法流程图。

具体实施方式

如图1所示，本发明公开了一种基于截断奇异值分解法的识别预应力桥梁现存预应力的方法，包括以下步骤：

(1)、在桥梁底面从左端依次向右布置有m个位移传感器；

(2)、测量在固定荷载P(t)作用下位移传感器测得的桥梁竖向位移

21)、建立桥梁的振动微分方程：

将桥梁考虑为一单跨简支梁，假设固定荷载P(t)位于单跨简支梁上，其距离桥梁左端距离为x_p，通过在桥梁底面粘贴的位移传感器可测得距桥梁左端x位置处t时刻的动态位移为y(x，t)，则其振动微分方程：

其中单跨简支梁的跨长为L，密度为ρ，截面面积为A，粘性比例阻尼为c；桥梁抗弯刚度为EI，E是材料的弹性模量，I＝bh₀ ³/12是梁截面的惯性矩，其中b是桥梁横截面宽度，h₀是桥梁横截面高度；δ(x-x_p)是狄拉克函数；预应力钢筋为后张无粘结，不考虑预应力钢筋偏心影响。

22)、得到简支梁的模态振型函数的矩阵形式：

基于模态叠加原理，假设梁的第i阶模态振型函数为Y_i，梁的第i阶振幅为q_i(t)，则动态位移y(x，t)的模态形式表示为：

把方程(2)带入方程(1)并对方程两端的每一项均乘以Y_i(x)，考虑模态正交条件并对方程中x值从0到L进行积分，得到新方程：

其中，ξ_i和分别是第i阶模态的阻尼比和模态质量，f_i(t)＝P(t)Y_i(x_p)是位于单跨简支梁上的模态荷载；为q_i(t)的二阶导数，为q_i(t)的一阶导数；

简支预应力梁的模态振型函数标准化形式表示为：

在时域内通过Newmark积分将方程(3)用矩阵形式表示为：

其中，[I]是单位矩阵，{Q(t)}＝{q₁(t)，q₂(t)，...，q_n(t)}^T，[C]＝diag(2ξ_iω_i)，{F(t)}＝{f₁(t)，f₂(t)，...，f_n(t)}^T，和分别为Q(t)的一阶导数和二阶导数。

23)、得到桥梁竖向位移向量

假定在简支桥梁底面从左端支座依次向右布置有m个位移传感器，则在模态坐标下距简支梁左端支座x_m处的第m个位移传感器实测竖向位移y(x_m，t)表示为：

其中，Y_i为梁的第i阶模态振型函数，q_i(t)为梁的第i阶振幅，方程(6)用矩阵形式表示为：

式中，是第N_m个位移传感器测得的位移向量，N是测量位移向量中包含的振型数量；

则广义坐标下基于最小二乘法的振幅伪逆解表示为：

式中，为矩阵的逆，[Y]^T为矩阵[Y]的转置；

布置在桥梁底面的第j个位移传感器在t时刻测得的竖向位移向量y(x_j，t)由广义正交多项式拟合为：

其中，N_f为正交多项式函数的阶数，G_i为第i阶正交多项式，a_i为第i阶正交多项式的系数；

将方程(9)带入方程(7)并写成矩阵形式得：

式中，[A]，[G]分别为正交多项式的系数矩阵和正交多项式矩阵；正交多项式的系数矩阵[A]可通过方程(10)由最小二乘法得到：

将方程(11)带入方程(10)即可得到竖向位移向量

(3)、将竖向位移向量代入方程(8)即可求得预应力桥梁的振幅{q}_N×1。

(4)、建立识别桥梁现存预应力值的系统方程T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b}。

上述的方程(5)重写为：

式中，矩阵[K′]包含待识别的桥梁预应力值T，矩阵[C]包含桥梁模态阻尼ξ_i和模态频率ω_i，矩阵[K]包含预应力桥梁的系统参数；

在时域内求解方程(12)即可得到桥梁现存预应力值T，方程(12)在时域内可表示为：

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

式中，矩阵{B}^T为矩阵{B}的转置，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量。

由方程(14)即可求得在t时刻预应力桥梁现存预应力值T(t)，当取固定荷载P(t)在t₁，t₂，…，t_w时刻的荷载值分别为P(t₁)，P(t₂)，…，P(t_w)，则方程(12)在时域内可重写为：

{S}_N×wT_w×1＝{b}_N×1 (15)

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b} (16)

式中，矩阵{S}^T为矩阵{S}的转置，向量{b}_N×1与类似，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量，可由桥梁动态参数和测量位移响应推求。

5)、利用基于截断奇异值分解法求得桥梁现存预应力值T。

桥梁在固定荷载P(t)作用下，通过在桥梁底面安装位移传感器即可测得桥梁x₁，x₂，…x_m处的竖向位移由方程(8)即可求得预应力桥梁的振幅{q}_N×1，进而由方程(16)即可求得预应力桥梁在t₁，t₂，…，t_w时刻的现存预应力值T(t₁)，T(t₂)，…，T(t_w)，实现由桥梁底面粘贴位移传感器识别预应力桥梁现存预应力值。在对方程(16)进行求解过程中，为避免对大型方阵求逆导致识别时间过长，特引入改进的截断奇异值分解法提高现存预应力值的识别效率，实现高效率的识别桥梁现存预应力值。

对基于桥梁动力响应识别现存预应力值系统方程进行求解，采用改进的截断奇异值分解法，该方法是截断奇异值分解法的基础上，通过引入滤波因子φ和修改截断参数k，得到计算效率更快的改进的截断奇异值分解法。

将基于桥梁动力响应识别现存预应力值系统矩阵{S}的奇异值分解形式为

{S}＝U∑V^T (17)

其中，都是正交矩阵，的对角元素σ_i都是系统矩阵{S}的奇异值，矩阵{S}的秩为l，{S}的奇异值排列顺序如下：

σ₁≥σ₂≥…≥σ_l＞σ_l+1＝…＝σ_w＝0 (18)

由公式(18)可知，当奇异值为σ_l+1时系统矩阵的奇异值接近为0，此时可通过截断小奇异值提高现存预应力值的识别精度，取截断值k≤l，则截断奇异值分解法的分解形式为：

S_k＝U∑_kV^T (19)

为了进一步提高截断奇异值分解法的识别效率，通过引入滤波因子φ和修改截断参数k得到改进的截断奇异值分解法，定义改进的截断奇异值分解法的分解形式为：

其中，为修改后的截断参数，可由下列不等式确定

且

公式(20)中U和V与公式(17)中的正交矩阵相同，为：

则基于改进的截断奇异值分解法识别预应力桥梁现存预应力值的解可表示为：

其中，其中，为奇异值分解后的U矩阵第j个向量的转置，v是n×n阶酉矩阵；为改进的截断奇异值分解法中引入的滤波因子，其表达形式为：

改进的截断奇异值分解法主要思想是通过引入滤波因子φ和修改截断参数k，截断可忽略的小奇异值进而提高预应力值的识别精度和识别效率。由公式(23)可知，则待识别的桥梁现存预应力值即为T_M，可实现由桥梁动态位移响应实时识别现存预应力值。

Claims (5)

1.一种基于截断奇异值分解法识别预应力桥梁现存预应力的方法，其特征在于：包括以下步骤：

1)、在桥梁底面从左端依次向右布置有m个位移传感器；

2)、测量在固定荷载P(t)作用下位移传感器测得的桥梁竖向位移

3)、由测得的桥梁竖向位移计算预应力桥梁的振幅{q}_N×1；

4)、建立识别桥梁现存预应力值的系统方程T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b}；

5)、利用基于截断奇异值分解法，先进行分解，然后引入滤波因子和修改截断参数得到改进的截断奇异值分解法，求得桥梁现存预应力值T。

2.如权利要求1所述的基于截断奇异值分解法识别预应力桥梁现存预应力的方法，其特征在于：所述步骤2)中具体包括以下步骤：

21)、建立桥梁的振动微分方程：

将桥梁考虑为一单跨简支梁，假设固定荷载P(t)位于单跨简支梁上，其距离桥梁左端距离为x_p，通过在桥梁底面粘贴的位移传感器可测得距桥梁左端x位置处t时刻的动态位移为y(x，t)，则其振动微分方程：

其中单跨简支梁的跨长为L，密度为ρ，截面面积为A，粘性比例阻尼为c；桥梁抗弯刚度为EI，E是材料的弹性模量，I＝bh₀ ³/12是梁截面的惯性矩，其中b是桥梁横截面宽度，h₀是桥梁横截面高度；δ(x-x_p)是狄拉克函数；

22)、得到简支梁的模态振型函数的矩阵形式：

基于模态叠加原理，假设梁的第i阶模态振型函数为Y_i，梁的第i阶振幅为q_i(t)，则动态位移y(x，t)的模态形式表示为：

把方程(2)带入方程(1)并对方程两端的每一项均乘以Y_i(x)，考虑模态正交条件并对方程中x值从0到L进行积分，得到新方程：

其中，ξ_i和分别是第i阶模态的阻尼比和模态质量，f_i(t)＝P(t)Y_i(x_p)是位于单跨简支梁上的模态荷载；为q_i(t)的二阶导数，为q_i(t)的一阶导数；

简支预应力梁的模态振型函数标准化形式表示为：

在时域内通过Newmark积分将方程(3)用矩阵形式表示为：

其中，[I]是单位矩阵，{Q(t)}＝{q₁(t)，q₂(t)，...，q_n(t)}^T，[C]＝diag(2ξ_iω_i)，{F(t)}＝{f₁(t)，f₂(t)，...，f_n(t)}^T，和分别为Q(t)的一阶导数和二阶导数；

23)、得到桥梁竖向位移向量

假定在简支桥梁底面从左端支座依次向右布置有m个位移传感器，则在模态坐标下距简支梁左端支座x_m处的第m个位移传感器实测竖向位移y(x_m，t)表示为：

其中，Y_i为梁的第i阶模态振型函数，q_i(t)为梁的第i阶振幅，方程(6)用矩阵形式表示为：

式中，是第N_m个位移传感器测得的位移向量，N是测量位移向量中包含的振型数量；

则广义坐标下基于最小二乘法的振幅伪逆解表示为：

式中，为矩阵的逆，[Y]^T为矩阵[Y]的转置；

布置在桥梁底面的第j个位移传感器在t时刻测得的竖向位移向量y(x_j，t)由广义正交多项式拟合为：

其中，N_f为正交多项式函数的阶数，G_i为第i阶正交多项式，a_i为第i阶正交多项式的系数；

将方程(9)带入方程(7)并写成矩阵形式得：

式中，[A]，[G]分别为正交多项式的系数矩阵和正交多项式矩阵；正交多项式的系数矩阵[A]可通过方程(10)由最小二乘法得到：

将方程(11)带入方程(10)即可得到竖向位移向量

3.如权利要求2所述的基于截断奇异值分解法识别预应力桥梁现存预应力的方法，其特征在于：所述的步骤3)具体为：

将竖向位移向量代入方程(8)即可求得预应力桥梁的振幅{q}_N×1。

4.如权利要求3所述的基于截断奇异值分解法识别预应力桥梁现存预应力的方法，其特征在于：所述的步骤4)具体为：

所述的方程(5)重写为：

式中，矩阵[K′]包含待识别的桥梁预应力值T，矩阵[C]包含桥梁模态阻尼ξ_i和模态频率ω_i，矩阵[K]包含预应力桥梁的系统参数；

在时域内求解方程(12)即可得到桥梁现存预应力值T，方程(12)在时域内可表示为：

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

式中，矩阵{B}^T为矩阵{B}的转置，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量；

由方程(14)即可求得在t时刻预应力桥梁现存预应力值T(t)，当取固定荷载P(t)在t₁，t₂，…，t_w时刻的荷载值分别为P(t₁)，P(t₂)，…，P(t_w)，则方程(12)在时域内可重写为：

{S}_N×wT_w×1＝{b}_N×1 (15)

其中

则待识别预应力T由最小二乘法直接解得：

T＝({S}^T{S})^-1{S}^T{b} (16)

式中，矩阵{S}^T为矩阵{S}的转置，向量{b}_N×1与类似，即为包含了方程(12)所有右端项信息的向量，可由桥梁动态参数和测量位移响应推求。

5.如权利要求4所述的基于截断奇异值分解法识别预应力桥梁现存预应力的方法，其特征在于：所述的步骤5)具体包括以下步骤：

将基于桥梁动力响应识别现存预应力值系统矩阵{S}的奇异值分解形式为

{S}＝U∑V^T (17)

其中，都是正交矩阵，的对角元素σ_i都是系统矩阵{S}的奇异值，矩阵{S}的秩为l，{S}的奇异值排列顺序如下：

σ₁≥σ₂≥…≥σ_l＞σ_l+1＝…＝σ_w＝0 (18)

由公式(18)可知，当奇异值为σ_l+1时系统矩阵的奇异值接近为0，此时可通过截断小奇异值提高现存预应力值的识别精度，取截断值k≤l，则截断奇异值分解法的分解形式为：

S_k＝U∑_kV^T (19)

引入滤波因子φ和修改截断参数k得到改进的截断奇异值分解法，定义改进的截断奇异值分解法的分解形式为：

其中，为修改后的截断参数，可由下列不等式确定

公式(20)中U和V与公式(17)中的正交矩阵相同，为：

则基于改进的截断奇异值分解法识别预应力桥梁现存预应力值的解可表示为：

其中，为奇异值分解后的U矩阵第j个向量的转置，v是n×n阶酉矩阵；为改进的截断奇异值分解法中引入的滤波因子，其表达形式为：

由公式(23)可知，则待识别的桥梁现存预应力值即为T_M，可实现由桥梁动态位移响应实时识别现存预应力值。