CN109060549B - 基于s形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法 - Google Patents

基于s形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法，包括以下步骤：步骤一，对岩石试件开展不同轴向应力下的单轴压缩蠕变试验，获得岩石蠕变曲线；步骤二，将出现加速蠕变的岩石全过程蠕变曲线沿坐标系的角平分线做一条对称曲线，得到一条S形曲线；步骤三，选择Weibull函数描述S形曲线；步骤四，对Weibull函数的表达式求反函数，确定岩石单轴压缩全过程蠕变模型的函数表达式；步骤五，根据岩石单轴压缩蠕变试验结果，确定蠕变模型参数。该方法建立的蠕变模型以一个统一的函数表达式即可描述岩石单轴压缩蠕变全过程的三个阶段，克服了元件组合模型需要分段处理的缺点；同时，模型表达式形式简单，方便应用。

Description

基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法
技术领域
本发明属于岩石工程技术领域，具体涉及一种基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法。
背景技术
在岩石蠕变模型研究中，元件组合模型由于参数物理意义明确，且能够直观反映岩石复杂的力学性质，因而得到了广泛应用。岩石完整的蠕变过程通常包含三个阶段，即衰减蠕变、稳态蠕变和加速蠕变。传统的元件组合模型中，通常假定模型参数是固定不变的常量，因此无论将基本元件如何组合整个模型都只能反映岩石的衰减及稳态蠕变，而无法描述加速蠕变。为了描述加速蠕变行为，目前常用的方法是假定岩石粘滞系数或弹性模量在加速蠕变阶段随蠕变时间延长而不断减小。基于上述思路建立的蠕变模型存在以下缺点：1)需要将岩石本来连续的蠕变过程人为划分为三个阶段，并用三个不同的函数来分别描述岩石不同阶段的蠕变行为(如用Kelvin体描述衰减蠕变阶段，用粘滞体描述稳态蠕变阶段，用随时间劣化的粘滞体描述加速蠕变阶段等)。因此，总的蠕变方程是三个函数的叠加，而无法用一个统一的函数来表示。2)模型蠕变方程的形式较为复杂，不方便应用。
发明内容
本发明的目的在于克服上述不足，提供一种基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法，该方法所建模型以一个统一的函数表达式即可描述岩石单轴压缩蠕变全过程的三个阶段，且函数表达式形式简单，方便应用。
为了达到上述目的，本发明包括以下步骤：
步骤一，采用单级加载方式，对圆柱形岩石试件开展不同轴向应力σ1、σ2…σi-1、σi(σ1＜σ2＜…＜σi-1＜σi)作用下的单轴压缩蠕变试验，获得岩石在对应轴向应力下的蠕变曲线；
步骤二，将出现加速蠕变的岩石单轴压缩全过程蠕变曲线沿坐标系的角平分线做一条对称曲线，得到一条S形曲线，全过程蠕变曲线的表达式与S形曲线的表达式互为反函数；
步骤三，选择S形函数中的Weibull函数描述S形曲线，从而确定S形曲线的表达式；
步骤四，对Weibull函数的表达式求反函数，并经过参数替换，确定岩石单轴压缩全过程蠕变模型的函数表达式；
步骤五，根据岩石单轴压缩蠕变试验结果，确定蠕变模型参数。
步骤一中，圆柱形岩石试件的直径为50mm，高度为100mm。
步骤一中，最后两级轴向应力σi-1和σi作用下岩石在试验时间内发生了加速蠕变，蠕变曲线包含衰减蠕变、稳态蠕变和加速蠕变三个阶段，包含三个阶段的蠕变曲线即为全过程蠕变曲线；其余轴向应力作用下岩石在试验时间内均未发生加速蠕变，蠕变曲线仅包含衰减蠕变和稳态蠕变两个阶段。
步骤三中，Weibull函数的表达式为：
ε＝a[1-exp(-btc)] (1)
式中：t为自变量，ε为因变量，a、b和c为参数。
步骤四中，岩石单轴压缩全过程蠕变模型的函数表达式通过如下方法获得：
对Weibull函数的表达式求反函数，得到：
根据反函数的表达习惯，将t和ε的位置互换，得到：
公式3和公式1互为反函数；
岩石蠕变曲线中，自变量为时间，因变量为蠕变应变，故公式3中t代表时间，ε代表蠕变应变；
令a＝tF，得到：
根据公式4，当t＝tF时，ε→∞，表明此时岩石发生了蠕变破坏，故tF代表了岩石蠕变过程中时间t的最大值，即岩石发生蠕变破坏的时间；岩石蠕变破坏时间tF由Kachanov蠕变损伤定律确定，即代入得到基于S形函数的岩石单轴压缩全过程蠕变模型的函数表达式为：
ε＝{-mln[1-A(ν+1)σνt]}n (5)
式中：σ为轴向应力，m、n、A和ν均为蠕变模型参数。
步骤五中，蠕变模型参数的确定方法如下：
参数A和ν根据最后两级轴向应力σi-1和σi作用下岩石发生蠕变破坏的时间tF(i-1)和tF(i)，利用确定；
A和ν确定后，参数m和n根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用拟合法确定。
根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用拟合法确定参数m和n的方法如下：
第一步，以待反演的参数m和n作为设计变量X，即X＝{m,n}；
第二步，建立目标函数Q，取
式中：N为试验数据组数，ωi(X,ti)为t时刻计算变形值，ωi为t时刻试验实测变形值；
第三步，设定目标函数的控制精度并在蠕变模型中进行参数迭代求解，若目标函数满足精度要求，则停止迭代，输出计算结果；若不满足，则继续迭代，直到满足精度要求为止。
参数m和n随轴向应力变化而变化，且参数m和n随轴向应力的变化规律分别满足指数函数和Logistic函数：
m(σ)＝a1exp(-b1σ) (6)
式中：a1、b1、a2、b2和c2均为拟合参数。
与现有技术相比，本发明首先通过试验获得岩石试件在不同轴向应力下的单轴压缩蠕变曲线，并将出现加速蠕变的全过程蠕变曲线沿坐标系的角平分线做一条对称曲线，得到一条S形曲线。其次，选择S形函数中的Weibull函数描述S形曲线，并通过对Weibull函数的表达式求反函数的方法，确定岩石单轴压缩全过程蠕变模型的函数表达式。最后，根据岩石单轴压缩蠕变试验结果，确定蠕变模型参数。该方法所建模型以一个统一的函数表达式即可描述岩石单轴压缩蠕变全过程的三个阶段，克服了元件组合模型需要分段处理的缺点。同时，所建模型的函数表达式形式简单，方便应用。
附图说明
图1为不同轴向应力下的岩石单轴压缩蠕变曲线；
图2为岩石单轴压缩全过程蠕变曲线的对称曲线示意图；
图3为参数m和n随轴向应力的变化规律；
图4为不同轴向应力下预测曲线和试验结果的对比；其中：(a)为6.5MPa；(b)为9.5MPa；(c)为12.5MPa；(d)为14MPa；(e)为17.5MPa；(f)为21MPa；(g)为24MPa；(h)为26MP。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步说明。
本发明包括开展岩石单轴压缩蠕变试验，绘制全过程蠕变曲线的对称曲线，确定对称曲线的表达式，确定蠕变模型的函数表达式，确定蠕变模型参数，模型验证六大步骤，对称曲线即为S形曲线。
步骤一，开展岩石单轴压缩蠕变试验；
采用单级加载方式，对直径为50mm、高度为100mm的圆柱形盐岩试件开展不同轴向应力σ1＝6.5、σ2＝9.5、σ3＝12.5、σ4＝14、σ5＝17.5、σ6＝21、σ7＝24和σ8＝26MPa下的单轴压缩蠕变试验，获得盐岩在对应轴向应力下的蠕变曲线，参见图1。
参见图1，当轴向应力不超过21MPa时，试验时间内盐岩蠕变曲线仅包含衰减蠕变和稳态蠕变两个阶段；当轴向应力σ7＝24MPa和σ8＝26MPa时，试验时间内盐岩发生了蠕变破坏，出现了加速蠕变，蠕变曲线包含完整的三个阶段，即衰减蠕变、稳态蠕变和加速蠕变，包含三个阶段的蠕变曲线即为全过程蠕变曲线。
步骤二，绘制全过程蠕变曲线的对称曲线；
参见图2，将轴向应力σ7＝24MPa或σ8＝26MPa下的盐岩单轴压缩全过程蠕变曲线(参见图2中曲线1)沿坐标系的角平分线(即直线ε＝t)做一条对称曲线，得到一条形似S的曲线2。
步骤三，确定对称曲线的表达式；
参见图2，从形状上来说，曲线2呈S形，故可用S形函数来描述。S形函数的种类众多，其中，Weibull函数的应用最为广泛。因此，本发明选择Weibull函数来描述图2中的S形曲线。
Weibull函数的表达式为：
ε＝a[1-exp(-btc)] (1)
式中：t为自变量，ε为因变量，a、b和c为参数。
步骤四，确定蠕变模型的函数表达式；
对Weibull函数的表达式求反函数，得到：
根据反函数的表达习惯，将t和ε的位置互换，得到：
公式3和公式1互为反函数；
岩石蠕变曲线中，自变量为时间，因变量为蠕变应变，故公式3中t代表时间，ε代表蠕变应变。
令a＝tF，得到：
根据公式4，当t＝tF时，ε→∞，表明此时岩石发生了蠕变破坏，故tF代表了岩石蠕变过程中时间t的最大值，即岩石发生蠕变破坏的时间。岩石蠕变破坏时间tF由Kachanov蠕变损伤定律确定，即代入得到基于S形函数的岩石单轴压缩全过程蠕变模型的函数表达式为：
ε＝{-mln[1-A(ν+1)σνt]}n (5)
式中：σ为轴向应力，m、n、A和ν均为蠕变模型参数。
步骤五，确定蠕变模型参数；
该模型中共有m、n、A和ν四个参数需要确定。
参数A和ν根据最后两级轴向应力σi-1和σi作用下岩石发生蠕变破坏的时间tF(i-1)和tF(i)，利用确定；
参见图1，在最后两级轴向应力σ7＝24MPa和σ8＝26MPa作用下，盐岩在试验时间内发生了蠕变破坏，对应的破坏时间分别为tF(7)＝98.60h和tF(8)＝28.62h。将(24，98.60)和(26，28.62)两组数据代入式可建立如下二元一次方程组：
解该方程组，可得A＝2.89×10-25，ν＝15.45。
A和ν确定后，参数m和n根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用拟合法确定。
进一步的，根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用拟合法确定参数m和n的方法如下：
以待反演的参数m和n作为设计变量X，即X＝{m,n}；
建立目标函数Q，取
式中：N为试验数据组数，ωi(X,ti)为t时刻计算变形值，ωi为t时刻试验实测变形值；
设定目标函数的控制精度并在蠕变模型中进行参数迭代求解，若目标函数满足精度要求，则停止迭代，输出计算结果；若不满足，则继续迭代，直到满足精度要求为止。
按照上述方法，基于盐岩单轴压缩蠕变试验结果，利用数学优化分析软件，采用拟合法反演盐岩在不同轴向应力下的蠕变参数m和n。
表1为不同轴向应力下参数m和n的反演结果。
表1参数m和n的反演结果
可以看出，参数m和n随轴向应力变化而变化。参见图3，为参数m和n随轴向应力的变化规律。总体而言，随轴向应力增大，参数m逐渐减小，而参数n逐渐增大。为了预测盐岩在不同轴向应力下的蠕变行为，需要建立参数m和n随轴向应力变化的定量关系表达式。
经过拟合分析，参数m随轴向应力的变化规律可用如下指数函数描述：
m(σ)＝37724exp(-0.221σ)
参数n随轴向应力的变化规律可用如下Logistic函数描述：
步骤六，模型验证；
将A＝2.89×10-25、ν＝15.45以及m(σ)、n(σ)的表达式代入岩石单轴压缩全过程蠕变模型的函数表达式ε＝{-mln[1-A(ν+1)σνt]}n，即可预测盐岩在不同轴向应力下的蠕变行为。
参见图4，为轴向应力分别为6.5、9.5、12.5、14、17.5、21、24和26MPa时预测曲线和试验结果的对比情况。可以看出，所建模型不仅能够描述盐岩在低应力水平下的衰减蠕变和稳态蠕变，还能反映高应力水平下盐岩单轴压缩蠕变破坏全过程，特别是能够反映加速蠕变。因此，该模型以一个统一的函数表达式即可描述岩石单轴压缩蠕变全过程的三个阶段，克服了元件组合模型需要分段处理的缺点。同时，从模型的函数表达式可以看出，该模型的函数表达式形式简单，方便应用。

Claims (8)

1.一种基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法，采用单级加载方式，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一，对圆柱形岩石试件开展不同轴向应力σ1、σ2…σi-1、σi，σ1＜σ2＜…＜σi-1＜σi作用下的单轴压缩蠕变试验，获得岩石在对应轴向应力下的蠕变曲线；
步骤二，将出现加速蠕变的岩石单轴压缩全过程蠕变曲线沿坐标系的角平分线做一条对称曲线，得到一条S形曲线，全过程蠕变曲线的表达式与S形曲线的表达式互为反函数；
步骤三，选择S形函数中的Weibull函数描述S形曲线，从而确定S形曲线的表达式；
步骤四，对Weibull函数的表达式求反函数，并经过参数替换，确定岩石单轴压缩全过程蠕变模型的函数表达式；
步骤五，根据岩石单轴压缩蠕变试验结果，确定蠕变模型参数。
2.根据权利要求1所述的一种基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法，其特征在于，步骤一中，圆柱形岩石试件的直径为50mm，高度为100mm。
3.根据权利要求1所述的一种基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法，其特征在于，步骤一中，轴向应力σi-1和σi作用下岩石在试验时间内发生了加速蠕变，蠕变曲线包含衰减蠕变、稳态蠕变和加速蠕变三个阶段，包含三个阶段的蠕变曲线即为全过程蠕变曲线；其余轴向应力作用下岩石在试验时间内均未发生加速蠕变，蠕变曲线仅包含衰减蠕变和稳态蠕变两个阶段。
4.根据权利要求1所述的一种基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法，其特征在于，步骤三中，Weibull函数的表达式为：
ε＝a[1-exp(-btc)] (1)
式中：t为自变量，ε为因变量，a、b和c为参数。
5.根据权利要求1所述的一种基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法，其特征在于，步骤四中，岩石单轴压缩全过程蠕变模型的函数表达式通过如下方法获得：
对Weibull函数的表达式求反函数，得到：
根据反函数的表达习惯，将t和ε的位置互换，得到：
公式(3)和公式(1)互为反函数；
岩石蠕变曲线中，自变量为时间，因变量为蠕变应变，故公式(3)中t代表时间，ε代表蠕变应变；
令a＝tF，得到：
根据公式(4)，当t＝tF时，ε→∞，表明此时岩石发生了蠕变破坏，故tF代表了岩石蠕变过程中时间t的最大值，即岩石发生蠕变破坏的时间；岩石蠕变破坏时间tF由Kachanov蠕变损伤定律确定，即代入得到基于S形函数的岩石单轴压缩全过程蠕变模型的函数表达式为：
ε＝{-mln[1-A(ν+1)σνt]}n (5)
式中：σ为轴向应力，m、n、A和ν均为蠕变模型参数。
6.根据权利要求5所述的一种基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法，其特征在于，步骤五中，蠕变模型参数的确定方法如下：
参数A和ν根据轴向应力σi-1和σi作用下岩石发生蠕变破坏的时间tF(i-1)和tF(i)，利用确定；
A和ν确定后，参数m和n根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用拟合法确定。
7.根据权利要求6所述的一种基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法，其特征在于，根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用拟合法确定参数m和n的方法如下：
第一步，以待反演的参数m和n作为设计变量X，即X＝{m,n}；
第二步，建立目标函数Q，取
式中：N为试验数据组数，ωi(X,ti)为t时刻计算变形值，ωi为t时刻试验实测变形值；
第三步，设定目标函数的控制精度并在蠕变模型中进行参数迭代求解，若目标函数满足精度要求，则停止迭代，输出计算结果；若不满足，则继续迭代，直到满足精度要求为止。
8.根据权利要求5、6或7所述的一种基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法，其特征在于，参数m和n随轴向应力变化而变化，且参数m和n随轴向应力的变化规律分别满足指数函数和Logistic函数：
m(σ)＝a1exp(-b1σ) (6)
式中：a1、b1、a2、b2和c2均为拟合参数。
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