CN108897973A - 一种弹簧-变截面盘-叶片系统的动力学建模方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种弹簧‑变截面盘‑叶片系统的动力学建模方法，采用变截面盘‑叶片系统，同时考虑整个耦合系统在旋转过程中的离心刚化、旋转软化和科氏力效应。本发明可以节约实验成本，只需要对叶片、变截面盘的尺寸和下料参数以及弹簧的刚度进行更改，就可以用来得到不同的动力学模型；同时通过与商用有限元软件求得的固有频率对比即可分析使用该动力学模型求取结果的准确性、方便。与商用有限元软件相比，采用本发明半解析法的建模，模型的自由度更少，计算效率更高。除此以外，通过分析不同转速下弹簧‑变截面盘‑叶片耦合系统的动频，即可有效的避开共振频率，合理选择工作转速，使系统工作更加稳定。
Description
技术领域
本发明涉及一种弹簧-变截面盘-叶片系统的动力学建模方法,属于机械动力学技术领域。
背景技术
目前，现有的弹簧-盘-叶片的建模方法主要有以下几种方法：
1.基于商用有限元分析软件
将CAD三维模型导入商用有限元分析软件或者直接在有限元软件中建立三维 模型，选择合适的单元及合适的材料参数，对三维模型进行网格划分，建立有限元 模型，设置合适的约束并选择合适的求解方法对弹簧-变截面盘-叶片系统的动力学 特性进行分析。但利用现有的商用有限元分析软件对具有安装角的弹簧-变截面盘- 叶片系统进行动力学特性分析时，建模过程复杂且繁重，并且不同的建模方式和单 元类型得到的动力学特性也会有较大差距。
2.基于小挠度板、悬臂梁的建模方法
目前大多数都为弹簧-盘-叶片系统，将叶片简化为悬臂梁模型，板基于薄板理论，整个系统基于能量法进行动力学建模。然而现有的弹簧-盘-叶片系统多为轴-盘- 叶片系统，且将轴简化为欧拉梁，盘为等截面盘，无法考虑盘为变截面盘时的情 况，不符合轮盘的实际应用形状。
目前基于板壳振动理论，对于叶片带安装角的弹簧-变截面盘-叶片的动力学建模的技术处于空白状态。
发明内容
(一)要解决的技术问题
为了解决现有技术的上述问题，本发明提供一种弹簧-变截面盘-叶片系统的动力学建模方法，主要针对叶片带安装角的弹簧，以达到在保证整个耦合系统振动模 态的前提下，考虑整个系统在旋转过程中的离心刚化、旋转软化和科氏力影响，再 采用Galerkin截断的方法得到整个系统的动力学方程。
(二)技术方案
为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：
一种弹簧-变截面盘-叶片系统的动力学建模方法，其包括以下步骤：
S1：构建一种叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统动力学建模所需的三维坐标系，包括：整个耦合系统的固定坐标系OXYZ，变截面盘的坐标系oxd yd zd，整个系统在运动过程中的动坐标系oxr yr zr，叶片的局部坐标系oxb yb zb。
S2：对弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的结构参数和材料参数进行测定，其中包 括叶片长度L，叶片宽度b，叶片厚度h，叶片安装角β，叶片弹性模量E，泊松比 μ，叶片密度ρ，变截面盘内径rs，第一段半径rd，外圈半径rD，变截面盘的第一段 厚度hd，第二段厚度hd1，变截面盘的弹性模量Ed，变截面盘的密度ρd，弹簧的刚 度k；
S3：假设变截面盘上均匀分布着Nb个相同的弹性叶片，当第i个叶片产生变形 后，通过叶片i上任意一点Q在整体坐标系OXYZ中的位移向量依据动能计算公式得 到叶片的动能；
S4：基于板壳振动理论，考虑叶片在旋转过程中的离心刚化效应影响，得出 旋转叶片的势能；
S5：对于弹簧来说，弹簧由于刚度很大，所以只能产生微小的变形，且变形 量与变截面盘在三个方向的位移相同，因此得到弹簧的动能和势能；
S6：在所述变截面盘的坐标系oxd yd zd下，变截面盘满足弹性薄板横向振动小 挠度理论，利用哈密顿原理推导出其横向弹性振动的微分方程，得到旋转均匀圆盘 的自由振动方程，计算圆盘的正交合力，进而得到均匀截面圆盘即等截面盘的动能 和势能；
S7：使用积分的方法，将采用等截面盘推导出动能和势能进行分部积分，得 到旋转变截面圆盘的动能和旋转变截面圆盘的势能；
S8：根据Hamilton变分原理其中U＝Ub+Us+Ud，T＝ Tb+Ts+Td，Wnon为外力做的功，并以δXd、δYd、δZd、δu、δv、δθ和δud作为独 立变量进行变分得到旋转弹簧-变截面盘-叶片系统的动力学方程；
S9：采用Galerkin方法，求取变截面圆盘的振型函数，引入正则坐标对步骤S8 中的旋转悬臂梁的径向位移u，横向位移v、截面转角以及变截面盘的横向位移 ud，ud即为式中的Wd，进行离散化处理，获得弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的质量 矩阵、科氏力矩阵和刚度矩阵；
S10：引入瑞利阻尼，得到旋转弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的运动微分方 程：
S11：设置外激励向量为零，通过代入步骤S10中的所述运动微分方程，确定 叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片系统在不同弹簧刚度、不同转速下的固有频 率。
如上所述的动力学建模方法，优选地，在步骤S3中，所述旋转叶片的动能表达 式为
式中，x为沿着叶片厚度方向的坐标；rQ为叶片上任意一点Q在整体坐标系下 的位移向量；u、v、分别为叶片在局部坐标系oxb yb zb中径向和横向方向的位移及 截面转角；A为叶片的截面面积；Iz为叶片的截面惯性矩；θi＝θ(t)+(i-1)2π/Nb,θ(t)为 轮盘运动的角位移，(i-1)2π/Nb描述了第i个叶片在叶片组中的位置；ud表示变截面 弹性圆盘在横向的振动位移，括号()表示对时间的1阶偏导。
如上所述的动力学建模方法，优选地，步骤S4所述的旋转预扭板的应变势能为 如下公式(2)所示：
式中，E、Iz、G、κ和fc(x)分别表示叶片的杨氏模量、截面惯性矩、剪切模量、 剪切系数以及离心力；
叶片在旋转过程中所受到的离心力如公式(3)所示：
如上所述的动力学建模方法，优选地，步骤S5中，所述弹簧三个方向的动能 为：
所述弹簧三个方向的势能为：
式中，md为弹性变截面盘的质量，k为弹簧的刚度，Xd、Yd和Zd分别为弹簧在 x、y、z三个方向的位移。
如上所述的动力学建模方法，优选地，步骤S6所述旋转均匀的的自由振动方程为：
所述圆盘的正交合力包括Nr和Nθ为极坐标上的正交合应力，其中Nr为径向的 正交合应力和Nθ为周向的正交合应力，其表达式如下：
等截面盘的动能为：
等截面盘的势能为：
如上所述的动力学建模方法，优选地，步骤S7中，所述旋转变截面圆盘的动能 如下公式(20)计算获得：
所述旋转变截面盘的势能如公式(21)计算获得：
如上所述的动力学建模方法，优选地，步骤S8中，所述旋转弹簧-变截面盘-叶 片系统的动力学方程如下：
如上所述的动力学建模方法，优选地，步骤S9中，所述离散化处理的具体方法 如下：
对叶片进行离散，引入正则坐标Uj(t)、Vj(t)和Φj(t)，得到叶片的径向振动、横向振动和截面转角的位移如下：
式中，φ1i(x)、φ2i(x)和φ3i(x)分别表示为对应叶片径向、横向以及转角的第i阶的 振型函数，具体表达式为
式中，αj＝(2j-1)π/(2L)，j＝1,2,3,……,N，其中N为模态截断数；
利用假设模态法分析弹簧支撑的柔性盘和叶片的耦合系统，弹性盘的横向位移表示为：
Wi c(r,θ)＝Ri(r)cos(iθ) (27)
Wi s(r,θ)＝Ri(r)cos(iθ) (28)
式中，Wi c和Wi s为盘在两个正交平面假设模态组成的列向量，和分别为 弹性盘关于时间的广义坐标，Ri(r)是根据变截面梁推导出的盘的振型函数；
所述Ri(r)的推导过程分两种情况考虑，过程如下：
(1)、当弹簧的刚度很大时，假设梁横向振动的模态函数为Y(t)，表示为如下形式：
Y(t)＝Asin(βz)+Bcos(βz)+Csinh(βz)+Dcosh(βz) (29)
式中A，B，C，D是由梁的左右两端边界条件决定的待定系数，β为梁的频 率，z为一个变量；
基于等截面梁的模态函数解析解，得到第i段的模态函数为：
Yi(z)＝AisinZi+BicosZi+CisinhZi+DicoshZi (30)
式中Zi＝βi(z-zi-1)，zi-1≤z≤zi，i＝1,2,3,…,N，z0＝0，Ai，Bi，Ci，Di是第i段梁的待 定系数；
通过悬臂梁的固有频率表达式即可得到变截面梁各段之间βi的关系，悬臂梁的固有频率为：
同理，可以得到第i+1段的模态函数为：
Yi+1(z)＝Ai+1sinZi+1+Bi+1cosZi+1+Ci+1sinhZi+1+Di+1coshZi+1 (32)
由于第i段和第i+1段在连接点Zi处的位移，转角，弯矩，剪力连续，得到如下 关系：
Yi+1(zi)＝Yi(zi) (33)
Yi′+1(zi)＝Yi′(zi) (34)
(EsIs)i+1Yi+1(zi)＝(EsIs)iYi(zi) (35)
((EsIs)i+1Yi+1(zi))′＝((EsIs)iYi(zi))′ (36)
将式(33)-(36)转化成矩阵的形式，得到
将式(30)代入式(32)，整理得
N(i+1)＝Z(i)N(i) (38)
根据上式，得到变截面梁的第i段和第i+1段的待定系数可分别表示为：
N(i)＝[Ai Bi Ci Di]T,N(i+1)＝[Ai+1 Bi+1 Ci+1 Di+1]T (39)
式(38)中，矩阵Z(i)表达式为：
由于本发明中变截面盘为两段，因此根据两段梁之间的边界关系，可以将式(37)简化为：
Y1(L1)＝Y2(0) (41)
Y1′(L1)＝Y2′(0) (42)
EsJ1Y1″(L1)＝EsJ2Y2″(0) (43)
EsJ1Y1″′(L1)＝EsJ2Y2″′(0) (44)
其中，
e1,2＝βi(p+1)/(2βi+1)，e3,4＝(p±1)/2，
式中i分别为1,2,…,N-1,得
N(N)＝ZN(1) (45)
其中，
Z＝Z(N-1)Z(N-2)...Z(2)Z(1) (46)
Z矩阵中各元素都是固有频率ω的函数，它建立了第1段和第N段待定系数之 间的关系。因此，只要给出梁左右两端4个边界条件，即可得到关于固有频率ω的 表达式，然后求解其固有频率，并得到其模态函数。
对于悬臂梁，可知梁的边界条件为：
Y1(0)＝0,Y1′(0)＝0 (47)
(EsIs)NY″N(L)＝0,((EsIs)NY″N(L))′＝0 (48)
根据式(47)和(48)得到系数关系A1＝–C1，B1＝–D1；
根据梁右边的边界条件可得：
ΛN(N)＝0 (49)
将上面式子(45)和(49)合并，并转化为矩阵形式
ΛZN(1)＝0 (50)
令Q＝ΛZ，得到QN(1)＝0，所以根据系数关系得到
为使方程(51)有非零解，则可以得到特征方程为
通过该方程即可求得该阶梯梁的固有频率，从而得到变截面梁的振型函 数。
(2)、当弹簧刚度较小时，将它简化为弹支边界变截面梁的模型来求取振型函 数，其中盘的悬臂端的边界条件与上述悬臂变截面梁的相同，即Λ相同。设弹支边 界变截面梁的振型函数表示为：
Y＝Asinβx+Bcosβx+Csinhβx+Dcoshβx (53)
其中，A、B、C、D分别为根据梁两端的边界条件确定的待定系数；
已知，梁的弹支一端的边界条件为：
EIY″＝-kY′＝0 (54)
EIY″′＝kY (55)
由此可以得出系数关系D＝B，C＝A+2kB/(EIβ3)，再通过上述固支端的计算，即 可得到一端弹支，一端自由的变截面梁的振型函数；
由以上两种情况总结得到振型函数的表达式为：
优选地，步骤S10中，所述旋转弹簧-变截面盘-叶片哦耦合系统的运动微分方 程如下所示：
式中，M、P和D分别为整个耦合系统的质量矩阵、科氏力矩阵和阻尼矩阵， Ke、Ki、KΩ和Kσ分别为整个耦合系统的结构刚度矩阵、加速度导致的刚度矩阵、离 心刚化矩阵和旋转软化矩阵；
q和F分别为叶片正则坐标向量和外激振力向量，瑞利阻尼D是由质量矩阵和 刚度矩阵按比例组合构造而成的，D＝αM+βK，其中α和β由下式求得：
式中，fn1、fn2分别为弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的第一阶和第二阶固有频率(Hz)，ξ1和ξ2为阻尼比；
q是和时间有关的广义坐标组成的列向量，表达形式如下：
如上所述的动力学建模方法，优选地，根据步骤S11，改变步骤S10微分方程 中矩阵的参数，来计算叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片系统在不同弹簧刚 度、不同转速下的固有频率。
(三)有益效果
本发明的有益效果是：
本发明可以节约实验成本，只需要对叶片、变截面盘的尺寸和下料参数以及弹 簧的刚度进行更改，就可以用来得到不同的动力学模型；同时通过与商用有限元软 件求得的固有频率对比即可分析使用该动力学模型求取结果的准确性。同时考虑变 截面的盘和带有安装角的叶片更加符合实际航空发动机转子-盘-叶片系统，并且若 要将盘简化为等截面的盘，只需要将变截面的盘退化即可，不需要从新进行动力学 模型的建模，更加方便。与商用有限元软件相比，采用本发明半解析法的建模，模 型的自由度更少，计算效率更高。除此以外，通过分析不同转速下弹簧-变截面盘- 叶片耦合系统的动频，即可有效的避开共振频率，合理选择工作转速，使系统工作 更加稳定。
附图说明
图1为本发明叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统动力学建模的流程图；
图2为叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统示意图；其中，(a)表示 弹簧-变截面盘-叶片耦合系统动力学模型，(b)表示变截面旋转盘的坐标，(c)是(b) 的截面图，表明变截面盘的几何尺寸，(d)表示叶片在变截面旋转盘上的安装角,(e) 表示叶片在局部坐标系下的示意图；
图3为叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统动频对比；其中(1)为 本发明方法绘制与有限元绘制对比图，图中：(2)为(1)中小方框内的放大图；
图4为采用本发明方法所画耦合系统振型图，其中，(a)、(b)(c)、(d)、(e)、(f) 分别对应表2中固有频率即0转速下的解析法的模态振型图；
图5为采用现有商用有限元软件所画耦合系统振型图，其中，(a)、(b)(c)、(d)、(e)、(f)分别对应表2中固有频率即0转速下的有限元法的模态振型图。
具体实施方式
为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对 本发明作详细描述。
实施例1
一种叶片带安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的动力学建模方法，如图1 所示，图中分别表示了叶片和盘一阶、二阶频率随转速的变化，在频率的交叉点处 为共振的频率，所以要避开产生共振点频率的转速。具体的，方法包括如下步骤：
步骤1：构建一种叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统动力学建模 所需的三维坐标系，包括：整个耦合系统的固定坐标系OXYZ，变截面盘的坐标系 oxd yd zd，整个系统在运动过程中的动坐标系oxr yr zr，叶片的局部坐标系oxb yb zb。
步骤2：对弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的结构参数和材料参数进行测定，其 中包括叶片长度L，叶片宽度b，叶片厚度h，叶片安装角β，叶片弹性模量E，泊松 比μ，叶片密度ρ，变截面盘内径rs，第一段半径rd，外圈半径rD，盘的第一段厚度 hd，第二段厚度hd1，盘的弹性模量Ed，盘的密度ρd，弹簧的刚度k。
步骤3：假设变截面盘上均匀分布着Nb个相同的弹性叶片，当第i个叶片产生 变形后，通过叶片i上任意一点Q在整体坐标系OXYZ中的位移向量依据动能计算公 式(1)得到叶片的动能Tb：
式中，x为沿着叶片厚度方向的坐标；rQ为叶片上任意一点Q在整体坐标系下 的位移向量；u、v、分别为叶片在局部坐标系oxb yb zb中径向和横向方向的位移及 截面转角；A为叶片的截面面积；Iz为叶片的截面惯性矩；θi＝θ(t)+(i-1)2π/Nb,θ(t)为 轮盘运动的角位移，(i-1)2π/Nb描述了第i个叶片在叶片组中的位置；ud表示变截面 弹性圆盘在横向的振动位移，括号()表示对时间的1阶偏导。
步骤4：基于板壳振动理论，考虑叶片在旋转过程中的离心刚化效应影响，根 据如下公式(2)得出旋转叶片的势能Ub：
式中，E、Iz、G、κ和fc(x)分别表示叶片的杨氏模量、截面惯性矩、剪切模量、 剪切系数以及离心力。
叶片在旋转过程中所受到的离心力表示为如下公式(3)：
步骤5：对于弹簧来说，弹簧由于刚度很大，所以只能产生微小的变形，且变 形量与盘在三个方向的位移相同。因此，得到弹簧三个方向的动能为如下公式
(4)：
弹簧三个方向的势能为如公式(5)所示：
式中，md为弹性变截面盘的质量，k为弹簧的刚度，Xd、Yd和Zd分别为弹簧在 x、y、z三个方向的位移。
步骤6：在变截面盘的坐标系oxd yd zd下，变截面盘满足弹性薄板横向振动小 挠度理论，利用哈密顿原理推导出其横向弹性振动的微分方程，得到旋转均匀圆盘 的自由振动方程如公式(6)所示：
由于圆盘的内端由刚性足够大的三个方向的弹簧支撑，所以将盘看做是内圆夹支外圆自由。对于内端固定，其边界条件为如公式(7)所示：
对于外圆自由，其边界条件为如公式(8)和(9)所示：
式中，Wd为圆盘上任意一点在垂直于圆盘平面的位移；rs和rD分别为圆盘的内 外半径；ρd为圆盘每单位体积的质量；为圆盘的抗弯刚度；hD为圆盘 的厚度；ED和νd为圆盘的弹性模量和泊松比；▽4为调和算子；▽2为拉普拉斯算子； Nr和Nθ为极坐标上的正交合应力，其中Nr为径向的正交合应力和Nθ为周向的正交 合应力，其表达式分别如公式(10)、(11)、(12)和(13)所示：
对于变截面圆盘，在均匀截面的基础上，正交合力也由均匀厚度圆盘的一个整 体公式，拆分成两个部分，不同厚度处分别考虑。hD0为第一个截面处的厚度，hD1为第二个截面处的厚度，rs为圆盘的内径，rd为圆盘第一段的半径，rD为圆盘的外 径，Nr和Nθ拆分后的公式如下(14)、(15)、(16)和(17)所示:
式中，Nr0和Nθ0为圆盘第一段在极坐标上的正交合应力，Nr1和Nθ1为圆盘第二 段在极坐标上的正交合应力。
等截面盘的动能为：
等截面盘的势能为：
步骤7：使用分步积分的方法，将采用均匀截面圆盘推导出动能和势能进行分 部积分，得到旋转变截面圆盘的动能和旋转变截面圆盘的势能。
其中旋转变截面圆盘的动能如公式(20)计算获得：
旋转变截面圆盘的势能如公式(21)计算获得：
步骤8：根据Hamilton变分原理其中U＝Ub+Us+Ud，T＝ Tb+Ts+Td，Wnon为外力做的功，并以δXd、δYd、δZd、δu、δv、δθ和δud作为独 立变量进行变分得到旋转弹簧-变截面盘-叶片系统的动力学方程，具体如下：
步骤9：采用Galerkin方法，引入正则坐标对步骤8中的旋转悬臂梁的径向位 移u，横向位移v、截面转角以及变截面盘的横向位移ud(ud即为式中的Wd)进行离 散化处理，获得弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的质量矩阵、科氏力矩阵和刚度矩 阵。具体如下：
对叶片进行离散，引入正则坐标Uj(t)、Vj(t)和Φj(t)，得到叶片的径向振动、横向振动和截面转角的位移如下：
式中，φ1i(x)、φ2i(x)和φ3i(x)分别表示为对应叶片径向、横向以及转角的第i阶的 振型函数，具体表达式为
式中，αj＝(2j-1)π/(2L)，j＝1,2,3,……,N，其中N为模态截断数。
利用假设模态法分析弹簧支撑的柔性盘和叶片的耦合系统，弹性盘的横向位移可以表示为：
Wi c(r,θ)＝Ri(r)cos(iθ) (27)
Wi s(r,θ)＝Ri(r)cos(iθ) (28)
式中，Wi c和Wi s为盘在两个正交平面假设模态组成的列向量，和分别为 弹性盘关于时间的广义坐标，Ri(r)是根据变截面梁推导出的盘的振型函数。
Ri(r)的推导过程分两种情况考虑，过程如下：
(1)、当弹簧的刚度很大时，假设梁横向振动的模态函数为Y(t)，表示为如下形式：
Y(t)＝Asin(βz)+Bcos(βz)+Csinh(βz)+Dcosh(βz) (29)
式中A，B，C，D是由梁的左右两端边界条件决定的待定系数，β为梁的频 率，z为一个变量。
基于等截面梁的模态函数解析解，得到第i段的模态函数为：
Yi(z)＝AisinZi+BicosZi+CisinhZi+DicoshZi (30)
式中Zi＝βi(z-zi-1)，zi-1≤z≤zi，i＝1,2,3,…,N，z0＝0，Ai，Bi，Ci，Di是第i段梁的待 定系数。
通过悬臂梁的固有频率表达式即可得到变截面梁各段之间βi的关系，悬臂梁的固有频率为：
同理，可以得到第i+1段的模态函数为：
Yi+1(z)＝Ai+1sinZi+1+Bi+1cosZi+1+Ci+1sinhZi+1+Di+1coshZi+1 (32)
由于第i段和第i+1段在连接点Zi处的位移，转角，弯矩，剪力连续，得到如下 关系：
Yi+1(zi)＝Yi(zi) (33)
Y′i+1(zi)＝Y′i(zi) (34)
(EsIs)i+1Yi+1(zi)＝(EsIs)iYi(zi) (35)
((EsIs)i+1Yi+1(zi))′＝((EsIs)iYi(zi))′ (36)
将式(33)-(36)转化成矩阵的形式,得到
将式(30)代入式(32)，整理得
N(i+1)＝Z(i)N(i) (38)
根据上式，得到变截面梁的第i段和第i+1段的待定系数可分别表示为：
N(i)＝[Ai Bi Ci Di]T,N(i+1)＝[Ai+1 Bi+1 Ci+1 Di+1]T (39)
式(38)中，矩阵Z(i)表达式为：
由于本发明中变截面盘为两段，因此根据两段梁之间的边界关系，可以将式(37)简化为：
Y1(L1)＝Y2(0) (41)
Y1′(L1)＝Y2′(0) (42)
EsJ1Y1″(L1)＝EsJ2Y2″(0) (43)
EsJ1Y1″′(L1)＝EsJ2Y2″′(0) (44)
其中，
e1,2＝βi(p+1)/(2βi+1)，e3,4＝(p±1)/2，
式中i分别为1,2,…,N-1,得
N(N)＝ZN(1) (45)
其中，
Z＝Z(N-1)Z(N-2)...Z(2)Z(1) (46)
Z矩阵中各元素都是固有频率ω的函数，它建立了第1段和第N段待定系数之 间的关系。因此，只要给出梁左右两端4个边界条件，即可得到关于固有频率ω的 表达式，然后求解其固有频率，并得到其模态函数。
对于悬臂梁，可知梁的边界条件为：
Y1(0)＝0,Y1′(0)＝0 (47)
(EsIs)NY″N(L)＝0,((EsIs)NY″N(L))′＝0 (48)
根据式(47)和(48)得到系数关系A1＝–C1，B1＝–D1。
根据梁右边的边界条件可得：
ΛN(N)＝0 (49)
将上面式子(45)和(49)合并,并转化为矩阵形式
ΛZN(1)＝0 (50)
令Q＝ΛZ，得到QN(1)＝0，所以根据系数关系得到
为使方程(51)有非零解，则可以得到特征方程为
通过该方程即可求得该阶梯梁的固有频率，从而得到变截面梁的振型函数。
(2)、当弹簧刚度较小时，将它简化为弹支边界变截面梁的模型来求取振型函 数，其中盘的悬臂端的边界条件与上述悬臂变截面梁的相同，即Λ相同；设弹支边 界变截面梁的振型函数可以表示为：
Y＝Asinβx+Bcosβx+Csinhβx+Dcoshβx (53)
其中，A、B、C、D分别为根据梁两端的边界条件确定的待定系数。
已知，梁的弹支一端的边界条件为：
EIY″＝-kY′＝0 (54)
EIY″′＝kY (55)
由此可以得出系数关系D＝B，C＝A+2kB/(EIβ3)，再通过上述固支端的计算，即 可得到一端弹支，一端自由的变截面梁的振型函数。
由以上两种情况可以总结得到振型函数的表达式为：
步骤10：引入瑞利阻尼，得到旋转弹簧-变截面盘-叶片哦耦合系统的运动微分 方程：
式中，M、P和D分别为整个耦合系统的质量矩阵、科氏力矩阵和阻尼矩阵，
Ke、Ki、KΩ和Kσ分别为整个耦合系统的结构刚度矩阵、加速度导致的刚度矩阵、离心刚化矩阵和旋转软化矩阵。q和F分别为叶片正则坐标向量和外激振力向量。瑞 利阻尼D是由质量矩阵和刚度矩阵按比例组合构造而成的，D＝αM+βK，其中α和β 由下式求得：
式中，fn1、fn2分别为弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的第一阶和第二阶固有频率(Hz)，ξ1和ξ2为阻尼比。
q是和时间有关的广义坐标组成的列向量，表达形式如下：
步骤11：设置外激励向量F为零，通过将参数代入步骤10微分方程的各个矩 阵中，确定叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片系统在不同弹簧刚度、不同转速 下的固有频率。
本发明提供的叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统动力学建模方法，节省了弹簧-变截面盘-叶片耦合系统实验所需要的成本费用；本发明只需修改 变截面盘和叶片的结构尺寸和材料参数、弹簧的刚度后即可得到不同弹簧-变截面盘 -叶片耦合系统的动力学模型，操作简便；本发明考虑了真实叶片中的安装角的影 响，变截面几何构型更接近真实航空发动机中的轮盘；本发明考虑了弹簧-变截面盘 -叶片耦合系统在旋转过程中离心刚化、旋转软化以及科氏力的影响，其动力学特性 更能反应叶片的真实工作状态；与借助传统的商用有限元软件来分析叶片的动力学 特性相比，本发明具有更高的计算效率；此外，此方法相比于传统的商用有限元软 件自由度更少，同时，还能进行整个系统的激励响应分析，从而提升系统性能和稳 定性。
实施例2
本实施例中叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统示意图如图2所 示，图2中，(a)表示弹簧-变截面盘-叶片耦合系统动力学模型，(b)表示变截面旋 转盘的坐标，(c)是(b)的截面图，表明变截面盘的几何尺寸，(d)表示叶片在变截面 旋转盘上的安装角,(e)表示叶片在局部坐标系下的示意图。叶片带有安装角的弹簧- 变截面盘-叶片耦合系统建模方法，包括以下步骤：
步骤1：获取叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的结构参数和材 料参数，本发明假定叶片是各向同性的线弹性材料，本构关系满足Hooke定律，对 于变截面盘认为变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一条直线，并与中面保持垂 直，无中面方向内的变形，弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的相关系数如表1所示：
表1弹簧-变截面盘-叶片耦合系统参数
步骤2：考虑叶片在变截面盘上的安装角、弹簧的初始位置、变截面盘的平动 以及盘的横向振动，确定叶片产生变形后任意一点Q在整体坐标系下的位移向量如 下：
式中，Xd、Yd和Zd分别为变截面盘在X、Y和Z三个方向的平动位移；θxd、θyd和θzd分别为变截面盘沿着X、Y和Z三个方向的摆角；x0、y0和z0分别为弹簧在X、 Y和Z三个方向的初始位置。
步骤3：依据动能计算式得到带有安装角叶片的动能如公式(1)所示：
步骤4:基于Timoshenko梁理论，得到带有安装角叶片的应变势能如公式(2) 所示；
叶片在旋转过程中所受到的离心力可以表示为如公式(3)所示。
步骤5：对于弹簧来说，弹簧由于刚度很大，所以只能产生微小的变形，且变 形量与盘在三个方向的位移相同。因此，得到弹簧三个方向的动能如公式(4)所 示：弹簧三个方向的势能如公式(5)所示。
步骤6：使用积分的方法，将采用均匀截面圆盘推导出动能和势能进行分部积 分，得到变截面圆盘的动能和势能。
旋转变截面圆盘的动能根据公式(20)计算；
旋转变截面圆盘的势能根据公式(21)计算所示。
步骤7：根据Hamilton变分原理其中U＝Ub+Us+Ud，T＝ Tb+Ts+Td，Wnon为外力做的功，并以δXd、δYd、δZd、δu、δv、δθ和δud作为独 立变量进行变分得到旋转弹簧-变截面盘-叶片系统的动力学方程，如公式(22)和(23) 所示。
步骤8：采用Galerkin方法，引入正则坐标对步骤10中的旋转悬臂梁的径向位 移u，横向位移v、截面转角以及变截面盘的横向位移ud(ud即为式中的Wd)进行离 散化处理，获得弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的质量矩阵、科氏力矩阵和刚度矩 阵。具体如下：
对叶片进行离散，引入正则坐标Uj(t)、Vj(t)和Φj(t)，得到叶片的径向振动、横向振动和截面转角的位移如公式(24)所示：
其中，对应叶片径向、横向以及转角的第i阶的振型函数，具体表达式如公式 (25)所示。
利用假设模态法分析弹簧支撑的柔性盘和叶片的耦合系统，弹性盘的横向位移可以表示为公式(26)-(27)。
当弹簧的刚度较大时，可以将变截面盘看成内圆固支外端自由，采用悬臂梁的 四个边界条件，得到振型函数，边界条件如公式(47)和(48)所示：
当弹簧的刚度较小时，变截面盘为内圆弹支，外圆自由，梁自由一端的边界条 件同上，因此梁的弹支一端的边界条件如公式(54)和(55)所示：
最终，无论弹簧的刚度取多大，振型函数都能写成如(56)所示的格式：
步骤9：引入瑞利阻尼，得到旋转弹簧-变截面盘-叶片哦耦合系统的运动微分 方程如公式(57)所示：
其中，M、P、Ke、Ki、KΩ和Kσ的具体表达式分别为：
叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的质量矩阵的表达式：
质量矩阵中的各个元素表达式为：
叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的科氏力矩阵的表达式：
科氏力矩阵中的各个元素表达式为：
叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的结构刚度矩阵的表达式：
结构刚度矩阵中的各个元素表达式为：
叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统加速度导致的刚度矩阵的表达式：
加速度导致的刚度矩阵中的各个元素表达式为：
叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的离心刚化矩阵的表达式：
离心刚化矩阵中的各个元素表达式为：
叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的旋转软化刚度矩阵的表达式：
旋转软化刚度矩阵矩阵中的各个元素表达式为：
瑞利阻尼D是由质量矩阵和刚度矩阵按比例组合构造而成的，D＝αM+βK，其中 α和β可由下式求得：
式中，fn1、fn2分别为叶片的第一阶和第二阶固有频率(Hz)，ξ1和ξ2为阻尼比。
步骤10：计算特征方程系数行列式的特征值λ，取其虚部的绝对值除以2π，并 进行从小到大排序，获得一组固有频率ωk，其中，k表示叶片带有安装角的弹簧-变 截面盘-叶片耦合系统模态的第k阶，k＝1,2,…。
通过现有的有限元模型来验证本发明方法的有效性，如表2和3分别列出弹簧 刚度较大和较小时叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统固有频率与有限 元软件得到的结果的对比，以及误差大小。
图3为根据有限元软件和本发明所求的随转速变化的频率所画，其中，其中， (1)为本发明方法绘制与有限元绘制的对比图，图中带*号的为本发明方法绘制， 直线为现有技术的有限元绘制，图3(2)为图3(1)中小方框内的放大图；根据图 3可得，叶片和变截面的频率都随着转速的升高而增大，说明离心刚化效应要大于 旋转软化效应，同时对于选择合适的转速提供理论依据。图4为使用本发明方法所 画耦合系统振型图，可以更直观的观察在不同频率下叶片和盘的模态振型，其中的 (a)、(b)(c)、(d)、(e)、(f)图分别对应表2中固有频率即0转速下的解析法的模态振 型图。图5为现有的商用有限元软件所画耦合系统振型图，(a)、(b)(c)、(d)、(e)、(f) 图分别对应表2中固有频率即0转速下的有限元法的模态振型图。
表2弹簧-变截面盘-片耦合系统固有频率对比
表3弹簧-变截面盘-片耦合系统固有频率对比
上述表2和表3中的半解析法所得频率为本发明获得的，有限元频率为现有技 术所得，通过二者的结果对比，可以说明本发明的建模方法具有一定的准确性。
通过与采用Zhou S T等人发表的文献：An assumed mode method and finiteelement method investigation of the coupled vibration in a flexible-diskrotor system with lacing wires[J]，Journal of Mechanical Science andTechnology,2017,31(2):577–586. 计算的固有频率进行验证，文中为轴-等截面盘-叶片系统，将本发明所建模型中的 变截面盘退化成等截面盘与之比较，并且所得到的误差较小，说明本发明的变截面 盘模型包含于传统的等截面盘模型，进一步证明本发明所建模型的有效性和稳定 性。文献中的模型各项参数如表4，使用本发明建模方法与文献、商用有限元软件 得到的结果对比如表5所示。文献中为轴-盘-叶片耦合系统，其中文献中的盘为等截 面盘，所以使用本发明建模方法时将变截面盘退化成等截面盘，同时用弹簧的刚度 来模拟轴。
表4文献中轴-变截面盘-叶片耦合系统参数
表5与文献和商用有限元软件固有频率对比
通过本实施例的结果可以获得以下结论：
(1)固有频率随转速的增加而增加，说明对于弹簧-变截面盘-叶片系统来说也 是离心刚化效应明显于旋转软化效应；
(2)随着弹簧刚度的减小，叶片与弹簧的耦合现象变得明显，当刚度减小到一 定的程度之后会产生平动现象；
(3)解析模型与ANSYS模型和文献模型的前几阶频率吻合较好，从而验证了 本发明所建立的动力学模型的可靠性和有效性。
以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明做其它形式的限 制，任何本领域技术人员可以利用上述公开的技术内容加以变更或改型为等同变化 的等效实施例。但是凡是未脱离本发明技术方案内容，依据本发明的技术实质对以 上实施例所作的任何简单修改、等同变化与改型，仍属于本发明技术方案的保护范 围。
Claims (10)
1.一种弹簧-变截面盘-叶片系统的动力学建模方法，其特征在于，其包括以下步骤：
S1：构建一种叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片耦合系统动力学建模所需的三维坐标系，包括：整个耦合系统的固定坐标系OXYZ，变截面盘的坐标系oxd yd zd，整个系统在运动过程中的动坐标系oxr yr zr，叶片的局部坐标系oxb yb zb；
S2：对弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的结构参数和材料参数进行测定，其中包括叶片长度L，叶片宽度b，叶片厚度h，叶片安装角β，叶片弹性模量E，泊松比μ，叶片密度ρ，变截面盘内径rs，第一段半径rd，外圈半径rD，变截面盘的第一段厚度hd，第二段厚度hd1，变截面盘的弹性模量Ed，变截面盘的密度ρd，弹簧的刚度k；
S3：假设变截面盘上均匀分布着Nb个相同的弹性叶片，当第i个叶片产生变形后，通过叶片i上任意一点Q在整体坐标系OXYZ中的位移向量依据动能计算公式得到叶片的动能；
S4：基于板壳振动理论，考虑叶片在旋转过程中的离心刚化效应影响，得出旋转叶片的势能；
S5：对于弹簧来说，弹簧由于刚度很大，所以只能产生微小的变形，且变形量与变截面盘在三个方向的位移相同，因此，得到弹簧的动能和势能；
S6：在所述变截面盘的坐标系oxd yd zd下，变截面盘满足弹性薄板横向振动小挠度理论，利用哈密顿原理推导出其横向弹性振动的微分方程，得到旋转均匀圆盘的自由振动方程，计算圆盘的正交合力，进而得到均匀截面圆盘即等截面盘的动能和势能；
S7：使用积分的方法，将采用等截面盘推导出动能和势能进行分部积分，得到旋转变截面圆盘的动能和旋转变截面圆盘的势能；
S8：根据Hamilton变分原理其中U＝Ub+Us+Ud，T＝Tb+Ts+Td，Wnon为外力做的功，并以δXd、δYd、δZd、δu、δv、δθ和δud作为独立变量进行变分得到旋转弹簧-变截面盘-叶片系统的动力学方程；
S9：采用Galerkin方法，求取变截面圆盘的振型函数，引入正则坐标对步骤S8中的旋转悬臂梁的径向位移u，横向位移v、截面转角以及变截面盘的横向位移ud，ud即为式中的Wd，进行离散化处理，获得弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的质量矩阵、科氏力矩阵和刚度矩阵；
S10：引入瑞利阻尼，得到旋转弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的运动微分方程：
S11：设置外激励向量为零，通过代入步骤S10中的所述运动微分方程，确定叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片系统在不同弹簧刚度、不同转速下的固有频率。
2.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S3中，所述旋转叶片的动能表达式为
式中，x为沿着叶片厚度方向的坐标；rQ为叶片上任意一点Q在整体坐标系下的位移向量；u、v、分别为叶片在局部坐标系oxb yb zb中径向和横向方向的位移及截面转角；A为叶片的截面面积；Iz为叶片的截面惯性矩；θi＝θ(t)+(i-1)2π/Nb,θ(t)为轮盘运动的角位移，(i-1)2π/Nb描述了第i个叶片在叶片组中的位置；ud表示变截面弹性圆盘在横向的振动位移，括号()表示对时间的1阶偏导。
3.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S4所述的旋转预扭板的应变势能为如下公式(2)所示：
式中，E、Iz、G、κ和fc(x)分别表示叶片的杨氏模量、截面惯性矩、剪切模量、剪切系数以及离心力；
叶片在旋转过程中所受到的离心力如公式(3)所示：
4.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S5中，所述弹簧三个方向的动能为：
所述弹簧三个方向的势能为：
式中，md为弹性变截面盘的质量，k为弹簧的刚度，Xd、Yd和Zd分别为弹簧在x、y、z三个方向的位移。
5.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S6所述旋转均匀的自由振动方程为：
所述圆盘的正交合力包括Nr和Nθ为极坐标上的正交合应力，其中Nr为径向的正交合应力和Nθ为周向的正交合应力，其表达式如下：
等截面盘的动能为：
等截面盘的势能为：
6.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S7中，所述旋转变截面圆盘的动能如下公式(20)计算获得：
所述旋转变截面盘的势能如公式(21)计算获得：
7.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S8中，所述旋转弹簧-变截面盘-叶片系统的动力学方程如下：
8.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S9中，所述离散化处理的具体方法如下：
对叶片进行离散，引入正则坐标Uj(t)、Vj(t)和Φj(t)，得到叶片的径向振动、横向振动和截面转角的位移如下：
式中，φ1i(x)、φ2i(x)和φ3i(x)分别表示为对应叶片径向、横向以及转角的第i阶的振型函数，具体表达式为
式中，αj＝(2j-1)π/(2L)，j＝1,2,3,……,N，其中N为模态截断数；
利用假设模态法分析弹簧支撑的柔性盘和叶片的耦合系统，弹性盘的横向位移表示为：
Wi c(r,θ)＝Ri(r)cos(iθ) (27)
Wi s(r,θ)＝Ri(r)cos(iθ) (28)
式中，Wi c和Wi s为盘在两个正交平面假设模态组成的列向量，和分别为弹性盘关于时间的广义坐标，Ri(r)是根据变截面梁推导出的盘的振型函数；
所述Ri(r)的推导过程分两种情况考虑，过程如下：
(1)、当弹簧的刚度很大时，假设梁横向振动的模态函数为Y(t)，表示为如下形式：
Y(t)＝Asin(βz)+Bcos(βz)+Csinh(βz)+Dcosh(βz) (29)
式中A，B，C，D是由梁的左右两端边界条件决定的待定系数，β为梁的频率，z为一个变量；
基于等截面梁的模态函数解析解，得到第i段的模态函数为：
Yi(z)＝AisinZi+BicosZi+CisinhZi+DicoshZi (30)
式中Zi＝βi(z-zi-1)，zi-1≤z≤zi，i＝1,2,3,…,N，z0＝0，Ai，Bi，Ci，Di是第i段梁的待定系数；
通过悬臂梁的固有频率表达式即可得到变截面梁各段之间βi的关系，悬臂梁的固有频率为：
同理，可以得到第i+1段的模态函数为：
Yi+1(z)＝Ai+1sinZi+1+Bi+1cosZi+1+Ci+1sinhZi+1+Di+1coshZi+1 (32)
由于第i段和第i+1段在连接点Zi处的位移，转角，弯矩，剪力连续，得到如下关系：
Yi+1(zi)＝Yi(zi) (33)
Y′i+1(zi)＝Y′i(zi) (34)
(EsIs)i+1Yi+1(zi)＝(EsIs)iYi(zi) (35)
((EsIs)i+1Yi+1(zi))′＝((EsIs)iYi(zi))′ (36)
将式(33)-(36)转化成矩阵的形式，得到
将式(30)代入式(32)，整理得
N(i+1)＝Z(i)N(i) (38)
根据上式，得到变截面梁的第i段和第i+1段的待定系数可分别表示为：
N(i)＝[Ai Bi Ci Di]T,N(i+1)＝[Ai+1 Bi+1 Ci+1 Di+1]T (39)
式(38)中，矩阵Z(i)表达式为：
由于本发明中变截面盘为两段，因此根据两段梁之间的边界关系，可以将式(37)简化为：
Y1(L1)＝Y2(0) (41)
Y1′(L1)＝Y2′(0) (42)
EsJ1Y″1(L1)＝EsJ2Y″2(0) (43)
EsJ1Y″′1(L1)＝EsJ2Y″′2(0) (44)
其中，
e1,2＝βi(p+1)/(2βi+1)，e3,4＝(p±1)/2，
式中i分别为1,2,…,N-1,得
N(N)＝ZN(1) (45)
其中，
Z＝Z(N-1)Z(N-2)...Z(2)Z(1) (46)
Z矩阵中各元素都是固有频率ω的函数，它建立了第1段和第N段待定系数之间的关系；因此，只要给出梁左右两端4个边界条件，即可得到关于固有频率ω的表达式，然后求解其固有频率，并得到其模态函数；
对于悬臂梁，梁的边界条件为：
Y1(0)＝0,Y1′(0)＝0 (47)
(EsIs)NY″N(L)＝0,((EsIs)NY″N(L))′＝0 (48)
根据式(47)和(48)得到系数关系A1＝–C1，B1＝–D1；
根据梁右边的边界条件可得：
ΛN(N)＝0 (49)
将上面式子(45)和(49)合并，并转化为矩阵形式如下
ΛZN(1)＝0 (50)
令Q＝ΛZ，得到QN(1)＝0，所以根据系数关系得到
为使方程(51)有非零解，则可以得到特征方程为
通过该方程即可求得该阶梯梁的固有频率，从而得到变截面梁的振型函数；
(2)、当弹簧刚度较小时，将它简化为弹支边界变截面梁的模型来求取振型函数，其中盘的悬臂端的边界条件与上述悬臂变截面梁的相同，即Λ相同；设弹支边界变截面梁的振型函数表示为：
Y＝Asinβx+Bcosβx+Csinhβx+Dcoshβx (53)
其中，A、B、C、D分别为根据梁两端的边界条件确定的待定系数；
已知，梁的弹支一端的边界条件为：
EIY″＝-kY′＝0 (54)
EIY″′＝kY (55)
由此可以得出系数关系D＝B，C＝A+2kB/(EIβ3)，再通过上述固支端的计算，即可得到一端弹支，一端自由的变截面梁的振型函数；
由以上两种情况总结得到振型函数的表达式为：
9.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，步骤S10中，所述旋转弹簧-变截面盘-叶片哦耦合系统的运动微分方程如下所示：
式中，M、P和D分别为整个耦合系统的质量矩阵、科氏力矩阵和阻尼矩阵，Ke、Ki、KΩ和Kσ分别为整个耦合系统的结构刚度矩阵、加速度导致的刚度矩阵、离心刚化矩阵和旋转软化矩阵；
q和F分别为叶片正则坐标向量和外激振力向量，瑞利阻尼D是由质量矩阵和刚度矩阵按比例组合构造而成的，D＝αM+βK，其中α和β由下式求得：
式中，fn1、fn2分别为弹簧-变截面盘-叶片耦合系统的第一阶和第二阶固有频率(Hz)，ξ1和ξ2为阻尼比；
q是和时间有关的广义坐标组成的列向量，表达形式如下：
10.如权利要求1所述的动力学建模方法，其特征在于，根据步骤S11，改变步骤S10微分方程中矩阵的参数，来计算叶片带有安装角的弹簧-变截面盘-叶片系统在不同弹簧刚度、不同转速下的固有频率。
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