CN108873809B - 一种螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法，属于齿轮传动技术领域，包括：(1)获取螺旋锥齿轮的齿面基本设计参数；(2)利用CMM法测量螺旋锥齿轮的齿面误差；(3)采用高阶多项式方法，将齿面测量的误差点数据拟合成误差齿面，得到高阶齿面误差多项式；(4)利用L‑M算法，完成高阶齿面误差多项式的修正。本发明所述螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法，充分利用通用加工参数的高阶特性，主动创成齿面误差的高阶形式，并提供高阶加工参数设计参数的反调修正函数，完成齿面误差的高阶修正；本发明通过CMM法进行自动识别和测量，建立以加工参数为设计变量的反馈修正函数并进行精确求解，通过修正实际加工参数的反调量达到齿面误差的自动修正与补偿。
Description
技术领域
本发明属于齿轮传动技术领域，具体涉及一种螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法。
背景技术
螺旋锥齿轮因其重叠系数大、承载能力强、传动比高、传动平稳、噪声小等优点广泛应用于汽车、航空、矿山等机械传动领域。螺旋锥齿轮分为两种，一种是弧齿锥齿轮，其大轮轴线和小轮轴线相交；另一种是准双曲面螺旋锥齿轮，其大轮轴线和小轮轴线有一定偏置距。目前生产螺旋锥齿轮世界级公司主要是美国的格里森公司和瑞士的奥利康公司。我国目前广泛应用的是格里森齿制的螺旋锥齿轮。在欧美等发达国家，实际真实加工齿面与理论设计齿面的几何结构的精确匹配问题成为齿轮精度控制的主要目标。而理论与实际齿面之间的法向偏差一般定义为齿面误差，可通过专用齿轮检测设备进行自动识别和测量，建立以加工参数为设计变量的反馈修正函数并进行精确求解，通过修正实际加工参数的反调量达到齿面误差的自动修正与补偿。而在传统的齿面误差修正过程中，往往只考虑误差齿面的一阶或者二阶组成形式，而忽略精确更高阶性形式对齿面接触性能的影响。
发明内容
本发明的目的在于提供一种螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法，以完成齿面误差的高阶修正。
本发明提供的这种螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法，包括以下步骤：
(1)获取螺旋锥齿轮的齿面基本设计参数；
(2)基于步骤(1)所得齿面基本设计参数，通过齿面建模进行离散化求点，得到用于CMM测量的齿面预设网格，利用CMM法测量螺旋锥齿轮的齿面误差，得到齿面测量的误差点数据；
(3)采用高阶多项式方法，将步骤(2)所得齿面测量的误差点数据拟合成误差齿面，得到高阶齿面误差多项式；
(4)利用L-M算法，完成高阶齿面误差多项式的修正，以补偿齿面误差，得到含修正量的精确机床加工参数。
优选的，所述步骤(2)中，具体步骤为：
2.1)在齿轮的轴向横截面预设一个齿面网格AMBMCMDM，该齿面网格根据齿面离散化来确定，用来表示一个理论参考的设计齿面，参照Gleason标准的一般齿面预设网格点规划，齿面被离散化成一个典型的5×9网格，即齿宽(face width，FW)方向取9个点，而齿高(tooth height，TH)方向取5个点，采样点的范围要求：TH方向上下偏差不超过5％，FW方向左右偏差不超过10％；
2.2)螺旋锥齿轮的齿面精确定位，具体为：
(a)定位测量基准，从动轮采用大平面加短圆柱基准，主动轮采用长圆柱基准加小平面；
(b)初定位，操纵探针在齿面中部取一点pMid(μ,θ,φ)，并将该点旋转投影到被测齿轮轴截面上，获得该点的坐标；
该旋转过程用运动转换矩阵表示为：
将被测齿轮网格点沿法向NXY各自增加一个探针的测头半径RPro，得到一个处于探针中心平面的原齿面的法向等距网格，再向轴截面投影，得到一组新的齿面网格节点(pMid)*(XG,YG,ZG)：
此时需要搜索一个最小距离点，采用以下优化：
用遍历法可确定最佳齿面重合点，然后为了使探针的测头恰好落在法向等距面网格点(pMid)*的切平面上，需要绕自身轴线旋转齿坯，角度为：
再用迭代法进行调整，微调角度为：
式中，在全局坐标系中，网格点(pMid)和(pMid)*可以分别用点矢(rMid)and(rMid)*和法矢(NXY)Mid and((NXY)Mid)*来表示，齿面误差值为eG＝[eG11,…,eGij,…,eGMN](i∈[1,M]；j∈[1,N])，取M＝9，N＝5；
(c)精确定位，驱动CMM测量测序，探针沿网格中点的发现逼近齿面，测得网格中点的坐标值，重复方程(6)的迭代过程，即可完成齿面精确定位；
2.3)完成精确定位后，驱动CMM自带测量程序完成螺旋锥齿轮的齿面逐点测量，得到齿面测量的误差点数据。
上述自动测量程序具体为：根据测量对象选择探针型号，合理考虑探针测头的半径的大小、转接杆的量程、测量方位等要求；对于大节锥角的齿轮，如果齿面网格节点的法矢都满足NXY(i,j)>0，则只需一根垂直探针即可完成测量；否则需布置一系列径向探针完成，以避免探针与齿面发生干涉；探针要保证与切平面和端平面的交线之间的夹角不大于45°；更换探针时，要确保原探针从齿槽完全退出。
优选的，所述步骤(3)中，高阶齿面误差多项式可表示为：
将高阶齿面误差点表示为h＝[h1,..,hi,..,hm]，m为齿面误差点个数，基于CMM测量，齿面点坐标(X,Y)已知，hi((X,Y),c)为关于未知变量c＝[c1,c2,…,cm]的函数，此处，每个系数cj(j∈[1,m])，即所谓的万能运动系数，能反应出对应的设计参数对齿面修正的误差的阶次。其中，c1表示偏离误差，在Gleason差曲面中，一般会是齿面中点与被测齿面中点完全重合，故c1＝0；一阶系数c2和c3分别反映了压力角和螺旋角的影响；二阶系数c4和c5和c6分别反映了齿形、扭曲变形和纵向曲率的影响，多项式拟合的目的是确定高阶运动系数c＝[c1,c2,…,cm]。
优选的，所述步骤(3)中，采用3次或者4次多项式方法，以保证良好的拟合精度。
优选的，所述步骤(3)中，采用SSE(和方差、误差平方和)；RMSE(均方根、标准差)；R-S(确定系数)；AR-S(修正确定系数)，用来验证齿面精度。
优选的，所述步骤(4)中，具体步骤为：
通过齿面误差测量与分析，高阶齿面误差可参数化表示为：
式中p*CMM为真实齿面点，p((μ,θ,φi),x)为理论设计齿面点，i则表示为所要求的齿面误差的阶次。由UMC加工参数定义可得，其阶次与齿面误差阶次是一致的。因为它们都与万能运动系数有关在目前研究中，考虑齿轮生厂加工的成本和经济性，一般是以基本齿面设计参数中的机床加工参数作为未知变量，建立误差修正函数。所以，x表示所要求解的精确的加工参数，即可以用φi表示成高阶形式；
采用L-M算法，完成高阶齿面误差多项式的修正，具体为：
理论齿面上任一点的齿面误差可以认为是各项机床加工参数微小变化引起的齿面误差的叠加，可以在齿面各点对加工参数进行一阶微分偏导，有：
上述方程可以进行显式计算，则在每个齿面点pi处，存在齿面误差h＝[h1,..,hi,..,hm]的雅克比矩阵J∈Rm×n；
则目标函数可以简化为：
这表明J＝J(x)为敏感性矩阵S＝S(x)，由于m>n，该方程具有超定性。对于该方程的求解，当其转化为一个线性的最小二乘问题时，上述方程可改写为：可以进行两类求解：i)直接求解，其中以线性回归法和广义逆矩阵法为主；ii)间接求解，其中以奇异值分解法为主。例如，当采用线性回归求解时，其目标函数可以转为线性最小二乘问题，有：
当采用线性回归法求解时，其解为：
由于具有较高的条件数，敏感性矩阵S的奇异性被忽略，则求得数值解是不稳定的，为此，考虑奇异性需要采用奇异值分解方法。此时，敏感矩阵可分解为：
∑＝diag(w1,w2,…,ww)∈Rr×r，奇异值w1>w2>…>ww>0(w＝1,2,…,r)，r≤m，U＝(U1,U2)，V＝(V1,V2)；
Sij的广义逆矩阵可以表示为：
通过推导，其解为：
这样，每一个加工参数都能够计算出对应的修正量来补偿齿面误差，已到达齿面误差修正的目的；
基于给定的参考齿面即测量齿面和齿面点，对应的测量齿面可以通过多项式拟合而成，则对应的高阶运动系数确定。根据确定的初始c(0)＝[c1 (0),c2 (0),…,cm (0)],hi((X,Y),c)的二次泰勒展开式为：
这是一个线性函数，通过CMM测量给定对应hi *，最小二乘目标函数可表示为：
经过转化，可得：
且
其解表示为：
在求解解中，存在雅克比矩阵，即目标函数的一阶微分偏导：
可简化为：
H((X,Y),c)＝JT((X,Y),c)J((X,Y),c) (24)
可得：
这属于L-M(Levenberg-Marquardt)算法的迭代公式，其中H是海森矩阵，E是单元矩阵。
优选的，所述L-M算法的基本框架为：
其中，迭代步dLM可通过阻尼系数
进行控制；初始
值与运动系数cj大小相关，可通过调整增速比ρ来置换
值，其中ρ可根据目标函数的线性模型L来预测。此处，线性模型L(c)可表示为：
L-M算法的终止准则能约束其求解的全局最小化，需满足T′(c*)＝g(c*)＝0，同时还需约束判定条件的ε1和ε2值；其中，系数υ,ε1及ε2等可根据设计要求自行设定。
本发明的有益技术效果：
1)本发明所述螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法，立足于齿面微观形貌的精确优化设计，充分利用通用加工参数的高阶特性，主动创成齿面误差的高阶形式，并提供高阶加工参数设计参数的反调修正函数，完成齿面误差的高阶修正。
2)本发明所述螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法，采用高阶多项式方法，将测量的齿面误差点精确拟合成高阶误差拓扑曲面，采用高阶多项式拟合方法，除了能够表示齿面误差的高阶特性以外，该方法还有以下特点：
i)能够以封闭曲面形式给出误差齿面的显式表达；
ii)多项式拟合曲面具有连续性，易于归一化计算；
iii)易于通过一定函数表达进行齿面误差修正；
iv)定义域为[0,1]×[0,1]，可为数值计算提供初始值。
3)本发明通过CMM法进行自动识别和测量，建立以加工参数为设计变量的反馈修正函数并进行精确求解，通过修正实际加工参数的反调量达到齿面误差的自动修正与补偿。
附图说明
图1为CMM测量中齿面预设网格点坐标。
图2为螺旋锥齿轮的实际齿面CMM测量图。
图3为CMM测量中的齿面自动测量程序。
图4为四种拟合方法的误差齿面的拟合结果，其中(a)为邻近取样型；(b)为三次型；(c)为Lowess法二次型(鲁棒性：开；跨度：25％)；(d)为自定义方程法。
图5为传统的二阶多项式拟合与高阶多项式拟合两种方法的齿面误差的比较结果，其中(ai)为形貌拓扑图，(bi)为分布图，(ci)为残差图；i＝1，表示Ploy(2,2)，i＝2，表示Ploy(4,3)。
图6为齿面误差敏感性分析结果。
图7为误差修正后的精度：残差形貌拓扑图和分布图。
具体实施方式
下面将对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部实施例，基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围，下面结合附图和具体实施例对本发明进一步说明。
本发明实施例提供一种螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法，包括以下步骤：
步骤一、获取螺旋锥齿轮的齿面基本设计参数；
表1给出了一对准双曲面齿轮副的齿面基本设计参数，小轮采用五刀法在机械式摇台机床NO.116上完成加工，其中，No.116机械式机床是实际齿轮生产中最常见的一种机床，著名的UMC或UGM就是以此为模型进行开发的，它一般带有特殊的刀倾机构和摇台机构，来保证实际加工过程中出现偏心位置，完成属于Gleason收缩齿制的小轮的单面切削加工，在本发明实施例中，选取小轮刀倾法加工的一个齿面作为研究对象，并给出了其实际加工的11个调整卡参数，该实际加工参数和本文给出的万能运动参数可以进行等效替换，具体的转换过程详见文献；
表1准双曲面齿轮的基本设计参数
步骤二、考虑到三坐标测量仪(coordinate measurement machines,CMMs)的实用性和通用性，本实施例给出了螺旋锥齿轮齿面的CMM测量方法，具体为：
2.1)在齿轮的轴向横截面预设一个齿面网格AMBMCMDM，如图1所示，其中，第3行第5列的齿面中间点作为测量定位的初始点，齿面被离散化成一个典型的5×9网格，即齿宽(face width，FW)方向取9个点，而齿高(tooth height，TH)方向取5个点，采样点的范围有要求：TH方向上下偏差不超过5％，FW方向左右偏差不超过10％；
2.2)螺旋锥齿轮的齿面精确定位，具体为：
(a)定位测量基准，从动轮采用大平面加短圆柱基准，主动轮采用长圆柱基准加小平面；
(b)初定位，操纵探针在齿面中部取一点pMid(μ,θ,φ)，并将该点旋转投影到被测齿轮轴截面上，获得该点的坐标；
该旋转过程用运动转换矩阵表示为：
将被测齿轮网格点沿法向NXY各自增加一个探针的测头半径RPro，得到一个处于探针中心平面的原齿面的法向等距网格，再向轴截面投影，得到一组新的齿面网格节点(pMid)*(XG,YG,ZG)：
此时需要搜索一个最小距离点，采用以下优化：
用遍历法可确定最佳齿面重合点，然后为了使探针的测头恰好落在法向等距面网格点(pMid)*的切平面上，需要绕自身轴线旋转齿坯，角度为：
再用迭代法进行调整，微调角度为：
式中，在全局坐标系中，网格点(pMid)和(pMid)*可以分别用点矢(rMid)and(rMid)*和法矢(NXY)Mid and((NXY)Mid)*来表示，齿面误差值为eG＝[eG11,…,eGij,…,eGMN](i∈[1,M]；j∈[1,N])，取M＝9，N＝5；
(c)精确定位，驱动CMM测量测序，探针沿网格中点的发现逼近齿面，测得网格中点的坐标值，重复方程(6)的迭代过程，即可完成齿面精确定位；
2.3)完成精确定位后，驱动CMM自带测量程序自动完成螺旋锥齿轮的齿面逐点测量，如图2所示，得到齿面测量的误差点数据，表2给出了实际螺旋锥齿轮齿面测量的5×9点坐标数据，测量结果表明：齿面误差的RMSE为38.26μm，最大值为73.6μm，最小值为-51.5μm，CMM自动测量程序如图3所示；
表2齿面测量的误差点数据(mm)
步骤三、将齿面测量的误差点数据拟合成误差齿面，表3给出了三种常见拟合方法的比较，插值方法中三次型和邻近取样型有更好的拟合精度：SSE＝0，R-S＝1；但是RMSE＝NaN，即存在明显非数值表达，另外，在Lowess方法中(鲁棒性：开；跨度：25％)，二次型比线性型要好；而在自定义方程的方法中，SSE和RMSE较大；
表3几种主要的拟合方法的比较
图4为上述拟合方法的误差齿面的拟合结果，其中(a)为邻近取样型；(b)为三次型；(c)为Lowess法二次型(鲁棒性：开；跨度：25％)；(d)为自定义方程法，自定义方程可表示为：
从图4可以看出，邻近取样型有着好的拟合精度，但其齿面误差呈阶梯状分布且十分不连续，而Lowess法二次型则由于非连续性和误差分布突变性使其缺乏统一的递归公式，自定义方程法的缺陷是失真严重，综上所述，在图中的4种方法中，三次插值法是最理想的结果，除了比别的插值方法更好的拟合精度外，还有更好的齿面光顺性、连续性、显式函数表达。但是，这些常见的拟合方法依然不能达到本发明齿面拟合要求，最重要的一条就是不能较好的反映出齿面的高阶特性。
为了进一步比对各种插值方法的结果，表4给出采用多项式拟合方法所得的误差齿面的拟合精度评价，通过比较发现，当X的阶次为4且Y为3时，多项式拟合的精度最好。此时，误差齿面的多项式表达为：
式中，各系数都可控制在95％的置信区间内，其拟合精度为：R-S为0.783，AR-S为0.7018，RMSE为0.1368μm，而在传统的齿面误差修正中，一般只考虑齿面的二阶形式，即
Ploy(2,2)＝60.7-28.37X+4.317Y+9.51X2-1.775XY-18.94Y2 (29)
表4误差齿面多项式拟合精度比较
图5给出了传统的二阶多项式拟合与高阶多项式拟合两种方法的齿面误差的比较结果，其中，高阶Ploy(4,3)在齿面形貌和齿面误差分布方面明显比传统的Ploy(2,2)拟合效果要好；同时，比较拟合出来的齿面点与实际测量齿面点的残差值，能反应高阶的拟合精度更高；在Ploy(2,2)方法中，RMSE为0.3252μm，最大值为0.516μm，最小值为-0.934μm；而在Ploy(4,3)方法中，RMSE为0.1368μm，最大值为0.2045μm，最小值为-0.2347μm；
步骤四、利用L-M算法，完成高阶齿面误差多项式的修正，以补偿齿面误差，得到含修正量的精确机床加工参数；
本实施例所提出的高阶多项式齿面误差修正技术主要的是L-M算法的应用实现的，在算法迭代计算中，关于终止条件的相关系数设定为：υ＝10-4,ε1＝10-7,ε2＝10-8。根据上文的齿面误差修正的论述，其主要目的是补偿齿面误差并输出最终的含修正量的精确机床加工参数，表5给出了几种主要数值算法的齿面误差修正基本输出结果。通过数据结果分析可得：GI算法中的床位XB和SVD法中的根锥安装角γm出现了明显的奇异性，即它们的修正量已经远远大于实际应用的要求；而L-M算法的数值结果有了很大的改进，其中刀位Sr、床位XB和角向刀位q是优先考虑修正的。
表5齿面误差高阶修正的数值求解结果
在图6中，由于在每一个数据点处都要对每一个加工参数进行敏感系数求解，数据量较大且计算复杂，故只给出了沿齿长方向的的9个齿面点p(4,1)-p(4,9)处的敏感性分析结果。其中，较大的敏感系数主要出现在刀位Sr、床位XB和角向刀位q处，这与表5中的数值求解结果基本一致，也验证了算法的正确性。
尽管齿面误差修正是一个齿面误差值无穷小的过程，但最终由于高阶拟合方法自身的精度及其数值求解算法问题，最终修正后的齿面与真实测量数据还是会存在微小的偏差，在此称为残差。图7表示了最终的比较结果，RMSE为0.0467μm，最大值为0.1386μm，最小值为-0.09652μm。很显然，与实际测量值作比较，齿面误差已经得到了很好的补偿。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例。对于本技术领域的技术人员来说，在不脱离本发明技术构思前提下所得到的改进和变换也应视为本发明的保护范围。
Claims (3)
1.一种螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)获取螺旋锥齿轮的齿面基本设计参数；
(2)基于步骤(1)所得齿面基本设计参数，通过齿面建模进行离散化求点，得到用于CMM测量的齿面预设网格，利用CMM法测量螺旋锥齿轮的齿面误差，得到齿面测量的误差点数据；
(3)采用高阶多项式方法，将步骤(2)所得齿面测量的误差点数据拟合成误差齿面，得到高阶齿面误差多项式；
(4)利用L-M算法，完成高阶齿面误差多项式的修正，以补偿齿面误差，得到含修正量的精确机床加工参数；
所述步骤(2)中，具体步骤为：
2.1)在齿轮的轴向横截面预设一个齿面网格AMBMCMDM，该齿面网格根据齿面离散化来确定，用来表示一个理论参考的设计齿面，参照Gleason标准的一般齿面预设网格点规划，齿面被离散化成一个典型的5×9网格，即齿宽(face width，FW)方向取9个点，而齿高(toothheight，TH)方向取5个点，采样点的范围要求：TH方向上下偏差不超过5％，FW方向左右偏差不超过10％；
2.2)螺旋锥齿轮的齿面精确定位，具体为：
(a)定位测量基准，从动轮采用大平面加短圆柱基准，主动轮采用长圆柱基准加小平面；
(b)初定位，操纵探针在齿面中部取一点pMid(μ,θ,φ)，并将该点旋转投影到被测齿轮轴截面上，获得该点的坐标；
该旋转过程用运动转换矩阵表示为：
将被测齿轮网格点沿法向NXY各自增加一个探针的测头半径RPro，得到一个处于探针中心平面的原齿面的法向等距网格，再向轴截面投影，得到一组新的齿面网格节点(pMid)*(XG,YG,ZG)：
此时需要搜索一个最小距离点，采用以下优化：
用遍历法可确定最佳齿面重合点，然后为了使探针的测头恰好落在法向等距面网格点(pMid)*的切平面上，需要绕自身轴线旋转齿坯，角度为：
再用迭代法进行调整，微调角度为：
式中，在全局坐标系中，网格点(pMid)和(pMid)*可以分别用点矢(rMid)and(rMid)*和法矢(NXY)Mid and((NXY)Mid)*来表示，齿面误差值为eG＝[eG11,…,eGij,…,eGMN](i∈[1,M]；j∈[1,N])，取M＝9，N＝5；
(c)精确定位，驱动CMM测量测序，探针沿网格中点的发现逼近齿面，测得网格中点的坐标值，重复方程(6)的迭代过程，即可完成齿面精确定位；
2.3)完成精确定位后，驱动CMM自带测量程序完成螺旋锥齿轮的齿面逐点测量，得到齿面测量的误差点数据；
所述步骤(3)中，高阶齿面误差多项式可表示为：
所述步骤(4)中，具体步骤为：
通过齿面误差测量与分析，高阶齿面误差可参数化表示为：
式中p*CMM为真实齿面点，p((μ,θ,φi),x)为理论设计齿面点，i则表示为所要求的齿面误差的阶次；由UMC加工参数定义可得，其阶次与齿面误差阶次是一致的；以基本齿面设计参数中的机床加工参数作为未知变量，建立误差修正函数，x表示所要求解的精确的加工参数，即可以用φi表示成高阶形式；
采用L-M算法，完成高阶齿面误差多项式的修正，具体为：
理论齿面上任一点的齿面误差可以认为是各项机床加工参数微小变化引起的齿面误差的叠加，可以在齿面各点对加工参数进行一阶微分偏导，有：
上述方程可以进行显式计算，则在每个齿面点pi处，存在齿面误差h＝[h1,..,hi,..,hm]的雅克比矩阵J∈Rm×n；
则目标函数可以简化为：
这表明J＝J(x)为敏感性矩阵S＝S(x)，由于m>n，该方程具有超定性；对于该方程的求解，当其转化为一个线性的最小二乘问题时，上述方程可改写为：可以进行两类求解：i)直接求解，其中以线性回归法和广义逆矩阵法为主；ii)间接求解，其中以奇异值分解法为主；当采用线性回归求解时，其目标函数可以转为线性最小二乘问题，有：
当采用线性回归法求解时，其解为：
由于具有较高的条件数，敏感性矩阵S的奇异性被忽略，则求得数值解是不稳定的；为此，考虑奇异性需要采用奇异值分解方法；此时，敏感矩阵可分解为：
∑＝diag(w1,w2,…,ww)∈Rr×r，奇异值w1>w2>…>ww>0(w＝1,2,…,r)，r≤m，U＝(U1,U2)，V＝(V1,V2)；
Sij的广义逆矩阵可以表示为：
通过推导，其解为：
这样，每一个加工参数都能够计算出对应的修正量来补偿齿面误差，已到达齿面误差修正的目的；
基于给定的参考齿面即测量齿面和齿面点，对应的测量齿面可以通过多项式拟合而成，则对应的高阶运动系数确定；根据确定的初始c(0)＝[c1 (0),c2 (0),…,cm (0)],hi((X,Y),c)的二次泰勒展开式为：
这是一个线性函数，通过CMM测量给定对应hi *，最小二乘目标函数可表示为：
经过转化，可得：
且
其解表示为：
在求解解中，存在雅克比矩阵，即目标函数的一阶微分偏导：
可简化为：
H((X,Y),c)＝JT((X,Y),c)J((X,Y),c) (24)
可得：
这属于L-M(Levenberg-Marquardt)算法的迭代公式，其中H是海森矩阵，E是单元矩阵。
2.根据权利要求1所述螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法，其特征在于，所述步骤(3)中，采用3次或者4次多项式方法，以保证良好的拟合精度。
3.根据权利要求1所述螺旋锥齿轮的高阶齿面误差修正方法，其特征在于，所述步骤(3)中，采用和方差、误差平方和、均方根、标准差、确定系数和修正确定系数，来验证齿面精度。
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