CN108600133B - 一种基于阵列天线的欠定相位恢复方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于阵列天线的欠定相位恢复方法，其以阵列天线为研究背景，考虑天线阵元数目小于信号数目、入射期望信号相位丢失情况下，根据入射信号空域稀疏特性，并且假设在复杂噪声环境下，阵列天线只量测到了入射信号的幅值或功率，采用最大释然估计方法，建立相位恢复算法模型。然后假定入射信号在某个空间角度范围内具有空域特性，采用L1范数方法建立欠定相位恢复算法模型。再依据Majorization‑Minimization算法思想，选取替代函数来确保优化函数为凸函数。最后采用交替方向乘子算法，交替更新并恢复原始入射信号。

Description

一种基于阵列天线的欠定相位恢复方法

技术领域

本发明为一种基于阵列天线的欠定相位恢复方法，涉及阵列信号处理和相位恢复交叉理论。

背景技术

仅依据信号的线性量测强度/幅值信息，如傅里叶变换，来恢复该完整信号的技术通常称为相位恢复。相位恢复技术广泛应用于天文学、晶体学、光学成像、显微镜和音频信号处理等领域。在这些领域中，由于设备采集信号时，只记录了信号的强度或幅值，因此，在没有信号相位信息的情况下，完整恢复原始信号是一项具有挑战的课题。

从数学角度来讲，相位恢复即从N次线性量测的幅值中，恢复出原始的M维信号，数学模型可以表示

式中，a_i为已知的量测向量，n_i为量测噪声。

相位恢复问题是一个非线性非凸的问题，通常需要量测次数N大于信号的维度M，才能够准确的恢复出原始信号。在理论方面，量测次数N至少需要满足O(M log M)才能高概率恢复原始信号。目前相位恢复算法主要分为两类，一类是基于交替最优思想来恢复信号的，主要代表论文有Gerchberg-Saxton算法及其改进算法，另一类是基于半定松弛(semidefinite relaxation)方法，主要采用半定规划技术，引入新的秩为1的变量来间接求取原始信号。但该类方法会带来“matrix-lifting”问题，从而增加计算量。最近，学者P.Netrapalli,P.Jain和S.Sanghavi在文献(Phase retrieval using alternatingminimization,IEEE Trans.Signal Process.,vol.63,no.18,pp.4814–4826,Sep.2015)中采用最速下降法，通过设定一个自适应步长，通过迭代思想来进行求解。

在实际应用中，经常会遇到欠定相位恢复问题，即量测次数小于信号的维度。在这种情况下，通常结合信号的某些特点来进行信号恢复，比如依据信号的稀疏特性，增加稀疏约束条件或给目标函数增加惩罚项来恢复稀疏信号。文献(S.Mukherjee andC.S.Seelamantula,Fienup algorithm with sparsity constraints:Application tofrequency-domain optical-coherence tomography,IEEE Transactions on SignalProcessing,vol.62,no.18,pp.4659–4672,Sep.2014)中，采用凸l₁范数惩罚思想结合经典的Fienup算法来恢复一组稀疏信号，但是该方法需要知道信号的稀疏度，在实际中均不容易实现。文献(Y.Shechtman,A.Beck,and Y.Eldar,GESPAR:Efficient phase retrievalof sparse signals,IEEE Transactions on Signal Processing,vol.62,no.4,pp.928–938,Feb.2014)采用牛顿梯度迭代方法，根据粗略的稀疏度信息，通过迭代更新就可以求解。但是当稀疏度的值比较大时，该方法依然很难在实际中使用。

本发明以阵列天线为研究背景，假设在复杂噪声环境下，阵列天线只量测到了雷达信号的幅值或功率，此时入射期望信号载波相位丢失。此外，考虑天线阵元数目小于信号数目时，根据入射信号空域稀疏特性，采用MM(majorization-minimization)算法思想和交替方向乘子(ADMM，alternating directions method of mutiplier)算法，设计一种基于阵列天线的欠定相位恢复方法。

发明内容

本发明目的在于提供一种基于阵列天线的欠定相位恢复方法，能够成功实现载波相位丢失情况下原始信号的恢复。

实现本发明目的技术方案：

一种基于阵列天线的欠定相位恢复方法，其中:

步骤1：建立入射信号导向矢量矩阵，设计基于阵列天线的相位恢复方法模型；

步骤2：考虑入射信号空域稀疏特性，建立欠定相位恢复方法模型；

步骤3、利用MM算法对所述欠定相位恢复模型进行优化处理成凸函数；

步骤4、利用交替方向乘子算法，建立与欠定相位恢复模型相对应的含有入射信号参数的目标函数；

步骤5、采用交替迭代更新方法，对所述目标函数进行求解，恢复出原始信号。

具体的：

步骤1中所述的入射信号导向矢量矩阵为

上式中，N为天线阵元数目，M为某个角度区域Φ被均匀分成的角度区间个数，

其中，θ_m为角度区域Φ中第m个信号入射时的角度，d为天线阵元间隔，λ为入射信号波长。

步骤1所述的基于阵列天线的相位恢复方法模型为

上式中，

和| |为分别为对向量中每一个元素取平方根和取模值操作，

为原始信号x的最大似然估计，向量x为原始入射信号，

为天线阵列所量测到的幅值信号

的第i个元素；

步骤2中所述的入射信号空域稀疏特性，指的是入射信号数目远少于角度区域Φ内所分成的角度区间个数；

步骤2中所述的欠定，指的是天线阵元数目少于角度区域Φ内所分成的角度区间个数，即N＜M；

步骤2中所述的欠定相位恢复方法模型为

上式中，β为一个常值系数，|| ||₁为L1范数。

本发明具有的有益效果：

本发明将天文学和图像处理领域的相位恢复理论引入阵列信号处理领域，以阵列天线为研究背景，假设阵列天线只量测到了雷达信号的幅值或功率，采用最大释然估计方法，建立初始相位恢复算法模型。然后考虑入射信号的空域稀疏特性，提供一种基于阵列天线的欠定相位恢复方法。该方法能够在载波相位丢失的情况下，依然可以成功恢复原始入射信号。

附图说明

图1是本发明所提供的所述基于阵列天线的欠定相位恢复方法的步骤流程图；

图2是本发明所述方法中不同迭代次数恢复信号与原始信号之间的均方误差(MSE，Mean Square Error)曲线图；

图3a是本发明提供的所述方法中迭代次数为1时恢复信号仿真图；

图3b是本发明提供的所述方法中迭代次数为100时恢复信号仿真图；

图3c是本发明提供的所述方法中迭代次数为300时恢复信号仿真图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚、明确，以下参照附图并举实施例对本发明进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用于解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，本发明基于阵列天线的欠定相位恢复方法包括以下步骤：

步骤S1：建立入射信号导向矢量矩阵，设计基于阵列天线的相位恢复方法模型；

步骤S2：考虑入射信号空域稀疏特性，建立欠定相位恢复方法模型；

步骤S3、利用MM算法对所述欠定相位恢复模型进行优化处理成凸函数；

步骤S4、利用交替方向乘子算法，建立与欠定相位恢复模型相对应的含有入射信号参数的目标函数；

步骤S5、采用交替迭代更新方法，对所述目标函数进行求解，恢复出原始信号。

下面根据具体应用实施例对本发明所提供的方法做详细的说明。

步骤S1：建立入射信号导向矢量矩阵，设计基于阵列天线的相位恢复方法模型；

在本发明中，我们假设知道某角度范围Φ内有P个入射信号，但并不知道信号的入射角。我们将该角度区域Φ均匀分成M个区间，即Φ＝[θ₁,θ_m,…,θ_M]，其中，θ_m(m＝1,2,…,M)为角度区域Φ中第m个信号入射时的角度。

考虑具有N个天线阵元的线性阵列，假设在噪声环境下，阵列天线量测到了N个幅值，表示为

则天线阵列所量测到的信号

模型表示为

式中，

和| |为分别为对向量中每一个元素取平方根和取模值操作，向量x为原始入射信号，向量n为噪声，A为入射信号导向矢量矩阵，表示为

式中，

其中，d为天线阵元间隔，λ为入射信号波长。

依据最大释然估计方法，可以得到原始信号x的最大似然估计

即基于阵列天线的相位恢复模型，表达式为

步骤2：考虑入射信号空域稀疏特性，建立欠定相位恢复方法模型；

在实际情况下，比如小型雷达和无人机卫星导航接收机应用中，为了携带方便和成本考虑，天线阵元数目通常少于角度区域Φ内所分成的区间个数，即N＜M。此时，入射信号导向矢量矩阵A为欠定矩阵，式(1)即为欠定方程，根据式(3)所述的相位恢复模型无法成功恢复原始信号。

此时，假定入射信号数目也小于角度区域Φ内所分成的区间个数，即P＜M，此时入射信号具有空域稀疏特性。因此，阵列天线的欠定相位恢复模型可以表示为

上式中，β为一个常值系数，|| ||₁为L1范数。上述欠定相位恢复模型能够获得一个稀疏的解向量x。

步骤S3：用MM算法思想对原非凸目标函数进行优化处理，选取替代函数来确保优化函数为凸函数；

式(4)是一个非凸非线性问题，下面将采用MM算法思想来求解。

首先，令

然后，考虑去掉外部绝对值，存在如下情况

上式中，g_-(x)仍然是非凸函数，根据MM算法思想，需要寻求一个替代函数。

在MM框架中，对于第k次迭代时的向量x^(k)，有

上式中，

定义为

∠表示取角度操作，⊙表示Hadamard乘积，Re表示取实部操作。

由上式可知，

式中，

再令

则g(x)的替代函数可以表示为

因此，通过MM算法思想，原始的相位恢复问题即可以表示为

步骤S4：采用ADMM算法思想，设计基于拉格朗日形式的目标函数；

直接求解上述(11)优化问题，比较困难，下面采用ADMM思想来进行求解。

首先，引入一个辅助向量z＝(z₁,z₂,…z_N)，并令其为

z＝Ax (12)

即z_i＝(Ax)_i，则

可以由

来表示为

式(11)中的欠定相位恢复的模型即可以写为

建立增广拉格朗日形式，即

式中，

λ为增广拉格朗日乘子，ρ为惩罚参数。

步骤S5：采用交替迭代更新方法，恢复原始信号。

在求解优化问题(15)时，采用变量x、z和u交替更新方法。首先需要假定第k时刻变量z和u的值，即z^k和u^k，计算第k+1时刻向量x的更新值x^k+1；然后再分别计算第k+1时刻变量z和u的值，即z^k+1和u^k+1，之后再计算k+2时刻向量x的更新值。以此类推，直到满足设定的迭代终止条件终止循环。具体如下

向量x的迭代更新表示为

在向量z的迭代更新时，为表示方便，首先引入中间变量q＝(q₁,q₂,…q_N)，令

q＝Ax^k+1+u^k (17)

向量z的迭代更新表达式为

完成x^k+1和z^k+1的更新后，还需要对向量u进行更新，即

u^k+1＝u^k+Ax^k+1-z^k+1 (18)

最后，设置迭代终止条件，当迭代次数满足最大值K时或满足x^k+1与原始信号之间的均方误差(MSE，Mean Square Error)设定值时终止。此时的x^k+1即为恢复的原始信号。

为证明本发明的有效性，进行了仿真验证。

假设相控阵天线采用均匀线阵，阵元数目为50，天线阵元间隔为入射信号半波长。入射信号数目为8个，对应的入射角分别为-60°，-40°,-20°，0°，10°,40°,60°和70°，入射信号假定为高斯分布。设定噪声功率为1，信噪比均为30dB。将整个空域角度Φ均匀分为180个区间，即Φ＝[-90:1:90]。x、z和u的初值均设为高斯随机分布，惩罚参数ρ＝1，迭代步长μ＝0.5。迭代终止条件的最大次数K＝300。

图2给出了在不同迭代次数情况下，所恢复信号与原始信号之间的MSE曲线图。从该图中可以清晰看出，随着迭代次数的增加，MSE值逐渐减低。当迭代次数为300时，MSE值接近10^-4，证明了该算法在缺少相位信息的情况下，依然能够有效恢复出原始信号。

为了显示该算法恢复信号的过程，图3给出了迭代次数分别为1，100和300时的恢复信号分布效果图。为比较方便，图中也给出了原始信号分布。由于假定的恢复信号初始值为高斯随机分布，从图中可以看出，当第1次迭代完成后，恢复信号与原始信号存在很大的差异。当第100次迭代完成后，恢复信号逐渐接近原始信号。当第300次迭代完成后，恢复信号基本接近原始信号，也证明了该算法的有效性。图3恢复过程与图2中显示的MSE相互对应。

Claims (3)

1.一种基于阵列天线的欠定相位恢复方法，其特征在于：

步骤1、建立入射信号导向矢量矩阵，设计基于阵列天线的相位恢复方法模型；

所述阵列天线的相位恢复方法模型为

上式中，

和| |为分别为对向量中每一个元素取平方根和取模值操作，

为原始信号x的最大似然估计，向量x为原始入射信号，

为天线阵列所量测到的幅值信号

的第i个元素，A为入射信号导向矢量矩阵；

步骤2、考虑入射信号空域稀疏特性，建立欠定相位恢复方法模型；

所述欠定相位恢复方法模型为

上式中，β为一个常值系数，|| ||₁为L1范数；

步骤3、利用Majorization-Minimization算法对所述欠定相位恢复模型进行优化处理成凸函数；

本步骤中，优化处理得到的凸函数为：

步骤4、利用交替方向乘子算法，建立与欠定相位恢复模型相对应的含有入射信号参数的目标函数；

所述欠定相位恢复模型的目标函数的增广拉格朗日形式为

式中，

λ为增广拉格朗日乘子，ρ为惩罚参数；

步骤5、采用交替迭代更新方法，对所述目标函数进行求解，恢复出原始信号；

向量x的迭代更新表示为

在向量z的迭代更新时，为表示方便，首先引入中间变量q＝(q₁,q₂,L q_N)，令

q＝Ax^k+1+u^k

向量z的迭代更新表达式为

完成x^k+1和z^k+1的更新后，还需要对向量u进行更新，即

u^k+1＝u^k+Ax^k+1-z^k+1

设置迭代终止条件，当迭代次数满足最大值K时或满足x^k+1与原始信号之间的均方误差设定值时终止；此时的x^k+1即为恢复的原始信号；

所述步骤3、利用Majorization-Minimization算法对所述欠定相位恢复模型进行优化处理成凸函数的步骤包括：

令

考虑去掉外部绝对值，得到：

上式中，g_-(x)为非凸函数；根据Majorization-Minimization算法，对于第k次迭代时的向量x^(k)，有

上式中，

定义为

∠表示取角度操作，e表示Hadamard乘积，Re表示取实部操作；

由上式可知，

式中，

再令：

则g(x)的替代函数表示为

2.根据权利要求1所述的基于阵列天线的欠定相位恢复方法，其特征在于：

步骤1中所述的入射信号导向矢量矩阵为

上式中，N为天线阵元数目，M为某个角度区域Φ被均匀分成的角度区间个数，

其中，θ_m为角度区域Φ中第m个信号入射时的角度，d为天线阵元间隔，λ为入射信号波长。

3.根据权利要求2所述的基于阵列天线的欠定相位恢复方法，其特征在于：

步骤2中所述的入射信号空域稀疏特性，指的是入射信号数目远少于角度区域Φ内所分成的角度区间个数；

步骤2中所述的欠定，指的是天线阵元数目少于角度区域Φ内所分成的角度区间个数，即N<M。

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