CN108319800B - 一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法 - Google Patents

一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法 Download PDF

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CN108319800B CN201810230916.4A CN201810230916A CN108319800B CN 108319800 B CN108319800 B CN 108319800B CN 201810230916 A CN201810230916 A CN 201810230916A CN 108319800 B CN108319800 B CN 108319800B
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Abstract

本发明公开了一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法。本方法可概括为首先根据初始结构模型，利用节点坐标、单元预应力功能目标形成以单元力密度向量为未知量的自由节点力平衡方程组Ⅰ和利用单元力密度、节点坐标功能目标形成以节点坐标向量为未知量的自由节点力平衡方程组Ⅱ，利用最小二乘法，分别近似求解方程组Ⅰ、Ⅱ并更新方程组系数矩阵，如此反复迭代，直到方程组Ⅰ、Ⅱ的误差小于预设的误差收敛值，完成体型设计。本方法交替求解单元力密度向量、节点坐标向量，直到整体结构满足力平衡条件及预设功能目标。本方法计算流程简洁，且具有通用性，可广泛应用于张力结构，如张弦梁、索桁架、索穹顶等大跨建筑结构或悬索桥梁结构的体型设计。

Description

一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法
技术领域
本发明属于建筑工程、桥梁工程中的结构设计领域，具体涉及一种张力结构通用体型设计方法。
背景技术
张力结构是一种较为新型的结构形式，这种结构由连续的受拉构件和离散的受压构件组成。张力结构内部只存在拉力和压力这两种轴心受力方式，结构中不存在受弯构件，这样的受力方式使得建筑材料在张力结构中得到最大化利用。此类结构形式具有自重轻、适用于跨度大、施工方便等特点，其具体形式，如索桁架、索穹顶等，已广泛应用于各类大跨度建筑结构中。
张力结构具有高度非线性，其刚度由受拉单元和受压单元的平衡预应力提供。结构初始预应力对结构形态和结构刚度起着决定性作用，同时结构形态又影响结构受拉单元、受压单元的预应力分布，结构形态和结构预应力分布高度关联、相互影响。由已知结构构件预应力分布求解结构形状的过程称为找形，由已知结构形状求解结构构件预应力分布的过程称为找力，一般情况下，找形、找力统称为找形。常用的找形方法有力密度法、动力松弛法、非线性有限元法。
建筑、桥梁领域的张力结构不但是具有预应力的自平衡体系，而且需满足一定的功能目标，功能目标可分为2类：
1)节点坐标功能目标，如采用车辐式索桁架结构形式的体育场屋盖内开口为和下方跑道形状一致，其内环平面为椭圆；为使内环撑杆规格统一，其撑杆长度相等。
2)单元预应力功能目标，如调节车辐式索桁架上下弦的预应力比值以满足结构刚度要求；调节车辐式索桁架吊索预应力值，使荷载作用下吊索不松弛。
发明内容
本发明的目的在于：针对上述张力结构体型设计的特点，提出了一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法，使其不但能形成自平衡体系，而且满足一定的建筑造型和预应力分布要求。
为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法，其特征在于：所述方法包括如下步骤：
1)建立结构模型，对结构单元、节点进行标号，构建张力结构关联矩阵Cs；
2)利用初始节点坐标向量
Figure GDA0003236800530000021
单元预应力功能目标形成以单元力密度向量
Figure GDA0003236800530000022
为未知量的自由节点力平衡方程组Ⅰ：
Figure GDA0003236800530000023
其中Ag、
Figure GDA0003236800530000024
分别为附带单元预应力功能目标的平衡矩阵、节点荷载向量；
3)利用单元力密度向量
Figure GDA0003236800530000025
节点坐标功能目标形成以节点坐标向量
Figure GDA0003236800530000026
为未知
量的自由节点力平衡方程组Ⅱ：
Figure GDA0003236800530000027
其中Dg、
Figure GDA0003236800530000028
分别为附带节点坐标功能目标的力密度矩阵、节点荷载向量；
4)利用最小二乘法，构造如下形式的方程组Ⅰ的近似解：
Figure GDA0003236800530000029
其中
Figure GDA00032368005300000210
分别为方程组Ⅰ的基础解系、特解，系数α可根据结构需要的预应力大小确定；
5)利用求得的
Figure GDA00032368005300000211
更新方程组Ⅱ系数矩阵Dg及右向量
Figure GDA00032368005300000212
6)利用最小二乘法，近似求解方程组Ⅱ，得到节点坐标向量
Figure GDA00032368005300000213
7)利用求得的
Figure GDA00032368005300000214
更新方程组Ⅰ系数矩阵Ag；
8)重复步骤4)～步骤7)，直到
Figure GDA00032368005300000215
使得方程组Ⅰ、Ⅱ的误差小于预设的误差收敛值，完成体型设计。
本发明所述的一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法，其将单元预应力功能目标、节点坐标功能目标，即体型设计中涉及的单元预应力、节点坐标限制性条件和张力结构自由节点力平衡条件合并，得到统一的控制方程组，便于求解。
本发明所述的一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法，其利用最小二乘法，近似求解分别以单元力密度向量
Figure GDA0003236800530000031
节点坐标向量
Figure GDA0003236800530000032
为未知量的方程组Ⅰ、Ⅱ，并以求得的
Figure GDA0003236800530000033
更新方程组Ⅰ、Ⅱ，保证计算过程快速收敛。
本发明所述的一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法，其规定方程组Ⅰ的解由两部分构成，既考虑了实际工程中张拉预应力大小可调节的特点，又顾及了外荷载对结构预应力分布的影响。
本发明的设计方法并非单纯的力密度法“找形”或“找力”，而是交替求解单元力密度向量、节点坐标向量，不断更新整体结构，直到整体结构满足力平衡条件及预设功能目标。本方法计算流程简洁，计算收敛迅速，非常便于编制通用程序。同时，本方法适用于任意张力结构，具有通用性，可广泛应用于张力结构，如张弦梁、索桁架、索穹顶等大跨建筑结构或悬索桥梁结构的体型设计。
附图说明
图1为本发明具体实施例中6节点、5单元组成的平面张力结构示意图。图中“1～6”表示节点编号，“①～⑤”表示单元编号。
具体实施方式
为使本发明的技术方案及流程更加清楚，对本发明进行进一步详细说明。
一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法，包括如下步骤：
1.建立结构模型，对结构单元、节点进行标号，构建张力结构关联矩阵Cs：
Cs＝[C Cf] (1)
其中，
Figure GDA0003236800530000041
分别为自由节点关联矩阵、固定节点关联矩阵，b、n、nf分别为单元数量、自由节点数量、固定节点数量。假定单元k的两端点分别为节点i、节点j，则矩阵Cs的k行p列为：
Figure GDA0003236800530000042
2.对每个自由节点，以单元力密度向量
Figure GDA0003236800530000043
为未知数，列力平衡方程：
Figure GDA0003236800530000044
其中，
Figure GDA0003236800530000045
分别为自由节点x、y、z坐标列向量：
Figure GDA0003236800530000046
Figure GDA0003236800530000047
分别为自由节点x、y、z方向的外荷载列向量：
Figure GDA0003236800530000048
Figure GDA0003236800530000049
称为单元力密度列向量，元素qk为单元k的预应力Nk与单元长度lk的比值，diag(…)表示以(…)为对角元素的方阵。
方程(3)进一步写为矩阵形式：
Figure GDA00032368005300000410
其中
Figure GDA00032368005300000411
称为平衡矩阵，
Figure GDA00032368005300000412
称为节点外荷载列向量。
3.确定单元预应力功能目标
单元预应力功能目标可表示为单元间力密度的相互关系：
Figure GDA0003236800530000051
如单元u、v的力密度比值等于α可表示为：
Figure GDA0003236800530000052
写为矩阵形式为：
Figure GDA0003236800530000053
其预应力比值等于α可表示为：
Figure GDA0003236800530000054
写为矩阵形式为：
Figure GDA0003236800530000055
预应力功能目标写成矩阵形式：
Figure GDA0003236800530000056
其中
Figure GDA0003236800530000057
为单元预应力功能目标系数矩阵，m为单元预应力功能目标个数。将式(6)、(10)合并，得到：
Figure GDA0003236800530000058
其中
Figure GDA0003236800530000059
4.对每个自由节点，以自由节点坐标
Figure GDA00032368005300000510
为未知数，列力平衡方程：
Figure GDA00032368005300000511
写成矩阵形式：
Figure GDA00032368005300000512
其中
Figure GDA00032368005300000513
称为力密度矩阵,
Figure GDA00032368005300000514
Figure GDA0003236800530000061
5.确定节点坐标功能目标
节点坐标功能目标可表示为节点坐标的相互关系，其第k个约束关系可表示为：
Figure GDA0003236800530000062
如i节点x方向坐标固定于x′i可表示为：
Figure GDA0003236800530000063
如i、j节点x方向坐标相同可表示为：
Figure GDA0003236800530000064
节点坐标功能目标写成矩阵形式：
Figure GDA0003236800530000065
其中
Figure GDA0003236800530000066
为节点坐标功能目标系数矩阵，e为节点坐标功能目标个数。将式(13)、(17)合并，得到：
Figure GDA0003236800530000067
其中
Figure GDA0003236800530000068
6.力平衡方程组的求解
通过以上步骤，张力结构的找形过程转化为求解方程组(11)、(18)。此二方程组均为非齐次线性方程组，其未知量分别为单元力密度向量
Figure GDA0003236800530000069
自由节点坐标向量
Figure GDA00032368005300000610
实际找形要求方程组(11)具有如下形式的解：
Figure GDA0003236800530000071
其中
Figure GDA0003236800530000072
分别为方程组(11)的基础解系、特解。一般地，方程组(11)的系数矩阵
Figure GDA0003236800530000073
行数大于列数，即3n+m＞b，其秩rank(Ag)≤b。为使张力结构后期张拉施工方便，通过合理的附加单元预应力功能目标，可使张力结构有且仅有一个自应力模态，其增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，即：
Figure GDA0003236800530000074
由于初始建模的结构并非在每个自由节点处均满足力平衡方程，方程组(11)增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，即
Figure GDA0003236800530000075
方程组(11)无解，只能求其近似解。根据最小二乘法，构造如下形式的近似解：
Figure GDA0003236800530000076
其中，
Figure GDA0003236800530000077
为矩阵Ag最小奇异值对应的右特征向量，
Figure GDA0003236800530000078
为矩阵Ag的广义逆，系数α可根据结构需要的预应力大小确定。
另一方面，找形得到的结构几何坐标必须唯一，即方程组(18)有如下形式的唯一解：
Figure GDA0003236800530000079
同样，由于初始建模的结构并非在每个自由节点处均满足力平衡方程，方程组(18)增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，即
Figure GDA00032368005300000710
方程组(18)无解，只能求其近似解。根据最小二乘法，其近似解为：
Figure GDA00032368005300000711
其中，
Figure GDA00032368005300000712
为矩阵Dg的广义逆。
基于以上描述，本体型设计方法可概括为：首先根据初始结构模型，利用初始节点坐标、单元预应力功能目标形成矩阵Ag，按式(21)求解单元力密度近似解
Figure GDA0003236800530000081
利用此近似解及节点坐标功能目标生成方程组(18)的系数矩阵Dg，按式(23)求解节点坐标近似解
Figure GDA0003236800530000082
然后由此节点坐标近似解形成矩阵Ag，按式(21)求解单元力密度近似解
Figure GDA0003236800530000083
如此反复迭代，直到
Figure GDA0003236800530000084
使得方程组(11)、(18)的误差小于预设的误差收敛值，完成体型设计。由此可见，本方法不是单纯的“找形”或“找力”，而是不断的求解单元力密度、节点坐标向量，并更新整体结构，直到整体结构满足力平衡条件及预设功能目标。
具体实施例：为便于普通技术人员理解本发明，图1列出了本发明的二维示例性实施例。图1列出了6节点、5单元组成的平面张力结构，其节点、单元信息分别详表1、表2，单元k的力密度为dk。
表1
Figure GDA0003236800530000085
表2
Figure GDA0003236800530000086
为使单元2、5竖直，附加节点坐标功能目标：
Figure GDA0003236800530000091
为使单元②、③、⑤预应力相同，附加单元预应力功能目标：
Figure GDA0003236800530000092
方程组(11)可写为：
Figure GDA0003236800530000093
方程组(18)可写为：
Figure GDA0003236800530000094
将自由节点坐标初始值向量
Figure GDA0003236800530000095
代入方程(26)，按式(21)求其近似解
Figure GDA0003236800530000096
将近似解
Figure GDA0003236800530000097
代入方程(27)，按式(23)求其近似解
Figure GDA0003236800530000098
Figure GDA0003236800530000099
的迭代结果详下表：
表3
Figure GDA00032368005300000910
Figure GDA0003236800530000101
可见计算结果很快收敛，证明了此发明的优越性。
本发明可以应用于任意二维或三维张力结构，不应理解为局限于这里叙述的示例性实施例，符合本发明思想的各种变通形式均在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法，其特征在于：所述方法包括如下步骤：
1)建立结构模型，对结构单元、节点进行标号，构建张力结构关联矩阵Cs，
Cs＝[C Cf]
其中，C、Cf分别为自由节点关联矩阵、固定节点关联矩阵；
2)利用初始节点坐标向量
Figure FDA0003242604160000011
单元预应力功能目标形成以单元力密度向量
Figure FDA0003242604160000012
为未知量的自由节点力平衡方程组Ⅰ：
Figure FDA0003242604160000013
其中Ag、
Figure FDA0003242604160000014
分别为附带单元预应力功能目标的平衡矩阵、节点荷载向量；
首先，对每个自由节点，以单元力密度向量
Figure FDA0003242604160000015
为未知数，列力平衡方程：
Figure FDA0003242604160000016
其中，A为平衡矩阵，
Figure FDA0003242604160000017
为节点外载荷列向量；
然后，确定单元预应力功能目标：
单元预应力功能目标可表示为单元间力密度的相互关系：
Figure FDA0003242604160000018
如单元u、v的力密度比值等于α可表示为：
Figure FDA0003242604160000019
写为矩阵形式为：
Figure FDA00032426041600000110
其预应力比值等于α可表示为：
Figure FDA00032426041600000111
写为矩阵形式为：
Figure FDA00032426041600000112
其中，qu、qv分别为单元u、v力密度；
预应力功能目标写成矩阵形式：
Figure FDA00032426041600000113
其中，At为单元预应力功能目标系数矩阵；
将力平衡矩阵形式方程和预应力功能目标的矩阵形式方程合并，得到方程组Ⅰ；
3)利用单元力密度向量
Figure FDA0003242604160000021
节点坐标功能目标形成以节点坐标向量
Figure FDA0003242604160000022
为未知量的自由节点力平衡方程组Ⅱ：
Figure FDA0003242604160000023
其中Dg、
Figure FDA0003242604160000024
分别为附带节点坐标功能目标的力密度矩阵、节点荷载向量；首先，对每个自由节点，以自由节点坐标
Figure FDA0003242604160000025
为未知数，列力平衡方程并写成矩阵形式：
Figure FDA0003242604160000026
其中，D为力密度矩阵；
然后，确定节点坐标功能目标
节点坐标功能目标可表示为节点坐标的相互关系，其第k个约束关系可表示为：
Figure FDA0003242604160000027
如i节点x方向坐标固定于x′i可表示为：
Figure FDA0003242604160000028
如i、j节点x方向坐标相同可表示为：
Figure FDA0003242604160000029
节点坐标功能目标写成矩阵形式：
Figure FDA00032426041600000210
其中，B为节点坐标功能目标系数矩阵；
将力平衡矩阵形式方程和节点坐标功能目标的矩阵形式方程合并，得到方程组Ⅱ；
4)利用最小二乘法，构造如下形式的方程组Ⅰ的近似解：
Figure FDA0003242604160000031
其中
Figure FDA0003242604160000032
分别为方程组Ⅰ的基础解系、特解，系数γ可根据结构需要的预应力大小确定；
5)利用求得的
Figure FDA0003242604160000033
更新方程组Ⅱ系数矩阵Dg及右向量
Figure FDA0003242604160000034
6)利用最小二乘法，近似求解方程组Ⅱ，得到节点坐标向量
Figure FDA0003242604160000035
7)利用求得的
Figure FDA0003242604160000036
更新方程组Ⅰ系数矩阵Ag；
8)重复步骤4)～步骤7)，直到
Figure FDA0003242604160000037
使得方程组Ⅰ、Ⅱ的误差小于预设的误差收敛值，完成体型设计。
2.根据权利要求1所述的一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法，其特征在于：将单元预应力功能目标、节点坐标功能目标，即体型设计中涉及的单元预应力、节点坐标限制性条件和张力结构自由节点力平衡条件合并，得到统一的控制方程组，便于求解。
3.根据权利要求1所述的一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法，其特征在于：利用最小二乘法，近似求解分别以单元力密度向量
Figure FDA0003242604160000038
节点坐标向量
Figure FDA0003242604160000039
为未知量的方程组Ⅰ、Ⅱ，并以求得的
Figure FDA00032426041600000310
更新方程组Ⅰ、Ⅱ，保证计算过程快速收敛。
4.根据权利要求1所述的一种基于功能目标的张力结构通用体型设计方法，其特征在于：规定方程组Ⅰ的解由两部分构成，既考虑了实际工程中张拉预应力大小可调节的特点，又顾及了外荷载对结构预应力分布的影响。
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